(LUẬN án TIẾN sĩ) tiêu chuẩn đối ngẫu trong phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Như Hiếu TIÊU CHUẨN ĐỐI NGẪU TRONG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG CHO HỆ PHI TUYẾN NHIỀU BẬC TỰ DO CHỊU KÍCH ĐỘNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Như Hiếu

TIÊU CHUẨN ĐỐI NGẪU TRONG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG CHO HỆ PHI TUYẾN NHIỀU BẬC TỰ DO CHỊU KÍCH ĐỘNG NGẪU NHIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Hà Nội - 2018

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Như Hiếu

TIÊU CHUẨN ĐỐI NGẪU TRONG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG CHO HỆ PHI TUYẾN NHIỀU BẬC TỰ DO CHỊU KÍCH ĐỘNG NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn

Mã số: 62440107 LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 GS.TSKH Nguyễn Đông Anh

2 PGS.TS Ninh Quang Hải

Hà Nội - 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS.TSKH Nguyễn Đông Anh và PGS.TS Ninh Quang Hải Các số liệu, kết quả trình bày trong luận án là trung thực và chưa được công

bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận án

Nguyễn Như Hiếu

LỜI CÁM ƠN

Tác giả bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới GS.TSKH Nguyễn Đông Anh

và PGS.TS Ninh Quang Hải, các thầy đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận án này

Tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến GS Isaac Elishakoff vì những kiến thức tác giả học được trong quá trình học tập và thực hiện luận án

Tác giả gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Khoa Toán-Cơ-Tin học và Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, nơi đã giúp đỡ NCS trưởng thành trong quá trình đào tạo và thực hiện luận án

Tác giả xin cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện của Phòng Cơ học Công trình, Viện Cơ học trong quá trình tác giả làm việc và thực hiện nghiên cứu của luận án

Tác giả xin cảm ơn tới hỗ trợ về mặt vật chất khi tham gia đề tài NAFOSTED về Nghiên cứu cơ bản do GS.TSKH Nguyễn Đông Anh làm chủ nhiệm trong giai đoạn tác giả làm Nghiên cứu sinh

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới bố mẹ, người thân, bạn bè

và đồng nghiệp đã động viên về mặt tinh thần trong suốt quãng thời gian tác giả học tập và thực hiện luận án

Tác giả luận án

Nguyễn Như Hiếu

MỤC LỤC

DANH SÁCH BẢNG 6

DANH SÁCH HÌNH 8

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG 9

MỞ ĐẦU 11

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG 14

1.1 Giới thiệu về phương pháp tuyến tính hóa tương đương 14

1.2 Một số khái niệm cơ bản 20

1.2.1 Khái niệm về hàm đặc trưng 20

1.2.2 Phân bố ngẫu nhiên Gaussian 21

1.2.3 Quá trình ngẫu nhiên 22

1.2.4 Quá trình ngẫu nhiên Gaussian 22

1.2.5 Quá trình Markov 24

1.2.6 Quá trình Wiener 25

1.2.7 Ồn trắng và ồn màu 26

1.2.8 Khái niệm về hệ phi tuyến yếu và phi tuyến mạnh 27

1.3 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương thông thường 28

1.3.1 Phương trình chuyển động của hệ phi tuyến 29

1.3.2 Hệ tuyến tính hóa tương đương 30

1.3.3 Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình 30

1.4 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu chuẩn năng lượng.34 1.4.1 Cách tiếp cận theo khái niệm năng lượng 34

1.4.2 Tiêu chuẩn bình phương trung bình cho thế năng hệ 35

1.4.3 Tiêu chuẩn năng lượng dựa trên hàm hao tán năng lượng 35

1.5 Phương pháp phương trình Fokker-Planck tìm nghiệm chính xác 36

Kết luận Chương 1 40

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG THEO TIÊU CHUẨN ĐỐI NGẪU 42

2.1 Tuyến tính hóa thông thường 42

2.2 Tiêu chuẩn đối ngẫu 45

2.2.1 Ma trận hệ số tuyến tính hóa theo tiêu chuẩn đối ngẫu 46

2.2.2 Đáp ứng của hệ tuyến tính hóa sử dụng ma trận mật độ phổ của kích động đầu vào 47

2.2.3 Hệ đóng các phương trình ma trận hệ số tuyến tính hóa 49

2.2.4 Hệ chỉ có độ cứng phi tuyến 52

2.2.5 Hệ chỉ có cản phi tuyến 55

2.3 Khảo sát một số hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên .55

2.3.1 Hệ hai bậc tự do có độ cứng phi tuyến bậc ba 55

2.3.2 Đáp ứng của hệ hai bậc tự do có độ cứng phi tuyến bậc năm 64

2.3.3 Mô hình hệ hai bậc tự do có cản và độ cứng phi tuyến 68

Kết luận Chương 2 75

Chương 3 PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG CỦA DẦM CHỊU TẢI TRỌNG NGẪU NHIÊN .76

3.1 Phương trình chuyển động của dầm 76

3.2 Tiêu chuẩn đối ngẫu cho phương trình biên độ mode của dầm 79

3.3 Đáp ứng dao động của dầm tựa giản đơn 84

3.3.1 Hệ số tuyến tính hóa tương đương 84

3.2.2 Đáp ứng của hệ tuyến tính hóa 87

3.2.3 Nghiệm chính xác cho tính toán đáp ứng 88

3.2.4 Nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ trong trường hợp đơn mode 90

3.2.5 Nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ trong trường hợp hai mode 91

3.4 Mở rộng tiêu chuẩn đối ngẫu cho bài toán dao động của dầm mang khối lượng tập trung 93

3.4.1 Phương trình dao động của dầm mang khối lượng tập trung 93

3.4.2 Tiêu chuẩn đối ngẫu 97

3.4.3 Nghiệm xấp xỉ của đáp ứng bình phương trung bình 97

Kết luận Chương 3 99

Chương 4 TÍNH TOÁN VÀ MÔ PHỎNG SỐ ĐÁNH GIÁ ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA PHƯƠNG PHÁP 101

4.1 Đặc trưng đáp ứng xấp xỉ của hệ tuyến tính hóa so với nghiệm chính xác 101

4.1.1 Hệ hai bậc tự do có độ cứng phi tuyến bậc ba 101

4.1.2 Hệ hai bậc tự do có độ cứng phi tuyến bậc năm 104

4.2 Đặc trưng đáp ứng xấp xỉ của hệ tuyến tính hóa so với nghiệm mô phỏng số Monte-Carlo 107

4.2.1 Mô phỏng các quá trình đầu vào 108

4.2.2 Giá trị ước lượng của đáp ứng 109

4.2.3 Kết quả mô phỏng cho mô hình hệ hai bậc tự do với cản và độ cứng phi tuyến 110

4.3 Nghiệm số cho bài toán dao động ngẫu nhiên của dầm 114

4.3.1 Nghiệm số trong trường hợp đơn mode 114

4.3.2 Nghiệm số trong trường hợp hai mode 117

4.3.3 Đánh giá đáp ứng bình phương trung bình của đáp ứng trong trường hợp nhiều mode 118

4.4 Đáp ứng dao động của dầm mang khối lượng tập trung 119

4.4.1 Tỉ số đáp ứng bình phương trung bình phụ thuộc độ mảnh của dầm 121

4.4.2 Ảnh hưởng của tỉ số khối lượng tập trung đến tỉ số đáp ứng bình phương trung bình 123

4.4.3 Ảnh hưởng của vị trí khối lượng tập trung đến tỉ số đáp ứng bình phương trung bình 124

4.5 Tham số điều chỉnh  của tiêu chuẩn đối ngẫu 125

Kết luận Chương 4 127

KẾT LUẬN CHUNG 130

DANH SÁCH CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN132 TÀI LIỆU THAM KHẢO 133

Tiếng Việt 133

Tiếng Anh 133

Bảng 4.3 Đáp ứng bình phương trung bình E x 12 của x 104 1

Bảng 4.4 Sai số đáp ứng bình phương trung bình E x 12 của hệ khi 1 thay đổi (2 0.05) 111

Bảng 4.5 Sai số đáp ứng bình phương trung bình E x 22 của hệ khi 1 thay đổi (2 0.05) 112

Bảng 4.6 Sai số đáp ứng bình phương trung bình E x 12 của hệ khi 1 thay đổi (2 2.0) 112

Bảng 4.7 Sai số đáp ứng bình phương trung bình E x 22 của hệ khi 1 thay đổi (2 2.0) 113

Bảng 4.8 Đáp ứng bình phương trung bình (đơn vị: m2) của w của dầm tựa giản 1

đơn trong trường hợp đơn mode với các tham số 0  , 1  , 1  0.1, A , 1

0 1

S  và các giá trị khác nhau của 1/ R (Ký hiệu: CX-Chính xác, TT-Thông

thường, NL-Năng lượng, DN-Đối ngẫu) 114

Bảng 4.9 Đáp ứng bình phương trung bình (đơn vị: m2) của w trong trường hợp 1

đơn mode với các tham số 0  , 1  0.1, A , 1 S  , 0 1 R 1/ 200 và các giá trị khác nhau của tham số nền đàn hồi  116

Bảng 4.10 Đáp ứng bình phương trung bình của w theo sự thay đổi của tham số 1

1/R trong trường hợp hai mode (0  , 1  , 1  0.1, A , 1 S  ) 118 0 1

Bảng 4.11 Tỉ số đáp ứng bình phương trung bình của biên độ mode dao động của

mốt thứ nhất so với mốt thứ hai, thứ ba, thứ tư và thứ năm trong trường hợp năm mode (M 5) sử dụng tiêu chuẩn đối ngẫu với sự thay đổi của 1/R 119

Bảng 4.12 Tỉ số đáp ứng bình phương trung bình của T theo phương pháp tuyến

tính hóa kinh điển và tuyến tính hóa sử dụng tiêu chuẩn đối ngẫu 121

Bảng 4.13 Sai số của đáp ứng bình phương trung bình của x1sử dụng tiêu chuẩn đối ngẫu với các giá trị khác nhau của tham số điều chỉnh và 1 thay đổi 126

Bảng 4.14 Sai số của đáp ứng bình phương trung bình của x2 với các giá trị khác nhau của tham số điều chỉnh và 1 thay đổi 127

DANH SÁCH HÌNH

Hình 1.1 Sơ đồ tuyến tính hóa một hệ phi tuyến 14

Hình 2.1 Sơ đồ khối tìm ma trận hệ số tuyến tính hóa 51

Hình 2.2 Một mô hình hệ hai bậc tự do với cản và độ cứng phi tuyến 69

Hình 4.1 Hàm mật độ xác suất của đáp ứng x khi 1 a 4 0.2 105

Hình 4.2 Hàm mật độ xác suất của đáp ứng x khi 1 a 4 2.0 105

Hình 4.3 Hàm mật độ xác suất của đáp ứng x khi 2 a 4 0.2 106

Hình 4.4 Đồ thị của đáp ứng bình phương trung bình E w 12 (đơn vị: m2) thay đổi theo 1/R trong trường hợp đơn mode với các phương pháp khác nhau 115

Hình 4.5 Đáp ứng bình phương trung bình E w 12 (đơn vị: m2) thay đổi theo tham số độ cứng  trong trường hợp đơn mode với các phương pháp khác nhau 116

Hình 4.6 Tỉ số giữa đáp ứng bình phương trung bình của biên độ mode thứ nhất với các mode từ hai đến năm theo sự thay đổi của 1/R 119

Hình 4.7 Tỉ số đáp ứng bình phương trung bình của ba phương pháp so với đáp ứng

bình phương trung bình của hệ tuyến tính với các giá trị khác nhau của độ mảnh /

L h (tỉ số khối lượng M0/m  ) 122 0 5

Hình 4.8 Tỉ số đáp ứng bình phương trung bình của ba phương pháp so với đáp ứng

bình phương trung bình của hệ tuyến tính với các giá trị khác nhau của tỉ số khối lượng M0/m (độ mảnh L/h=200) 123 0

Hình 4.9 Tỉ số đáp ứng bình phương trung bình của ba phương pháp so với đáp ứng

bình phương trung bình của hệ tuyến tính với các giá trị khác nhau của vị trí khối lượng tập trung d0/L (độ mảnh L/h=200, tỉ số khối lượng M0/m  ) 124 0 5

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG

e

M, M Ma trận khối lượng, ma trận khối lượng tương đương

e

C, C Ma trận cản, ma trận cản tương đương e

 Chuẩn trong không gian Euclid

y Mô men bậc hai, E w w  m n

M Số mode dao động của dầm

MỞ ĐẦU

Phương pháp tuyến tính hóa tương đương là một trong những phương pháp phổ biến và lâu đời nhất hiện nay trong tính toán xấp xỉ các hệ động lực học, nhất là các hệ ngẫu nhiên phi tuyến (Socha, 2008) Phương pháp được phát triển cho cả hệ một và nhiều bậc tự do bởi nhiều nhà nghiên cứu trong các lĩnh vực lý thuyết và ứng dụng khác nhau (Roberts và Spanos,1990) Tuy nhiên hầu hết các nghiên cứu của phương pháp tuyến tính hóa tương đương truyền thống (hay thông thường) được áp dụng cho các hệ trong trường hợp phi tuyến yếu, bởi vì trong trường hợp này, phương pháp cho dự báo về mặt đáp ứng là khá tốt, nghĩa là sai số khá nhỏ so với nghiệm chính xác hoặc nghiệm mô phỏng số Trong trường hợp hệ có tính phi tuyến mạnh, phương pháp tuyến tính hóa tương đương truyền thống tỏ ra kém hiệu quả Do đó cần thiết phải có những cải tiến mới cho phương pháp để khắc phục hạn chế trên Luận án hướng đến giải quyết vấn đề này cho một số lớp các hệ ngẫu nhiên nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên và có tính phi tuyến mạnh

Với những lý do cơ bản ở trên, tác giả luận án lựa chọn đề tài: "Tiêu chuẩn đối ngẫu trong phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên"

Mục tiêu nghiên cứu của luận án

- Tăng được độ chính xác của phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu chuẩn đối ngẫu cho hệ ngẫu nhiên phi tuyến nhiều bậc tự do

- Xây dựng công thức xác định các hệ số tương đương của phương trình tuyến tính hóa theo tiêu chuẩn đối ngẫu

- Áp dụng phương pháp cho việc khảo sát đáp ứng của một số hệ liên tục

mà phương trình của nó có thể đưa về dạng phương trình của hệ nhiều bậc tự

do

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án

Tiêu chuẩn đối ngẫu trong luận án được nghiên cứu cho các hệ nhiều bậc

tự do với tính phi tuyến mạnh và chịu kích động ngoài là ngẫu nhiên; giới hạn tính toán giải tích cho các hệ có hai bậc tự do Hàm phi tuyến trong hệ là các hàm liên tục của các đối số

Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các phương pháp lý thuyết kết hợp với mô phỏng số Các

phương pháp cụ thể sử dụng trong luận án gồm:

- Phương pháp sử dụng phương trình Fokker-Planck (tìm nghiệm chính xác cho một số hệ phi tuyến)

- Phương pháp tuyến tính hóa tương đương (tìm đáp ứng xấp xỉ của bài toán)

- Phương pháp mô phỏng Monte-Carlo (tính toán mô phỏng nghiệm trong trường hợp hệ khó tìm được nghiệm chính xác)

Kết cấu của luận án

Luận án bao gồm: Phần Mở đầu; các Chương 1, 2, 3 và 4; phần Kết

luận chung; Danh mục các công trình nghiên cứu của tác giả; và Tài liệu tham khảo

Chương 1 Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa tương đương

Chương 1 trình bày tổng quan và những khái niệm mở đầu về phương pháp tuyến tính hóa tương đương dựa trên cách tiếp cận tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình Một số khái niệm cơ bản liên quan đến quá trình đáp ứng của hệ ngẫu nhiên được trình bày khái quát như hàm đặc trưng, phân bố ngẫu nhiên Gaussian, quá trình Wiener, quá trình ồn trắng và ồn màu Để phục vụ làm cơ sở tính toán cho một số hệ phi tuyến ở các chương sau, tác giả trình bày cách tiếp cận tuyến tính hóa theo tiêu chuẩn năng lượng và cách giải phương trình Fokker-Planck trong một số tình huống đơn giản

Chương 2 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu chuẩn đối ngẫu

Trong chương này, một tiêu chuẩn đối ngẫu mới được đề xuất cho hệ nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên Tác giả thiết lập hệ đóng kín cho

hệ số tuyến tính hóa và phương pháp giải cho hệ đóng kín này Chương 2 minh họa tính toán giải tích tìm đáp ứng cho một số hệ nhiều bậc tự do dựa trên tiêu chuẩn đối ngẫu đề xuất Các hệ nhiều bậc tự do gồm: hệ có độ cứng phi tuyến bậc ba, hệ có độ cứng phi tuyến bậc năm và mô hình hệ có cả cản

và độ cứng phi tuyến

Chương 3 Phân tích đáp ứng của dầm chịu tải trọng ngẫu nhiên

Chương 3 tác giả trình bày sự mở rộng của tiêu chuẩn đối ngẫu cho bài toán dao động của hệ liên tục Hai bài toán được minh họa là dao động của dầm Euler-Bernoulli chịu tải ngẫu nhiên và một một mô hình dầm mang khối lượng tập trung chịu kích động ngẫu nhiên Các tính toán giải tích tìm đáp ứng của hệ được tiến hành nhằm tìm hệ số tuyến tính hóa của hệ tuyến tính hóa tương đương trong hai trường hợp đơn mode và hai mode

Chương 4 Tính toán và mô phỏng số đánh giá độ chính xác của phương pháp

Chương 4 trình bày các kết quả số cho các bài toán đã nêu ở Chương 2 và Chương 3 để chỉ ra độ chính xác của phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu chuẩn đối ngẫu Đánh giá độ chính xác của phương pháp thông qua so sánh kết quả thu được từ cách tiếp cận tiêu chuẩn đối ngẫu với nghiệm chính xác (nếu có) hoặc nghiệm mô phỏng số Monte-Carlo Ngoài ra, phương pháp tiêu chuẩn đối ngẫu còn được so sánh với phương pháp tuyến tính hóa thông thường hoặc so sánh với phương pháp tuyến tính hóa theo tiêu chuẩn năng lượng

Phần Kết luận chung của luận án tổng kết những đóng góp mới đã đạt được trong luận án và định hướng phát triển tiếp theo của luận án

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA

TƯƠNG ĐƯƠNG

Trong chương này, tác giả trình bày một số vấn đề tổng quan của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên; một số khái niệm cơ bản sử dụng trong phân tích hệ động lực ngẫu nhiên phi tuyến; các tính toán cơ sở trong pháp tuyến tính hóa cho hệ phi tuyến nhiều bậc tự do

1.1 Giới thiệu về phương pháp tuyến tính hóa tương đương

Tuyến tính hóa tương đương theo Caughey

Phương pháp tuyến tính hóa tương đương là một trong những phương pháp phổ biến và lâu đời nhất hiện nay trong tính toán xấp xỉ các hệ động lực học, nhất là các hệ ngẫu nhiên phi tuyến Đây là phương pháp được đề xuất gần như đồng thời bởi Booton (1954), Kazakov (1954) và Caughey (1956) trong những năm 50 của thế kỷ XX Mục đích của phương pháp là thay thế phần tử phi tuyến bởi dạng tuyến tính hóa tương ứng, trong đó hệ số tuyến tính hóa có thể được tìm từ một tiêu chuẩn xác định Phương pháp này được phát triển bởi một số tác giả người Nga vào những năm 1950, 1960 khi nghiên cứu các hệ điều khiển tự động, hệ cơ học kết cấu, các hệ động lực trong vật lý thống kê (Socha, 2008) Trong nghiên cứu của Caughey (1956), ông thay thế các hệ phi tuyến với kích động ngẫu nhiên Gaussian ồn trắng bởi một hệ tuyến tính có cùng kích động, trong đó hệ số tuyến tính hóa được tìm

từ tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình Caughey gọi cách tiếp cận này là

tuyến tính hóa tương đương Các thuật ngữ "tuyến tính hóa thống kê", tuyến tính hóa ngẫu nhiên" và "tuyến tính hóa tương đương" sau đây gọi chung là tuyến tính hóa tương đương để chỉ phương pháp tuyến tính hóa tìm các thống

kê đáp ứng của các hệ động lực ngẫu nhiên phi tuyến Sơ đồ thay thế một hệ ngẫu nhiên phi tuyến bởi một hệ tuyến tính hóa tương ứng có thể mô tả trên

Hình 1.1

Hình 1.1 Sơ đồ tuyến tính hóa một hệ phi tuyến

Lực kích động

Hệ phi tuyến ngẫu nhiên

Chiến lược tuyến tính hóa

Hệ tuyến tính hóa

Phương pháp tuyến tính hóa gồm hai bước chính:

- Bước thứ nhất dựa trên cấu trúc hệ nghiên cứu và tiêu chuẩn tuyến tính

hóa tương ứng Theo đó người ta tìm ra các công thức hệ số tuyến tính hóa dưới dạng ẩn hoặc dạng hiện, tùy thuộc vào các đặc trưng đáp ứng chưa biết (như giá trị trung bình, phương sai, mô men bậc cao)

- Bước thứ hai, người ta thay thế các đặc trưng chưa biết bởi các đặc trưng

tương ứng xác định từ hệ tuyến tính hóa Hai bước này được thực hiện trong một quy trình lặp đến khi thu được nghiệm hội tụ mong muốn

Hệ số tuyến tính hóa và các đặc trưng xấp xỉ của hệ không chỉ phụ thuộc vào phần tử phi tuyến và tham số hệ mà còn phụ thuộc vào loại kích động

(như kích động Gaussian, kích động non-Gaussian, kích động tham số) Mỗi

loại kích động có thể dẫn tới một số cách thức xử lý về mặt tính toán thích hợp trong tính toán hệ động lực ngẫu nhiên (Prandlwarter, 2001; Smyth và

Đối tượng nghiên cứu của phương pháp tuyến tính hóa

Trên Hình 1.1 ta có thể thấy rằng một hệ động lực ngẫu nhiên có thể được nghiên cứu dựa trên mô hình lực kích động, mô hình hệ phi tuyến, chiến lược tuyến tính hóa (dựa vào các tiêu chuẩn tuyến tính hóa khác nhau trên cơ sở không gian trạng thái, không gian phân bố, không gian hàm đặc trưng, entropy ) và cách thức giải một hệ tuyến tính hóa Bài toán hệ chịu kích động ngẫu nhiên được nghiên cứu lần đầu tiên bởi Einstein năm 1905 và tổng quát hóa bởi Smoluchowski năm 1916 trong quá trình nghiên cứu các chuyển động Brownian Năm 1931, Kolmogorov thiết lập được dạng toán học của phương trình hàm mật độ xác suất cho quá trình ngẫu nhiên mô tả bởi chuyển động Brownian Những đóng góp quan trọng cho nghiên cứu phương trình hàm mật độ xác suất này còn phải kể đến các tác giả như Fokker, Planck, Burger, Furth, Ornstein, Uhembeck Nghiên cứu thuần túy toán học cho bài toán này còn phải kể đến các tên tuổi như Wiener, Khintchine, Feller, Levy, Doob, Ito (xem: Wax, 1954) Những nghiên cứu mở đầu của bài toán dao động ngẫu nhiên gói gọn trong khuôn khổ tìm hiểu ảnh hưởng của ồn đến đáp ứng của hệ tuyến tính Nghiệm của hệ tuyến tính có thể thu được dễ dàng từ một kỹ thuật tính toán chuẩn trong lý thuyết xác suất thống kê Tuy nhiên đối

với bài toán phi tuyến, tình huống tìm nghiệm sẽ khó khăn hơn Công trình sớm nhất nghiên cứu dao động ngẫu nhiên phi tuyến có lẽ là của Andronov

năm 1933 Ông sử dụng phương trình Fokker-Planck để nghiên cứu chuyển động của hệ động lực chịu kích động nhiễu ngẫu nhiên Sau này các tác giả khác cũng sử dụng phương trình Fokker-Planck để nghiên cứu nhiều hệ ngẫu nhiên khác, có thể kể như Caughey và Dienes (1961), Lyon (1960a,b), Payne (1967), Wong (1964), Atkinson (1970), Ariaratnam (1960, 1962), Crandall (1962, 1964a,b), Klein (1964), Herbert (1964, 1965), Koop và đồng nghiệp (2012), Carrrillo và đồng nghiệp (2013), Kumar và đồng nghiệp (2014), Zheng và đồng nghiệp (2015)

Các tính chất thống kê bậc nhất và bậc hai thường được quan tâm vì chúng chứa những tham số quan trọng mô tả quá trình ngẫu nhiên Trong nhiều ứng dụng các tính chất thống kê bậc cao có thể đòi hỏi, chẳng hạn hàm mật độ phổ của quá trình ngẫu nhiên đòi hỏi thông tin về thống kê bậc hai của quá trình Có nhiều kỹ thuật xấp xỉ được phát triển để tìm thống kê bậc hai cho đáp ứng của hệ phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên Có thể kể các phương pháp xấp xỉ như phương pháp tuyến tính hóa tương đương (Booton,

phương pháp nhiễu (Crandall, 1963; Schuëller, 1996), phương pháp mô men

triển theo các hàm riêng (Wong, 1964; Payne, 1967; Atkinson, 1970) Trong các phương pháp kể trên, nổi bật và ứng dụng nhiều nhất có lẽ là phương pháp tuyến tính hóa tương đương Phương pháp này có tính đơn giản, có thể

áp dụng cho cả hệ một và nhiều bậc tự do trong khi đó các phương pháp còn lại chỉ áp dụng hạn chế cho hệ một bậc tự do và có các tính toán khá phức tạp (Socha, 2008)

Một số cách tiếp cận cho phương pháp tuyến tính hóa tương đương

Đề xuất các ý tưởng mới cho phương pháp tuyến tính hóa tương đương có thể kể đến các tác giả như Casciati và Faravelli (1993), Iyengar và Roy

(1996), Colajani và Elishakoff (1998) Casciati và Faravelli (1993) giải quyết bài toán tuyến tính hóa trong tính toán độ tin cậy kết cấu Hai ví dụ minh họa

là hệ Duffing và hệ trễ được nghiên cứu chi tiết Đối với hệ trễ, Casciati và Faravelli đề nghị rằng có thể thay thế phần tử trễ của hệ nhiều bậc tự do bằng

phần tử tuyến tính hóa sao cho gần nhất với hai hàm mà các tác giả đã định sẵn Colajani và Elishakoff (1998) đưa ra cái nhìn mới về phương pháp tuyến tính hóa tương đương ứng dụng cho các hệ phi tuyến mà lực đàn hồi có dạng hàm hyperbolic tangent Hai tác giả chỉ ra một số chỉnh sửa nhằm khắc phục hạn chế trong tính toán cực tiểu hóa sai số giữa lực đàn hồi của hệ phi tuyến gốc và hệ tuyến tính hóa, hoặc cực tiểu hóa sai số giữa thế năng của lực đàn hồi phi tuyến và thế năng của hệ tuyến tính hóa

Một cách tiếp cận khác cho phương pháp tuyến tính hóa dựa trên "tuyến

tính hóa phi tham số" (TTHPTS) được nghiên cứu bởi một số tác giả

tham số cho nghiên cứu các dao động ngẫu nhiên phi tuyến Trong phương

pháp này, hệ tuyến tính hóa được xác định bằng cách cho các điểm thiết kế

của hệ tuyến tính "bám sát" các điểm thiết kế của hệ phi tuyến trong không

gian các biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn thu được từ việc rời rạc hóa kích động ngẫu nhiên Theo cách tuyến tính hóa này thì mật độ xác suất của hệ tuyến tính hóa sẽ bằng với xấp xỉ bậc nhất của mật độ xác suất của hệ phi tuyến Phát triển tiếp theo của phương pháp được nghiên cứu bởi Luca và

miền tần số và áp dụng cho bài toán về kết cấu chịu tác dụng của sóng biển

toán kết cấu không gian với kích động ngẫu nhiên theo hai hướng tác dụng khác nhau Reza và Mohsen đã chỉ ra rằng kết quả thu được của đáp ứng rất phù hợp với kết quả thu được từ phương pháp mô phỏng Monte-Carlo Phương pháp TTHPTS được mở rộng cho bài toán hệ phi tuyến chịu nhiều kích động ngẫu nhiên bởi các tác giả Broccardo và Armen (2015) Nghiên cứu chỉ ra phương pháp có thể thu được phân bố non-Gaussian của đáp ứng với độ chính xác cao

Một số bài báo mới đây (Anh và Di Paola, 1995; Elishakoff và động

nhiên, phương pháp tuyến tính hóa tương đương điều chỉnh đã làm giảm đáng

kể sai số của đáp ứng của hệ so với phương pháp tuyến tính hóa kinh điển khi tham số phi tuyến của hệ tăng Phương pháp này, ban đầu được đề nghị điều chỉnh “một bước” bởi các tác giả Nguyễn Đông Anh và Di Paola (Anh và Di

Paola, 1995), sau đó là điều chỉnh “hai bước” bởi Elishakoff, Andrimasy và Dolley (Elishakoff và đồng nghiệp, 2009)

Phương pháp tuyến tính hóa cho hệ một bậc tự do được tổng quát hóa cho

hệ nhiều bậc tự do có thể kể như Foster (1968), Iwan và Yang (1972), sau đó

là Atalik và Utku (1976) và nhiều tác giả khác Bruckner và Lin (1987) đặt những bước tiếp theo cho sự phát triển của phương pháp tuyến tính hóa tương đương bằng nghiên cứu hệ nhiều bậc tự do chịu cả kích động tham số và kích động ngoài ngẫu nhiên Các tác giả sử dụng một số kỹ thuật xấp xỉ và thu được hệ đóng phương trình vi phân của mô men đáp ứng Iyengar và Roy

(1996) phát triển phương pháp tuyến tính tương đương trong nghiên cứu các

hệ nhiều bậc tự do chịu kích động ồn ngẫu nhiên dải hẹp Các tác giả thu được một phương trình tích phân cho hàm mật độ xác suất và giải bằng một phương pháp lặp Thực chất đây là một mở rộng của tuyến tính hóa dựa trên xác suất đã được đề xuất trước đây bởi Iyengar (1992) Cantor và đồng nghiệp

(2014) đã đề xuất một cách tiếp cận phổ của phương pháp tuyến tính hóa tương đương dựa trên phương pháp khai triển tiệm cận cho phân tích đáp ứng

hệ nhiều bậc tự do, sau đó minh họa cho bài toán kết cấu xây dựng nhiều tầng chịu kích động động đất Wang và Armen (2016) sử dụng phương pháp tuyến

tính hóa phi tham số cho mô hình hệ nhiều bậc tự do với chuyển động nền

ngẫu nhiên Một phân tích dao động ngẫu nhiên của hệ nhiều bậc tự do được đóng góp bởi Wang và Song (2016) sử dụng mô hình phân bố hỗn hợp Gaussian Tham số của mô hình hỗn hợp được ước lượng bằng một thuật toán tối ưu mà các tác giả đề nghị

Một hướng nữa cho tiếp cận phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ một bậc tự do phi tuyến là dựa vào một tiêu chuẩn được đề nghị mới đây với tên gọi “tiêu chuẩn đối ngẫu” (Anh, 2010; Anh và đồng nghiệp,

thay thế bằng một hệ tuyến tính hóa, sau đó hệ tuyến tính hóa này lại được thay thế bằng một hệ phi tuyến khác cùng lớp với hệ phi tuyến ban đầu Sự thay thế trở lại này có ý nghĩa làm “cân bằng” sự thay thế “ban đầu” của phương pháp tuyến tính hóa Tiêu chuẩn được ứng dụng khảo sát một số hệ phi tuyến một bậc tự do Kết quả chỉ ra rằng, trong các hệ phi tuyến đó, sai số của đáp ứng bình phương trung bình giảm đáng kể so với phương pháp tuyến tính hóa tương đương kinh điển khi tính phi tuyến của hệ tăng Hướng tiếp

cận theo tiêu chuẩn đối ngẫu cho hệ nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên sẽ được trình bày trong luận án này

Ứng dụng của phương pháp tuyến tính hóa

Trong giải quyết các bài toán đàn hồi, có thể kể một số áp dụng của phương pháp tuyến tính hóa tương đương như bài toán dao động của khung, dầm (Pradlwarter và Li, 1991; Lock, 1994; Chen và đồng nghiệp, 1996); bài toán dao động ngẫu nhiên của tấm và vỏ (Chen và Yang, 1993; Sun và đồng

tạp chịu kích động ngẫu nhiên như kích động động đất (Schueller và đồng

dưới tác động của kích động gây ra bởi nền đường (Zhang và Knothe, 1996) Một khía cạnh ứng dụng của phương pháp tuyến tính hóa tương đương là

cho các hệ phi tuyến với đặc tính trễ (hysteretic), chẳng hạn mô hình

Bouc-Wen Hurtado và Barbat (2000) nghiên cứu mô hình Bouc-Wen từ quan điểm

hệ ngẫu nhiên Trong mô hình gồm một phương trình vi phân tuyến tính cấp hai và một phương trình vi phân cấp một phi tuyến Tác giả đã tuyến tính hóa phương trình thứ hai và có các đánh giá chi tiết về độ chính xác của đáp ứng thu được của hệ Hệ trễ chịu kích động động đất với quá trình dải hẹp được nghiên cứu bởi Silva và Ruiz (2000) sử dụng phương pháp tuyến tính hóa

tương đương Mới đây, một phương pháp gọi là tuyến tính hóa tương đương

bậc ba được đề xuất bởi Spanos và Agathoklis (2013) nghiên cứu các hệ trễ với kích động động đất Các tác giả đã phân tích phổ đáp ứng và chỉ ra tính hiệu quả cao của phương pháp đề xuất Gần đây nhất, nghiên cứu chi tiết về các tương tác giữa lực dọc trục và mô men uốn xuất hiện trong hệ khung không gian bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương được thực hiện

giá độ chính xác của kết quả thu được với kết quả mô phỏng Monte-Carlo Trong lĩnh vực cách ly chống động đất cho kết cấu xây dựng, phương pháp tuyến tính hóa tương đương cũng được áp dụng khá hiệu quả Ta có thể

kể các nghiên cứu của Günay và Sucuoğlu (2009) trong dự báo đáp ứng kết cấu khi chịu tác dụng của động đất; Jara và đồng nghiệp (2012) đề xuất một

phương pháp cải tiến cho phương pháp tuyến tính hóa tương đương để nghiên cứu kết cấu cầu với hỗ trợ của các thiết bị cách ly dao động; Liu và đồng

thiết bị giảm chấn

Sự xuất hiện đáng kể của các bài báo về phương pháp tuyến tính hóa tương đương có thể thấy rõ trong các khảo sát của Spanos (1981), Roberts

triển của phương pháp tuyến tính hóa cùng với những ứng dụng của nó trong vấn đề giải quyết các bài toán đặt ra trong thực tế (Socha, 2008)

Một số nghiên cứu ở Việt Nam

Cùng với tình hình nghiên cứu về phương pháp tuyến tính hóa tương đương trên thế giới như được trình bày ở trên, ở trong nước, một số nghiên cứu về phương pháp này cũng được triển khai Có thể kể đến hướng nghiên cứu của Nguyễn Đông Anh (Anh và Schiehlen, 1999; Anh, 2010; Anh và

giả khác như Đặng Văn Hiếu (2010), Nguyễn Như Hiếu (2011), Nguyễn

phương pháp này đang được chú ý do tiềm năng ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật khác nhau Ngoài việc công bố các kết quả trên các tạp chí chuyên ngành, thì phương pháp tuyến tính hóa tương đương cũng bước đầu được áp dụng trong công nghệ giảm dao động (Nguyễn Đông Anh và Lã Đức

vụ thực tiễn Việt Nam

1.2 Một số khái niệm cơ bản

1.2.1 Khái niệm về hàm đặc trưng

Cho g x là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên   X ,  R là một

số thực Khi đó hàm   được xác định bởi (Socha, 2008)

Trong trường hợp n chiều, hàm đặc trưng của véc tơ ngẫu nhiên

Hàm đặc trưng 1, ,n còn có thể được viết dưới dạng véc tơ như sau:

1.2.2 Phân bố ngẫu nhiên Gaussian

Véc tơ ngẫu nhiên X được gọi là có phân bố Gaussian n chiều nếu hàm

có dạng sau đây:

x x

 lần lượt là giá trị trung bình và phương sai của X

1.2.3 Quá trình ngẫu nhiên

Quá trình ngẫu nhiên là một khái niệm tổng quát hóa của biến ngẫu nhiên

Đối với biến ngẫu nhiên, mỗi sự kiện được gán bởi một số thực có giá trị ngẫu nhiên Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, cách gán này không đủ để mô

tả một quá trình thực (như vật lý, sinh học, kinh tế ) bởi vì các quá trình này biến đổi theo thời gian Tức là các quá trình thực có thể coi như các hàm ngẫu nhiên thay đổi theo thời gian Từ đó dẫn đến định nghĩa về quá trình ngẫu nhiên

   được gọi là quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục t

- Trong trường hợp tham số t thuộc vào các số tự nhiên N0,1, 2,  thì họ

x R , t R được gọi là quá trình 

ngẫu nhiên Gaussian (hay quá trình chuẩn) nếu với số tự nhiên r bất kỳ và

tập con t t1, 2, ,t tùy ý thì các véc tơ ngẫu nhiên r x   t1 ,x t2 , ,x t r có hàm phân bố Gaussian, nghĩa là hàm đặc trưng của chúng có dạng:

đó hàm mật độ xác suất của các véc tơ ngẫu nhiên x   t1 ,x t2 , , x t r có dạng:

ma trận khối cỡ n2n2

b Một số tính chất cơ bản của quá trình ngẫu nhiên Gaussian

Tính chất 1: Một quá trình ngẫu nhiên Gaussian được xác định hoàn toàn nếu biết giá trị trung bình m t và hàm tương quan x  R t t x 1, 2

Tính chất 2: Điều kiện cần để một thể hiện của quá trình Gaussian có tính chất liên tục là hàm giá trị trung bình và hàm tương quan của nó đều liên tục

Tính chất 3: Tất cả các biến đổi tuyến tính của quá trình Gaussian đều cho ra kết quả là một quá trình Gaussian

Tính chất 4: Nếu x t  là một quá trình ngẫu nhiên Gaussian có trung bình bằng không thì:

- Tất cả các mô men bậc lẻ của nó cũng cũng bằng không, nghĩa là:

   1 2  2n 1 0

E x t x t x t   (n 1, 2, ) (1.2.10)

- Tất cả các mô men bậc bậc chẵn của nó thỏa mãn công thức:

2 2

Một véc tơ quá trình ngẫu nhiên n chiều ξ t ( t R ) được gọi là quá 

trình Markov nếu với r  N , các giá trị tham số t  R (s1, ,r) tùy ý sao

cho t0 t1  và với các véc tơ giá trị thực bất kỳ t r x1, ,xrR , ta luôn

có:

 r r | r 1 r 1, , 1 1   r r |  r 1 r 1

P ξ t x ξ t x  ξ t x P ξ t x ξ t x  (1.2.17) nghĩa là phân bố có điều kiện của ξ t r với các giá trị cho trước ξ t0 , ξ t1 , , ξt r1 chỉ phụ thuộc vào quá trình ngẫu nhiên gần nhất ξt r1 và không phụ thuộc vào ξ t0 , ξ t1 , , ξt r2

1.2.6 Quá trình Wiener

Một trường hợp riêng của quá trình Markov là quá trình Wiener Người ta đưa ra định nghĩa quá trình Wiener như sau:

Định nghĩa

- Một quá trình ngẫu nhiên  t ( t R ) được gọi là quá trình với gia số độc 

lập nếu với t s R tùy ý,  t0t1  thì các biến ngẫu nhiên t r  t0 ,

 t1  t0

  , ,  t r t r1 là độc lập

- Quá trình ngẫu nhiên  t ( t R ) với số gia độc lập được gọi là quá trình 

ngẫu nhiên số gia dừng nếu các số gia  t1  t0 , ,  t r t r1 tương ứng chỉ phụ thuộc vào hiệu các thời gian t1t0, ,t r t r1

- Một quá trình ngẫu nhiên  t ( t R ) được gọi là quá trình Wiener hoặc 

chuyển động Brownian nếu:

(i) P 0 0 1(ii)  t là một quá trình với số gia độc lập (iii) Số gia  t  s có phân bố Gaussian sao cho:

(iv) Các thể hiện của quá trình  t là liên tục

Trong trường hợp 2  , quá trình 1  t thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là quá trình Wiener chuẩn

1.2.7 Ồn trắng và ồn màu

Gọi D T là không gian hàm thử, nghĩa là các hàm khả vi vô hạn lần  

1

: T

  R và đồng thời triệt tiêu bên ngoài một khoảng đóng hữu hạn nào

đó D T  là một không gian véc tơ topo Gọi H là một không gian Hilbert của các biến ngẫu nhiên tương đương P xác định trên  , , P có mô men hữu hạn

Ưu điểm của quá trình ngẫu nhiên tổng quát hóa là sự tồn tại đạo hàm của

nó, đồng thời đạo hàm này cũng là một quá trình ngẫu nhiên tổng quát hóa

Định nghĩa

Đạo hàm  theo thời gian t của quá trình ngẫu nhiên tổng quát hóa 

trên D T  được xác định như sau:

Đẳng thức (1.2.21) có thể được ký hiệu dưới dạng hình thức sau:

   

d t  t dt (1.2.22)

Ta có các tính chất sau cho quá trình ngẫu nhiên ồn trắng

- Trung bình bằng không:

t R  d R  d (1.2.27) Nếu thời gian quan sát t ob0,T thỏa mãn bất đẳng thức t c t ob thì thời gian tương quan có thể bỏ qua và quá trình x t  có thể được xử lý như là

một xấp xỉ ồn trắng, các trường hợp còn lại là ồn màu

Một xấp xỉ khác của ồn trắng có thể được xử lý như là quá trình dải rộng với hàm mật độ phổ năng lượng xác định bởi

1.2.8 Khái niệm về hệ phi tuyến yếu và phi tuyến mạnh

Để đơn giản, ta trình bày sự phân loại tính phi tuyến mạnh hay yếu của một hệ cho trường hợp hệ cơ học một bậc tự do Ta xét một hệ có phương trình chuyển động được biểu diễn như sau:

(1.2.29) so với hệ tuyến tính Trong nhiều trường hợp, khi tham số này đủ nhỏ, người ta có thể bỏ qua các số hạng từ bậc 1 trở đi Ta nêu một số khái niệm sau cho hệ phi tuyến yếu và mạnh (xem: Babitsky và Krupenin, 2001):

- Hệ phi tuyến yếu: Với một giá trị  nhỏ cho trước, hệ (1.2.29) được gọi là

hệ phi tuyến yếu

- Hệ thực sự phi tuyến: Nếu trong phương trình chuyển động của hệ có ít nhất

một số hạng phi tuyến không thể biểu diễn được theo tham số bé  thì hệ đó được gọi là hệ thực sự phi tuyến

Ví dụ hệ thực sự phi tuyến: Hệ (1.2.29) có thêm thành phần lực đàn hồi phi tuyến  x như sau:

- Hệ phi tuyến mạnh: Nếu trong phương trình chuyển động của hệ thực sự phi

tuyến có ít nhất một số hạng phi tuyến biểu diễn được thông qua một tham số lớn  O

 với  thì hệ được gọi là phi tuyến mạnh 0

Để hình dung, ta xét một phương trình Duffing chịu kích động ngoài ngẫu nhiên ồn trắng  t :

 1

O

 thì hệ (1.2.31) được xem là phi tuyến mạnh

Các đặc tính phi tuyến yếu và mạnh ở trên sau này ta cũng áp dụng trong trường hợp hệ nhiều bậc tự do của luận án

1.3 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương thông thường

Ý tưởng chính của phương pháp là thay thế hệ phi tuyến bằng một hệ tuyến tính hóa nhưng vẫn giữ nguyên kích động đầu vào, kích động này được giả sử là quá trình ngẫu nhiên ồn trắng có trung bình bằng không Các hệ số của hệ tuyến tính hóa được tìm từ một tiêu chuẩn xác định Tiêu chuẩn được

sử dụng nhiều nhất là tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình Sau đây ta đề

cập đến phương pháp tuyến tính hóa thông thường nghĩa là phương pháp

tuyến tính hóa có sử dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình Tiêu chuẩn này phát biểu rằng bình phương trung bình của sai số giữa hàm phi tuyến của hệ phi tuyến gốc và hàm tuyến tính của hệ tuyến tính hóa tương đương là được cực tiểu hóa theo các hệ số tuyến tính hóa tương đương

1.3.1 Phương trình chuyển động của hệ phi tuyến

Trước tiên ta xét phương trình chuyển động của một hệ phi tuyến dạng tổng quát chịu kích động ngẫu nhiên Q t như sau:

thuộc cả vào đáp ứng gia tốc x  , vận tốc x và chuyển dịch x ;

Trong nhiều lớp bài toán véc tơ hàm phi tuyến Φ có thể chỉ phụ thuộc vào tọa độ vị trí hoặc vận tốc, hoặc cả hai Biểu thức của hàm Φ cũng khá đa

dạng tùy thuộc vào lĩnh vực nghiên cứu cụ thể Trong trường số bậc tự do nhỏ (một, hai, hoặc ba bậc tự do) người ta khá quan tâm đến nghiệm giải tích của

hệ (1.3.1) Các nghiệm giải tích này có thể tìm được bằng các phương pháp xấp xỉ, chẳng hạn như phương pháp nhiễu (Crandal, 1963), phương pháp trung bình ngẫu nhiên (Spanos, 1992) Khi số bậc tự do khá lớn thì việc tìm nghiệm giải tích là khó khả thi, thậm chí nếu tìm được thì nó khá cồng kềnh

và phức tạp Do đó phương pháp tuyến tính hóa tương đương là một lựa chọn thích hợp để giải quyết các hệ phi tuyến nhiều bậc tự do (Roberts và Spanos,

1990)

Trường hợp hay gặp nhất của phương trình (1.3.1) là hệ mà các ma trận khối lượng, ma trận cản và ma trận độ cứng đều là hằng số Các ma trận này thông thường là các ma trận đối xứng Trong trường hợp tổng quát người ta

có thể nghiên cứu các hệ mà ở đó các ma trận hệ số này là các hàm phụ thuộc

thời gian, thậm chí chúng còn phụ thuộc vào đáp ứng chuyển dịch hoặc vận tốc của hệ Những hệ như thế nói chung khó tìm được nghiệm giải tích chính xác, người ta có thể sử dụng các chiến lược tính toán mô phỏng số Tuy nhiên trong hệ động lực ngẫu nhiên, mô phỏng số vẫn là một vấn đề khó khăn về mặt nội tại, trong đó có vấn đề về thời gian mô phỏng là khá lớn mặc dù công nghệ máy tính đã rất phát triển hiện nay Giải pháp tính toán giải tích xấp xỉ vẫn là một giải pháp được ưu tiên hơn cả vì nó tiết kiệm chi phí mà vẫn diễn đạt gần đúng ứng xử của hệ phi tuyến ban đầu Vấn đề giải số hệ phi tuyến ngẫu nhiên sẽ được đề cập sau này trong phần tính toán số cho các hệ phi tuyến cụ thể

1.3.2 Hệ tuyến tính hóa tương đương

Ta thấy rằng véc tơ hàm phi tuyến Φ x, x x   phụ thuộc vào ba đối số , 

chuyển dịch, vận tốc và gia tốc, do đó hệ tuyến tính hóa tương đương của hệ (1.3.1) là hệ thu được từ việc xấp xỉ véc tơ hàm phi tuyến Φ x, x x   bằng , 

một tổ hợp của các véc tơ x t , x t , x t , tức là ta có hệ tuyến tính hóa dạng tổng quát như sau:

M + M eqC + C q eK + K eqQ t , (1.3.2) trong đó M , C , K e e e lần lượt là các ma trận khối lượng, ma trận cản và ma trận độ cứng tương đương thu được phụ thuộc vào việc sử dụng các tiêu chuẩn tối ưu khác nhau (Roberts và Spanos, 1990) Kích động ngoài Q t

của hệ phi tuyến vẫn được giữ cho hệ tuyến tính hóa Trong phương trình (1.3.2) ta sử dụng ký hiệu q t để chỉ ra rằng đây chỉ là một nghiệm xấp xỉ của x t trong phương trình phi tuyến gốc (1.3.1) Phương pháp tuyến tính

hóa tương đương thông thường sẽ sử dụng tiêu chuẩn sai số bình phương

trung bình để tìm các hệ tuyến tính hóa ở trên

1.3.3 Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình

Ta luôn mong muốn rằng sai số giữa nghiệm q t của hệ tuyến tính hóa phải gần nhất so với nghiệm chính xác x t của phương trình phi tuyến ban đầu Tuy nhiên sử dụng một tiêu chuẩn sai số bình phương tối thiểu cho hiệu

e trong không gian n chiều Chuẩn Euclid được xác định bởi:

1,

n r r

e



 T 

trong đó e ( r r1, 2, ,n) là các thành phần của véc tơ sai số e Tiêu chuẩn

sai số bình phương trung bình đòi hỏi cực tiểu hóa của trung bình bình

phương sai số e theo các giá trị ma trận hệ số M , C , K e e e, nghĩa là

e e e

M , C , K :

  ,

Ezz T  M e C e K eT EzΦ T z  (1.3.6)trong đó

tính hóa có đầu vào Q t là một quá trình Gaussian (Socha, 2008) Ta sẽ dùng định lý sau đây để đơn giản hóa phương trình (1.3.6)

Định lý (Atalik và Utku, 1976)

Cho hàm vô hướng  y y1, y2, ,y n  đủ trơn có đạo hàm bậc nhất

đối với biến y thỏa mãn tính chất

2exp

n a i i

zz không suy biến ta thu được kết quả sau:

M e C e K eT EΦ T z  (1.3.11) Phương trình (1.3.11) chỉ ra rằng các ma trận hệ số tương đương của hệ tuyến tính hóa bây giờ được xác định thông qua kỳ vọng của gradient của hàm phi tuyến gốc Ta có thể viết cụ thể các biểu thức của (1.3.11) như sau:

phải đủ trơn và có đạo hàm bậc nhất đối với biến z

Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cũng là một phương pháp để tìm hàm mật độ xác suất xấp xỉ của hệ phi tuyến ban đầu Đối với hệ tuyến tính hóa (1.3.2), các biểu thức mô men xuất hiện trong phương trình (1.3.12)

được tính theo hàm mật độ xác suất dừng của đáp ứng Lẽ dĩ nhiên q, q, q  là các quá trình ngẫu nhiên Gaussian dừng độc lập, và do đó hàm mật độ xác suất dừng của chúng là

1 1/ 2

mô men bậc hai của đáp ứng Các mô men bậc cao hoàn toàn biểu diễn được thông qua các mô men bậc nhất và bậc hai Một điểm đáng chú ý là vì giả thiết đầu vào của hệ tuyến tính hóa là Gaussian có trung bình bằng không, nên đầu ra cũng là quá trình ngẫu nhiên Gaussian có trung bình không Do đó đại lượng quan tâm còn lại chỉ là các mô men bậc hai Từ đó tính được độ lệch tiêu chuẩn tương ứng

Biểu thức (1.3.13) có thể coi là một xấp xỉ nào đó của hàm mật độ xác suất dừng của hệ phi tuyến (1.3.1) trong trường hợp giả sử một hàm mật độ xác suất như vậy tồn tại Điều này cũng gợi ý cho ta một cách tiếp cận khác

để tính toán đáp ứng của hệ phi tuyến thông qua hàm mật độ xác suất với việc

giải phương trình Fokker-Planck tương ứng Tuy nhiên giải phương trình Fokker-Planck để tìm nghiệm giải tích là một việc rất khó đối với hầu hết các

hệ phi tuyến, chỉ trừ một số trường hợp đặc biệt mà người ta đã biết

Một cách tiếp cận khác để tìm ma trận hệ số tuyến tính hóa tương đương

là dựa trên khái niệm năng lượng Người ta sử dụng hàm thế năng cho một số

hệ đặc biệt và đưa ra tiêu chuẩn năng lượng cho phương pháp tuyến tính hóa

tương đương Dưới đây ta sẽ trình bày những nét cơ bản nhất của tiêu chuẩn dựa trên năng lượng

1.4 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu chuẩn năng lượng

1.4.1 Cách tiếp cận theo khái niệm năng lượng

Năng lượng là một khái niệm gắn liền với đặc tính vật lý của hệ khi chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác Năng lượng của hệ có thể dự trữ trong một thành phần hệ nào đó và có thể khai thác phục vụ mục đích nhất định Trong các hệ cơ học, năng lượng xuất hiện dưới ba dạng quen biết là động năng, thế năng, và năng lượng hao tán Động năng phụ thuộc vào khối lượng và vận tốc chuyển động của hệ Một hệ chuyển động với vận tốc lớn sẽ

có một động năng lớn tương ứng Thế năng là công thực hiện để đưa một vật

từ vị trí cân bằng đến vị trí đang xét Năng lượng hao tán thường xuất hiện trong các hệ cơ học có cản Năng lượng hao tán trong thực tế có thể là nhân tố

có ích hoặc không có ích tùy vào mục đích sử dụng

Một lớp các hệ động lực ngẫu nhiên phi tuyến đã được khảo sát dựa trên khái niệm năng lượng khi tính toán đáp ứng của hệ sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương Điển hình trong những phát triển đó là tiêu chuẩn năng lượng được đưa ra bởi Zhang và đồng nghiệp (1990) Ý tưởng của phương pháp năng lượng là thay vì ta sử dụng sai số giữa các đáp ứng của hệ như phương pháp tuyến tính hóa thông thường thì ta sử dụng sai số giữa năng lượng của hệ gốc và năng lượng của hệ tuyến tính hóa Sau đó áp dụng tiêu chuẩn bình phương trung bình (hoặc một tiêu chuẩn thích hợp) cho sai số này Năng lượng được đề cập ở đây là năng lượng của đáp ứng vị trí Vì thế ta hạn chế áp dụng tiêu chuẩn này cho một lớp các hệ mà hàm phi tuyến chỉ phụ

thuộc vào đáp ứng vị trí (hàm phi tuyến không phụ thuộc vào đáp ứng vận tốc

hay gia tốc) (Zhang và đồng nghiệp, 1990) Tuy nhiên đối với những hệ mà hàm phi tuyến phụ thuộc vào đáp ứng vận tốc, tiêu chuẩn năng lượng được tiếp cận dựa trên khái niệm hàm hao tán năng lượng (Elishakoff và Colombi,

1993) Một số quan điểm khác về tiêu chuẩn năng lượng cũng được đề xuất

và giải quyết một số bài toán cụ thể, chẳng hạn như tiêu chuẩn về đẳng thức năng lượng nghiên cứu bởi Elishakoff và Zhang (1992)

1.4.2 Tiêu chuẩn bình phương trung bình cho thế năng hệ

Để đơn giản cho việc trình bày, ta xét hệ một bậc tự do có thế năng V x  

của đáp ứng vị trí x Tiêu chuẩn bình phương trung bình cho thế năng của hệ

phát biểu rằng sai số giữa thế năng của hệ phi tuyến ban đầu và thế năng của

hệ tuyến tính hóa được cực tiểu hóa theo hệ số độ cứng tương đương theo nghĩa bình phương trung bình

trong đó k là hệ số tuyến tính hóa Chú ý rằng, thế năng e V x  trong (1.4.1)

là thế năng đàn hồi của lò xo Nếu lực đàn hồi phi tuyến là hàm bậc ba của đáp ứng thì biểu thức thế năng V x là một đa thức bậc bốn Đối với hệ  

nhiều bậc tự do, ta gọi V là thế năng của hệ tuyến tính hóa, khi đó tiêu chuẩn e

K là ma trận độ cứng tương đương của hệ

tuyến tính hóa Kết quả của hai tiêu chuẩn (1.4.1) và (1.4.2) khi khảo sát một

số hệ phi tuyến sở hữu thế năng có thể được tìm thấy trong công bố của

lượng, Elishakoff và Colombi (1993) đưa ra tiêu chuẩn tuyến tính hóa dựa trên ý tưởng của (1.4.1)

1.4.3 Tiêu chuẩn năng lượng dựa trên hàm hao tán năng lượng

Tiêu chuẩn dựa trên hàm hao tán năng lượng áp dụng cho hệ một bậc tự

do có dạng sau đây:

trong đó c là hệ số cản tương đương ứng với hàm trọng e s s x của đáp ứng  

vận tốc Dạng của hàm trọng s x  thường được chọn từ thực nghiệm thông qua mô phỏng Monte-Carlo (Roberts và Spanos, 1990), tùy thuộc vào hệ phi tuyến đã cho Tổng quát hóa của (1.4.3) cho hệ nhiều bậc tự do như sau

W x là hàm hao tán của hệ tuyến tính hóa, s

e

C là hệ số tuyến tính hóa ứng với hàm trọng s x 

Tiêu chuẩn năng lượng được đánh giá là một tiêu chuẩn hiệu quả khi nghiên cứu đáp ứng của các hệ mà hàm phi tuyến phụ thuộc chỉ vào đáp ứng

vị trí hoặc vận tốc Tuy nhiên việc đề xuất tiêu chuẩn năng lượng không có nghĩa là nó đều cho kết quả mong muốn đối với tất cả các hệ như vậy Người

ta cần nhiều khảo sát nhiều hệ phi tuyến hơn để khẳng định tính khả thi và ưu việt của nó (Falsone và Elishakoff,1994)

Phương pháp tuyến tính hóa tương đương dựa trên các tiêu chuẩn khác nhau sẽ cho các nghiệm xấp xỉ khác nhau của hệ phi tuyến Để đánh giá độ chính xác của nghiệm thu được, người ta cần biết nghiệm chính xác của hệ phi tuyến nếu nghiệm chính xác đó là tìm được Trong trường hợp khó tìm nghiệm chính xác, người ta đưa ra một giải pháp thay thế là sử dụng các phương pháp mô phỏng số cho hệ phi tuyến Việc tìm nghiệm chính xác chỉ được thực hiện thành công cho rất ít các trường hợp Tuy nhiên nó khá hữu ích cho việc hiểu sâu hơn về những ứng xử của hệ phi tuyến Trong trình bày tiếp theo ta nêu một số ngắn gọn cho cách tiếp cận nghiệm chính xác dựa trên phương trình Fokker-Planck tương ứng của hệ phi tuyến

1.5 Phương pháp phương trình Fokker-Planck tìm nghiệm chính xác

Đặc trưng đáp ứng hệ động lực ngẫu nhiên được xem xét thông qua các đại lượng xác suất và thống kê Ứng xử ngẫu nhiên của hệ có thể xuất phát từ các kích động ngoài, các tham số ngẫu nhiên, hoặc các đặc trưng ngẫu nhiên

hình học của hệ Phương trình Fokker-Planck (FP) được thiết lập cho các bài toán ngẫu nhiên đó, nhằm thay vì giải một hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên, người ta đưa về giải một phương trình phi phân tất định với điều kiện đầu và điều kiện biên phù hợp Phương trình FP thuộc lớp các phương trình Parabolic có hệ số thay đổi Các lý thuyết về phương trình vi phân đạo hàm riêng phát triển khá mạnh mẽ Về khía cạnh ứng dụng, người ta đòi hỏi các nghiệm cụ thể (nếu có thể tìm được chúng) để tính ra các đặc trưng đáp ứng của hệ Các phương pháp nghiệm giải tích phục vụ mục đích này vẫn là một bài toán khó đối với đa số các phương trình FP sử dụng trong khoa học và kỹ thuật Chỉ rất ít các hệ người ta tìm được nghiệm chính xác (Caughey, 1963),

và thậm chí các nghiệm tìm được chỉ được xét trong trường hợp nghiệm dừng Đối với các hệ nhiều bậc tự do, phương trình FP khá phức tạp và giải chúng rất khó Ngay cả giải số cho phương trình này cũng đòi hỏi một khối lượng tính toán lớn và gặp nhiều khó khăn về mặt nội tại (Spencer và Bergman, 1993) Về phương pháp giải tích, người ta có thể sử dụng nhiều cách tiếp cận khác nhau cho phương trình FP Một trong những cách tiếp cận

là sử dụng khái niệm dòng xác suất và thế năng dừng (Stratonovich, 1963) Cách tiếp cận này áp dụng được cả cho hệ một và nhiều bậc tự do Tuy nhiên với hệ nhiều bậc tự do cách tiếp cận dòng xác suất cần được sử dụng linh hoạt Cai và Lin (1988) đã đưa vào một điều chỉnh nhỏ bằng việc chia số hạng chuyển dịch và số hạng khuếch tán thành hai phần trong đó có một phần là đối xứng, phần còn lại là phản đối xứng Từ đó dẫn tới một phương pháp mới

là phương pháp hàm thế năng dừng tổng quát hóa

Sau đây, ta xét phương trình vi phân chuyển động dạng Itô trong trường hợp nhiều chiều như sau:

 ,   ,   ,

dxF t x dtσ t x dQ t (1.5.1) trong đó xx1 x2 x nT là véc tơ trạng thái, Ft,x là véc tơ hàm phi 

với S là các hằng số dương Phương trình Fokker – Plack tương ứng với ij

trong đó f  f t , , ,x t0 x0 là hàm mật độ xác suất phụ thuộc vào ,t x và điều

kiện đầu x0 x t0 Ở đây ta ký hiệu

là các phần tử của ma trận khuếch tán Bt,x Chú ý rằng trong nghiên cứu