BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNHĐỀ TÀI CHỦ ĐỀ 1 TEAMWORK PROJECT

4 Thuật toán ma trận tam giácTrong đại số tuyến tính, thuật toán ma trận tam giác là một dạng đơn giản hơn của phép khử Gauss, được dùng để giải các hệ phương trình mà có thể viết thành

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

MỤC LỤC

-

PHẦN 0: BẢNG PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ VÀ THEO DÕI TIẾN ĐỘ LÀM VIỆC CỦA NHÓM 3

PHẦN 1: TRÌNH BÀY LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN CHỦ ĐỀ ĐƯỢC GIAO 3

I Phương pháp Newton 3

1 Công thức hình thang 4

2. 4

3. 4

II .8

III 10

IV 12

V .13

PHẦN 2: TRÌNH BÀY NỘI DUNG BÀI LÀM VÀ KẾT QUẢ CÓ ĐƯỢC 14

I ĐỀ BÀI NỘI DUNG TIẾNG ANH 14

II NỘI DUNG BÀI LÀM VÀ KẾT QUẢ CÓ ĐƯỢC 16

1 Bài 1 a 16

2 Bài 1 b 22

PHẦN 3: MỞ RỘNG HOẶC ÁP DỤNG KẾT QUẢ CỦA CHỦ ĐỀ CHO CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ 35

PHẦN 4: KẾT LUẬN, NHẬN XÉT 37

PHẦN 0: BẢNG PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ VÀ THEO DÕI TIẾN ĐỘ LÀM VIỆC

1 Phương pháp Newton:

Xét phương trình f x( ) 0 trong khoảng cách ly nghiệm  a b;

chứa duy nhất nghiệm chính xác p Gỉa sử hàm f x( ) có đạo hàm trong  a b;

Ta xây dựng pp Newton hình học như sau: từ điểm có hoành độ x n1trên đồ thị của đường cong

( )

yf x , ta kẻ tiếp tuyến với đường cong Hoành độ giao điểm có tiếp tuyến với

đường cong Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành sẽ là x n Ta dễ dàng viết phương trình tiếp tuyến:

1

( ) '( )

Định lý: Gỉa sử hàm f x( )có đạo hàm đến cấp 2 liên tục và các đạo hàm f x'( )và''( )

f x không đổi dấu trên đoạn  a b;

Khi đó nếu chọn x0 thỏa điều kiện Fourier

Trong công thức ( * ) , cho n1ta được z0 a z, 1b h b a y,   , 0 f a y( ), 1f b( ) Từ

các tính chất của hệ số Cotes H0 H11và H0 H1, ta thu được 0 1

1 2

H H 

khi đó công thức trên có dạng:

Trong công thức đánh giá sai số của công thức Newton-Cotes, cho n=1 ta thu được

 a b;

và áp dụng công thức hình thang trên từng đoạn nhỏ Cụ thể, chia đoạn  a b,

thành n đoạn bằng nhau với bước chia

b a h

4 Thuật toán ma trận tam giác

Trong đại số tuyến tính, thuật toán ma trận tam giác là một dạng đơn giản hơn của phép khử Gauss, được dùng để giải các hệ phương trình mà có thể viết thành ma trận tam giác

Tương tự như trong trường hợp công thức hình thang, ta chia đoạn thành n =2m đoạn

nhỏ bằng nhau với bước chia h = và sử dụng công thức ( ** ) cho từng cặp đoạn nhỏ

liền nhau , ta thu được công thức Simpson mở rộng :

I= =

và sai số của nó được đánh giá bởi

≤ ( b - a )

I.

ĐỀ BÀI NỘI DUNG TIẾNG ANH

Problem 1 A spherical tank has a circular orifice in its bottom through which the liquid flows out The following data is collected for the flow rate through the orifice as a

function of time

Write a script with supporting functions

(a) to estimate the volume of fluid (in liters) drained over the entire measurement period

(b) to estimate the liquid level in the tank at t = 0 s Note that r = 1.5 m

Bài 1 Một bể hình cầu có một lỗ tròn ở đáy để chất lỏng chảy ra ngoài Dữ liệu sau được thu thập cho tốc độ dòng chảy qua lỗ dưới dạng một hàm của thời gian

Viết kịch bản với các chức năng hỗ trợ

(a) để ước tính thể tích chất lỏng (tính bằng lít) thoát ra trong toàn bộ thời gian đo

(b) để ước lượng mực chất lỏng trong bình tại t = 0 s Lưu ý rằng r = 1,5 m

Problem 2 Let R be the rectangle [0; 2] × [1; 4]

(a) Let f (x; y) = x cos ( + y) Calculate the integral

(b) Study the Simpson formula Develop a function to estimate the integral in R using

Simpson formula

(c) Let n and m be the number of sub-interval in x and y components, respectively

Estimate the integral with [n, m] = [40, 60] and [n, m] = [80, 120] and estimate the errors.

Bài 2 Cho R là hình chữ nhật [0; 2] × [1; 4]

(a) Cho f (x; y) = x cos ( + y) Tính tích phân

(b) Nghiên cứu công thức Simpson Xây dựng một hàm để ước tính tích phân trong R bằng công thức Simpson

(c) Gọi m và n lần lượt là số khoảng con trong x và y thành phần Ước lượng tích phân

với [n, m] = [40, 60] và [n, m] = [80, 120] và ước lượng sai số.

Problem 3 Heat is conducted along a metal rod positioned be- tween two fixed

temperature walls Aside from conduction, heat is transferred between the rod and the surrounding air by convection Based on a heat balance, the distribution of temperature along the rod is described by the following second order differential equation

where T = temperature (K), h = a bulk heat transfer coefficient reflecting the relative importance of convection to conduction m −2 , x =distance along the rod (m), and T∞ =

temperature of the sur-rounding fluid (K)

(a) Convert this differential equation to a equivalent system of simultaneous algebraic equations using a centered difference approximation for the second derivative

(b) Develop a function to solve these equations from x = 0 to L and return the resulting

distances and temperatures, in which, the algebraic equations must be solved by

tridiagonal matrix

(c) Develop a script that invokes this function and then plots the results

(d) Test your script for the following parameters: h = 0.0425 m−2,

L = 12 m, T∞ = 220 K, T(0) = 320 K, T(L) = 450 K, and ∆x = 0.5 m.

Bài 3 : Nhiệt được dẫn dọc theo một thanh kim loại được định vị giữa hai bức tường nhiệt

độ cố định Bên cạnh quá trình dẫn, nhiệt được truyền giữa thanh và không khí xung quanh bằng cách đối lưu Dựa trên sự cân bằng nhiệt, sự phân bố nhiệt độ dọc theo thanh được mô tả bằng phương trình vi phân bậc hai sau đây :

Trong đó T = nhiệt độ (K), h = hệ số truyền nhiệt khối lượng lớn phản ánh tầm quan trọng tương đối của đối lưu đối với sự dẫn m − 2, x = khoảng cách dọc theo thanh (m), và T∞ = nhiệt độ của chất lỏng chảy vòng (K )

(a) Chuyển đổi phương trình vi phân này thành một hệ phương trình đại số đồng thời tương đương bằng cách sử dụng phép gần đúng sai phân trung tâm cho đạo hàm cấp hai.(b) Xây dựng một hàm để giải các phương trình này từ x = 0 đến L và trả về khoảng cách

và nhiệt độ thu được, trong đó, các phương trình đại số phải được giải bằng ma trận tam giác

(c) Phát triển một tập lệnh gọi hàm này và sau đó vẽ sơ đồ kết quả

(d) Kiểm tra tập lệnh của bạn cho các thông số sau: h = 0.0425 m −2 , L = 12 m, T∞ = 220

- Gọi hàm trapezoidal để tính dựa theo công thức hình thang, sau đó in ra kết quả

- Trong hàm trapezoidal(X,Y), đầu tiên lấy kích thước của vector X:

- Sau đó, chạy vòng lặp để tính tổng dựa theo CT hình thang:

Dùng phương pháp Newton để giải với sai số

Xét thấy các khoảng cách ly nghiệm là (-3;0); (0;3); (3;4) mà nên chọn khoảng (0,3) Để đảm bảo và nên

Chọn khoảng cách ly nghiệm là

Chọn theo điều kiện fourier

Code 1b

- Khai báo các giá trị ban đầu:

- Trong hàm newtown, đầu tiên, tính đạo hàm cấp 1, sau đó tính m = min|f’(x)|

- Tính giá trị x0 theo điều kiện Fourier

- Chạy vòng lặp để tính theo CT Newton, điều kiện dừng là sai số < 10^-5:

- In ra kết quả:

>

13

Kết quả:

- Trong hàm, ta sẽ dùng thuật toán simpson cho tích phân 2 lớp (tính theo x, sau đó trong

x tính theo y)

17

BÀI 3

a)

Ta có:

2 ( ) ( ) ( )

1 2 3

21 22 23

T T

T T

b, c)

Ta có:

1 2 3

21 22 23

T T

T T

- Hàm bai3 nhận vào tham số h, L, Tinf(, TL, deltaX và trả về 3 ma trận A, B và X

- Trong hàm bai3, đầu tiên ta khởi tạo các giá trị ban đầu:

- Sau đó, cho vòng lặp để tính ma trận A và B:

19

- Dùng lệnh LinearSolve để giải hệ phương trình AX = B

- Hàm plotGraph nhận vào vector x và L sau đó vẽ đồ thị

Thay các giá trị và gọi hàm

Ma trận B Ma trận C

Đồ thị T

21

23