Bài giảng Tối ưu hóa và quy hoạch tuyến tính - Chương 1: Bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài giảng Tối ưu hóa và quy hoạch tuyến tính - Chương 1: Bài toán quy hoạch tuyến tính, cung cấp cho người học những kiến thức như: Bài toán dẫn đến bài toán quy hoạch tuyến tính; Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát, chính tắc, chuẩn tắc; Phương pháp hình học; Các dạng đặc biệt của bài toán quy hoạch tuyến tính; Phương pháp đơn hình; Phương pháp đơn hình mở rộng (ko thi). Mời các bạn cùng tham khảo!

TUYẾN TÍNH

Thời lượng: 30 tiết

ltnhan1001@gmail.com

1

[1] NGUYỄN THÀNH CẢ, Tối ưu hóa quy

hoạch tuyến tính NXB Lao Động 2010

2

Tối ưu hóa và Quy hoạch tuyến tính

Tối ưu hóa nói chung và Quy hoạch tuyến tính nói riêng là một phần kiến thức không thể thiếu cho tất

cả những người làm việc trong lĩnh vực ứng dụng của khoa học và kỹ thuật Đặc biệt với sinh viên tin học, nó là kiến thức căn bản của nhiều ứng dụng, thể hiện thế mạnh và ưu việt của các phát triển tin học vào thực tế

NỘI DUNG

Chương 1 Bài toán quy hoạch tuyến tính (bài 1,2- Tuần 1,2)

Chương 2 Bài toán đối ngẫu (bài 3-tuần 3)

Chương 3 Bài toán vận tải (Bài 4-Tuần 4)

CHƯƠNG 1

BÀI TOÁN QUY HOẠCH

TUYẾN TÍNH

MỤC TIÊU CHƯƠNG

1. Biết được các khái niệm về bài toán QHTT

2. Hiểu được PP hình học giải bài toán QHTT(hai

biến)

3. Hiểu được PP đơn hình (THI: 5đ)

NỘI DUNG CHƯƠNG

1.1 Bài toán dẫn đến bài toán QHTT

1.2 Bài toán QHTT tổng quát, chính tắc, chuẩn tắc

1.1 Bài toán dẫn đến bài toán QHTT

Bài toán sản xuất tối ưu:

Một Công ty sản xuất bánh trung thu cần sản xuất

3 sản phẩm bánh từ 3 loại nguyên liệu chính khác nhau, với các thông số như sau:

Khối lượng nguyên liệu(g)

Loại bánh L1 L2 L3 Đường 10000 10 20 20 Bột 50000 20 30 30 Sữa 30000 20 30 40 Giá bán 1 đv sản phẩm ($) 2 3 4

9

Bài toán sản xuất tối ưu

Gọi xj ,j = 1,2,3 là số đơn vị sản phẩm bánh loại cần sản xuất Ta có điều kiện

Tổng khối lượng nguyên liệu các loại dùng để sản xuất 3 sản phẩm:

Bài toán sản xuất tối ưu

Mô hình toán học của bài toán san xuất tối ưu:

Bài toán sản xuất tối ưu tổng quát

Trong đó: gọi là hệ số công nghệ aij

Mô hình toán học của bài toán QHTT

n

ij j i j

Một số bài toán khác

Bài toán xác định khẩu phần ăn tối ưu

Bài toán pha trộn

Bài toán bổ nhiệm …

1.2 Bài toán QHTT

Bài toán QHTT tổng quát

(1.2)

Bài toán QHTT

Phương án

Một vector n chiều thỏa hệ ràng buộc (1.2) được gọi là một PA chấp nhận được hay PA Tập

hợp tất cả các PA của bài toán QHTT gọi là tập

phương án hay miền ràng buộc

* n

1.2 Bài toán QHTT

Phương án cơ bản (PACB)

Một PA thỏa mãn với dấu đẳng thức ít nhất n ràng buộc được gọi là phương án cơ bản Một PACB

thoả mãn đúng n ràng buộc với dấu đẳng thức gọi

là PACB không suy biến

Phương án tối ưu

Một phương án thỏa luôn hàm mục tiêu của (1.1) gọi là PA tối ưu

1.2 Bài toán QHTT

- Tập phương án của (1.2.1) là:

- Phương án:

là 2 phương án cơ bản của bài toán (1.2.1)

- Phương án: x0=(7,3,0) là PATƯ và Zmax=11 Thật vậy:

Tính chất của bài toán QHTT

 Nếu bài toán max(min) có phương án và hàm

mục tiêu bị chặn trên (dưới) thì có phương án tối ưu

 Nếu bài toán QHTT có nhiều hơn một PATƯ thì

có vô số PATƯ

Nếu x0 và x1 là 2 PATƯ thì bao lồi của nó là:

cũng là PATƯ của bài toán này

1.3 Phương pháp hình học

Xét bài toàn QHTT 2 biến:

2 1

1.3 Phương pháp hình học

Bước 1: Vẽ tập phương án của bài toán

- Vẽ các Rb ứng với dấu “=“ lên mptđ Ox1x2

- Lựa chọn các nửa mp thỏa mãn Rb với dấu bất đẳng thức

- Tìm miền giao của các nửa mp này ta sẽ được tập phương án của bài toán (Ω)

1.3 Phương pháp hình học

- Vẽ đường đại diện cho đường hàm mục tiêu

- Chọn điểm bất kì (x0

1, x02) trong tập PA (Ω) Thay điểm này vào hàm mục tiêu Z và tìm Z0 Sau

đó vẽ đường thẳng: c1x1+ c2x2 = Z0

- Xác định vector pháp tuyến n= (c1,c2) của

△ có chiều làm cho hàm mục tiêu Z tốt hơn

1.3 Phương pháp hình học

Bước 3: Xác định lời giải bài toán

Cho △ tịnh tiến theo vector pháp tuyến n:

- Nếu △ luôn tiếp xúc với tập PA (Ω) thì bài toán không có lời giải

- Nếu △ có điểm tới hạn với (Ω) và (Ω) nằm về một phía của △ thì bài toán có PATƯ là điểm tới hạn này

1.3 Phương pháp hình học

Ví dụ 1.3.1 Giải bài toán QHTT sau

Ta có tập PA của bt là đa giác ABCDE

Tịnh tiến  theo hướng vector pháp tuyến n, ta thấy điểm tới hạn của  và tập PA là cạnh BC

x

1.3 Phương pháp hình học

 Vẽ tập PA của bài toán

 Vẽ đường mức  : Chọn (0,0)(  ) thay vào Z được

 n

1.3 Phương pháp hình học

Tập PA của bt

1.3 Phương pháp hình học

Cho △ di chuyển theo hướng vector pháp tuyến n

1.3 Phương pháp hình học

Ví dụ 1.3.3: Giải bài toán QHTT sau:

ĐS:

- Bài toán Z(min) không có lời giải

- Bài toán Z(max) có PATƯ:(7/2, 3), Zmax=16

1.3 Phương pháp hình học

Tập PA

1.3 Phương pháp hình học

Chú ý:

1. Tập PA của bài toán QHTT có thể là tập rỗng,

chỉ có một điểm, là đa giác lồi giới nội hoặc không giới nội

2. Nếu tập PA của bài toán là một đa giác lồi giới

nội thì mỗi đỉnh của đa giác lồi là PACB của bài toán Do hệ ràng buộc của bài toán QHTT là hữu hạn nên đa giác lồi cũng chỉ có hữu hạn đỉnh

1.3 Phương pháp hình học

3 Từ đó, nếu tập phương án là một tập lồi đa diện

thì phương án tối ưu của bài toán đạt được ít nhất tại một điểm trong miền

4 Trường hợp hàm mục tiêu không bị chặn trong

miền ràng buộc thì bài toán không có phương án tối ưu (Hình 2a và Hình 2b)

Phương pháp hình học

5 Nếu miền ràng buộc không có đỉnh thì bài toán không có phương án hoặc có phương án nhưng không có phương án tối ưu là đỉnh (Hình 2c)

1.3 Phương pháp hình học

6 Nếu miền Rb của bài toán là đa giác lồi giới nội thì bước 2 và bước 3 của PP hình học có thể thay thế bằng cách đánh giá sau:

- Vì miền Rb là đa giác lồi bị chặn nên mỗi đỉnh của đa giác là PACB của bài toán Như vậy ta chỉ cần tìm tọa các đỉnh của miền RB và thay các PA này vào hàm mục tiêu

- So sánh các giá trị mục tiêu ứng với các PA đó, PATƯ của bài toán sẽ là PA làm cho giá trị hàm mục tiêu max hoặc min tương ứng

1.3 Phương pháp hình học

Áp dụng chú ý trên cho Ví dụ 1.3.1

Do tập PA là đa giác lồi giới nội OABCD, nên các đỉnh O(0,0), A(0,4), B(2, 4), C(3, 2) và D(3, 0) là các PACB của bài toán Thay Các PA này vào hàm mục tiêu ta thấy BT đạt giá trị tối ưu tại đỉnh B(2, 4)

Vậy PATƯ của bt là: x*=(2, 4) và Zmax=26

1.4 Các dạng đặc biệt của bài toán QHTT

1.4.1 Bài toán QHTT dạng chính tắc

1.4.2 Biến đổi về dạng chính tắc

1.4.3 Bài toán QHTT dạng chuẩn

1.4.4 Biến đổi về dạng chuẩn

1.4.5 Bài toán QHTT tương đương

1.4.1 Bài toán QHTT dạng chính tắc

Bài toán QHTT dạng chính tắc là bài toán QHTT

có ràng buộc chính (Rbc) ở dạng đẳng thức và ràng buộc dấu (Rbd) không âm

n

ij j i j

j

Z c x

a x b i m

1.4.1 Bài toán QHTT dạng chính tắc

Ma trận điều kiện – Vector điều kiện

Ma trận A =(aij), (i=1, ,m; j=1, ,n) là ma trận hệ số của hệ Rbc được gọi là ma trận điều kiện của bài toán QHTT (1.4.1) Cột j của ma trận A, kí hiệu: Aj

là cột hệ số của biến xj được gọi là vector điều kiện

của biến xj

Bài toán QHTT dạng chính tắc

Định lý: Xét bài toán QHTT chính tắc (1.4.1)

Điều kiện cần và đủ để phương án x*=(x1, ,xn) là phương án cơ bản của bài toán QHTT (1.4.1) là hệ vector điều kiện {Aj/ x*j>0} độc lập tuyến tính

Ví dụ 1.4.1b: Trong ví dụ (1.4.1a) ở trên thì PA

là một PACB, vì hệ vector

độc lập tuyến tính

1.4.2 Biến đổi về dạng chính tắc

Chú ý: Bài toán nhận được từ bài toán gốc bằng

cách thêm vào biến phụ được gọi là bài toán phụ

1 Hệ số của biến phụ ở hàm mục tiêu bằng 0

2 Bài toán phụ là bài toán tương đương với bài toán gốc, i.e.,

Nếu bài toán phụ không có phương án tối ưu thì bài toán gốc cũng không có phương án tối ưu

1.4.2 Biến đổi về dạng chính tắc

Nếu bài toán phụ có phương án tối ưu thì bài toán gốc cũng có phương án tối ưu và phương án tối ưu của bài toán gốc là phương án tối ưu của bài toán phụ bỏ đi thành phần biến phụ và đổi các giá trị của biến mới về biến cũ theo công thức đổi biến (nếu có)

1.4.3 Bài toán QHTT dạng chuẩn

1.4.3 Bài toán QHTT dạng chuẩn

Biến cơ sở ứng với ràng buộc chính thứ i là biến có

hệ số bằng 1 ở ràng buộc đó và hệ số bằng 0 ở các ràng buộc còn lại

Trong (1.4.3) thì các biến xi, (i=1, ,m ) là các biến

cơ sở, các biến xm+1, , xn là các biến không cơ sở

Ví dụ 1.4.3

Bài toán ở ví dụ (1.4.1a) là bài toán QHTT dạng

chuẩn với các biến cơ sở là: x2, x4 và x6

1.4.4 Biến đổi về dạng chuẩn

Một bài toán QHTT dạng chính tắc nhưng chưa phải dạng chuẩn, thì ta biến đổi về dạng chuẩn như sau:

 Nếu Rbc có vế phải <0 thì nhân 2 vế Rbc này

với (-1)

 Nếu Rbc không có biến cơ sở: Thì cộng thêm

vào vế trái của Rbc đó một biến không âm để

làm biến cơ sở (biến này gọi là biến giả ).

1.4.4 Biến đổi về dạng chuẩn

Khi thêm vào biến giả thì hệ số của biến giả ở hàm

mục tiêu tương ứng sẽ là (-M) đối với bài toán max

và là (M) đối với bài toán min, trong đó M là số dương lớn tùy ý

Bài toán dạng chuẩn nhận được từ bài toán gốc

bằng cách thêm vào các biến giả gọi là bài toán mở

rộng

1.4.4 Biến đổi về dạng chuẩn

Nhận xét: Bài toán mở rộng không tương đương với bài toán gốc, i.e., lời giải của bài toán

mở rộng chưa chắc là lời giải của bài toán gốc:

 Nếu bài toán mở rộng không có lời giải thì

bài toán gốc cũng không có lời giải

 Nếu bài toán mở rộng có phương án tối ưu,

nhưng thành phần biến giả trong phương án tối ưu khác 0 thì bài toán gốc không có lời giải

1.4.4 Biến đổi về dạng chuẩn

 Nếu bài toán mở rộng có phương án tối ưu và

tất cả các thành biến giả trong phương án tối

ưu đều bằng 0 thì bài toán gốc có phương án tối ưu Khi đó phương án tối ưu của bài toán gốc là phương án tối ưu của bài toán mở rộng

bỏ đi thành phần biến giả và biến phụ (nếu có)

1.4.4 Biến đổi về dạng chuẩn

Ví dụ 1.4.4: Biến đổi bài toán sau về dạng chuẩn

1.4.5 Bài toán QHTT tương đương

Giả sử ta có bài toán QHTT:

1.5 Thuật toán đơn hình

Nội dung thuật toán:

Xuất phát từ một PACB x0, ta tìm cách đánh giá xem x0 có phải là PATƯ của bài toán chưa Nếu chưa thì ta phải tìm cách xây dựng một PACB mới

x1 tốt hơn và đánh giá x1 có tối ưu chưa Quá trình này cứ tiếp tục cho đến khi tìm được PATƯ hoặc phát hiện ra bài toán không có PATƯ Quá trình chuyển từ PACB này sang PACB tốt hơn được gọi

là một bước lặp

Thuật toán đơn hình

Do yêu cầu của thuật toán là xuất phát từ một PACB nên để đơn giản ta xét bài toán dạng chuẩn:

Thuật toán đơn hình

Bước 1: Xây dựng PACB xuất phát

- Cho các biến không cơ sở bằng 0, i.e., cho

xm+1=xm+2=….xn=0 Suy ra: xi=bi,( i=1, ,m)

Vậy: PACB xuất phát là

- Giá trị mục tiêu xuất phát:



Thuật toán đơn hình

Bước 2: Xây dựng tiêu chuẩn tối ưu

Gọi

là hệ số ước lượng của biến xj

Nếu △j≥0, j thì PACB hiện hành tối ưu

Nếu k: k< 0 thì PACB hiện hành chưa tối ưu Chú ý: Đối với các biến cơ sở thì △j=0

Tiêu chuẩn tối ưu

Xét PA x’ bất kỳ của bài toán (1.5.1) Ta có

Tiêu chuẩn tối ưu

Thuật toán đơn hình

Bước 3: Xây dựng phương án cơ bản tốt hơn

Trường hợp: △m+k< 0 và có ít nhất một aim+k>0 thì bài toán giải tiếp

Chọn biến không cơ sở có:

Thuật toán đơn hình

Chú ý:

- Tỷ số λ0 gọi là tỷ số đơn hình (cột m+k)

- Trong mỗi bước lặp thì có một biến từ ngoài cơ

sở vào làm cơ sở và một biến từ trong cơ sở đi ra khỏi cơ sở và mỗi bước lặp là một phép biến đổi Gauss – Jordan

Thuật toán đơn hình dạng bảng

Thuật toán đơn hình dạng bảng

Ghi chú:

 Cột ci: cột hệ số hàm mục tiêu của biến cơ sở xi

 Cột bi: cột PA ứng với các biến cơ sở xi

 Dòng thứ 1: Ghi các biến xj của bài toán

 Dòng thứ 2: Ghi hệ hàm mục tiêu của các biến xj

 Dòng △j: Ghi các hệ số ước lượng của xj

Cách tính △j= tích vô hướng cột c i với vector điều

kiện a ij của biến xj trừ đi hệ số c j của xj

Thuật toán đơn hình dạng bảng

Thuật toán đơn hình dạng bảng

Ví dụ 1.5.1: Giải bài toán QHTT sau:

Ta thêm vào 3 biến phụ x4, x5, x60 vào 3 Rb chính thứ 1,2,3 tương ứng ta sẽ có bt dạng chuẩn

Thuật toán đơn hình dạng bảng

Thuật toán đơn hình dạng bảng

Thuật toán đơn hình dạng bảng

1 Tiêu chuẩn tối ưu

Nếu △j≤0, j thì PACB hiện hành tối ưu

Nếu k: k > 0 thì PACB hiện hành chưa tối ưu

2 Xây dựng PACB mới

Chọn biến vào CS: max{△k/△k>0}

Chọn biến ra giống bài toán Z(max)

73

Thuật toán đơn hình dạng bảng

Thuật toán đơn hình dạng bảng

2 3 0

-6

-3 0 0

0

1/2 3/2 3/2

2

-7/2

-3 0 0

1 -2 -2

-4

-3 0 0

1/2 -1/2 -3/2

1 0

-3/2 0 0

0 -7/2 -4 -3/2 0 0

- -

-*

min

(2,0,0), Z 6

1.6 Thuật toán đơn hình mở rộng

Là thuật toán đơn hình giải bài toán mở rộng

(bài toán có biến giả)

Chú ý:

- Khi một biến giả được ra khỏi cơ sở thì sẽ không được phép đưa trở lại, nên khi lập bảng đơn hình cho bài toán mở rộng ta không cần ghi vector đk biến giả vào bảng

- Dòng △j chia làm 2 dòng: dòng 1 dùng tính

△j liên quan biến bài toán và biến phụ (nếu có), dòng 2:

Thuật toán đơn hình mở rộng

tính △j liên quan đến biến giả

- Do hệ số hàm mục tiêu biến giả là +M hoặc –

M, (M>0 lớn tùy ý) nên khi so sánh △j ta chỉ cần

so sánh hệ số đi theo M

- Khi tính △j dòng 2 ta không cần trừ hệ số hàm mục tiêu cj và khi xét tiêu chuẩn tối ưu ta ưu tiên dòng 2 trước

Thuật toán đơn hình mở rộng

Ví dụ 1.6.1 Giải bài toán QHTT sau:

Thuật toán đơn hình mở rộng

Ta sử dụng quan hệ bài toán max và min

Bài toán mở rộng của bt tương đương:

trong đó: x5, x6, x7 là các biến phụ, x8 biến giả Các biến cơ sở: x5, x6 và x8

4

3 -1

Thuật toán đơn hình mở rộng

Giải tiếp bài toán ta được PATƯ của bài toán mở

rộng x*=( 0,30,40,0,0,512,0,0,0)

Do thành phần biến giả x8 trong PATƯ bằng 0, nên bài toán tương đương có PATƯ:

x*=( 0, 30, 40, 0) và Z’min= -10 Suy ra: PATƯ của bài toán đã cho:

x*=( 0, 30, 40, 0) và Zmax= -Z’min=10

) 2 3 min

2 2 2

2 3 12 1