TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT HƯNG YÊN . BÀI GIẢNG HỌC PHẦN VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG

2 Chương 1: THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP ANHXTANH 1.1 Chuyển động tương đối và nguyên lí Galilê 1.1.1 Không gian và thời gian trong cơ học cổ điển Xét hai hệ toạ độ: một hệ Oxyz đứng yên, một

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT HƯNG YÊN

Bộ môn Vật lý - Khoa Khoa học cơ bản

BÀI GIẢNG HỌC PHẦN VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2

(Số đơn vị học trình: 03)

(Lưu hành nội bộ)

Hưng Yên, năm 2010

2

Chương 1: THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP ANHXTANH

1.1 Chuyển động tương đối và nguyên lí Galilê

1.1.1 Không gian và thời gian trong cơ học cổ điển

Xét hai hệ toạ độ: một hệ Oxyz đứng yên, một hệ O’x’y’z’ chuyển động so với hệ

O Để đơn giản ta giả thiết chuyển động của

hệ O’ thực hiện sao cho O’x’ luôn trượt theo

Ox Xét một điểm M bất kỳ: tại một lúc chỉ bởi đồng hồ của hệ O, M có toạ độ trong hệ

O, là x,y,z: các toạ độ thời gian và không gian tương ứng của M trong hệ O’ là t’, x’, y’, z’

* Thời gian chỉ bởi các đồng hồ trong hai hệ O và O’ là như nhau:

Nói cách khác thời gian có tính tuyệt đối không phụ thuộc vào hệ quy chiếu

* Vị trí của M trong không gian được xác định tuỳ vào hệ quy chiếu Cụ thể toạ

độ không gian của M phụ thuộc vào hệ quy chiếu (hình vẽ)

Vị trí trong không gian có tính chất tương đối phụ thuộc vào hệ quy chiếu Do

đó c/đ có tính chất tương đối phụ thuộc vào hqc

Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong không gian là một đại lượng không phụ thuộc vào hệ quy chiếu Giả sử có một cái thước AB đặt dọc theo trục O’x’, gắn lion với hệ O’ Chiều dài của thước trong hệ O’ cho bởi:

lo = x’B - x’A Chiều dài của thước đo trong hệ O cho bởi:

l = xB - xA nhưng theo (1-2): xA = OO' + x’A và xB = OO' + x’B

do đó: xB - xA = x’B - x’A Nghĩa là : l = lo

Nói cách khác: khoảng không gian có tính chất tuyệt đối, không phụ thuộc vào

hệ quy chiếu

Chúng ta xét trường hợp riêng: chuyển động của hệ O’ là thảng và đều Nếu t=0, O’ trùng với O thì: OO’ = V.t

V là vận tốc chuyển động của hệ O’ Theo (1-1) và (1-2) ta có:

x’

x'

y y'’

z z'’

M

O O'

3

và ngược lại

Công thức (1-3) và (1-4) gọi là phép biến đổi Galilê, chúng cho phép chuyển đổi từ hqc này sang hqc khác và ngược lại

1.1.2 Tổng hợp vận tốc và gia tốc

Xét hai hệ toạ độ: một hệ Oxyz đứng yên, một hệ O’x’y’z’ chuyển động so với

hệ O (hình vẽ)

Đặt OM r, O'M'r' theo hình vẽ ta có:

' ' ' O M OO

Ta lấy đạo hàm hai vế của (1-5) theo thời gian t:

dt

OO d dt

dr dt

dr ' ( ' )



 (1-6) Như vậy (1-6) trở thành: vv' V (1-7) Vectơ vận tốc của một chất điểm đối với hqc O bằng tổng hợp vectơ vận tốc đối với chất điểm đó đối với hqc O’ c/đ tịnh tiến với hqc O và vectơ vận tốc tịnh tiến của

hqc O’ đối với hqc O

Lấy đạo hàm (1-7) theo t ta được:

dt

dV dt

dv dt

dv



Vectơ gia tốc của một chất điểm đối với hqc O bằng tổng hợp vectơ gia tốc đối với chất điểm đó đối với hqc O’ c/đ tịnh tiến với hqc O và vectơ gia tốc tịnh tiến của

hqc O’ đối với hqc O

1.1.3 Nguyên lý tương đối Galilê

Xét hai hệ quy chiếu khác nhau: một hệ Oxyz đứng yên, một hệ O’x’y’z’

chuyển động so với hệ O Ta giả thiết O là một hệ quán tính mà trong đó đ/l Newton

được thoả mãn Như vậy phương trình c/đ của chất điểm trong hệ O cho bởi định luật

Newton là:

F m.a (1-9) Theo (1-8) ta có aa'A ,trong đó A là gia tốc của chuyển động O’ so với hệ O

Nếu O’ c/đ thẳng đều đối với hệ O thì A 0và aa'

Vậy (1-9) có thể viết: F m .a' (1-10)

4

Đó là phương trình chuyển động của chất điểm trong hệ O’ Phương trình này cùng một dạng như (1-9) Nói cách khác định luật Newton cũng thoả mãn trong hệ O’,

Kết quả O’ cũng là hqc qt

Ta có thể phát biểu như sau:

Mọi hqc c/đ thẳng đều vơi một hqc qt cũng là hqc qt

Các đ/l Newton được nghiêm đúng trong hqc c/đ thẳng đều đối với hqc qt

Các phương trình động học trong các hqc qt có dạng như nhau

Đó là những cách phát biểu khác nhau của nguyên lý tương đối Galilê Các hiện tượng các quá trình cơ học trong hqc qt khác nhau đều xảy ra như nhau Do đó nếu có người quan sát và thí nghiệm các hiện tượng, các quá trình cơ học

trong một hqc qt nào đó, thì người đó sẽ không thể phát hiện được hgqc đó đứng yên

hay c/đ thẳng đều, và cả 2 tr/h kết quả thu được giống nhau

VD: Đoàn tầu đang đi

1.1.4 Lực quán tính

Bây giờ ta xét các định luật động lực học trong một hqc O’ c/đ có gia tốc A đối với hqc qt O Gọi a' là gia tốc c/đ của chất điểm đối với hệ O’ thì ta có:

A a

a '

Nhân 2 vế với m: m am a' m A

Do đó: F m.a' m A hay m a' F(m A) (1-11) Phương trình này không cùng dạng với (1-9) Khi khảo sát c/đ của chất điểm trong hệ O’ tịnh tiến có gia tốc đối với hqc qt O thì ngoài lực tác dụng lên chất điểm

còn phải kể thêm lực : F qt  m A (1-12)

Lực F qt  m A gọi là lực quán tính Hqc O’ gọi là hệ không quán tính Lực quán tính luôn cùng phương và ngược chiều với gia tốc chuyển động của

hệ quy chiếu không quán tính

VD: thang máy lúc đi lên (hợp lực tác dụng lên người là m g(m A)

1.2 Các tiên đề của Anhxtanh

1.2.1 Nguyên lý tương đối

Mọi định luật vật lý đều như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính

1.2.2 Nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng

5

Vận tốc sáng trong chân không đều bằng nhau đối với mọi hệ quán tính Nó có giá trị bằng c = 3.108 m/s và là giá trị vận tốc cực đại trong tự nhiên

1.3 Động học tương đối tính Phép biến đổi Loren và các hệ quả của nó

1.3.1 Sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galile với thuyết tương đối Anhxtanh

Theo phép biến đổi Galile, thời gian biểu diễn một quá trình vật lý trong các hệ quy chiếu quán tính K và K’ đều như nhau: t = t’

Khoảng các giữa hai điểm 1 và 2 nao đó trong các hệ K và K’ đều bằng nhau

l = x2 - x1 = l’ = x2’ - x1’ Vận tốc tuyệt đối v bằng tổng vận tốc tương đối v’ và vận tốc theo V của hệ quán tính K’ đối với hệ quán tính K

Tất cả các kết quả trên đúng với các chuyển động chậm (v<<c) Nhưng chúng mâu thuẫn với các tiên đề của Anhxtanh Theo thuyết tương đối thời gian không có tính chất tuyệt đối, thời gian phụ thuộc vào hệ quy chiếu Đặc biệt các hiện tượng xảy

ra đồng thời trong hqc này sẽ không đồng thời xảy ra trong hqcqt khác Để minh họa cho hiện tượng này ta xét ví dụ sau

Giả sử có hai hệ quán tính K và K’ với các trục tương ứng x,y,z và x’,y’,z’ Hệ K’ chuyển động thẳng đều với vận tốc V so với hệ K’ theo phương x (hình vẽ)

Từ một điểm A bất kỳ, trên trục x’ có đặt một bang đèn phát tín hiệu sáng theo hai hướng ngược nhau của trục x Đối với hệ K’ bang đèn đứng yên vì nó cùng chuyển động với hệ K’ Do vận tốc tín hiệu sáng theo mọi phương đều bằng c, nên ở hệ K’ các tín hiệu sáng sẽ tới các điểm B và C cách đều A cùng một lúc Nhưng các tín hiệu sáng tới các điểm B và C sẽ xảy ra không đồng thời ở trong hệ K Thực vậy theo nguyên lí tương đối Anhstanh vận tốc truyền ánh sáng trong hệ K’ vẫn bằng c Nhưng vì đối với

hệ K, điểm B chuyển động tới gặp tín hiệu sáng gửi từ A đến B còn điểm C chuyển động ra xa khỏi tín hiệu sáng gửi từ A tới C, do dó ở trong hệ K tín hiệu sáng sẽ tới điểm B sớm hơn

Định luật cộng vận tốc (1-13), hệ quả của nguyên lí tương đối Galilê cũng không được áp dụng ở đây Thực vậy, theo nguyên lí này vận tốc truyền ánh sáng theo chiều dương của trục x sẽ bằng c+V, và theo chiều âm của trục x sẽ bằng c-V Điều này mâu thuẫn với thuyết tương đối Anhstanh

1.3.2 Phép biến đổi Loren

Qua trên ta nhận thấy, phép biến đổi Galilê không thỏa mãn các yêu cầu của thuyết tương đối Phép biến đổi các tọa độ không gian và thời gian khi chuyển từ hệ

6

quán tính này sang hệ quán tính khác, thỏa mãn các yêu cầu của thuyết tương đối Anhstanh, do Loren tim ra được mang tên ông Để cụ thể ta xét hai hệ quán tính K và K’ nói trên Giả sử lúc đầu hai gốc O và O’ của hai hệ trung nhau, hệ K’ chuyển động

so với hệ K với vận tốc v theo phương x Gọi xyzt và x’y’z’t’ là các tọa độ không gian

và thời gian lần lượt xét trong các hệ K và K’ Vì theo thuyết tương đối thời gian không có tính chất tuyệt đối mà trái lại phụ thuộc vào hệ quy chiếu nên thời gian trôi

đi trong hai hệ sẽ khác nhau, nghĩa là: t ≠ t’

Giả sử tọa độ x’ liên hệ với x và t theo phương trình:

để tìm dạng của phương trình f(x,t) chúng ta viết phương trình chuyển động của các gốc tọa độ O và O’ ở trong hai hệ K và K’ Đối với hệ K, gốc O’ chuyển động với vận tốc V Ta có:

Trong đó x là tọa độ của gốc O’ xét với hệ K Còn đối với hệ K’ gốc O’ la đứng yên Tọa độ x’ của nó trong hệ K’ bao giờ cũng bằng 0

Ta có: x’ = 0 Muốn cho phương trình (1-14) áp dụng đúng cho hệ K’, nghĩa là khi thay x’=0 vào (1-14) ta phảI thu được (1-15), thì f(x,t) chỉ có thể khác (x-V.t) một hằng số nhân

α nào đó

Đối với hệ K’ gốc O chuyển động với vận tốc -V Nhưng đối với hệ K gốc O là đứng yên Lập luận tương tự như trên ta có

trong đó  là hệ số nhận Trước tiên theo tiên đề thứ nhất của Anhxtanh mọi hệ quán tính đều tương đương nhau, nghĩa là từ (1-16) ta có thể suy ra (1-17) và ngược lại bằng cách thay thế

V  -V, x’  x, t’  t Ta dễ dàng rút ra: α = 

Theo tiên đề thứ 2, ta có trong hệ K và K’: nếu x=c.t thì x’=c.t’, thay các biểu thức này vào (1-16) và (1-17) ta được:

2

2

1 1

c

V





Như vậy ta có

2

2

1 '

c V

Vt x x





 ,

2

2

1

' '

c V

Vt x x







7

Và

2 2 2

1 '

c V

x c

V t t





2 2 2

1

' '

c V

x c

V t t







Vì hệ K’ luôn chuyển động dọc theo trục x nên rõ ràng là y=y’ và z=z’

Tóm lại ta thu được công thức biến đổi Loren:

2

2

1 '

c V

Vt x x





2 2 2

1 '

c V

x c

V t t





Cho phép biến đổi toa độ và thời gian từ hệ K sang hệ K’ và

2

2

1

' '

c V

Vt x x





2 2 2

1

' '

c V

x c

V t t





Cho phép biến đổi toa độ và thời gian từ hệ K’ sang hệ K Các công thức (1-19) và (1-20) được gọi là phép biến đổi Loren Qua đó ta thấy mối liên hệ mật thiết giữa không gian và thời gian

c

V

thì các công thức (1-19) và (1-20) sẽ chuyển thành:

x’ = x - Vt; y’ = y; z’ = z; t’ = t ;

x = x’ + Vt’; y = y’; z = z’; t = t’; nghĩa là trở thành các công thức của phép biến đổi Galilê Điều kiện c  

c

V

tương ứng với sự gần đúng cổ điển

Khi V > c, trong các công thức trên các tọa độ x, t trở nên ảo, điều đó chứng tỏ không thể có các chuyển động với vận tốc lớn hơn vận tốc ánh sáng Cũng không thể dùng hệ quy chiếu chuyển động bằng vận tốc ánh sáng, vì khi đó mẫu số trong công thức (1-19) và (1-20) sẽ bằng không

1.4 Các hệ quả của phép biến đổi Loren

1.4.1 Khái niện về tính đồng thời và quan hệ nhân quả

Giả sử trong hệ quán tính K có hai hiện tượng : hiện tượng A1(x1y1z1t1) và hiện tượng A2(x2y2z2t2) với x1≠x2 Chúng ta hãy xét trong khoảng thời gian t2-t1 giữa hai hiện tượng đó trong hệ K’, chuyển động với vận tốc V dọc theo trục x Từ các phép biến đổi Loren ta thu được :

8

2 2

1 2 2 1 2 1 2

1

) (

' '

c V

x x c

V t t t t











Từ đó ta thấy rằng các hiện tượng xảy ra đồng thời trong hệ K (t2=t1) sẽ không

biến cố xảy ra đồng thời tại một điểm có cùng giá trị x (tọa độ y có thể khác nhau)

Như vậy khái niệm đồng thời chỉ là khái niệm tương đối, hai biến cố đồng thời xảy ra trong hệ quy chiếu này sẽ không đồng thời xảy ra trong một hệ quy chiếu khác

Các công thức (1-21) cũng chứng tỏ rằng đối với các biến cố đồng thời trong hệ

K, dấu của t’2-t’1 được xác định bởi dấu của biểu thức (x2-x1)V Do đó, trong các hệ quán tính khác nhau, hiệu t’2-t’1 sẽ không những khác nhau về độ lớn mà còn khác nhau về dấu Điều đó nghĩa là thứ tự các biến cố A1 và A2 cơ thể bất kỳ (A1 có thể xảy

ra trước A2 hoặc ngược lại)

Tuy nhiên điều vừa trình bày không được xét cho các biến cố có liên hệ nhân quả với nhau Liên hệ nhân quả là liên hệ giữa nguyên nhân và kết quả Nguyên nhân bao giờ cũng xảy ra trước kết quả, quyết định sự ra đời của kết quả

Thí dụ : một viên đạn bắn ra (nguyên nhân), viên đạn trúng đích (kết quả) Thứ

tự các biến cố có quan hệ nhân quả bao giờ cũng được đảm bảo trong mọi hệ quán tính Nguyên nhân xảy ra trước, kết quả xảy ra sau Ta xét chi tiết hơn thí dụ vừa nêu Gọi A1(x1t1) là biến cố - viên đạn được bắn ra, và A2(x2t2) là biến cố - viên đạn trúng đích Coi hai biến cố đều xảy ra trên trục x Trong hệ K, t2>t1 Gọi v là vận tốc viên đạn và giả sử x2>x1, ta có :

x1 = vt1, x2= vt2 Thay biểu thức này vào (1-21) ta thu được :

2 2

2 1

2 1 2

1

1 ) ( ' '

c V c

Vv t

t t t









 







Ta luôn có v<c, do đó nếu t2>t1 thì ta cũng có t’2>t’1 Nghĩa là trong cả hai hệ K

và K’ bao giờ biến cố viên đạn trúng đích cũng xảy ra sau biến cố viên đạn bắn ra, thứ

tự nhân quả bao giờ cũng được tôn trọng

1.4.2 Sự co ngắn Loren

Bây giờ dựa vào công thức (1-19) hoặc (1-20) chúng ta có thể so sánh độ dài một vật và khoảng thời gian của một quá trình ở trong hai hệ K vàK’

9

Giả sử có một thanh đứng yên trong hệ K’ đặt dọc theo trục x’, độ dài của nó trong hệ K’ bằng

lo = x2’ - x1’, gọi l là độ dài của nó đo trong hệ K Muốn vậy ta phảI xác định các chiều của thanh trong hệ K tại cùng thời điểm Từ phép biến đổi Loren ta viết được :

2 2

2 2 2 2

1 '

c V

t c

V x x





2 2

1 2 1 1

1 '

c V

t c

V x x







Trừ hai đẳng thức trên vế với vế và chú ý rằng t2=t1 ta được:

2 2 1 2 1 2

1

' '

c V

x x x x









Suy ra : 2

2

1

c

V l

Vậy “Độ dài của thanh trong hệ quy chiếu mà thanh chuyển động ngắn hơn độ dài của thanh trong hệ quy chiếu mà thanh đứng yên”

Nói cách khác, khi một vật chuyển động, kích thước của nó bị co ngắn theo phương chuyển động

Như vậy kích thước một vật sẽ khác nhau phụ thuộc vào chỗ ta quan sát nó ở trong hệ quy chiếu đứng yên hay chuyển động Điều đó nói lên tính chất của không gian trong các hệ quy chiếu đã thay đổi Nói cách khác, không gian có tính chất tương đối Nó phụ thuộc vào chuyển động Trường hợp vận tốc chuyển động của hệ nhỏ (V<<c) từ công thức (1-22) ta trở lại kết quả của cơ học cổ điểm, ở đây không gian được coi là tuyệt đối, không phụ thuộc vào chuyển động

Cũng từ các công thức biến đổi Loren chúng ta tìm được khoảng thời gian của một quá trình đó trong hai hệ K và K’ Giả sử có một đồng hồ đứng yên trong hệ K’

Ta xét hai biến cố xảy ra cùng tại điểm A có các tọa độ x’y’z’ trong hệ K’ Khoảng thời gian giữa hai biến cố xảy ra trong hệ K’ bằng t’=t’2-t’1 Bây giờ ta tìm thời gian giữa hai biến cố ở trên hệ K Ta viết được :

2 2

2 2 2

1

' '

c V

x c

V t t





2 2

2 1 1

1

' '

c V

x c

V t t







Từ đó rút ra :

10

2 2 1 2 1 2

1

' '

c V

t t t t t













c

V t

t   

Kết quả đó được phát biểu như sau: “khoảng thời gian t’ của một quá trình

quá trình đó trong hệ K’ đứng yên Nếu trong hệ K’ có gắn một đồng hồ, thì khoảng thời gian của cùng một quá trình xảy ra được ghi trên đồng hồ của hệ K’ sẽ nhỏ hơn khoảng thời gian ghi trên đồng hồ của hệ K Ta có thể nói “đồng hồ chuyển động chạy chậm hơn đồng hồ đứng yên” Như vậy khoảng thời gian của một quá trình sẽ khác nhau tùy thuộc vào chỗ ta quan sát quá trình đó ở trong hệ đứng yên hay chuyển động

1.4.3 Định lý tổng hợp vận tốc

Giả sử u là vận tốc của một chất điểm đối với hệ O u’ là vận tốc của một chất điểm đối với hệ O’

Ta hãy tìm định lý tổng hợp vận tốc liên hệ giữa u và u’

Từ (1-19) ta có:

2

2

1 '

c V

Vdt dx dx





2 2 2

1 '

c V

dx c

V dt dt





Vậy:

x

x x

u c V

V u dx c

V dt

Vdt dx dt

dx u

2

'

' '













Tương tự ta thu được

y

y y

u c V c

V u

u

2

2

1

1 '





z

z

z

u c V c

V u

u

2

2 2

1

1 '





Các công thức (1-24) và (1-25) chính là các công thức biểu diễn định lý tổng hợp vận tốc trong thuyết tương đối Từ các công thức này chúng ta có thể suy ra tinh bất biến của vận tốc ánh sáng trong chân không đối với các hệ quy chiếu quán tính

Thực vậy, nếu ux=c, thì từ (1-24) ta tìm được: