TÓM TẮT LUẬN VĂN CAO HỌC: MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC

Thế nhưng vẻ đẹp trong Toán học lại thật kì lạ và thú vị, nó đòi hỏi một tâm hồn phong phú, tri thức nhưng lãng mạn.” Trong cái vẻ đẹp xuyên qua lịch sử của bất đẳng thức thì không thể k

Trần Quang Hùng

TÓM TẮT LUẬN VĂN CAO HỌC MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC

Hà Nội - 2011

Lịch sử bất đẳng thức bắt nguồn từ rất lâu và vẫn xuyên suốt, thăng hoa qua thời

gian cho tới tận ngày nay Như Richard Bellman đã từng nói: “ Có ít nhất ba lý do

giải thích tại sao chúng ta luôn quan tâm tới bất đẳng thức Đó chính là thực hành, lý thuyết, và quan trọng nhất là thẩm mỹ – vẻ đẹp tồn tại trong con mắt của những người quan tâm tới bất đẳng thức; Mọi người thường dễ dàng cảm nhận được vẻ đẹp trong những bản nhạc, hay những lời thơ Thế nhưng vẻ đẹp trong Toán học lại thật kì lạ và thú vị, nó đòi hỏi một tâm hồn phong phú, tri thức nhưng lãng mạn.”

Trong cái vẻ đẹp xuyên qua lịch sử của bất đẳng thức thì không thể không nhắc tới

bộ phận chính làm nên vẻ đẹp đó, chính là các bất đẳng thức hình học Bất đẳng thức

mà tính đại số, hình học mang tính tư duy trực quan, một sự kết hợp của cả đại số và hình học được nảy sinh trong từng bài bất đẳng thức hình

Bất đẳng thức hình học là phần quan trọng trong hình học, nó xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của hình học Với sự hỗ trợ của các bất đẳng thức trong hình học, chúng ta đã giải quyết được rất nhiều vấn đề hóc búa của hình học từ sơ cấp đến cao cấp Bên cạnh đó, bất đẳng thức hình học cũng có ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống,

từ việc so sánh các độ dài đến so sánh diện tích, thể tích đều thấy sự có mặt của bất đẳng thức hình học Việc chứng minh các bất đẳng thức hình học là công việc không phải một sớm một chiều, nó cần sự tổng hợp, phân tích, đánh giá, kết hợp cả các kiến thức đại số và hình học cùng khả năng liên tưởng nhạy bén, sáng tạo để sáng tạo ra những bài toán hay và cách giải một bài toán bất đẳng thức có yếu tố hình học Ngày nay, trong các kỳ thi Olympic các nước trên thế giới, bất đẳng thức hình học cũng đã và đang chiếm một vị trí quan trọng Bằng cái nhìn tổng quan, luận văn này cũng đã nêu ra một số ví dụ điển hình trong các kỳ thì Olympic các nước thời gian qua

Luận văn được chia thành các chương:

Chương 1 Các kiến thức cơ bản trong hình học Chương này nêu lên các kiến thức

cơ bản trong hình học phẳng, chủ yếu là các vấn đề về cực trị, các kết quả quan trọng trong tam giác, tứ giác, hình tròn Các nguyên lý như nguyên lý cùng các bất đẳng thức đại số thường được sử dụng

Chương 2 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong tam giác Chương

thứ hai tập hợp một số phương pháp giải quyết các bài toán về bất đẳng thức trong tam giác cùng các kĩ thuật xây dựng các bất đẳng thức trong hình học được trình bày dưới dạng phương pháp giải và xây dựng

1

Để hoàn thành được luận văn này, trước nhất tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới

người thầy đáng kính của mình là PGS.TS Nguyễn Vũ Lương người thầy đã dìu

dắt tôi từ những ngày khởi nghiệp đi dạy cho tới khi tôi hoàn thành bản luận văn này Thầy đã chỉ bảo tận tình và giúp đỡ tôi thật nhiều trong mọi việc, không chỉ trong khóa luận này mà còn trong cả quá trình làm việc của tôi Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành các thầy cô đã đọc, kiểm tra, đánh giá và cho những ý kiến quý báu để luận văn được đầy đủ hơn, phong phú hơn Cũng xin được gửi lời cảm ơn tới tất cả các thầy cô giáo trong trường THPT chuyên KHTN và đặc biệt là các các thầy cô giáo trong bộ môn toán của trường, những người thầy, những người bạn đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình làm luận văn Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng sau Đại học, khoa Toán-Cơ-Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày Mong được sự góp ý xây dựng của thầy cô và các bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, ngày 10 tháng 11 năm 2011

Học viên

Trần Quang Hùng

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC

1.1 Nguyên lý cực trị trong hình học

(1) Trong tất cả các cách nối hai điểm A và B thì đoạn thẳng có độ dài ngắn nhất.

(2) Trong tất cả các đoạn thẳng nối từ một điểm cho trước tới một điểm trên một đường thẳng (hoặc mặt phẳng) cho trước thì đoạn vuông góc có độ dài ngắn nhất

(3) Trong tất cả các đường xiên kẻ từ một điểm cho trước tới cùng một đường thẳng (hoặc mặt phẳng) cho trước, đường xiên nào có hình chiếu ngắn hơn thì ngắn hơn

(4) Trong các tam giác có cùng chu vi, tam giác đều có diện tích lớn nhất Trong các tam giác có cùng diện tích, tam giác đều có chu vi nhỏ nhất

(5) Độ dài của một đoạn thẳng nằm trong một đa giác lồi không lớn hơn khoảng cách lớn nhất nối hai đỉnh của nó

(6) Nếu một đa giác lồi chứa một đa giác lồi khác, thì chu vi của đa giác ngoài sẽ lớn hơn chu vi của đa giác trong

(7) Nếu M là một điểm nằm trong đường tròn tâm O thì trong các dây cung đi qua

M, dây cung vuông góc với OM có độ dài ngắn nhất.

1.2 Nguyên lý Dirchlet trong hình học

Một trong những công cụ hữu ích dùng giải quyết nhiều vấn đề của Toán học, trong

đó có cả hình học, là nguyên lý Dirichlet

Định lý 1.1 (Nguyên lý Dirichlet) Nếu nhốt n + 1 chú thỏ vào n cái chuồng thì bao

giờ cũng có ít nhất 2 thỏ bị nhốt vào cùng một chuồng.

Ngoài dạng phát biểu như trên, nguyên lý Dirichlet còn có thể được phát biểu dưới dạng hình học như sau:

Định lý 1.2 (Nguyên lý Dirichlet với độ dài) Trên đường thẳng cho đoạn AB có độ

dài a và một số đoạn con A i B i (i = 1, n) có tổng độ dài b Khi đó,

3

• Nếu b < ka (k ∈ N ∗ ) thì bên trong đoạn AB tồn tại điểm M thuộc không quá

k − 1 đoạn con A i B i

• Nếu b > ka (k ∈ N ∗ ) và đoạn AB chứa tất cả các đoạn con A

i B i thì có ít nhất

k + 1 đoạn con A i B i có điểm chung.

Định lý 1.3 (Nguyên lý Dirichlet đối với diện tích) Trong một mặt phẳng cho hình

(H) có diện tích S và các hình (H i ) (i = 1, n) có tổng diện tích là T Khi đó,

• Nếu T < kS (k ∈ N ∗ ) thì tồn tại điểm M nằm trong hình (H) sao cho M là

điểm trong chung của không quá k − 1 hình trong các hình (H i ) (i = 1, n).

• Nếu T > kS (k ∈ N ∗ ) và hình (H) chứa tất cả các hình (H

i ) (i = 1, n) thì tồn

tại một điểm M trong (H) sao cho M là điểm trong chung của ít nhất (k + 1) hình trong số các hình H i

1.3 Nguyên lý khởi đầu cực trị

Nguyên lý khởi đầu cực trị được phát triển mạnh mẽ trong Graph hữu hạn Nó được phát biểu dưới dạng tập hợp như sau:

Định lý 1.4 (Nguyên lý khởi đầu cực trị) Trong một tập hợp hữu hạn (khác rỗng)

các số thực luôn có thể chọn được số bé nhất và số lớn nhất.

Phép chứng minh phản chứng có cơ sở dựa vào định lý sau:

Định lý 1.5 Mệnh đề A → B tương đương với mệnh đề B → A.

ta có thể giả sử rằng không có B Sau đó với các phép lập luận biện chứng, ta sẽ tìm cách đưa đến kết quả A hoặc một kết quả nào đó không phù hợp với các tiên đề, định

lý, các giá trị hằng đúng đã có Một phép lập luận như vậy ta gọi là phép phản chứng

1.5 Các bất đẳng thức đại số

Nhiều bất đẳng thức đại số có ứng dụng sâu rộng, trong đó phải kể đến bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Mean – Geometric Mean), bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức Schwarz, bất đẳng thức Jensen

1.5.1 Bất đẳng thức AM-GM

Định lý 1.6 (Bất đẳng thức AM-GM) Với n số thực không âm bất kì a1, a2, , a n ,

ta có bất đẳng thức

a1+ a2 +· · · + a n

n > √ n

a1a2· · · a n

và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 =· · · = a n

Chú ý Ngoài ra, bất đẳng thức AM-GM còn có thể được viết dưới dạng sau

a1a2· · · a n 6

(

a1+ a2+· · · + a n

n

)n

.

1.5.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Định lý 1.7 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Xét hai bộ số thực tùy ý a1, a2, , a n

và b1, b2, , b n Khi đó, ta có

(a1b1 + a2b2+· · · + a n b n)2 6 (a2

1+ a22+· · · + a2

n )(b21+ b22+· · · + b2

n ).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1

b1 =

a2

b2 = · · · = a n

b n (Lưu ý rằng ở đây ta sử dụng quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0.)

1.5.3 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức

Định lý 1.8 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức) Xét hai bộ số thực tùy

ý a1, a2, , a n và b1, b2, , b n trong đó b i > 0, ∀i = 1, 2, , n Khi đó, ta có

a2 1

b1 +

a2 2

b2 +· · · + a2n

b n > (a1+ a2+· · · + a n)2

b1+ b2+· · · + b n

.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1

b1

= a2

b2

=· · · = a n

b n

.

Từ định lý này, ta thu được hai hệ quả quan trọng sau:

• Với n số thực tùy ý a1, a2, , a n , ta có

a21+ a22+· · · + a2

n > (a1 + a2 +· · · + a n)2

Kết quả này thu được bằng cho b1 = b1 =· · · = b n = 1.

• Với n số thực dương tùy ý x1, x2, , x n , ta có

1

x1 +

1

x2 +· · · + 1

x n > n2

x1+ x2+· · · + x n

.

Kết quả này có thể thu được bằng cách cho a1 = a2 =· · · = a n = 1 và b1 = x1,

b2 = x2, , b n = x n

1.5.4 Bất đẳng thức Holder

Định lý 1.9 (Bất đẳng thức Holder) Cho x ij với i = 1, 2, , m và j = 1, 2, , n là các số thực không âm, khi đó ta có bất đẳng thức sau

m

∏

i=1

∑

j=1

x ij

) 1

m

>

n

∑

j=1

m

∏

i=1

x

1

m

ij

Chú ý Khi ứng dụng vào giải toán, ta thường sử dụng bất đẳng thức Holder ở hai

dạng đặc biệt sau:

• Với sáu số thực không âm a, b, c, x, y, z, ta có

(a3+ x3)(b3+ y3)(c3+ z3)> (abc + xyz)3.

x =

b

y =

c

z .

• Với chín số thực không âm a, b, c, x, y, z, m, n, p, ta có

(a3+ b3+ c3)(x3+ y3+ z3)(m3+ n3+ p3)> (axm + byn + czp)3.

x =

b

y =

c

z và

a

m =

b

n =

c

p .

1.5.5 Bất đẳng thức trung bình lũy thừa

Định lý 1.10 (Bất đẳng thức trung bình lũy thừa) Cho a1, a2, , a n là các số thực không âm và r > s > 0 Khi đó, ta có

(

a r

1 + a r

2+· · · + a r

n

n

)1

r >(a s1+ a s

2+· · · + a s

n

n

)1

s Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi r = s hoặc a1 = a2 =· · · = a n

Đặc biệt:

• Khi r = n và s = 1, ta có

n

√

a n1 + a n2 +· · · + a n

n

n > a1+ a2+· · · + a n

hay

a n

1 + a n

2 +· · · + a n

n

n >

(

a1 + a2+· · · + a n

n

)n

.

• Khi r = 1 và s = 1

n , ta có

a1+ a2+· · · + a n

n >

(√ n

a1+√ n

a2 +· · · + √ n

a n n

)n

,

hay

n

√

a1+ √ n

a2+· · · + √ n

a n

√

a1+ a2+· · · + a n

Đây chính là các kết quả quen thuộc rất hay được sử dụng trong chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là các bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố hình học (điều này sẽ được thể hiện rõ ở các chương sau)

1.5.6 Bất đẳng thức Jensen

Định lý 1.11 (Bất đẳng thức Jensen) Cho f : D → R là hàm lồi và n ∈ N ∗ Xét hai

dãy số {x i } n

i=1 ⊂ D và {λ i } n

i=1 ⊂ [0, 1] sao cho λ1+ λ2+· · · + λ n = 1 Khi đó ta có

f (λ1x1 + λ2x2 +· · · + λ n x n)6 λ1f (x1) + λ2f (x2) +· · · + λ n f (x n ).

1.5.7 Bất đẳng thức Schur

Định lý 1.12 (Bất đẳng thức Schur) Với các số thực không âm a, b, c cho trước và

k là số thực dương bất kì, ta có

a k (a − b)(a − c) + b k

(b − c)(b − a) + c k

(c − a)(c − b) > 0.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 cùng các hoán vị.

Trường hợp hay được sử dụng nhất của bất đẳng thức Schur là khi k = 1, lúc này ta

có thể viết lại bất đẳng thức dưới dạng

a3+ b3+ c3+ 3abc − ab(a + b) − bc(b + c) − ca(c + a) > 0.

1.5.8 Bất đẳng thức Nesbitt

Định lý 1.13 (Bất đẳng thức Nesbitt) Cho các số dương a, b, c Khi đó ta có

a

b + c+

b

c + a +

c

a + b > 3

2.

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

1.6.1 Các hệ thức trong tam giác

Trong luận văn này, ta sẽ sử dụng một số kí hiệu thống nhất trong tam giác như sau:

Xét một tam giác ABC cho trước Khi đó, ta kí hiệu:

• BC = a, CA = b, AB = c;

• m a , m b , m c , l a , l b , l c , h a , h b , h c lần lượt là độ dài các trung tuyến, các phân giác

và các đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c;

• p là nửa chu vi tam giác;

là S;

• r, R lần lượt là các bán kính đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp tam giác;

• r a , r b , r c là bán kính các đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C.

Kí hiệu x, y, z là hoán vị cho a, b, c và X, Y, Z hoán vị cho A, B, C Lúc này, ta thiết

lập được các hệ thức sau đây:

1 Các công thức diện tích tam giác:

S = 1

2xh x = (p − x)r x = 1

2yz sin X =

xyz

√

p(p − x)(p − y)(p − z).

2 Các công thức trung tuyến:

m2x = y

2+ z2

4.

3 Các công thức phân giác:

l2x = 4yz

(y + z)2p(p − x).

4 Định lý sin:

x

5 Định lý cosin:

x2 = y2+ z2 − 2yz cos X.

6 Biểu thức đối xứng của a, b, c biểu diễn qua p, R, r:

a + b + c = 2p, ab + bc + ca = p2+ r2 + 4Rr, abc = 4pRr.

1.6.2 Các hệ thức liên quan đến vector

Tâm tỉ cự của hệ điểm

Định nghĩa 1.1 Cho một hệ n điểm {A1, A2, , A n } và một bộ hệ số {α1, α2, , α n } thỏa mãn α1+ α2 +· · · + α n ̸= 0 Khi đó, nếu điểm I thỏa mãn

α1−−→

IA1+ α2−−→

IA2+· · · + α n

−−→

IA n=− →

0

thì I được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm {A1, A2, , A n } ứng với bộ hệ số {α1, α2, , α n }.

Tính chất Giả sử I là tâm tỉ cự của hệ n điểm {A1, A2, , A n } ứng với bộ hệ số {α1, α2, , α n } (α1+ α2+· · · + α n ̸= 0) Khi đó ta có các tính chất sau: Với điểm O

tùy ý trên mặt phẳng, ta có

−→

α1+ α2+· · · + α n

(

α1−−→

OA1 + α2−−→

OA2+· · · + α n

−−→

OA n

)

.

α1+ α2+· · · + α n

thì ta có β1+ β2+· · · + β n = 1 và

−→

OI = β1−−→

OA1+ β2−−→

OA2+· · · + β n

−−→

OA n

Bất đẳng thức cơ bản trong vector

Với hai vector tùy ý − → a và − → b , ta có các đánh giá cơ bản sau:

• − → a · − →

b 6 |− → a | · − →

b và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi − → a và − →

b cùng phương.

• − → a + − →

b 6 |− → a | + − →

b , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi − → a = k − →

b (k > 0) Lưu ý

rằng kết quả này vẫn đúng cho trường hợp tổng quát n vector, khi đó ta vẫn có

|− → a1 + − → a

2 +· · · + − → a n | 6 |− → a1| + |− → a2| + · · · + |− → a n |

1.6.3 Một số kết quả quan trọng trong hình học

Ngoài các nội dung đã đề cập ở trên, khi xem xét các bất đẳng thức hình học, chúng

ta cũng sẽ cần đến các kết quả quan trọng sau đây

Định lý 1.14 (Tâm tỷ cự cho hệ hai điểm) Cho đoạn AB và các số thực α, β, α +

β ̸= 0 thì tồn tại duy nhất điểm I sao cho α −→ IA + β −→

IB = − →

0 Nếu có α ′ , β ′ sao cho

α ′ −→

IA + β ′ −→

IB = − →

0 , thì α

′

α =

β ′

β , khi đó ta nói I là tâm tỷ cự hệ hai điểm A, B ứng với

bộ số (α, β) và ký hiệu I(α, β).

A

B

I

Chứng minh Ta có

α −→

IA + β −→

IB = − →

0

⇔ −α −→ AI + β( −→

AB − −→ AI) = − →

0

⇔ −→ AI = β

α + β

−→

AB

IA + β ′ −→

IB = − →

0 tương tự ta suy ra

−→

AI = β

′

α ′ + β ′

−→

AB từ đây dễ suy ra β

β ′ =

α + β

α ′ + β ′ =

α

α ′.

Định lý 1.15 (Tâm tỷ cự cho hệ ba điểm) Cho tam giác ABC và các số thực α, β, γ α+

β + γ ̸= 0 thì tồn tại duy nhất điểm I sao cho α −→ IA + β −→

IB + γ −→

IC = − →

0 khi đó giả sử có

α ′ , β ′ , γ ′ , α ′ + β ′ + γ ′ ̸= 0 sao cho α ′ −→

IA + β ′ −→

IB + γ ′ −→

IC = − →

α ′ =

β

β ′ =

γ

γ ′ , khi đó ta nói I là tâm tỷ cự của bộ ba điểm A, B, C ứng với bộ số (α, β, γ) và ký hiệu I(α, β, γ).

I

Chứng minh Do α + β + γ ̸= 0 từ giả thiết đẳng thức vector ta có

α −→

IA + β −→

IB + γ −→

IC = − →

0 Suy ra

−→

AI = −( β

α + β + γ

−→

AB + γ

α + β + γ

−→

AC)

Theo định lý phân tích vector I tồn tại duy nhất.

Giả sử có α ′ −→

IA + β ′ −→

IB + γ ′ −→

IC = − →

0 ta suy ra

−→

AI = −( β ′

α ′ + β ′ + γ ′

−→

AB + γ

′

α ′ + β ′ + γ ′

−→

AC)

Theo sự phân tích vector thì

β

β ′ =

γ

γ ′ =

α + β + γ

α ′ + β ′ + γ ′ =

α

α ′

Đó là điều phải chứng minh

Chú ý Các định lý 1 và định lý 2 nói về sự tồn tại duy nhất của tâm tỷ cự ứng với

tọa độ tỷ cự sai khác nhau một tỷ lệ thức Tâm tỷ cự hệ n điểm cũng được định nghĩa bằng hệ thức vector tương tự, tức với A1, , A n phân biệt và các số thực α1, , α n có

i=1

−−→

IA1 = − →

0 Tuy nhiên điểm

khác biệt cơ bản là với n > 3 với mỗi điểm điểm I trong mặt phẳng không xác định duy nhất bộ (α1, , α n ) sai khác nhau một tỷ lệ thức, tức là với I xác định ta có thể

trên, chính điều này cho chúng ta thấy ta chỉ có thể dùng bộ ba tọa độ tỷ cự chỉ với tam giác hoặc trong không gian là với tứ diện, đó thực chất cũng chính là hệ quả của các định lý phân tích vector trong mặt phẳng hoặc không gian

Phương tích

Phương tích trong chương trình hình học 10 thường được gắn liền với việc khai triển

nó theo cát tuyến, tuy nhiên ta sẽ định nghĩa phương tích một cách độc lập và nhìn lại việc khai triển nó theo cát tuyến cũng như một hệ quả của hệ thức Leibnitz cho hai điểm

1.6.3 Một số kết quan trọng hình học< /b>

Ngoài nội dung đề cập trên, xem xét bất đẳng thức hình học, chúng

ta cần đến kết quan trọng sau...

tọa độ tỷ cự sai khác tỷ lệ thức Tâm tỷ cự hệ n điểm định nghĩa hệ thức vector tương tự, tức với A1, , A n phân biệt số thực α1, , α n... chương trình hình học 10 thường gắn liền với việc khai triển

nó theo cát tuyến, nhiên ta định nghĩa phương tích cách độc lập nhìn lại việc khai triển theo cát tuyến hệ hệ thức Leibnitz