Hình chiếu vuông góc của điểm A ' lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC.. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A 'B'C '.. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD..
Trang 1SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013
(Đề thi gồm 01 trang)
Môn thi: TOÁN - THPT BẢNG A
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I: (3,0 điểm)
Cho hàm số y 2x 1
x 1
có đồ thị (C) và điểm P 2;5 Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác PAB đều
Câu II: (6,0 điểm)
1 Giải phương trình 3 x 1 2 1 x
x 2 2x 1 3
2 Giải hệ phương trình
1 1
xy 1 x y 2
Câu III: (6,0 điểm)
1 Cho lăng trụ ABC.A 'B'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của điểm A ' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách giữa
hai đường thẳng AA ' và BC bằng a 3
4 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A 'B'C '
2 Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AG và cắt các cạnh AB, AC, AD tại các điểm (khác A ) Gọi
h , h , h , h lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến mặt phẳng
Chứng minh rằng:
2
A
h h h
h 3
Câu IV: (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm A 1; 1 và đường tròn
T : x32 y22 25 Gọi B, C là hai điểm phân biệt thuộc đường tròn T ( B, C khác A ) Viết phương trình đường thẳng BC , biết I 1;1 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
Câu V: (2,5 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
3
a ab abc a b c
Đề thi chính thức
Trang 2SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN THPT- BẢNG A
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
I
(3,0đ)
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là:
2x 1
x m
x 1
x (m3)xm 1 0 1 , với x 1 0,5 Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương
trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác 1
2
m 2m 13 0 0.m 3 0
(đúng m )
0,5
Gọi x , x là các nghiệm của phương trình (1), ta có: 1 2 1 2
1 2
x x m 3
x x m 1
Giả sử A x ; x 1 1 m, B x ; x 2 2 m
0,5
Khi đó ta có: AB 2 x 1x22
1 2 1 2 1 2 2 2
PA x 2 x m 5 x 2 x 2 ,
2 2 2 2 2 2 1 2
PB x 2 x m5 x 2 x 2 Suy ra PAB cân tại P
0,5
Do đó PABđều PA2 AB2
x1 22 x2 22 2 x 1 x22 x1 x22 4 x 1 x2 6x x1 2 8 0
m 4m 5 0
m 5
Vậy giá trị cần tìm là m 1, m 5 0,5
II
1,
(3,0đ)
ĐKXĐ: x 1
x 13
Phương trình đã cho tương đương với 3
x2 x 1 2 2x 1 3
0,5
x 1 x 1 x 1 2x 1 2x 1 (1)
Xét hàm số 3
f t t ; t 2
f ' t 3t 1 0, t Suy ra hàm số f t liên tục và đồng biến trên 0,5
Pt(1)f x1 f 2x 1 x 1 2x 1 0,5
Trang 3 3 2 3 2
1 x
x
x x x 0
x 2
0,5
Đối chiếu ĐKXĐ được nghiệm của phương trình đã cho là:
1 5 x
2
II
2,
(3,0đ)
ĐKXĐ: x 0
y 0
Ta có hệ phương trình đã cho tương đương với:
2 2
x 1 y 1 2xy
0,5
2 2
*
, đặt
1
u x
x 1
v y
y
Hệ phương trình * trở thành 2 2 2
0,5
u v 3
uv 2
(I) hoặc u v 3
uv 2
(II)
Ta có:
u 1 I
v 2 hoặc
u 2
v 1
u 1 II
v 2 hoặc
u 2
v 1
Vì u x 1 u 2
x
nên chỉ có u 2
v 1
và u 2
v 1
thỏa mãn
0,5
u 2
v 1
ta có
1
x 1
x
1 5
y
(thỏa mãn ĐKXĐ) 0,5
u 2
ta có
1
x 1
x
1 5
(thỏa mãn ĐKXĐ) 0,5
Trang 4A'
C' B'
C
B
G A
D
III
1,
(3,0đ)
Diện tích đáy là
2
ABC
a 3 S
4
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
0,5
Gọi E là trung điểm BC Ta có BC AE BC AA'E
BC A 'G
Gọi D là hình chiếu vuông góc của E lên đường thẳng AA '
0,5
Do đó BCDE, AA'DE
Suy ra DE là khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và BC 0,5 Tam giác ADE vuông tại D suy ra sin DAE DE 1 DAE 300
AE 2
Xét tam giác A 'AG vuông tại G ta có A 'G AG.tan 300 a
3
Vậy
3
ABC.A ' B'C ' ABC
a 3
V A 'G.S
12
III
2,
(3,0đ)
Gọi B', C', D ' lần lượt giao điểm của
mp với các cạnh AB, AC, AD
Ta có VAGBC VAGCD VAGDB 1VABCD
3
0,5
Vì VAB' C' D ' VAIB' C' VAIC' D ' VAID ' B' và (*) nên
AB'C'D ' AIB'C' AIC'D ' AID 'B'
AB'.AC'.AD ' AI.AB'.AC' AI.AC '.AD ' AI.AD'.AB' AB.AC.AD 3.AG.AB.AC 3.AG.AC.AD 3.AG.AD.AB
AB AC AD AG
3 6 AB' AC' AD' AI
AB' AC ' AD'
0,5
I
G
A
B
C D C'
Trang 5Mặt khác ta có B C D
h
AB' h AC ' h AD' h 0,5 Suy ra B C D
h
3 h h h 3h
Ta có: 2 2 2 2
h h h 3 h h h
hB hC2 hC hD2 hD hB2 0
( luôn đúng )
Kết hợp với (**) ta được 2 2 2 2
3h 3 h h h Hay
2
A
h h h
h 3
0,5
IV
(2,5đ)
Đường tròn T có tâm K 3;2 bán kính là R5
Ta có AI :xy , khi đó đường thẳng AI 0
cắt đường tròn T tại A '( A' khác A ) có tọa
độ là nghiệm của hệ
x 32 y 22 25 x 1
y 1
x y 0
(loại)
hoặc x 6
y 6
Vậy A ' 6;6
0,5
Ta có: A 'BA 'C (*) (Do BA 'CA ')
A 'BCBAI (1) (Vì cùng bằng IAC )
Mặt khác ta có ABIIBC (2)
Từ (1) và (2) ta có: BIA 'ABIBAIIBCA 'BCIBA '
Suy ra tam giác BA 'I cân tại A ' do đó A 'BA 'I (**)
Từ * , ** ta có A 'BA 'C A 'I
0,5
Do đó B, I,C thuộc đường tròn tâm A ' bán kính A 'I có phương trình là
Suy ra tọa độ B, C là nghiệm của hệ
x 3 y 2 25
x 6 y 6 50
Nên tọa độ các điểm B,Clà : (7; 1),( 1;5)
0,5
Khi đó I nằm trong tam giác ABC (TM)
Vậy phương trình đường thẳng BC : 3x4y 17 0 0,5
V
(2,5đ)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
3 1 a 4b 1 a 4b 16c 4
K
A
I
B
C
A'
Trang 6Đặt t a b c, t Khi đó ta có: 0 P 3 3
2t t
Xét hàm số f t 3 3
2t t
với t ta có 0 f ' t 3 32
2t 2t t
2
2t 2t t
0,5
Bảng biến thiên
t 0 1
f ' t 0 +
f t
0
3
2
Do đó ta có
t 0
3 min f t
2
khi và chỉ khi t 1
0,5
Vậy ta có P 3
2
, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
16 a 21
b
a 4b 16c 21
1 c 21
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3
2
khi và chỉ khi a, b,c 16 4, , 1
21 21 21
0,5
- - Hết - -
Chú ý: - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng
- Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm
