Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5: Hàm số, giới hạn và sự liên tục

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5: Hàm số, giới hạn và sự liên tục. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: định nghĩa và các phép tính trên hàm số; giới hạn hàm một biến và các tính chất, phép tính về giới hạn; sự liên tục của hàm một biến;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chương 5 HÀM SỐ,GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC

𝑧 = 𝑔 𝑓 𝑥 ≔ 𝑕(𝑥)

Hàm số này gọi là hàm số hợp của 𝑔 và 𝑓

Kí hiệu 𝑕 = 𝑔 ∘ 𝑓

Ví dụ 1:

Cho 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 + 4, 𝑔(𝑦) = tan 𝑦 thì ta

có hàm số hợp

𝑕 𝑥 = 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑔 𝑓 𝑥 = tan(𝑥3 − 2𝑥 + 4)

c Hàm ngược

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) với TXĐ là 𝐷 và tập giá trị là 𝑌

Nếu phương trình 𝑦 = 𝑓 𝑥 có nghiệm duy nhất

𝑥 ∈ 𝐷 thì ta có thể xác định hàm số

𝑥 = 𝑔 𝑦 , 𝑦 ∈ 𝑌 Thỏa mãn 𝑓 𝑔 𝑦 = 𝑦, ∀𝑦 ∈ 𝑌, hàm g xác định như trên gọi là hàm số ngược của hàm 𝑓, ký hiệu 𝑔 = 𝑓−1

Ví dụ 2: Tìm hàm ngƣợc của hàm số

𝑦 = 𝑥2, với 𝑥 ∈ [−4,0].

1) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒙

𝑦 = arcsin 𝑥 ⇔ −𝜋𝑥 = sin 𝑦

2 ≤ 𝑦 ≤

𝜋2

𝜋4

𝜋3

𝜋2

2) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝒙

𝑦 = arccos 𝑥 ⇔ 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋𝑥 = cos 𝑦

𝑦 tính theo đơn vị rad

2𝜋3

𝜋2

𝜋3

𝜋4

𝜋2

1 3 ∞

arccot 𝑥 𝜋 5𝜋

6

3𝜋4

2𝜋3

𝜋2

5𝜋6

3𝜋4

1.4 Hàm sơ cấp

Định nghĩa:

Hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) đƣợc gọi là một hàm sơ cấp trên (a; b) nếu f(x) đƣợc cho bởi một biểu thức giải tích, biểu thức đó thu đƣợc từ các hàm sơ cấp cơ bản và hằng số nhờ một số hữu hạn các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và phép hợp hàm

Ví dụ 3:

a Hàm số 𝑦 = sin 𝑥2 − 5𝑥 + 7 + cos 𝑥 là hàm sơ cấp

b Hàm số 𝑦 = ln 𝑥 + 1 cos 𝑥 + 𝑥2 + 1

là hàm sơ cấp

2 Giới hạn hàm một biến

2.1 Định nghĩa

Cho hàm số 𝑓(𝑥) xác định tại một lân cận của 𝑥0, (hàm số 𝑓(𝑥) có thể không xác định tại 𝑥0) Ta nói hàm số 𝑓(𝑥) dần tới số thực L nếu

∀𝜖 > 0, ∃𝛿 > 0: 0 < |𝑥 − 𝑥0| < 𝛿

𝑡𝑕ì |𝑓 𝑥 − 𝐿| < 𝜖

Kí hiệu: lim𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 = 𝐿

giới hạn khi 𝑥 → 𝑥0 là nó có giới hạn phải và giới

hạn trái tại 𝑥0 và hai giới hạn đó bằng nhau.

lim

𝑥→𝑥0− 𝑓 𝑥 = lim

𝑥→𝑥0+ 𝑓 𝑥 = lim

𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥

Ví dụ 2: Xét hàm

f(x)=|x|

0 )

Ví dụ 4: Xét các giới hạn của hàm số sau

𝑥→1+ 𝑓 𝑥 = lim

𝑥→1+(𝑥2 − 3 ) = − 2 Vậy hàm số không có giới hạn khi 𝑥 → 1

Nhận xét: Định lý về tổng hiệu, tích, thương của các

giới hạn chỉ đúng cho trường hợp 𝐿1, 𝐿2 hữu hạn Vậy bài toán giới hạn thường đặt ra là tính các giới hạn ở dạng vô định Đó là các dạng sau:

0

0 ; ∞∞ ; 0 × ∞; ∞ − ∞; 1∞, 00, ∞0

2.1.3 Hai giới hạn quan trọng

Ví dụ 5: Tính giới hạn sau:

lim

𝑥→0

arctan 3𝑥sin 2𝑥

Ví dụ 6: Tính giới hạn

lim

𝑥→∞

2𝑥 + 12𝑥 − 2

3𝑥+4

= ⋯ = 𝑒29

 Nếu 𝛼(𝑥) là VCB trong quá trình 𝑥 → 𝑥0 và 𝑓(𝑥) là hàm bị chặn khi 𝑥 → 𝑥0 thì 𝛼 𝑥 𝑓(𝑥)

là VCB khi 𝑥 → 𝑥0

Ví dụ: 𝑥 sin 1

𝑥 là VCB khi 𝑥 → 0 vì x là VCB khi 𝑥 → 0 và sin 1

𝑥 ≤ 1, ∀𝑥 ≠ 0.

Nhận xét: Một số VCB tương đương thông dụng

2.2.4 Quy tắc thay thế VCB tương đương

𝑥→0

ln 1 + 𝑥 (𝑒2𝑥 − 1) sin 3𝑥 arcsin 2𝑥

= lim⁡𝑥→0 (3(4𝑥)

3)2((4𝑥)2)3 =9

2

2.3 Qui tắc Lopitan tính các giới hạn dạng vô định

- Khi tính giới hạn dạng 0

0 nên kết hợp thay thế VCB tương đương nếu có thể

Chú ý:

Riêng giới hạn dạng 1∞ thông thường ta sử

dụng công thức số 𝑒 trước, sau đó dùng qui tắc Lopitan cho phần mũ của biểu thức

Tiếp tục đƣa giới hạn về dạng 0

0 hoặc ∞

∞ rồi

áp dụng qui tắc Lopitan

- Kết quả tính đƣợc ln A = K do đó A=𝑒𝐾

3 Sự liên tục của hàm một biến

3.1 Định nghĩa 1: f(x) liên tục tại 𝑥0 nếu

3.3 Định nghĩa 2:

Hàm f(x) gọi là liên tục trái (phải) tại 𝑥0 nếu

- Tồn tại 𝛿 > 0 sao cho f(x) xác định trên (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0] (hoặc [𝑥0, 𝑥0 + 𝛿))

- lim𝑥→𝑥0− 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) (hoặc lim𝑥→𝑥0+ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) )

3.4 Hệ quả

Hàm f(x) liên tục tại điểm 𝑥0 khi và chỉ khi nó vừa liên tục phải, vừa liên tục trái tại 𝑥0 Nghĩa là:

𝑓 𝑥0+ = 𝑓 𝑥0− = 𝑓(𝑥0)

Ví dụ 1:

Xét sự liên tục của hàm số sau

𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 𝑘𝑕𝑖 𝑥 ≥ 1

2 cos 1 − 𝑥 𝑘𝑕𝑖 𝑥 < 1 Tại điểm x = 1

Ví dụ 2:

Xét sự liên tục của hàm số sau

𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 𝑘𝑕𝑖 𝑥 ≥ 1

𝑥 + 𝑎 𝑘𝑕𝑖 𝑥 < 1 Trong đó a là tham số