Bài giảng Toán cao cấp A3: Chương 1 - ThS. Nguyễn Công Nhựt

Bài giảng Toán cao cấp A3: Chương 1 Tích phân bội, cung cấp cho người học những kiến thức như: Tích phân bội hai (kép); Tích phân bội ba. Mời các bạn cùng tham khảo!

Bài giảng

TOÁN CAO CẤP A3

Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Video https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc

Ngày 17 tháng 9 năm 2020

TOÁN CAO CẤP A3

Tài liệu

VP Khoa Công nghệ thông tin - Tầng 1

Thang điểm đánh giá

Quá trình 20%

Giữa kỳ 20%

Thi cuối kỳ 60%

Tích phân đường loại 1

Tích phân đường loại 2

3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Khái niệm

Phương trình vi phân cấp 1

Phương trình vi phân cấp 2

Tích phân đường loại 1

Tích phân đường loại 2

3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Khái niệm

Phương trình vi phân cấp 1

Phương trình vi phân cấp 2

TÍCH PHÂN BỘI

NỘI DUNG

1-1 Tích phân bội hai (kép)

1-2 Tích phân bội ba

1 Tích phân bội hai

NỘI DUNG

1 Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong)

2 Tích phân bội hai

3 Tính chất của tích phân bội hai

5 Ứng dụng của tích phân hai lớp

1.1 Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong)

Xét hàm sốz =f(x, y)liên tục, không âm và một mặt trụ có các đương sinh song song với

Hình:

1.1 Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong)

Định nghĩa

Để tính thể tích khối trụ, ta chia miềnD thànhn phần không dẫm lên nhau∆Si,i =1;n

Diện tích mỗi phần cũng ký hiệu là∆Si.Khi đó, khối trụ cong được chia thànhn khối trụnhỏ Trong mỗi phần ∆Si ta lấy điểm Mi(xi;yi)tùy ý và thể tíchV của khối trụ là:

1.2 Tích phân bội hai

Định nghĩa

Cho hàm sốf(x, y)xác định trên miền D đóng và bị chặn trong mặt phẳng Oxy

là ∆Si,i =1;n

Lấyn điểm tùy ý Mi (xi;yi) ∈∆Si,i =1;n Khi đó, In = ∑ni= 1f (xi;yi)∆Si đượcgọi là tổng tích phân củaf(x, y)trênD (ứng với phân hoạch ∆Si và các điểm chọnMi

1.2 Tích phân bội hai

Nếu giới hạn I =limmaxdi → 0∑ni= 1f (xi,yi)∆Si tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc vào phânhoạch ∆Si và cách chọn điểmMi thì số thực I được gọi là tích phân bội hai của hàm số

1.2 Tích phân bội hai

Nếu tồn tại tích phân R R

Df(x, y)dxdy,ta nói hàm số f(x, y)khả tích trên miền D; f(x, y)

là hàm dưới dấu tích phân; x và y là các biến tích phân

Nhận xét

S(D) =

Z Z

Ddxdy (diện tích của miền D)

Nếu f(x, y) >0,liên tục trên D thì thể tích hình trụ có các đường sinh song song vớiOz,

hai đáy giới hạn bởi các mặt z =0,z =f(x, y) làV =R R

Df(x, y)dxdy

Định lý

Hàm f(x, y)liên tục trong miền D đóng và bị chặn thì khả tích trongD

1.3 Tính chất của tích phân bội hai

Giả thiết rằng các tích phân dưới đây đều tồn tại

1.4.1 Đưa về tích phân lặp

Ví dụ 7

Tính tích phân I =R RDydxdy,trong đó miềnD giới hạn bởi các đường y =x−4,y2 =2x

Hình:

1.4.2 Phương pháp đổi biến

a) Công thức đổi biến tổng quát

Giả sử x = x(u, v),y = y(u, v)là hai hàm số có các đạo hàm riêng liên tục trên miềnđóng bị chặnDuv trong mp Ouv Gọi Dxy là miền xác định bởi:

= ∂(x,y1 )

∂( u,v )

= 1

1.4.2 Phương pháp đổi biến

a) Công thức đổi biến tổng quát

Ví dụ 13

Tính tích phânI =R R

D3 x +y)3(x−y)2 dxdy

x+y =1, x+y =3,x−y = −1,x −y =1

1.4.2 Phương pháp đổi biến

a) Công thức đổi biến tổng quát

Ví dụ 14

Tính tích phânI =R R

D4xydxdy vớiD là miền giới hạn bởi các đường

xy =1, xy =2, x−y =0, 3x−y =0

1.4.2 Phương pháp đổi biến

a) Công thức đổi biến tổng quát

1.4.2 Phương pháp đổi biến

b) Đổi biến trong tọa độ cực

Ox,−OA→) =

α,(−→

Ox,−OB→) =βKhi đó: M ∈D ⇔

(OM1 ≤OM ≤OM2

α≤ (−Ox,→ −→OM) ≤β

Hình:

1.4.2 Phương pháp đổi biến

b) Đổi biến trong tọa độ cực

=

cos ϕ −r sinϕ sin ϕ r cosϕ

dϕZ r2(ϕ)

r 1 (ϕ) f(r cosϕ, r sinϕ) ·rdr

1.4.2 Phương pháp đổi biến

b) Đổi biến trong tọa độ cực

Chú ý:

1) Đổi biến trong tọa độ cực thường dùng khi biên của D là đường tròn hoặc elip

2) Để tìm r1(ϕ),r2(ϕ)ta thayx =r cosϕ, y =r sinϕvào phương trình của biênD

3) Nếu cực O nằm trong D và mỗi tia từ O chỉ cắt biênD tại 1 điểm thì:

dϕZ r(ϕ)

0 f(r cosϕ, r sinϕ)rdr

1.4.2 Phương pháp đổi biến

b) Đổi biến trong tọa độ cực

1.4.2 Phương pháp đổi biến

b) Đổi biến trong tọa độ cực

Ví dụ 16

Tính tích phânI =R R

D(x +y)dxdy trong dó D là miền phẳng giới hạn bởi:

x2+y2 =1, x2+y2 =4, y =0, y =x >0

1.5 Ứng dụng của tích phân hai lớp

1.5.4 Khối lượng m của vật thể

lượng hay tỉ khối) tại điểm M(x, y) ∈ D là hàmρ(x, y) liên tục trênD Khi đó, khối lượngcủa bản phẳng là:

Z Z

Dρ(x, y)dxdy

xy =1, xy =2, x−y =0, 3x−y =0