Phương pháp bài giảng và đề bài tập trên lớp

Chương 1 NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT BM Toán HVTC 1 Chương 1 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ  Nội dung chính 1 1 Bổ túc về giải tích tổ hợp 1 2 Phép thử và biến cố, mối quan hệ giữa các biến cố 1 3 Xác suất của biến cố 1 4 Các công thức tính xác suất BM Toán HVTC 2 1 1 BỔ TÚC VỀ GiẢI TÍCH KẾT HỢP 1 1 1 Công thức cộng 1 1 2 Công thức nhân 1 1 3 Hoán vị 1 1 4 Chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp 1 1 5 Tổ hợp 1 1 6 Luyện tập BM Toán HVTC 3 1 1 1 CÔNG THỨC CỘNG  Giả sử một công việc nào đó có thể được thực hiện th.

Chương 1 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

 Nội dung chính:

1.1 Bổ túc về giải tích tổ hợp 1.2 Phép thử và biến cố, mối quan hệ giữa các biến cố 1.3 Xác suất của biến cố

1.4 Các công thức tính xác suất

 Số cách để có thể thực hiện công việc đó là:

n k

A

1.1.2 CÔNG THỨC NHÂN

 Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn:

Công đoạn có thể thực hiện theo cách.

Công đoạn có thể thực hiện theo cách … Công đoạn có thể thực hiện theo cách

 Số cách để có thể thực hiện công việc đó là:

n k

A

 Ví dụ 1.1: Một bàn có 3 chỗ ngồi Có bao nhiêu

cách sắp sếp 3 sinh viên vào bàn đó?

 Số các hoán vị của n phần tử được ký hiệu là: P n

( 1) 2.1 !

n

P  n n   n

1.1.4 CHỈNH HỢP, CHỈNH HỢP LẶP

 Chỉnh hợp:

 Chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho (k ≤ n)

( )!

k n

A

1.1.4 CHỈNH HỢP, CHỈNH HỢP LẶP

 Chỉnh hợp lặp:

 Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử đã cho là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho trong đó mỗi phần tử có thể có mặt 1,2,…,k lần.

 Ví dụ 1.3: Cho tập hợp gồm 3 chữ số 1,2,3 Hỏi có thể

tạo nên bao nhiêu số có 2 chữ số từ 3 chữ số đó.

 Số các chỉnh hợp chập k của n được ký hiệu là: k

1.1.5 TỔ HỢP

 Tổ hợp chập k của n phần tử đã cho là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho (k ≤ n).

 Ví dụ 1.4: Có 3 người A,B,C Hỏi có bao nhiêu

cách cử 2 người đi công tác?

 Số các tổ hợp chập k của n được ký hiệu là: k

1.1.6 LUYỆN TẬP

 Ví dụ 1.5: Thang máy của một tòa nhà có 8 tầng,

xuất phát từ tầng 1 với 5 người khách Có bao

nhiêu khả năng:

 Mỗi người ra ở một tầng khác nhau?

 Năm người ra một cách tùy ý?

 Ví dụ 1.6: Có 15 khách vào một khu mua sắm có

10 quầy Có bao nhiêu khả năng:

 Mười năm khách vào các quầy một cách bất kỳ?

 Mười năm khách vào cùng một quầy?

1.2.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

 Ví dụ 1.8: Gieo một con xúc sắc (6 mặt) - là một

phép thử

 “Xuất hiện mặt 4 chấm” - là một biến cố

 “Xuất hiện mặt có số chấm là chẵn” - là một biến cố

 Ví dụ 1.9: Một công ty đầu tư vào một dự án - là

một phép thử

 “Dự án có lãi” - là một biến cố

 “Dự án không có lãi” – là một biến cố

 Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc

không xảy ra sau phép thử, thường được ký hiệu là

A,B,C… hay A 1 , A 2 , …

1.2.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

Ví dụ:

 “Xuất hiện mặt 4 chấm” - là biến cố ngẫu nhiên

 “Xuất hiện mặt có số chấm ≤ 6” - là biến cố chắc chắn

 “Xuất hiện mặt 7 chấm” - là biến cố không thể có

 Trong phép thử ở VD1.9 hãy xác định: Biến cố

ngẫu nhiên, biến cố chắc chắn, biến cố không thể có

1.2.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

 Biến cố kéo theo

1.2.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

 Biến cố kéo theo:

 Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra, ký hiệu

 Biến cố tương đương:

 “Xuất Biến cố A được gọi là tương đương với biến cố

B nếu A kéo theo B và B cũng kéo theo A ký hiệu

1.2.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

 Ví dụ 1.10: Gieo một con xúc sắc

Gọi A là biến cố “ Xuất hiện mặt 1 chấm”

B là biến cố “ Xuất hiện mặt có số chấm lẻ”

C là biến cố “ Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 2”

Ta có:

1.2.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

 Tổng của các biến cố :

 Tổng của 2 biến cố A, B là một biến cố, ký hiệu là

 Biến cố xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố A,B xảy ra

Biến cố không xảy ra khi nào?

 Tích của các biến cố :

 Tích của 2 biến cố A, B là một biến cố, ký hiệu là

 Biến cố xảy ra khi và chỉ khi đồng thời 2 biến cố

A,B cùng xảy ra

Biến cố không xảy ra khi nào?

1.2.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

 Chú ý: Khái niệm tổng và tích của các biến cố có

1.2.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

 Ví dụ 1.11: Gieo con xúc sắc:

Gọi là biến cố “ Xuất hiện mặt i chấm” ( )

là biến cố “ Xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn”

là biến cố “ Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3”

Ta có:

1, 6

i 

i A A B

3 6 6

 Các biến cố xung khắc từng đôi:

 Các biến cố được gọi là xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ trong n biến cố đó xung khắc với nhau Tức là:

1.2.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

 Ví dụ 1.12:

Trong ví dụ 1.11 ta có:

 Hai biến cố xung khắc với nhau.

 Sáu biến cố xung khắc từng đôi.

1 , 2

A A

1 , 2 , , 6

1.2.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

 Ví dụ 1.13: Gieo con xúc sắc:

là biến cố “ Xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn”

là biến cố “ Xuất hiện mặt có số chấm là số lẻ”

 Ví dụ 1.14: Một công ty đầu tư vào một dự án.

là biến cố “ Công ty có lãi”

là biến cố “ Công ty không có lãi”

A A

A A

1.2.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

 Hiệu của hai biến cố:

 Hiệu của hai biến cố theo thứ tự này là một biến

cố, được ký hiệu là Biến cố hiệu xảy ra khi và

chỉ khi biến cố A xảy ra nhưng biến cố B không xảy ra

Hai biến cố là một hệ đầy đủ.

1 , 2 , , 6

,

A A

1.2.3 LUYỆN TẬP

 Ví dụ 1.15.

Hai người, mỗi người bắn một viên đạn vào bia.

Gọi là biến cố “ Người thứ i bắn trúng bia” ( )

 Biểu diễn các biến cố sau theo và

 Người thứ nhất bắn trượt và người thứ hai bắn trúng.

 Cả hai người cùng bắn trượt.

1.2.3 LUYỆN TẬP

 Ví dụ 1.16

Ba người X,Y, Z đều đầu tư vào bất động sản

Gọi là biến cố “ Người X thành công”

B là biến cố “ Người Y thành công”

C là biến cố “ Người Z thành công”

 Hãy mô tả các biến cố ; ;

A

ABC ABC A B C 

 Chỉ có hai người thành công

 Có ít nhất hai người thành công.

1.3 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

1.3.1 Khái niệm về xác suất

1.3.2 Các định nghĩa về xác suất

1.3.3 Nguyên lý xác suất lớn và nguyên lý xác suất nhỏ

1.3.1 KHÁI NIỆM VỀ XÁC SUẤT

 Xác suất của một biến cố

 Xác suất của một biến cố là một số thực, số thực này đặc trưng cho khả năng xuất hiện khách quan của biến

cố đó.

 Xác suất của biến cố A được ký hiệu là P(A)

1.3.2 CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ XÁC SUẤT

 Định nghĩa xác xuất theo quan điểm cổ điển

 Định nghĩa xác xuất theo quan điểm thống kê

 Định nghĩa xác xuất theo tiên đề

1.3.2 CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ XÁC SUẤT

 Định nghĩa xác xuất theo quan điểm cổ điển.

 Nếu phép thử T có n kết cục đồng khả năng, lập thành

một hệ đầy đủ, trong đó có kết cục thuận lợi cho

biến cố A thì xác suất của biến cố A được xác định như

1.3.2 CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ XÁC SUẤT

 Định nghĩa xác xuất theo quan điểm cổ điển.

Ví dụ 1.17 Gieo con xúc sắc Tính xác suất:

1.3.2 CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ XÁC SUẤT

 Định nghĩa xác xuất theo quan điểm cổ điển.

Ví dụ 1.19. Một người gọi điện thoại, quên mất 2 số cuối của số điện thoại và chỉ nhớ rằng chúng khác

 được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A.

 Khi n đủ lớn, tần suất xuất hiện biến cố A dao động rất

ít xung quanh một số cố định P nào đó thì số P đó đươc gọi là xác suất của biến cố A.

1.3.2 CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ XÁC SUẤT

 Định nghĩa xác xuất theo tiên đề.

 Xác suất P là hàm của biến cố nếu nó thỏa mãn 3 tiên

1.4 CÁC PHÉP TÍNH VỀ XÁC SUẤT

1.4.1 Xác suất có điều kiện

1.4.2 Xác suất của tích các biến cố

1.4.3 Xác suất của tổng các biến cố

1.4.4 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes1.4.5 Luyện tập

1.4.1 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

 Xác suất có điều kiện.

 Xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện biến

cố B đã xảy ra được ký hiệu và xác định như sau:

nếu

 Nhận xét:

( ) ( / )

1.4.1 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

 Xác suất có điều kiện.

 Ví dụ 1.21 Trong một hòm có 100 phiếu, trong đó có

20 phiếu trúng thưởng Hai người lần lượt bốc mỗi người một phiếu.

 Tính khả năng để người thứ nhất bốc trúng thưởng.

 Biết rằng người thứ nhất bốc không trúng thưởng Tính khả năng để người thứ hai bốc trúng thưởng.

1.4.1 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

 Biến cố phụ thuộc:

Biến cố A được gọi là phụ thuộc với biến cố B nếu

 Các biến cố độc lập trong toàn bộ:

Các biến cố được gọi là độc lập trong toàn bộ nếu mỗi biến cố bất kỳ độc lập với tích của

một số bất kỳ trong (n-1) biến cố còn lại

1.4.2 XÁC SUẤT CỦA TÍCH CÁC BIẾN CỐ

 Với 2 biến cố bất kỳ A,B, ta có:

 Cả 3 vé lấy được đều không trúng thưởng.

 Lần thứ nhất lấy được vé không trúng thưởng và lần thứ hai lấy được vé trúng thưởng.

 Hai lần đầu lấy được vé không trúng thưởng và lần thứ

ba lấy được vé trúng thưởng

1.4.3 XÁC SUẤT CỦA TỔNG CÁC BIẾN CỐ

 Với 2 biến cố bất kỳ A,B ta có:

1.4.3 XÁC SUẤT CỦA TỔNG CÁC BIẾN CỐ

 Ví dụ 1.23 Một công ty đấu thầu 3 dự án một cách

độc lập Khả năng trúng thầu của các dự án lần lượt

là 70%; 60%; 80%

 Tính xác suất công ty trúng thầu ít nhất 1 dự án.

 Tính xác suất công ty trúng thầu đúng 1 dự án.

 Tính xác suất công ty trúng thầu đúng 2 dự án.

 Biết rằng công ty trúng thầu đúng 2 dự án, tính xác suất khi đó dự án thứ nhất không trúng thầu.

1.4.3 XÁC SUẤT CỦA TỔNG CÁC BIẾN CỐ

 Ví dụ 1.24 Khả năng gặp rủi ro khi đầu tư vào các

dự án I,II tương ứng là 10%; 8% và gặp rủi ro đồngthời khi đầu tư vào cả 2 dự án là 5% Nếu đầu tư

1.4.4 CÔNG THỨC XÁC XUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ

CÔNG THỨC BAYES

 Công thức xác suất đầy đủ: Giả sử là

một hệ đầy đủ các biến cố B là một biến cố xảy ra

trong cùng phép thử với các biến cố đó Khi đó:

 Công thức Bayes: Với giả thiết giống giả thiết của

công thức xác suất đầy đủ, thêm điều kiện biến cố

B đã xảy ra ta có:

1 , 2 , , n

1 ( ) ( ) ( / )

1.4.4 CÔNG THỨC XÁC XUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ

CÔNG THỨC BAYES

 Ví dụ 1.25 Hai máy cùng chế tạo một loại sản

phẩm, khả năng chế tạo ra chính phẩm của máy 1 là0,9; của máy 2 là 0,8 Chọn ngẫu nhiên một máy

rồi cho máy đó chế tạo một sản phẩm

 Tính xác suất để sản phẩm được chế tạo ra là chính phẩm.

 Nếu sản phẩm được chế tạo ra là chính phẩm, tính xác suất để đó là sản phẩm do máy 1 chế tạo.

1 sang lô 2 Sau đó từ lô 2 người ta lấy ra 1 sảnphẩm

 Tính xác suất để sản phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm tốt.

 Giả sử sản phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm tốt Khả năng đó là sản phẩm của lô 1 bằng bao nhiêu?

1.4.4 CÔNG THỨC XÁC XUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ

CÔNG THỨC BAYES

 Ví dụ 1.27 Ở một nhà máy giày, tỷ lệ các đôi giày

được sản xuất ở các ca sáng, chiều, tối lần lượt là50%, 40% và 10% Tỷ lệ đôi giày bị lỗi trong cácđôi giày được sản xuất ở các ca sáng, chiều, tối lầnlượt là 3%, 5%, 8% Kiểm tra ngẫu nhiên một đôigiày

 Tính xác suất đôi giày được kiểm tra bị lỗi.

 Nếu biết rằng đôi giày được kiểm tra không bị lỗi thì khả năng nó được sản xuất ở ca nào là cao nhất?

1.4.5 LUYỆN TẬP

 Ví dụ 1.28 Một công ty tuyển nhân viên vào làm

việc bằng cách tổ chức 3 vòng thi Vòng 1 lấy 80% thí sinh, vòng 2 lấy 60% thí sính của vòng 1, vòng

3 lấy 40% thí sính của vòng 2 Khả năng vượt qua mỗi vòng thi của các thí sinh là như nhau

 Tính xác suất để một thí sinh vượt qua 3 vòng thi.

 Một thí sinh bị loại Tính xác suất để thí sinh đó bị loại

ở vòng 2.

1.4.5 LUYỆN TẬP

 Ví dụ 1.29 Người ta bắn liên tiếp 3 phát đạn vào

một mục tiêu Khả năng trúng mục tiêu của 3 phátđạn lần lượt là 0,9; 0,8; 0,7 Nếu có ít nhất 2 phátđạn trúng thì mục tiêu bị tiêu diệt, còn nếu có 1phát trúng thì khả năng mục tiêu bị tiêu diệt là 0,6

 Tính xác suất mục tiêu bị tiêu diệt.

 Nếu mục tiêu bị tiêu diệt thì khả năng chỉ có một phát đạn trúng mục tiêu là bao nhiêu?

1.4.5 LUYỆN TẬP

 Ví dụ 1.30. Có 4 nhóm sinh viên thực tập Nhóm thứ nhất có 5 sinh viên, nhóm thứ hai có 7 sinh viên, nhóm thứ ba có 4 sinh viên, nhóm thứ tư có 2 sinh viên Xác suất hoàn thành chương trình thực tập của các nhóm lần lượt là: 0,8; 0,7; 0,6; 0,5 Kết thúc đợt thực tập, người ta chọn ngẫu nhiên một sinh viên từ 4 nhóm để đánh giá.

 Tính xác suất sinh viên được chọn không hoàn thành chương trình thực tập.

 Giả sử chọn được sinh viên hoàn thành chương trình thực tập Sinh viên này có khả năng cao nhất thuộc nhóm nào?

1.4.5 LUYỆN TẬP

 Ví dụ 1.31. Có 3 hộp sản phẩm, hộp 1 có 15 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm; hộp 2 có 18 sản phẩm trong đó

có 2 phế phẩm; hộp 3 có 20 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm Một người chọn ngẫu nhiên một hộp, từ hộp đó chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm Nếu cả 2 sản phẩm đều là chính phẩm thì người đó được coi là thắng cuộc

 Tính xác suất để người đó thắng cuộc

 Nếu biết rằng người đó thắng cuộc, khả năng người đó chọn được hộp nào lớn hơn?

Chương 2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN - CÁC QUY LUẬT

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

 Nội dung chính:

2.1 Đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất2.2 Tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên2.3 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng2.4 Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều

2.1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

2.1.1 Định nghĩa - phân loại đại lượng ngẫu nhiên2.1.2 Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên

2.1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

 Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng có

thể nhận bất kỳ một trong các giá trị có thể của nótrong phép thử với xác suất tương ứng xác định

 Một số kí hiệu:

 Đại lượng ngẫu nhiên được kí hiệu là X, Y, Z… hoặc

X1, X2, X3, …

 Các giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên X được

kí hiệu là x 1 , x 2 , x 3 , … Khi đó, ta viết:

X: x1, x2, x3, …

2.1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

 Một số kí hiệu:

 Biến cố “Đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị x i ” được

viết là (X = x i ) và xác suất tương ứng là P(X = x i).

 Biến cố “Đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị trong

khoảng ( ;  )” được viết là (  < X <  ) và xác suất

tương ứng là P( < X <  ).

 Biến cố “Đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị trong

đoạn [ ;  ]” được viết là (  ≤ X ≤  ) và xác suất tương

ứng là P(≤ X ≤  ).

2.1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

 Ví dụ 2.1: Tung một con xúc xắc Gọi X là số chấm

xuất hiện ở mặt trên con xúc xắc Ta có X là một đại lượng ngẫu nhiên và X: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

 Ví dụ 2.2: Tung một đồng xu cho tới khi xuất hiện

mặt sấp thì dừng lại Gọi Y là số lần tung đồng xu.

Ta có Y là một đại lượng ngẫu nhiên và Y: 1, 2, …

2.1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

 Ví dụ 2.3: Một máy sản xuất các sản phẩm một

cách tự động Sản phẩm ngắn nhất có chiều dài 99

cm Sản phẩm dài nhất có chiều dài 100 cm Gọi Z

là chiều dài của một sản phẩm bất kỳ do máy đósản xuất

Ta có Z là một đại lượng ngẫu nhiên và Z: 99 100; 

2.1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

 Phân loại đại lượng ngẫu nhiên:

 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: là đại lượng ngẫu nhiên

mà tập các giá trị có thể có của nó là một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.

 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: là đại lượng ngẫu nhiên

mà tập các giá trị có thể có của nó lấp đầy một hoặc một số khoảng nào đó trên trục số và xác suất để đại lượng ngẫu nhiên đó nhận giá trị tại từng điểm đều bằng 0, nghĩa là: P X  x0     0, x0 R.

2.1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

2.1.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

 Bảng phân phối xác suất

2.1.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

 Bảng phân phối xác suất

 Giả sử X: x1, x2, … x n với Khi

đó, bảng sau gọi là bảng phân phối xác suất của X:

2.1.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

 Bảng phân phối xác suất

 Nếu tập các giá trị có thể có của X là tập vô hạn thì

bảng phân phối xác suất của X là:

2.1.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

 Bảng phân phối xác suất

 Ví dụ 2.4: Gọi X là số chấm xuất hiện khi tung 1 con

xúc xắc cân đối và đồng chất thì X có bảng phân phối

xác suất như sau: