(LUẬN văn THẠC sĩ) rèn luyện kĩ năng giải toán trong dạy học giải bài tập phương trình đường thẳng cho học sinh lớp 10

24 Chương 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CỦA “PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG” – HÌNH HỌC 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN .... Trên cơ sở lý thuyết mà các nhà toán h

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội và các thầy giáo, cô giáo đang công tác giảng dạy tại trường đã nhiệt tình giảng dạy và hết lòng giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài

Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TSKH Vũ Đình Hòa – người đã trực tiếp hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảo tác giả trong quá trình nghiên cứu, thực hiện đề tài

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo và các em học sinh trường THPT Nguyễn Thái Học – Khai Quang – Vĩnh Yên – Vĩnh Phúc, Sở Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Phúc đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bản luận văn này

Cuối cùng của tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới người thân, gia đình và bạn bè đồng nghiệp, đặc biệt là lớp Cao học Toán K10 trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội, vì trong suốt thời gian qua đã cổ vũ động viên, tiếp thêm sức mạnh cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ của mình

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong được lượng thứ và rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô giáo và các bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 10 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Thị Hằng

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ v

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 6

1.1 Kỹ năng 6

1.1.1 Khái niệm kỹ năng 6

1.1.2 Đặc điểm của kỹ năng 6

1.1.3 Sự hình thành kỹ năng 8

1.1.4 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng 10

1.2 Kỹ năng giải toán 10

1.2.1 Khái niệm kỹ năng giải toán 10

1.2.2 Vai trò của kỹ năng giải toán 11

1.2.3 Phân loại kỹ năng trong môn Toán 12

1.2.4 Các mức độ kỹ năng giải toán 14

1.3 Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học “Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông 15

1.3.1 Việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học “Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông 15

1.3.2 Những khó khăn và sai lầm của học sinh thường gặp khi giải toán“Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông 20

Kết luận chương 1 24

Chương 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CỦA “PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG” – HÌNH HỌC 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN 25

2.1 Mục tiêu của “Phương trình đường thẳng” – hình học 10 trung học phổ thông 25

2.2 Một số kiến thức cơ bản 26

2.2.1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng 26

2.2.2 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 27

2.2.3 Phương trình tham số của đường thẳng 27

2.2.4 Phương trình tổng quát của đường thẳng 28

2.2.5 Vị trí tương đối của hai đường thẳng 28

2.2.6 Góc giữa hai đường thẳng 29

2.2.7 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 29

2.3 Rèn luyện kỹ năng viết phương trình các loại đường thẳng khi biết phương và 1 điểm đi qua 31

2.3.1 Phương trình tham số, phương trình chính tắc, phương trình tổng quát của đường thẳng 31

2.3.2 Kỹ năng viết phương trình đường thẳng qua hai điểm 33

2.3.3 Kỹ năng viết phương trình đoạn chắn 37

2.3.4 Kỹ năng viết phương trình đường thẳng biết một điểm đi qua và hệ số góc 41

2.4 Kỹ năng viết phương trình đường đối xứng với một đường thẳng cho trước qua một đường thẳng hoặc một điểm đã biết 45

2.4.1 Kiến thức cơ bản: 45

2.4.2 Bài tập minh họa 46

2.4.3 Bài tập tương tự 48

2.5 Kỹ năng viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách 48 2.6 Kỹ năng viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc giữa hai đường thẳng 58

2.7 Kỹ năng sử dụng phương trình đường thẳng để giải các bài toán về dựng tam giác 64

Kết luận chương 2 86

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 87

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 113

TÀI LIỆU THAM KHẢO 114

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ

Bảng 3.1 Kết quả bài kiểm tra thực nghiệm 109 Bảng 3.2 Bảng so sánh định lượng kết quả lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 109 Biểu đồ 3.1 Biểu đồ cột về kết quả điểm số của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 110

và ôn luyện cho học sinh thi vào các trường đại học, cao đẳng Ở phần phương pháp tạo độ trong mặt phẳng, tôi thấy nhiều em không làm được những bài tập hoặc chỉ làm được các bài có tính chất áp dụng công thức đơn thuần Những bài có tính chất tổng hợp thì không phân tích được bài toán nên không tìm được hướng giải, mặc dù đã được biết lý thuyết Trong khi đó bài toán về tọa độ trong mặt phẳng đặc biệt là “Phương trình đường thẳng” lại là một vấn đề quan trọng trong chương trình học và luôn có mặt trong các đề thi Đại Học – Cao Đẳng, học sinh giỏi hằng năm nên cần có hướng ôn tập tốt vấn đề này

Hơn nữa khi học phần phương trình đường thẳng ở lớp 10, chương trình sách giáo khoa do thời lượng ít nên chưa đề cập hết được các vấn đề mà chỉ

dừng lại ở mức độ vận dụng và áp dụng công thức, chỉ giải được các bài toán đơn giản, chưa chú ý đến tự bồi dưỡng kiến thức, khi học các bài toán mang tính chất tổng hợp, khó hơn thì không phân tích được bài toán, không thấy được quan hệ giữa hình học thuần túy và tọa độ trong mặt phẳng, không thể chuyển bài toán tọa độ sang bài toán hình học thuần túy để tìm lời giải

Với lý do nêu trên tôi quyết định lựa chon đề tài luận văn của mình là:

“Rèn luyện kỹ năng giải toán trong dạy học giải bài tập phương trình đường thẳng cho học sinh lớp 10”

2 Lịch sử nghiên cứu

Từ trước đến nay, có nhiều tác giả nghiên cứu về Phương trình đường thẳng trong mặt phăng như: Nguyễn Văn Mậu, Vũ Đình Hòa, Phan Huy Khải, Trần Nam Dũng, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng, … Tuy nhiên, những nghiên cứu đó mới mang tính định hướng trong nghiên cứu về phương pháp dạy và học Toán

Ngoài ra, các tác giả như: Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Bá Kim… cũng

đã nhiều lần nói về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học môn Toán Tuy những nghiên cứu đó về vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh mới chỉ là lý luận chung nhưng đã có những gợi mở quan trọng cho tôi trong quá trình thực hiện đề tài

Trên cơ sở lý thuyết mà các nhà toán học đã đưa ra, căn cứ vào thực

trạng dạy học “Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ

thông ở một số trường trung học phổ thông trong giai đoạn hiện nay thì với luận văn này, tôi xin được trình bày một ý tưởng rất hẹp và cụ thể là: vận dụng lý luận về phương pháp giảng dạy vào rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học “Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông

3 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu và đề xuất ra một số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học “Phương trình đường thẳng” – Hình học

10 trung học phổ thông

3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán

- Nghiên cứu thực trạng kỹ năng giải toán của học sinh trong khi học

“Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông

- Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh và phân tích lý luận khi dạy học “Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông

- Qua thực nghiệm sư phạm, kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài để áp dụng vào giảng dạy

5 Mẫu khảo sát

Học sinh lớp 10A3, 10A7 trường THPT Nguyễn Thái Học, tỉnh Vĩnh Phúc

6 Vấn đề nghiên cứu

Trong nghiên cứu này, một số vấn đề sau đây được đưa ra xem xét:

- Hiểu thế nào là kỹ năng giải toán?

- Vai trò của việc rèn luyện kỹ năng giải toán là gì?

- Dùng những phương pháp nào để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học “Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông

- Trong dạy học “Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông cần rèn luyện những kỹ năng giải toán nào?

7 Giả thuyết khoa học

Nếu rèn luyện được các kỹ năng giải toán cần cho học sinh khi dạy học

“Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông thì sẽ giúp học sinh khắc sâu kiến thức đã học, phát huy tính tích cực trong việc tiếp thu kiến thức mới và góp phần nâng cao hiệu quả giáo dục, đạt mục tiêu dạy học môn Toán

8 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu và phân tích các tài liệu

về lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên, các tài liệu tham khảo liên quan đến môn học

- Phương pháp điều tra: Điều tra khả năng rèn luyện các kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học “Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông ; chất lượng của học sinh trước và sau thực nghiệm

- Phương pháp quan sát: Dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp trong tổ chuyên môn, học hỏi kinh nghiệm của lớp thầy cô đi trước về phương pháp dạy học môn học; phân tích kết quả học tập của học sinh nhằm tìm hiểu thực trạng về rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong quá trình giảng dạy

“Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông của các giáo viên

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm tại trường THPT Nguyễn Thái Học tỉnh Vĩnh Phúc cung cấp bài tập và kiểm tra kết quả sau thực nghiệm

- Phương pháp thống kê toán học: Xử lý các số liệu thu được sau khi

điều tra

9 Những đóng góp của luận văn

- Trình bày cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán

- Thực trạng về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học “Phương trình đường thẳng hình học phẳng lớp 10”

- Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi dạy học

“Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông

- Kết quả của luận văn có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên ngành Sư phạm Toán và giáo viên Toán ở trường THPT

10 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương Chương 1 Cơ sở lý luận của đề tài

Chương 2 Xây dựng hệ thống bài tập của “Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông” theo hướng rèn luyện kỹ năng giải toán Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Kỹ năng

1.1.1 Khái niệm kỹ năng

Thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra cho con người thuộc các lĩnh vực lí luận thực hành hay nhận thức Để giải quyết được các công việc, con người cần vận dụng được vốn hiểu biết và kinh nghiệm xử lí các vấn đề gặp phải Yêu cầu cốt lõi nằm ở chỗ phải vận dụng chung nhất cho từng trường hợp cụ thể Trong quá trình đó, con người dần hình thành cho mình những kĩ năng giải quyết vấn đề mình đặt ra

Từ điển Tiếng Việt khẳng định: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [12, tr 426] Theo giáo trình tâm lý học đại cương thì: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [1, tr149]

Theo giáo trình Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học Sư phạm thì: “Kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp) để giải quyết một nhiệm vụ mới” [5, tr131]

Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng đều nói rằng kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết một nhiệm vụ mới

1.1.2 Đặc điểm của kỹ năng

Trong vận dụng ta thường chú ý đến các đặc điểm của kỹ năng:

- Bất kì kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó chính là kiến thức, bởi vì cấu trúc của kỹ năng bao gồm: Hiểu mục đích – biết cách thức đi

đến kết quả - hiểu những điều kiện để triển khai những cách thức đó

- Kiến thức là cơ sở của kỹ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách của hành động

- Muốn có kỹ năng về hành động nào đó cần phải có:

+) Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành động

+) Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó

+) Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đặt ra

+) Có thể hành động có hiệu quả trong các điều kiện khác nhau

+) Có thể bắt chước, rèn luyện để hình thành kỹ năng nhưng phải trải qua thời gian đủ dài

Tuy nhiên thực tiễn giáo dục cho thấy, học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc vận dụng những khái niệm và những kiến thức đã lĩnh hội được vào giải quyết các nhiệm vụ cụ thể Cái khó nằm ở chỗ, học sinh không phát hiện những dấu hiệu bản chất của đối tượng, từ đó phát hiện ra những mối liên hệ bản chất giữa tri thức đã có với đối tượng đó Trong trường hợp này, tri thức không biến thành công cụ của hoạt động nhận thức, và như vậy khối kiến thức mà họ có là khối kiến thức khô cứng, không gắn với thực tiễn và không biến thành cơ sở của kỹ năng

Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những thuộc tính khác nhau và những thuộc tính bản chất của sự vật Như vậy để tri thức trở thành cơ sở lựa chọn đúng đắn cho các hành động thì cần phải biết lựa chọn tri thức một cách đúng đắn và hợp lý, nói cách khác, cần lựa chọn tri thức phản ánh thuộc tính bản chất, phù hợp mục tiêu của hành động

Trong thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy có rất nhiều học sinh thuộc lý thuyết nhưng không vận dụng được lý thuyết đó vào bài tập, không biết lựa

chọn định nào vào bài toán nào cần giải quyết Nguyên nhân của hiện tượng

đó là do kỹ năng chưa được hình thành

1.1.3 Sự hình thành kỹ năng

Để hình thành được kỹ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích yêu cầu…Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết những nhiệm vụ đặt ra Khi tiến hành tư duy trên các sự vật thì chủ thể thường phải biến đổi phân tích đối tượng để tách ra các khía cạnh và những thuộc tính mới Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích, tổng hợp, trìu tượng hóa và khái quát hóa cho đến khi hình thành được mô hình về mặt nào của đối tượng mang ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho

Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng các con đường khác nhau:

Con đường thứ 1: Truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết rồi

sau đó đề ra các bài toán cần thiết để vận dụng những tri thức đó Từ đó học sinh sẽ phải tìm tòi cách giải bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm, qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng, những phương thức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt động Người ta còn gọi con đường dạy học này là dạy học nêu vấn đề

Con đường thứ 2: Dạy cho học sinh nhận biết được các dấu hiệu mà từ

đó có thể xác định được đường lối giải cho một dạng và vận dụng đường lối

đó vào bài toán cụ thể

Con đường thứ 3: Dạy cho học sinh chủ yếu là các hoạt động tâm lý cần

thiết đối với việc vận dụng tri thức Trong trường hợp này giáo viên không những chỉ cho học sinh tìm hiểu các mốc định hướng để chọn lọc các dấu hiệu

và thao tác mà còn tổ chức các hoạt động cho học sinh trong việc cải biến sử dụng thông tin thu được để giải bài toán đặt ra

Trong giai đoạn đầu những mốc định hướng của đối tượng được đưa ra

trước học sinh dưới dạng có sẵn, được vật chất hóa dưới dạng sơ đồ, ký hiệu

về các đối tượng, còn thao tác và các mốc định hướng thì được thực hiện những hình thức, những hành động đối tượng

Ở giai đoạn thứ 2, các mốc định hướng và các thao tác cho đối tượng được thay thế bằng các ký hiệu và các hành động ngôn ngữ

Như vậy người giáo viên đã định hướng cho học sinh: Để chứng minh các bài toán trước hết phải phân dạng bài tập và tìm nội dung đã được học để tìm cách giải bài toán qua các giai đoạn cụ thể Từ đó xây dựng được cho học sinh các phương pháp giải toán Tuy nhiên đểphát triển và khắc sâu các bài toán cho học sinh, giáo viên cần cho học sinh mở rộng bài toán: Tìm cách giải khác nhau, tổng quát hóa bài toán, khái quát hóa, trừu tượng hóa, tương tự hóa…

Như vậy, học sinh được hình thành kỹ năng tư duy suy luận logic

Người ta còn gọi phương pháp dạy học nói trên là phương pháp hình thành các hành động trí tuệ qua từng giai đoạn Trên thực tế khi hình thành những tri thức mới ai cũng phải trải qua các giai đoạn này Tuy nhiên trong dạy học thông thường những giai đoạn không được tổ chức một cách có ý thức Vì thế học sinh phải tự phát hiện những dấu hiệu cảm tính hay những dấu hiệu logic mà điều chủ yếu là các em tự lựa chọn những hành động thích hợp để làm điều đó

Thực chất của sự hình thành kỹ năng là tạo cho học sinh khả năngnắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tạo các thông tin chứa đựng trong bài toán

Khi hình thành kỹ năng cho sinh cần tiến hành:

- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng

- Giúp học sinh hình thành một một mô hình khái quát để giải các bài toán cùng loại

- Xác lập được mối quan hệ giữa các bài toán mô hình khái quát và kiến thức tương ứng

Sự hoạt động để hoạt động các kỹ năng và kỹ xảo bao gồm sự vận dụng bước đầu kiến thức và thực tiễn, công việc luyện tập để hoàn thiện hành dộngđó Sự hình thành các kỹ năng diễn ra thông minh hơn nếu ngoài hoạt động thực hành quá trình đó còn kèm cả hoạt động trí tuệ tích cực của học sinh nữa

1.1.4 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng

Nội dung của bài toán: Nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa hay bị che phủ bởi những yếu tố phụ làm lệch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng

Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng Việc tạo ra tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp cho học sinh dễ dàng trong việc hình thành kĩ năng

- Kĩ năng khái quát nhìn đối tượng một cách toàn thể ở mức cao hay thấp

1.2 Kỹ năng giải toán

1.2.1 Khái niệm kỹ năng giải toán

Giải một bài toán tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do đó chủ thể giải toán còn phải nắm vững các tri thức về hành động, thực hiện hành động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong những điều kiện khác nhau Trong giải toán, chúng tôi quan niệm về kỹ năng giải toán của học sinh như sau: “Đó là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán để đi đển lời giải của bài toán một cách khoa học”

Để thực hiện nhiệm vụ môn Toán trong trường THPT, một trong những

yêu cầu đặc biệt về tri thức và kỹ năng cần chú ý là những tri thức phương pháp, đặc biệt là những phương pháp có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương ứng, chẳng hạn tri thức và kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, tri thức và kỹ năng chứng minh toán học, kỹ năng hoạt động tư duy hàm, ….Tuy nhiên tùy theo nội dung toán học mà có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng khác nhau

Có hai phương pháp cơ bản để cung cấp cho học sinh kỹ năng giảiToán

+ Phương pháp gián tiếp Cung cấp cho học sinh một số các bàitoán có

cùng cách giải để sau khi giải xong học sinh tự rút ra kỹ năng giải toán Đây

là phương pháp có hiệu quả nhất nhưng mất nhiều thời gian, khó đánh giá và không đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào năng lực trình độ của học sinh

+ Phương pháp trực tiếp Giáo viên soạn thành những bài giảng vềnhững

kỹ năng một cách hệ thống và đầy đủ Phương pháp này hiệu quả hơn và dễ nâng cao độ phức tạp của bài toán cần giải quyết

1.2.2 Vai trò của kỹ năng giải toán

Trong các mục đích của dạy học môn Toán ở trường phổ thông thì việc truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn thực hiện được phải dựa trên mục đích này Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nói riêng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành

Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành thạo vào việc giải bài tập Có thể nói, bài tập toán chính là “mảnh đất” để rèn luyện kỹ năng giải toán Do đó, để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán) Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau:

- Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho,

yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng Nói cách khác, hướng cho học sinh biết cách phân tích đặc điểm bài toán

- Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, các đối tượng cùng loại

- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tương ứng

Ngoài ra, cần tạo nhu cầu hứng thú cho học sinh, khắc phục những ảnh hưởng tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện các mặt sau:

- Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó so sánh các cách giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức

- Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán

- Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn luyện kỹ năng đóng một vai trò quan trọng góp phần bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh

1.2.3 Phân loại kỹ năng trong môn Toán

1.2.3.1 Kỹ năng chung

- Kỹ năng tìm hiểu nội dung bài toán

Phân tích bài toán, làm rõ các dự kiện đặt ra Nếu bài toán có tính chất là một vấn đề thì cần tìm khâu nào còn chưa biết, một quy tắc tổng quát hoặc một phương pháp có yếu tố thuật toán để giải bài toán, xác định đó là trọng tâm cần tập trung suy nghĩ tìm hướng giải Đây là kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, làquan trọng nhất khi giải bài tạp toán Cần làm rõ thành phần mối liên hệ (tường minh hoặc không tường minh) qua các yếu tố (có hoặc không có) trong bài toán

- Kỹ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải cho bài toán

Vấn đề khó khăn nhất của HS khi đứng trước một bài toán, đặc biệt là

bài toán hình học là đường lối giải Nhiều HS không biết bắt đầu từ đâu để đi đến kết quả của bài toán Xét về mặt nhận thức thì việc giải một bài toán bao gồm hai quá trình: thứ nhất là tìm hướng giải, thứ hai là tiến hành giải bài toán còn gọi là chiến thuật giải bài toán Hai quá trình này độc lập và hỗ trợ nhau, có khi tiến hành đồng thời hoặc tách thành hai quá trình riêng biệt Yêu cầu xác định hướng giải bài toán phụ thuộc phần lớn vào khâu này Có nhiều cách để HS thực hiện biện pháp này: chẳng hạn, giúp HS phân loại, phân dạng bài tập để xác định phương pháp chung giải các loại, dạng bài tập đó Phương pháp chung sẽ được vận dụng để tìm đường lối giải cho từng bài toán

cụ thể

Huy động tri thức, kinh nghiệm hữu ích có liên quan đến giải bài toán bao gồm hai dạng Dạng 1 là những nội dung HS sản sinh ra một cách tích cực bằng các thao tác tư duy, bằng lao động trí tuệ và thực hành Dạng 2 là những ý tưởng chợt lóe sáng tự phát, được hiểu theo nghĩa bừng sáng của quá trình tư duy sáng tạo

- Kỹ năng xây dựng và thực hiển kế hoạch cụ thể giải bài toán

- Kỹ năng kiểm tra đánh giá quá trình giải bài toán

- Kỹ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của người giải toán

b Kỹ năng thực hành

Kỹ năng thực hành trong môn Toán bao gồm kỹ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán, kỹ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn (trong Toán học hoặc trong đời sống), kỹ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tiễn

c Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức

Để có kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức đòi hỏi người học phải có kế hoạch học tập và biết cách học phù hợp với điều kiện năng lực của bản thân nhằm phấn đấu đạt được mục đích

d Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá

Hoạt động học của học sinh là quá trình tự vận động để chiếm lĩnh tri thức và người học không chỉ tiếp thu thụ động mà có sự điều chỉnh để đạt kết quả như mong muốn Muốn vậy học sinh phải có kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá để làm căn cứ cho sự “tự điều chỉnh”

Để rèn luyện được kỹ năng này, trước hết phải biết xác định rõ mục tiêu học tập của từng giai đoạn hay từng phần kiến thức của chương trình đối với bản thân mình

Với mỗi mục tiêu học tập, căn cứ vào mỗi lần kiểm tra của giáo viên và nhất là căn cứ vào việc tự đánh giá khả năng học tập của bản thân thông qua việc học lý thuyết, việc giải từng bài tập Từ đó thấy được chỗ còn yếu, chỗ còn thiếu sót của bản thân về những mặt nào đó mà đề ra phương hướng khác phục

Một khi học sinh đã có kỹ năng tự kiểm tra,đánh giá và biết tự điều chỉnh thì kết quả học tập được nâng lên dàn

1.2.4 Các mức độ kỹ năng giải toán

Trong toán học có thể chia làm hai nhóm kỹ năng giải toán:

- Kỹ năng giải bài tập toán học cơ bản

- Kỹ năng giải bài tập toán tổng hợp

Trong mỗi nhóm lại có 3 mức độ khác nhau:

- Mức độ biết làm: Nắm được qui trình giải một bài toán cơ bản nào đó tương tự như bài tập mẫu nhưng chưa nhanh

- Mức độ thành thạo: Biết giải nhanh, ngắn ngọn, chính xác theo cách giải như bài tập mẫu nhưng chưa có nhiều biến đổi

- Mức độ mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn, độc đáo, khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức kỹ năng, kỹ xảo không chỉ với các bài toán cơ bản mà với cả bài toán mới

1.3 Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học

“Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông

1.3.1 Việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học “Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông

1.3.1.1 Kỹ năng nhận thức

- Kỹ năng nắm vững khái niệm

Khi dạy học sinh về khái niệm trong bài “phương trình đường thẳng – hình học phẳng lớp 10” người giáo viên phải đảm bảo được các yêu cầu như là:

+ Nắm vững các đặc điểm đặc trưng của khái niêm véctơ chỉ phương, véctơ pháp tuyến, phương trình tham số của đường thẳng, phương trình tổng quát của đường thẳng

+ Biết nhận dạng các khái niệm này có nghĩa là cho một đường thẳng ( ) : 2d x3y 5 0 và véctơ (4;6)ar thì học sinh phải biết được phương trình ( )d là phương trình tham số hay tổng quát và (4;6) ar là véctơ chỉ phương hay pháp tuyến của đường thẳng ( )d Bên cạnh đó học sinh còn phải nắm được

nếu như có đường thẳng ( )d đi qua điểm M x y 0; 0và biết véctơ chỉ phương

hoặc pháp tuyến thì ta luôn viết được phương trình tham số hoặc tổng quát của đường thẳng Cụ thể cho đường thẳng ( )d đi qua điểm M 2;1 có véc tơ chỉ phương (3;4)ur thì phương trình tham số của ( )d sẽ là

+ Biết vận dụng các khái niệm này trong các tình huống cụ thể để giải toán ví dụ như: Cho tam giác ABC biết A  1;4 ;B 3; 1  và C 6;2 Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC và phương trình tham số của trung tuyến AM

Học sinh phải biết bản chất của véc tơ chỉ phương của đường thẳng BC

, chính là BCuuur(3;3), thì véc tơ pháp tuyến của đường thẳng BC là ( 3;3).nr  Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng BC là 3( x 3) 3(y 1) 0

Để viết được phương trình tham số của trung tuyến AM, học sinh phải

biết cách tính tọa độ trung điểm M của BC là ( ; )9 1

Đồng thời nắm được mối quan hệ giữa phương trình tham số và phương trình tổng quát

Bên cạnh đó khi dạy về các khái niệm giáo viên phải biết lựa chọn con đường hình thành khái niệm tốt nhất

Khi dạy khái niệm véc tơ chỉ phương hoặc véc tơ pháp tuyến ta nên lựa chọn con đường qui nạp Giáo viên có thể cho học sinh quan sát trên hình vẽ

về véc tơ chỉ phương hoặc véc tơ pháp tuyến của đường thẳng ( )d sau đó đưa

ra định nghĩa

Khi dạy về phương trình tham số hay phương trình tổng quát của đường thẳng ( )d ta có thể sử dụng con đường suy diễn Ví dụ khi dạy phương trình tham số của đường thẳng ( )d ta có thể làm như sau: Trong mặt phẳng

(Oxy)cho đường thẳng ( )d đi qua điểm M x y o( ,o o)và nhận u u ur( ;1 2) Với

 ; 

M x y bất kì nằm trên ( )d ta sử dụng khái niệm hai véc tơ cùng phương

mà học sinh đã được học ta có M Muuuuuro cùng phương với ur khi và chỉ khi

1.3.1.2 Kỹ năng thực hành

Bao gồm kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán và kĩ năng toán học hóa tình huống thực tiễn Đối với việc giải bài tập viết phương trình

đường thẳng - hình học lớp 10 thì giáo viên chú ý đến kỹ năng vận dụng tri thức vào giải toán viết phương trình đường thẳng Trong hoạt động này giáo viên nên chú trọng rèn luyện cho học sinh chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch điều đó rất quan trọng để nắm vững và vận dụng kiến thức, một thành phần của tư duy toán học

Chẳng hạn: Nếu cho đường thẳng ( )d đi qua điểm M 1;2 có véc tơ pháp tuyến (3;4)nr học sinh dễ dàng viết được phương trình tổng quá của đường thẳng ( )d là 3 x4y 11 0 nhưng nếu cho phương trình ( )d là

3x4y 11 0 hãy tìm véc tơ chỉ phương, véc tơ pháp tuyến của ( )d hoặc một điểm mà ( )d đi qua thì học sinh lại cảm thấy lúng túng

Bên cạnh đó giáo viên cũng cần chú trọng rèn luyện kỹ năng biến đổi xuôi chiều và ngược chiều song song với nhau, giúp việc hình thành các liên tưởng ngược diến ra đồng thời với việc hình thành liên tưởng thuận Ví dụ như: Viết phương trình đường thẳng ( )d song song với đường thẳng

: 3x 4y 12 0

    và cách điểm A(2;3) một khoảng bằng k 2 Khi làm bài này đa số học sinh sẽ không viết ngay được phương trình ( )d : 3x4y c 0mà chỉ biết ( )d có thể chọn được véc tơ pháp tuyến là véc

tơ pháp tuyến của ( ) Rồi lung túng khi viết phương trình của ( )d

Bên cạnh đó giáo viên cũng phải rèn luyện toán học hóa tình huống thực tiễn ví như bài toán “Cho đường ( )d và hai điểm A, B và cùng nằm trên một mặt phẳng có bờ ( )d Hãy tìm trên đường thẳng ( )d một điểm M sao cho tổng khoảng cách MA MB nhỏ nhất” có thể phát biểu dưới dạng “Hàng ngày bạn An phải từ nhà đến bờ sông xách nước tưới rau ở cùng một phía bờ sông Hỏi phải chọn vị trí nơi lấy nước tại bờ sông nào để quãng đường đi từ nhà đến ruộng rau và nhà là ngắn nhất” Trong hoạt động thực tế bất kì lĩnh vực nào cũng đòi hỏi kỹ năng tính toán: Tính đúng, tính nhanh, tính chính xác, cùng với các đức tính cẩn thận, chu đáo, kiên nhân Để rèn luyện các kỹ

năng này cần tránh tình trạng ít ra bài tập đòi hỏi tính toán, cũng như khi dạy bài tập chỉ dừng lại ở việc chỉ ra “phương hướng” mà không đi đến cuối bài toán

1.3.1.3 Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức

Ngoài việc giáo viên phải tổ chức hoạt động truyền thụ tri thức cho học sinh thật hiệu quả thì việc rèn luyện kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức đòi hỏi học sinh phải có kế hoạch học tập và có kế hoạch học tập phù hợp ví như ngoài việc lắng nghe kiến thức giáo viên truyền thụ trên lớp về nhà học sinh phải hoàn thành hệ thống bài tập của giáo viên Hơn nữa học sinh phải tự minh sưu tầm cácbài tập thuộc chuyên đề “ viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng”, phải tự mình xem các dạng bài tập mà bẩn thân chưa chắc (có thể trao đổi với bạn bè trên lớp, bạn bè trên mạng hoặc thầy cô)

1.3.1.4 Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá

Đối với giáo viên

Có kế hoạch kiểm tra cụ thể từng bài từng phần Ra hệ thống các dạng bài tập từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, từ sách giáo khoa, sách bài tập đến tiếp cận các bài trong đề thì đại học Có thể giao bài tập rồi sau đó chữa hoặc kiểm tra trực tiếp các thành viên trong lớp Nên có hình thức khen thưởng đối với các thành viên tích cực và có hình thức khiển trách đối với các thành viên chưa tích cực

Đối học sinh

Phải xác định rõ mục tiêu của bài “viêt phương trình đường thẳng” Luôn luôn tự điều chỉnh mình qua mỗi lần kiểm tra của giáo viên Từ đó thấy được chỗ nào mình còn yếu còn chưa chắc để có kế hoạch tự bổ sung

Để học sinh có kỹ năng về “viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng”, trước tiên cần phải trang bị hệ thống lý thuyết cơ bản và đầy đủ Trên

cơ sở lý thuyết đã được trang bị, học sinh cần có cách vận dụng lý thuyết đó

vào giải các bài tập cụ thể Giáo viên cần phân loại bài tập một cách hệ thống

Từ việc phân dạng bài tập xác định những kỹ năng cơ bản Giáo viên sẽ xây dưng cho học sinh qui trình và các chú ý để giải các dạng bài tập cụ thể Vì vậy trong đề tài này chúng tôi đặc biệt quan tâm đến việc xây dựng hệ thống bài tập theo từng chủ đề Sắp xếp các bài tập này từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, từ bài tập sách giáo khoa đến tiếp cận các bài trong các đề thi quốc gia Cụ thể là:

- Kỹ năng viết các loại phương trình đường thẳng

- Kỹ năng viết phương trình đối xứng của một đường thẳng cho trước qua một điểm hoặc qua một đường thẳng

- Kỹ năng giải các bài toán về dựng tam giác

- Kỹ năng viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách và góc

- Kỹ năng viết phương trình đường thẳng liên quan đến đường tròn

1.3.2 Những khó khăn và sai lầm của học sinh thường gặp khi giải

toán“Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông

1.3.2.1 Sai lầm do bệnh máy móc rập khuôn

Khi gặp bài toán: “Trong mặt phẳng cho hai điểm ,A B nằm cùng phía

với đường thẳng ( )d , tìm điểm M thuộc ( )d sao cho MA MB ngắn nhất” học sinh làm như sau:

Lấy điểm A đối xứng với điểm A qua đường thẳng ( )d , gọi M thuộc

ta có MAMA nên MA MB MAMB A B , do đó MA MB ngắn nhất khi A M B, , thẳng hàng hay M là giao của A B và ( )d hay M N

Vì vậy khi gặp dạng toán có dạng đề tương tự, học sinh cũng máy móc

áp dụng các bài toán trên sẽ bị sai

Ví dụ như cho hai điểm A3;2 ;  B 4;5 và đường thẳng

 d : x  y 2 0 Tìm điểm M trên ( )d sao cho MA MB ngắn nhất

Giáo viên phải làm cho học sinh thấy được bản chất bài toán là phải kiểm tra vị trí tương đối của hai điểm A B, đối với đường thẳng ( )d

Nếu giải như bài toán trên thì điểm M không thỏa mãn yêu cầu bài toán, bởi vì trường hợp này A B, khác phía với ( )d nên nếu lầy A đối xứng với A qua ( )d thì lời giải sai bản chất

1.3.2.2 Sai lầm do không lường trước các trường hợp không nắm được bản chất vấn đề

Trong mặt phẳng (Ox )y cho đường tròn   2 2

(C) : x2  y1 9 Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C đi qua M 5;4

Học sinh có thể đưa ra lời giải như sau:

Như vậy ta có một tiếp tuyến đi qua M có phương trình là

8x15y1000. Nếu nhìn qua lời giải này ta thấy lời giải này hoàn toàn

chặt chẽ và chấp nhận được Tuy nhiên nếu suy ngẫm lại với một điểm M

nằm ngoài đường tròn sẽ có hai tiếp tuyến đi quaM Vậy một tiếp tuyến ở đâu? lời giải sai ở chỗ nào?

Giáo viên giúp học sinh thấy có một lớp các đường thẳng không có hệ số góc, đó là các đường thẳng song song với trục Oy Vậy đối với bài này giáo viên phải chỉ cho học sinh thấy còn trường hợp tiếp tuyến không có hệ số góc

là x5 tiếp xúc với đường tròn Vậy khi viết phương trình đường thẳng mà

sử dụng hệ số góc ta phải xét trường hợp đặc biệt là trường hợp song song với trục Oy

Để tránh sai lầm ở trên, nên dùng phương trình tổng quát của đường thẳng ( )d qua một điểm M và có véc tơ pháp tuyến ( ; )n a br có phương trình là: a x  5 b y40 Điều kiện cần đủ để Oytiếp xúc với đường tròn ( )C là

1.3.2.3 Sai lầm do không kiểm tra lại các yếu tố của đề bài cho

Trong mặt phẳng (Ox )y cho tam giác ABC cóA2; 1  phân giác góc

Bcó phương trình d1 :x2y 1 0 Phân giác trong góc C có phương trình  d2 :x  y 3 0 Viết phương trình cạnh BC

Học sinh đã trình bày lời giải như sau:

Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua phân giác góc B, ta tìm được A1(0;3)Gọi A2 là điểm đối xứng với A qua phân giác góc C, ta tìm được A2( 2; 5) 

Ta biết rằng phân giác là trục đối xứng của một góc nên A1 và A2 nằm trên đường thẳng BC Do đó phương trình của BC là 4x  y 3 0

Qua lời giải trên học sinh cứ nghĩ là đã hoàn thành bài giải, và sẽ không thấy chỗ sai của lời giải trên Bởi vì các điểm đối xứng với điểm A qua phân giác trong và ngoài của góc B đều nằm trên đường thẳng BC Trong trường hợp này ta vẽ và biểu diễn các điểm và các đường thẳng phân giác lên mặt phẳng (Ox )y thì ta thấy các đường thẳng đó không phải là phân giác trong của các góc tại đỉnh B và C Vì vậy khi giải bài toán thuộc dạng này ta phải kiểm tra hai đỉnh A C, có khác đỉnh so với  d1 không? (để d1 là phân giác trong góc B)

Biện pháp khắc phục cho sai lầm ở dạng này:

- Những sai lầm ở dạng này khá tinh vi, dễ xảy ra cho mọi đối tượng, vì vậy giáo viên cần làm cho học sinh thấy được bản chất của vấn đề khi giảng dạy lý thuyết Đồng thời chú ý các trường hợp đặc biệt của các vấn đề, các định lý, các công thức

- Cho học sinh tập phân tích mổ xẻ các lời giải của bạn, tìm các sai sót Nếu làm như vậy học sinh trình bày bài làm khá chặt chẽ, ít sai sót

Kết luận chương 1

Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT có ý nghĩa hết sức quan trọng, góp phần trang bị cho HS những tri thức toán học cơ bản nhất để phát

triển các kỹ năng của cuộc sống

Chương 1 đã hệ thống lại và làm sâu sắc thêm các vấn đề lý luận có liên quan khái niệm kỹ năng và kỹ năng giải toán, dạy học giải bài tập viết phương

trình đường thẳng trong mặt phẳng

Trong chương này cũng đã trình bày một số vấn đề thực tiễn về việc dạy học giải bài tập viết phương trình đường thẳng Thực tiễn cho thấy việc rèn luyện và phát triển kỹ năng giải toán viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng cho HS chưa được các giáo viên quan tâm đúng mực, cần phải có những biện pháp tích cực nhằm khắc phục tình trạng đó góp phần tháo gỡ

những khó khăn trong học tập cho học sinh và nâng cao chất lượng việc học

Dựa trên những căn cứ lý luận trên, tác giả xác định phương hướng cho giải pháp rèn luyện kỹ năng giải toán về viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng cho học sinh THPT sẽ được trình bày trong chương 2

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CỦA “PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG” – HÌNH HỌC 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI

TOÁN 2.1 Mục tiêu của “Phương trình đường thẳng” – hình học 10 trung học phổ thông

- Về kiến thức

+ Hiểu được vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương của đường thẳng

+ Hiểu cách viết phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng, phương trình chính tắc của đường thẳng

+ Hiểu được điều kiện hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc với nhau

+ Biết công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng

+ Biết điều kiện để hai điểm nằm cùng phía hay khác phía so với một đường thẳng

Để đạt được mục tiêu trên giáo viên cần xây dựng một hệ thống bài tập phù hợp để hình thành qui trình giải các dạng bài tập về viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng, hơn nữa rèn luyện kỹ năng vận dụng qui trình

đó vào giải các bài toán liên quan

Với học sinh, nhu cầu củng cố, bồi dưỡng, nâng cao kiến thức, rèn luyện

kỹ năng giải toán là tất yếu muốn thỏa mãn được nhu cấu đó thì các em phải được vận dụng nhiều, phải tích cực tham gia các hoạt động luyện tập, đào sâu,

hệ thống hóa và ôn tập Trên thực tế đa số học sinh khá giỏi có khả năng tự đúc kết trri thức và tri thức phương pháp thông qua con đường kinh nghiệm

(thông qua giải hệ thống bài toán)

Khi xây dựng hệ thống bài tập giáo viên nên phân bậc hoạt động, chia hệ thống bài tập thành hai nhóm:

- Nhóm 1: Những bài tập trung bình củng cố kiến thức cơ bản

- Nhóm 2: Những bài tập nâng cao nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, cũng như phát triển năng lực tư duy thuật toán cho học sinh

Thực tế cho thấy rằng, nếu giáo viên chọn lựa được một hệ thống bài tập phù hợp, sẽ giúp học sinh có khả năng khắc sâu kiến thức cũ, củng cố kiến thức và kỹ năng cần thiết, tạo điều kiện thuận lợi tiếp thu kiến thức một cách vững chắc

- Về kỹ năng

+ Viết được phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M x y( ;0 0) và có phương cho trước hoặc đi qua hai điểm cho trước

+ Tính được tọa độ vectơ pháp tuyến nếu biết tọa độ của vectơ chỉ phương của một đường thẳng và ngược lại

+ Biết chuyển đổi phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng

+ Viết được phương trình đường thẳng liên quan đến, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng hoặc góc giữa 2 đường thẳng

2.2 Một số kiến thức cơ bản

2.2.1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

- Vectơ ur 0r được gọi làvectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của nó song song hoặc trùng với 

- Nhận xét

+ Nếu ur là một VTCP của  thì kur (k0) cũng là một VTCP của + Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một

VTCP

2.2.2 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

- Vectơ nr 0r được gọi là vectơ pháp tuyếncủa đường thẳng  nếu giá của nó vuông góc với

- Nhận xét

+ Nếu nr là một VTPT của  thì knr (k 0 ) cũng là một VTPT của  + Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT

+ Nếu ur là một VTCP và nr là một VTPT của  thì ur nr

2.2.3 Phương trình tham số của đường thẳng

- Cho đường thẳng đi quaM x y o( ,o o)và có VTCP u u ur 1; 2

Phương trình tham số của  là

0 1

0 2

.,

+ k tan, là góc hợp bởi và chiều dương Ox

1 1

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng 

Chú ý Trong trường hợp u10 hoặc u2 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc

2.2.4 Phương trình tổng quát của đường thẳng

- Phương trình axby c 0 với a2 b2 0.được gọi làphương trình tổng quát của đường thẳng

Các hệ số Phương trình đường thẳng  Tính chất đường thẳng 

a  b (Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn)

 đi qua điểm M x y 0; 0 và có hệ số góc k: Phương trình của  là

yy k xx (Phương trình đường thẳng theo hệ số góc)

2.2.5 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

- Cho hai đường thẳng 1:a x1 b y1  c1 0và 2:a x2 b y2  c2 0 Vì số điểm chung của hai đường thẳng bằng số nghiệm của hệ phương trình

nghiệm này chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

1 // 2 hệ (1) vô nghiệm khi và chỉ khi D0 và 0

0

x

y

D D





 



12 hệ (1) có vô số nghiệm khi và chỉ khi DD x D y 0

2.2.6 Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng:

2.2.7 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng : axby c 0 và điểm M x y0( ;0 0) Khoảng cách từ M

d M

- Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng

Cho đường thẳng : axby c 0hai điểm M x( M;y M), N x( N;y N)

+M N nằm cùng phía đối với , (ax M by M c ax)( N by N  c) 0 + M N nằm khác phía đối với , (ax M by M c ax)( N by N  c) 0

- Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1:a x1 b y1  c1 0 và 2:a x2 b y2  c2 0 cắt nhau Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và

2.3 Rèn luyện kỹ năng viết phương trình các loại đường thẳng khi biết phương và 1 điểm đi qua

2.3.1 Phương trình tham số, phương trình chính tắc, phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương trình tổng quát của : a x x0 b yy00

- Khi dạy học sinh kỹ năng này giáo viên cần rèn cho học sinh các kỹ năng: + Phân biệt rõ ràng véc tơ chỉ phương, véc tơ pháp tuyến Cách sử dụng các véc tơ này trong từng loại phương trình: Véc tơ chỉ phương dùng trong phương trình tham số và chính tắc, còn véc tơ pháp tuyến dùng trong phương trình tổng quát

+ Kỹ năng chuyển đổi từ véc tơ chỉ phương thành véc tơ pháp tuyến và ngược lại

2.3.1.2 Bài tập minh họa

Bài 2.1 Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP ur hoặc véc tơ pháp tuyến nr:

a) M2;3 ; ur 5; 1 

b) M7; 3 ,   nr 0;3

Hướng dẫn Ta đã biết để viết phương trình tham số và chính tắc của đường

thẳng thì ta cần xác định một điểm đường thẳng đi qua và véc tơ chỉ phương như vậy theo đề bài tất cả các yếu tố này đã có, tuy nhiên để viết phương tổng quát của một đường thẳng thì ta phải xác định một điểm đi qua và véc tơ pháp tuyến Theo đề bài thì điểm mà đường thẳng đi qua đã có, còn thiếu véc tơ pháp tuyến, cho nên nhiệm vụ của chúng ta là từ mối quan hệ của véc tơ chỉ phương và véc tơ pháp tuyến u nr r 0 hay

r

ta tìm ra véc tơ chỉ phương của đường thẳng

Tóm lại: Các em cần nhớ để viết được phương trình tham số, chính tắc, tổng

quát của đường thẳng ta cần xác định 2 điều kiện:

+ Một điểm M x y 0; 0 thuộc đường thẳng

+ Đối với phương trình tham số và chính tắc xác định véc tơ chỉ phương, đối phương trình tổng quát xác định véc tơ pháp tuyến của đường thẳng

2.3.2 Kỹ năng viết phương trình đường thẳng qua hai điểm

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đã biết tọa độ

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm trong đó một điểm đã biết tọa độ, còn một điểm còn lại ta phải dựa vào các dữ kiện của đề bài để tìm tọa độ

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm mà tọa độ của cả hai điểm này đều chưa có, chúng ta phải dựa vào dự kiện của đề bài để tìm