(LUẬN VĂN THẠC SĨ) Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh Trung học cơ sở trong dạy toán giải bài toán bằng cách lập phương trình. Luận văn ThS. Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn (Toán học)

Việc giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ở chương trình đại số 9 là một ứng dụng của hệ phương trình, song nó còn có ý nghĩa quan trọng trong việc rèn luyện óc phân tích và biểu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC -

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 01 11

HÀ NỘI – 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC -

ĐỖ THỊ KIM HOA

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN

BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa: PGS TS Lê Anh Vinh

HÀ NỘI – 2016

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn tốt nghiệp, bên cạnh

sự cố gắng nỗ lực của bản thân, tôi còn nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của giáo viên hướng dẫn, các thầy giáo cô giáo, đồng nghiệp và người thân

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lê Anh Vinh - người hướng

dẫn khoa học, người thầy đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luậnvăn

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô giáo Trường Đại học Giáo dục ĐHQGHN, Ban giám hiệu, Phòng Quản lý Đào tạo và Nghiên cứu khoa học,

-Bộ phận Tư liệu trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN, Thư viện Quốc gia Việt Nam đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và các thầy cô trong tổ Toán -Tin, trường THCS An Đổ đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi và tận tình giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn

Hà nội, tháng 11 năm 2016

Tác giả luận văn

Đỗ Thị Kim Hoa

SGK Sách Giáo Khoa

THCS Trung học cơ sở

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC BẢNG vi

DANH MỤC BIỂU ĐỒ vii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu: 3

4 Đối tượng và khách thể nghiên cứu 3

5 Vấn đề nghiên cứu 3

6 Giả thuyết khoa học 3

7 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu 4

8 Những đóng góp của Luận văn 4

9 Phương pháp nghiên cứu 4

10 Cấu trúc luận văn 4

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 5

1.1 Lý luận về dạy học giải bài tập toán 5

1.1.1 Vai trò và ý nghĩa của việc giải bài tập toán 5

1.1.2 Chức năng của bài tập toán 6

1.2 Kỹ năng 7

1.2.1 Khái niệm kỹ năng 7

1.2.2 Sự hình thành kỹ năng 7

1.2.3 Phân biệt giữa kỹ năng và năng lực 8

1.3 Giải toán và kỹ năng giải toán 9

1.3.1 Kỹ năng giải toán 9

1.3.2 Sự hình thành kỹ năng giải toán 10

1.3.3 Các mức độ của kỹ năng giải toán 11

1.3.4 Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh 11

1.4 Những khó khăn sai lầm của học sinh lớp 8, 9 khi giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình 12

1.4.1 Những điều cần lưu ý khi giảng dạy chương trình Đại số lớp 8, lớp 9 khi giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình 14

Kết luận chương 1 16

Chương 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠI SỐ 8, 9 THEO HƯỚNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 17

2.1 Những kiến thức cơ bản về bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình 17

2.2 Quy trình ba bước giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình 18

2.3 Hệ thống bài tập theo phân loại giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình 18

2.3.1 Những kiến thức bổ trợ để xây dựng hệ thống bài tập 18

2.3.2 Những dụng ý sư phạm khi xây dựng hệ thống bài tập 20

2.3.3 Các bài toán về chuyển động 25

2.3.4 Các bài toán về năng suất lao động 33

2.3.5 Các bài toán về chung - riêng 38

2.3.6 Các bài toán về tỉ lệ, chia phần, tăng giảm 43

2.3.7 Các bài toán về tìm số 44

2.3.8 Các bài toán về nội dung hình học 47

2.3.9 Toán có nội dung Vật lý , Hóa học 50

2.3.10 Toán có chứa tham số 54

Kết luận chương 2 68

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 69

3.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 69

3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 69

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 69

3.2 Phương pháp thực nghiệm 69

3.3 Tổ chức thực nghiệm 70

3.3.2 Thời gian thực nghiệm sư phạm 70

3.3.3 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 70

3.3.4 Nội dung thực nghiệm sư phạm 70

3.3.5 Tiến trình thử nghiệm 71

3.4 Đánh giá kết quả thử nghiệm 83

3.4.1 Phân tích định tính 83

3.4.2 Phân tích định lượng 83

Kết luận chương 3 88

TÀI LIỆU THAM KHẢO 90 PHỤ LỤC

DANH MỤC BẢNG

Bảng 3.1: Bảng thống kê điểm số bài kiểm tra 85 Bảng 3.2: Bảng thống kê số % bài kiểm tra đạt điểm Xi của bài kiểm tra 86 Bảng 3.3: Bảng tổng hợp các tham số của hai nhóm đối chứng và thực nghiệm của bài kiểm tra 87

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay, trong quá trình công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước, chiến lược con người có vai trò quan trọng hơn bao giờ hết Cùng với sự phát triển vượt bậc của thông tin khoa học, những người chủ tương lai của đất nước phải thực sự có đủ tri thức khoa học, kĩ thuật để có thể tiếp cận và tiếp ứng trong sự phát triển của đất nước.Một trong những mục đích quan trọng của quá trình dạy học nói chung và của dạy môn toán nói riêng là hình thành hệ thống những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh và sự vận dụng sáng tạo các tri thức đó vào đời sống thực tế Quan niệm rằng học sinh là chủ thể của quá trình nhận thức, chỉ có phát huy tới mức cao nhất khả năng độc lập, sáng tạo, chủ động, tích cực trong hoạt động nhận thức của học sinh thì việc học tập mới đạt kết quả tốt Chất lượng của quá trình dạy học không chỉ do nội dung tư tưởng của tài liệu quyết định, mà còn do việc xác định phương pháp: con đường truyền tải những nội dung đó vào trí não của học sinh Là giáo viên giảng dạy bộ môn toán học THCS, tôi thấy việc lựa chọn phương pháp dạy học sao cho phù hợp với t ng đơn vị kiến thức, với t ng đối tượng học sinh là một việc làm hết sức cần thiết và quan trọng Trong bối cảnh hiện nay ngành giáo dục đã và đang nỗ lực đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo của học sinh trong hoạt động học tập Việc giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ở chương trình đại số 9 là một ứng dụng của hệ phương trình, song nó còn có ý nghĩa quan trọng trong việc rèn luyện óc phân tích

và biểu thị toán học, những mối liên quan của các đại lượng trong thực ti n.Trong chương trình giảng dạy bộ môn toán học THCS dạng toán: “Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình” lớp 8, lớp 9 là một trong những dạng toán cơ bản và tương đối khó đối với học sinh Loại toán này các bài toán đều có nội dung gắn liền với thực tế do đó khi giải học sinh thường mắc sai lầm là thoát ly với thực

tế dẫn đến quên điều kiện của ẩn, hoặc không so sánh đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn, hoặc học sinh không khai thác hết các mối liên hệ dàng buộc, không biết dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng để thiết lập phương trình; lời giải thiếu chặt chẽ; giải phương trình chưa đúng; quên đối chiếu điều kiện; thiếu đơn vị

yếu Ngoài ra, cũng có thể do trong quá trình giảng dạy giáo viên mới chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức theo tinh thần của sách giáo khoa mà chưa chú ý phân loại các dạng toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng bằng cách lập phương trình, nắm chắc và biết cách giải dạng toán này Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng đặc thù riêng lẻ Khuyến khích học sinh

vì vậy tôi đưa ra chuyên đề này với mong muốn cùng thảo luận với các đồng chí trong tổ chuyên môn tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với mọi đối tượng học sinh Để giúp học sinh sau khi học hết chương trình toán THCS có cái nhìn tổng quát hơn về dạng toán giải bài toán tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán Tạo cho học sinh lòng

tự tin, say mê, sáng tạo, không còn ngại ngùng đối với việc giải bài toán bằng cách lập phương trình thấy được môn toán rất gần gũi với các môn học khác và thực ti n trong cuộc sống cơ bản và tương đối khó đối với học sinh Loại toán này các bài toán đều có nội dung gắn liền với thực tế do đó khi giải học sinh thường mắc sai lầm là thoát ly với thực tế dẫn đến quên điều kiện của ẩn, hoặc không so sánh đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn, hoặc học sinh không khai thác hết các mối liên

hệ dàng buộc, không biết dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng để thiết lập phương trình; lời giải thiếu chặt chẽ; giải phương trình chưa đúng; quên đối chiếu điều kiện; thiếu đơn vị Hơn nữa, kĩ năng phân tích, tổng hợp của học sinh trong quá trình giải bài tập còn yếu Ngoài ra, cũng có thể do trong quá trình giảng dạy giáo viên mới chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức theo tinh thần của sách giáo khoa mà chưa chú ý phân loại các dạng toán, chưa khái quát được cách giải

cho mỗi dạng.Với những lí do trên tôi quyết định chọn đề tài “Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh Trung học cơ sở trong dạy học giải bài toán bằng cách lập phương trình”

2 Mục đích nghiên cứu

Trong quá trình giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình học sinh thường mắc phải những lỗi đặt thiếu điều kiện của ẩn, biểu thị các đại lượng chưa biết thông qua ẩn còn nhầm lẫn, lập hệ phương trình chưa chính xác, quên không kiểm tra đối chiếu với điều kiện ban đầu thậm chí còn giải hệ phương trình sai Với chuyên đề này tôi nghiên cứu một phương án dạy học giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ

phương trình thông qua việc phân loại các dạng bài tập và hướng dẫn học sinh phân tích bài toán dưới dạng bảng số liệu để rèn kỹ năng giải toán loại này cho học sinh Mục đích của luận văn là nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp và góp phần rèn

luyện kĩ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu các tài liệu về đổi mới phương pháp dạy học ở trường trung

học cơ sở

- Nghiên cứu cơ sở lí luận về kĩ năng giải toán

- Nghiên cứu thực trạng kĩ năng giải toán của học sinh trong khi học bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

- Tìm hiểu thực trạng học sinh khối lớp 8, lớp 9

- Đưa ra những yêu cầu của một lời giải, chỉ ra được sai lầm học sinh thường mắc phải

- Phân loại được các dạng toán và đưa ra một vài gợi ý để giải t ng dạng qua các ví dụ đồng thời rèn cho học sinh định hướng tìm tòi lời giải

4 Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu

4.1 Đối tượng nghiên cứu

Quá trình hình thành kĩ năng giải toán cho học sinh

6 Giả thuyết khoa học

Nếu rèn luyện cho học sinh lớp 8 và lớp 9 Trung học cơ sở theo những biện pháp đề xuất trong luận văn sẽ rèn luyện cho học sinh có kĩ năng giải toán, đồng thời sẽ giúp học sinh khắc sâu kiến thức đã học, phát huy tính tích cực trong việc tiếp thu kiến thức mới và góp phần nâng cao hiệu quả giáo dục, đạt mục tiêu dạy học môn Toán

7 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

Các nghiên cứu khảo sát được tiến hành trên phạm vi các trường Trung học

cơ sở hiện nay, đơn cử là trường Trung học cơ sở An Đổ, Bình Lục, Hà Nam

Số liệu sử dụng để nghiên cứu đề tài này để thu thập trong khoảng thời gian

t năm 2015 đến năm 2016

8 Những đóng góp của Luận văn

- Cung cấp cơ sở lý luận về kỹ năng, kỹ năng giải toán

- Thực trạng về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình đại số lớp 8 và lớp 9

- Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn cho học sinh khi dạy nội dung “giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình” đại số lớp 8 và lớp 9

- Kết quả của luận văn có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh và giáo viên sư phạm Toán ở trường Trung học cơ sở

9 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu và phân tích tài liệu về lí luận dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên, các tài liệu liên quan đến môn học

- Phương pháp điều tra: Điều tra khả năng rèn luyện các kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học nội dung dung “giải bài toán bằng cách lập phương trình –

hệ phương trình” đại số lớp 8 và lớp 9 chất lượng của học sinh trước và sau thực

nghiệm

- Phương pháp quan sát: Dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp trong tổ chuyên môn, học hỏi kinh nghiệm của lớp thầy cô đi trước về phương pháp dạy học môn học; phân tích kết quả học tập của học sinh nhằm tìm hiểu thực trạng về rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong quá trình giảng dạy

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm tại

trường THCS AN ĐỔ cung cấp bài tập và kiểm tra kết quả sau thực nghiệm

- Phương pháp thống kê toán học

10 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 3 chương :

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực ti n của vấn đề nghiên cứu

Chương 2 Xây dựng hệ thống bài tập đại số 8, 9 theo hướng rèn luyện kĩ

năng giải toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Lý luận về dạy học giải bài tập toán

Theo G.Polya cho rằng: “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng

hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu thích hợp Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến mức độ nào đó nắm vững môn học Vậy thế nào là nắm vững môn toán? Đó là biết giải toán!” [13, tr 82]

Trên cơ sở đó ta có thể thấy rõ hơn vị trí, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán trong

trường THPT

1.1.1 Vai trò và ý nghĩa của việc giải bài tập toán

a Vai trò

Trong dạy học toán ở trường THPT, bài tập toán có vai trò vô cùng quan

trọng, theo Nguy n Bá Kim: “Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán

học Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động học toán Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững những tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo,ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để có hiệu quả việc dạy học giải bài tập toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán’’ [6, tr 201] Cũng theo Nguy n

Bá Kim: “Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn toán Điều căn bản là bài

tập có vai trò mang hoạt động của học sinh Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, đinh lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ”[6, tr 388] Như vậy bài tập toán ở trường phổ thông có vị trí,

vai trò quan trọng trong hoạt động dạy, học toán ở trường THPT Vì thế, cần lựa

chọn các bài tập sao cho phù hợp với đối tượng và năng lực của học sinh, như thế mới phát huy được năng lực giải toán của học sinh

sinh về nhiều mặt

1.1.2 Chức năng của bài tập toán

Mỗi bài tập toán ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng những chức năng khác nhau Các chức năng đó đều hướng tới việc thực mục đích hiện mục đích dạy học

Chức năng dạy học: Giúp học sinh củng cố những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo

những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, làm sáng tỏ và khắc sâu những vấn đề lý thuyết Thu gọn, mở rộng bổ sung cho lý thuyết trên cơ sở thường xuyên

hệ thống hóa kiến thức mà nhấn mạnh phần trọng tâm của lý thuyết Đặc biệt hệ thống bài tập còn mang tác dụng giáo dục kỹ thuật tổng hợp thể hiện qua việc giúp học sinh: Thói quen đặt vấn đề một cách hợp lí ngắn gọn, tiết kiệm thời gian và phương pháp tư duy Rèn luyện kỹ năng tính toán, sử dụng đồ thị, bảng biến thiên

và cuối cùng là rèn luyện kỹ năng thực hành toán học

Chức năng giáo dục: Giúp học sinh hình thành thế giới quan duy vật biện

chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới, rèn luyện cho học sinh đức tính kiên nhẫn, chính xác, chu đáo trong học tập, t ng bước nâng cao hứng thú học tập môn toán, phát triển trí thông minh sáng tạo

Chức năng phát triển: Giúp học sinh ngày càng nâng cao khả năng độc lập

suy nghĩ, rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, suy di n, quy nạp,

tương tự Thông thạo một số phương pháp suy luận toán học, biết phát hiện và giải quyết vấn đề một cách thông minh sáng tạo

Chức năng kiểm tra: Thông qua hệ thống bài tập, giáo viên có thể kiểm tra,

đánh giá kết quả học tập của học sinh trong quá trình dạy học Kiểm tra, đánh giá nhằm cung cấp cho giáo viên và học sinh những thông tin về kết quả dạy và học: Về kiến thức, kỹ năng, năng lực giải toán và hiệu quả dạy học

1.2 Kỹ năng

1.2.1 Khái niệm kỹ năng

Một người giáo viên khi chưa có kinh nghiệm giảng dạy, để hướng dẫn học sinh thực hành thường làm như sau:

+ Sưu tầm các bài toán về nội dung toán học cần dạy giao cho học sinh + Trình bày cách giải

Phương pháp này rất đơn giản, tự nhiên và hiệu quả phụ thuộc nhiều vào trình độ của người thầy Khi có kinh nghiệm hơn, người giáo viên sưu tầm các bài toán có chung một cách giải và sau khi giải chúng, người thầy tổng kết thành phương pháp giải Những phương pháp giải là một dạng kĩ năng giải toán Công việc này hoàn toàn phụ thuộc vào kinh nghiệm của cá nhân người thầy Nhưng người ta phát hiện ra rằng: Khi ra một bài toán mới khác hẳn với bài toán đã làm mà học sinh vẫn giải được nhờ những kĩ năng có được một cách tự phát trong quá trình học tập Đây là một quá trình tư duy thực sự hiệu quả nhưng tốn nhiều thời gian và công sức Phân tích quá trình tích lũy kinh nghiệm giảng dạy của các giáo viên và học tập của học sinh, chúng ta phát hiện ra một phương pháp hiệu quả bổ sung cho hoạt động giảng dạy là tìm kiếm, hệ thống các kĩ năng giải toán cung cấp cho học sinh những chuyên đề đặc biệt.Với cách này, chúng ta nhanh chóng tiếp cận với nhiều dạng bài toán khó trên thế giới để rèn luyện tư duy nhận thức ở mức độ cao, tiết kiệm rất nhiều thời gian cho quá trình đào tạo

1.2.2 Sự hình thành kỹ năng

Theo t điển Giáo dục học: Để hình thành kỹ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập t ng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích, yêu cầu Do kiến thức là cơ sở của kỹ năng

cho nên tùy theo kiến thức mà học sinh cần nắm được mà có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng tương ứng

Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy giải quyết các nhiệm vụ đặt ra Con đường hình thành kỹ năng rất phong phú và nó phụ thuộc vào các yếu tố như: Kiến thức xác định kỹ năng, yêu cầu rèn kỹ năng, mức độ chủ động tích cực của học sinh Có hai con đường hình thành kỹ năng cho học sinh đó là:

- Truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho học sinh những bài toán vận dụng tri thức đó T đó, học sinh sẽ phải tìm tòi cách giải, bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng, những thủ thuật biến đổi

- Dạy cho học sinh nhận biết những dấu hiệu mà t đó có thể xác định được đường lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đường lối sáng tạo đó vào t ng bài toán cụ thể

- Thực chất sự hình thành kỹ năng là tạo dựng cho học sinh khả năng nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các thông tin chứa đựng trong bài toán

Khi giúp học sinh hình thành kỹ năng cần tiến hành:

- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng

- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải những bài toán cùng dạng

- Xác lập được mối liên hệ giữa các bài toán tổng quát và kiến thức tương ứng

- Nội dung bài tập, yêu cầu và nhiệm vụ đặt ra thường được tr u tượng hóa hay bị che giấu bởi những yếu tố làm chệch hướng tư duy và ảnh hưởng tới sự hình thành kỹ năng

- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng tới sự hình thành kỹ năng, vì vậy nên tạo tâm thế thuận lợi trong học tập cho học sinh trong hình thành kỹ năng

1.2.3 Phân biệt giữa kỹ năng và năng lực

Khái niệm năng lực được sử dụng nhiều trong đời sống nói chung và trong

môn toán nói riêng Vậy năng lực là gì? Theo T điển tiếng Việt [23]: “Năng lực

như khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động

nào đó hay là phẩm chất tâm sinh lí và trình độ chuyên môn tạo cho con người khả

năng hình thành một hoạt động nào đó với chất lượng cao”

Năng lực là khả năng sử dụng và lựa chọn kiến thức, kỹ năng, thái độ, trong

việc thực hiện một nhiệm vụ học tập chính yếu tới một chuẩn được yêu cầu nào đó Năng lực là một danh sách những gì học sinh có thể thực hiện – cách định nghĩa này

cũng gắn với sản phẩm đầu ra nhưng theo hướng hành vi và cụ thể hóa

Điểm thống nhất trong các quan niệm ở trên là: Năng lực bao gồm cả kiến thức, kĩ

năng, thái độ và một số yếu tố cá nhân khác Khái niệm năng lực theo nghĩa hẹp này

có thể được phân biệt với việc thực hiện một nhiệm vụ học tập, theo đó nó được thể

hiện và đánh giá qua những thực hành có thể nhìn thấy được năng lực còn có thể

được định nghĩa rộng hơn Năng lực chung là khả năng vận dụng, chuyển biến các

thành phần kiến thức, kĩ năng, thái độ, và các yếu tố cá nhân khác theo một cơ chế

nào đó để thực hiện đạt chuẩn những nhiệm vụ học tập thiết yếu của một môn học

Trong khuôn khổ của luận văn, luận văn đưa ra các biện pháp rèn kỹ năng toán học

cho học sinh

1.3 Giải toán và kỹ năng giải toán

1.3.1 Kỹ năng giải toán

Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức Toán học để giải các

bài tập Toán học (tìm tòi, suy đoán, suy luận, chứng minh …) Kỹ năng giải toán

dựa trên cơ sở của tri thức toán học bao gồm: kiến thức, kỹ năng, phương pháp Học

sinh sau khi nắm vững lý thuyết, trong quá trình luyện tập, củng cố, đào sâu kiến

thức thì kỹ năng được hình thành, phát triển, đồng thời nó cũng góp phần củng cố,

cụ thể hóa tri thức Toán học

Kỹ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các

hoạt động toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán Kỹ năng có thể được

rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động Sự tr u tượng hóa trong Toán

học di n ra trên nhiều cấp độ, cần rèn luyện cho học sinh những kỹ năng trên những

bình diện khác nhau

Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán: Là sự thể hiện mức độ

thông hiểu tri thức Toán học Một người hiểu những tri thức Toán học sẽ vận dụng

được để làm toán

Kỹ năng vận dụng tri thức Toán học vào các môn học khác: Kỹ năng trên bình diện này thể hiện vai trò công cụ của Toán học đối với những môn học khác, điều này thể hiện tính liên môn giữa các môn học trong nhà trường đòi hỏi người giáo viên dạy Toán cần có quan điểm tích hợp trong việc dạy bộ học bộ môn Kỹ năng vận dụng Toán học vào đời sống: Đây là mục tiêu quan trọng của môn Toán,

nó cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học

1.3.2 Sự hình thành kỹ năng giải toán

Theo Descartes – Leibnitz: “Giải toán là một nghệ thuật được thực hành

giống như bơi lội, trượt tuyết hay chơi đàn vậy Có thể học được nghệ thuật đó, chỉ cần bắt chước theo những mẫu mực đúng đắn và thường xuyên thực hành”

Theo các tác giả V.A.Krutetski, N.D Levitop, AV Petropxki, Nguy n Ngọc Quang thì việc hình thành một kỹ năng nào đó gồm ba bước:

- Nhận thức đầy đủ về mục đích, cách thức và điều kiện hành động

- Quan sát theo mẫu, làm thử theo mẫu

- Luyện tập cách thức hành động theo đúng yêu cầu, điều kiện của nó nhằm đạt được mục đích đề ra Trong thực tế giảng dạy, khi hình thành kỹ năng cho học sinh, khó có thể phân chia được rạch ròi theo các giai đoạn nói trên Chẳng hạn, khi khai triển hành động giải toán, học sinh chưa hẳn đã nắm vững tri thức về hành động

đó, mà chính trong quá trình thực hiện hành động, các em dần dần nắm vững các tri thức cần thiết Chứng tỏ giữa tri thức và kỹ năng là hai mặt không thể tách rời của hành động học Lí luận dạy học cũng xác định cách dạy của giáo viên sẽ ảnh hưởng sâu sắc đến cách học của học sinh Cũng như các kỹ năng khác, kỹ năng giải toán cũng được hình thành qua bắt chước và tập luyện Để kỹ năng giải toán được rèn luyện và vận dụng trong quá trình nhận thức, trước hết học sinh phải thấy rõ tác dụng của những kỹ năng thành phần, mối quan hệ giữa chúng trong việc giải quyết một bài toán cũng như quy trình thực hiện Khi dạy các kỹ năng, điều quan trọng là không dạy quá nhiều kỹ năng cùng một lúc Sẽ tốt nhất nếu mỗi bài tập phức tạp sẽ được chia thành một chuỗi các bước đi, các bước đó được học một cách tách biệt nhau Rồi mỗi bước đó được thực hành chậm rãi, chính xác cho đến khi nào đạt được tốc độ cần thiết, sau đó các bước đi có thể xâu chuỗi lại để làm nên bài tập phức tạp Để học được một kỹ năng, học sinh cần biết chúng ta trông chờ ở các em phải có khả năng

làm gì và làm như thế nào cho tốt, làm thế nào sẽ tốt nhất, các em phải biết tại sao cách làm này chưa hiệu quả, cách làm kia sẽ tốt nhất Các em phải có cơ hội thực hành (sử dụng), được kiểm tra và hiệu chỉnh việc thực hành đó Thực tế, bộ nhớ có thể xảy ra hiện tượng quên, do đó người học cần có phương tiện để ghi nhớ và cơ hội

ôn lại nội dung đã học, sử dụng lại khi cần Tất nhiên việc học của các em cần được đánh giá và các em cần được nêu câu hỏi, nêu những thắc mắc

1.3.3 Các mức độ của kỹ năng giải toán

Kỹ năng giải toán có thể chia thành ba mức độ:

Biết làm: Vận dụng được lý thuyết để giải những bài toán cơ bản hình thành các thao tác cơ bản như: Viết các đại lượng theo ngôn ngữ toán học, viết chính xác công thức, kí hiệu, giải được các bài tập dạng mẫu

Thành thạo: Học sinh có thể giải nhanh, ngắn gọn, chính xác bài toán theo cách giải đã biết và một số bài tập tổng hợp

Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Tìm ra những cách giải ngắn gọn, chuyển hóa vấn đề khéo léo và cách giải quyết vấn đề độc đáo

1.3.4 Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh

1.3.4.1 Mục tiêu dạy môn Toán

Theo [24]: “Mục tiêu giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn

diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân;chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”

T mục tiêu giáo dục nói chung ta xây dựng mục tiêu dạy học môn toán:

- Trang bị cho học sinh những tri thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực

- Phát triển trí tuệ cho học sinh

- Rèn luyện kĩ năng ứng dụng toán học trong nghiên cứu khoa học và thực

ti n cho học sinh

- Trau dồi những phẩm chất, tình cảm, đạo đức tốt đẹp cho học sinh

- Bảo đảm tính phổ cập, đồng thời phát hiện và bồi dưỡng các học sinh có năng khiếu toán học

1.3.4.2 Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh THCS

Rèn kĩ năng giải toán nhằm đạt được các yêu cầu cần thiết sau:

- Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản trong chương trình

- Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ, cụ thể là phát triển:

+ Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác

+ Khả năng suy đoán, tư duy tr u tượng, trí tưởng tượng trong không gian + Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa

+ Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo

1.4 Những khó khăn sai lầm của học sinh lớp 8, 9 khi giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình

Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết toán học hình thành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic,…

vì thế nếu chất lượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cận với nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại

Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy học toán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện giải quyết vấn đề, rèn luyện hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực ti n

Trong chương trình Đại Số 8, Đại Số 9 dạng toán “giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình” đối với học sinh THCS là một việc làm mới mẻ,

đề bài cho không phải là những phương trình có sẵn mà là một đoạn văn mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng, học sinh phải chuyển đổi được mối quan hệ giữa các đại lượng được mô tả bằng lời văn sang mối quan hệ toán học Hơn nữa, nội dung của các bài toán này, hầu hết đều gắn bó với các hoạt động thực tế của con người,

xã hội hoặc tự nhiên,… Chính vì vậy, người thầy không chỉ truyền thụ cho học sinh

những kiến thức như trong sách giáo khoa mà còn dạy cho học sinh cách giải bài tập Người thầy khi hướng dẫn cho học sinh giải các bài toán dạng này phải dựa trên các quy tắc chung là: yêu cầu về giải một bài toán, quy tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình, phân loại các dạng toán, làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập được phương trình hoặc hệ phương trình d dàng, đây là bước đặc biệt quan trọng và khó khăn với học sinh

Dạng toán “Giải bải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình” ở chương trình đại số lớp 8, lớp 9 trong trường THCS là một dạng toán tương đối khó đối với học sinh Do đặc trưng cuả loại toán này thường là loại toán có đề bài bằng lời văn và thường được kết hợp giữa toán học, lý học và hoá học Hầu hết các bài toán có dữ liệu giằng buộc lẫn nhau buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm được mối liên quan giữa các đại lượng để lập được phương trình hoặc hệ phương trình Trong phân phối chương trình toán ở trường THCS thì ở lớp 8 học sinh mới được học khái niệm về phương trình, nhưng việc giải phương trình đã có trong chương trình toán t các lớp dưới với mức độ và yêu cầu đơn giản hơn Đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều được gắn liền với nội dung thực

tế Vì vậy mà việc chọn ẩn thường là những đại lượng có liên quan đến thực tế Do

đó khi giải bài toán học sinh thường mắc sai lầm là thoát ly khỏi thực tế dẫn đến quên điều kiện của ẩn số Học sinh không khai thác hết mối quan hệ giằng buộc trong thực tế t những lý do dẫn đến hầu hết học sinh rất ngại giải dạng toán này Mặt khác trong quá trình giảng dạy cho học sinh do điều kiện khách quan giáo viên chỉ dạy cho học sinh truyền thụ theo sách giáo khoa mà chưa biết phân loại dạng toán, chưa khai thác được phương pháp giải cho mỗi dạng toán, do kỹ năng phân tích, tổng hợp của học sinh còn yếu vì thế trong quá trình đặt ẩn , mỗi liên hệ giữa các số liệu trong bài toán dẫn đến lúng túng trong việc giải dạng toán này Vì thế muốn giải được bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình điều quan trọng là phải biết di n đạt những mối liên hệ trong bài toán thành những quan hệ toán học Do vậy nhiệm vụ của những người thầy là phải dạy cho học sinh cách dẫn giải bài tập Vì vậy khi hướng dẫn cho học sinh học vềgiải dạng toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình phải dựa trên các nguyên tắc sau:

+ Yêu cầu về giải bài toán

+ Quy tắc giải bài toán về cách lập phương trình

+ Phân loại dạng toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại lượng (tăng giảm, thêm bớt )

+ Làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập được phương trình, hệ phương trình d dàng

Khi giảng dạy cho các em học sinh ở bậc THCS môn Toán, tôi nhận thấy các

em học sinh lớp 9 gặp rất nhiều khó khăn khi giải các dạng toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Mặc dù các em đã biết cách giải dạng toán đố ở Tiểu học, các bài toán số học ở lớp 6, 7 Song việc giải các dạng phương trình ở lớp 8, giải hệ phương trình ở lớp 9, phương trình bậc hai ở lớp 9 gặp nhiều khó khăn Nhưng khi gặp bài toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình thì các em lại thấy khó mặc dù các em đã nắm được quy tắc chung (các bước giải) Có nhiều

em nắm được rất rõ các bước giải nhưng lại không biết vận dụng vào giải bài tập vì các em không biết xuất phát t đâu để tìm lời giải hoặc không biết tìm sự liên quan giữa các đại lượng để lập phương trình, hệ phương trình Mà dạng toán này là một dạng toán cơ bản, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra học kỳ, các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông, nhưng số học sinh bị mất điểm ở bài này chiếm đáng kể, cũng có những học sinh biết cách làm nhưng không đạt điểm tối đa

vì thiếu nhiều ý, thiếu điều kiện, thiếu di n biến lo gic

Trong phân phối chương trình môn Toán THCS ở lớp 9 số lượng tiết học về giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình là ít tiết nên học sinh cũng chưa có sự tìm hiểu một cách thấu đáo, sách vở tài liệu tham khảo ở các trường về dạng bài tập này cũng còn thiếu

1.4.1 Những điều cần lưu ý khi giảng dạy chương trình Đại số lớp 8, lớp 9 khi giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình

Trong phân phối chương trình toán ở trường trung học cơ sở thì tới lớp 8 học sinh mới được học về khái niệm phương trình và các phép biến đổi phương trình Nhưng việc giải phương trình đã có trong chương trình toán cấp 1 với mức độ và yêu cầu tùy theo t ng đối tượng học sinh.Một đặc thù riêng của loại toán này là các bài toán đều được gắn liền với nội dung thực tế Chính vì vậy mà việc chọn ẩn thường là những số liệu liên quan đến thực tế Do đó khi giải toán học sinh thường

mắc sai lầm thoát ly thực tế, dẫn đến quên điều kiện hoặc điều kiện sai, thiếu; học sinh không khai thác hết được những mối liên hệ ràng buộc của thực tế T những lý

do đó mà học sinh rất sợ và ngại làm loại toán này Mặt khác cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức

độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa khi chưa biết phân loại toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng Kỹ năng phân tích, tổng hợp của học sinh còn yếu trong quá trình đặt ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ kiện trong bài toán dẫn đến lúng túng trong giải toán loại này

Chính vì vậy muốn giải toán bằng cách lập phương trình thì điều quan trọng là phải biết cách di n đạt những mối liên hệ cho trong bài thành những mối quan hệ toán học

Kết luận chương 1

Trong các nội dung dạy học thì rèn luyện kỹ năng có vai trò hết sức quan trọng trong việc giải quyết một số bài tập, nhất là bài tập hình học

Chương này trình bày các khái niệm về kỹ năng, kỹ năng giải toán, rèn luyện

kỹ năng trong dạy học toán nhằm góp phần phát triển và bồi dưỡng kỹ năng giải toán cho người học Nêu các bước giải toán, dạy học chứng minh và chứng minh toán học Nhiệm vụ của mỗi giáo viên dạy Toán ở trường phổ thông là phải luôn có

ý thức suy nghĩ, tìm tòi các biện pháp thích hợp để rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải các bài tập toán, cụ thể là các bài toán hình học T đó tạo niềm say mê, hứng thú trong học tập cho học sinh

Chương 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠI SỐ 8, 9 THEO HƯỚNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

xã hội hoặc tự nhiên,… Chính vì vậy, người thầy không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức như trong sách giáo khoa mà còn dạy cho học sinh cách giải bài tập Người thầy khi hướng dẫn cho học sinh giải các bài toán dạng này phải dựa trên các quy tắc chung là: yêu cầu về giải một bài toán, quy tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình, phân loại các dạng toán, làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập được phương trình hoặc hệ phương trình d dàng, đây là bước đặc biệt quan trọng và khó khăn với học sinh

T tình hình thực tế trong nhà trường, đặc biệt trực tiếp giảng dạy bộ môn toán, bản thân tôi tự nhận thấy giáo viên đều được đào tạo cơ bản, đạt chuẩn về trình độ chuyên môn Do đó trình độ chuyên môn khá đồng đều, giáo viên có lòng say mê nghề bám trường, bám lớp, có lòng yêu nghề mến trẻ, có lòng nhiệt huyết cao trong giảng dạy Người giáo viên cố gắng tìm tòi sáng tạo trong việc hướng dẫn

học sinh giải các bài toán bằng nhiều phương pháp

Trong quá trình giảng dạy giáo viên chú trọng đến việc khai thác bằng nhiều phương pháp nhằm giúp học sinh phát triển khả năng tư duy lôgíc khả năng di n đạt chính xác ý tưởng của mình, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực, phát hiện giải quyết vấn đề một cách cụ thể, rèn luyện

kỹ năng vào vận dụng thực ti n, tác động đến tâm tư tình cảm đem lại niềm vui,

hứng thú học tập cho học sinh

2.2 Quy trình ba bước giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình

T những khó khăn cơ bản của học sinh cũng như những yếu tố khách quan khác, tôi đã cố gắng tìm ra những giải pháp khắc phục nhằm đạt được hiệu quả cao trong công tác Nắm bắt được tình hình học sinh ngại khó khi giải bài toán bằng cách lập phương trình nên tôi đã đưa ra các dạng bài tập khác nhau để phân loại cho phù hợp với khả năng nhận thức của t ng đối tượng Các bài tập ở dạng t thấp đến cao để các em nhận thức chậm có thể làm tốt những bài toán ở mức độ trung bình, đồng thời kích thích sự tìm tòi và sáng tạo của những học sinh khá, giỏi

Bên cạnh đó tôi thường xuyên hướng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh, lắng nghe ý kiến của các em Cho học sinh ngoài làm việc cá nhân còn phải tham gia trao đổi nhóm khi cần thiết Tôi yêu cầu học sinh phải tự giác, tích cực, chủ động, có trách nhiệm với bản thân và tập thể

Mặc dù khả năng nhận thức và suy luận của học sinh trong mỗi lớp chưa đồng bộ nhưng khi giải bài toán bằng cách lập phương trình tất cả đều phải dựa vào một quy tắc chung: Đó là các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình Cụ thể như sau :

Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình) gồm các công việc sau

- Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) và đặt điều kiện cho ẩn;

- Biểu di n các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình)

- Tùy t ng phương trình (hệ phương trình) mà chọn cách giải cho ngắn gọn

và phù hợp

Bước 3: Trả lời (Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình (nghiệm

của hệ phương trình), nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận)

2.3 Hệ thống bài tập theo phân loại giải bài toán bằng cách lập phương trình

và hệ phương trình

2.3.1 Những kiến thức bổ trợ để xây dựng hệ thống bài tập

- Biết kĩ năng giải phương trình và hệ phương trình

- Dạng bài toán chuyển động

Công thức chuyển động đều : S = v.t

Trong đó: S - Quãng đường (km, m, cm )

-Toán về năng suất lao động

Mối liên hệ giữa các đại lượng: K, N, T

K = N.T ; N = K

T và

K

T =NTrong đó: K : Khối lượng công việc

N : Năng suất lao động

T : Thời gian lao động

-Toán về tỉ lệ, chia phần ,tăng giảm

+ Sự phân tích trong quá trình lao động

+ Kỹ năng biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng

+ Biểu di n các tỷ lệ dưới dạng: Phần trăm, thập phân, tỷ lệ thức

+ Các tính chất của tỷ lệ thức

+ Sự tăng giảm, thêm bớt qua các biểu thức

-Toán có nội dung số học

Kiến thức cần nhớ

+ Cấu tạo thập phân của một số

+ Việc thay đổi thứ tự các chữ số, thêm bớt chữ số

+ Cấu tạo của một phân số, điều kiện phân số tồn tại

-Toán có nội dung hình học

+ Công thức tính diện tích, chu vi hình quen thuộc (tam giác, tam giác vuông, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang )

+ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

- Toán có nội dung Vật lý , Hóa học

m

+ Nồng độ mol/l: C =M M

V+ Tính theo phương trình hoá học, công, công suất

2.3.2 Những dụng ý sư phạm khi xây dựng hệ thống bài tập

Yêu cầu 1: Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ

Để học sinh không mắc phải sai lầm này người giáo viên phải hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề toán Do đó trước khi giải giáo viên phải yêu cầu học sinh đọc thật kỹ

đề bài, đọc lại đề bài nhiều lần, t ng câu, t ng chữ trong đề bài để nắm được đề bài đã cho những gì, yêu cầu tìm những gì T đó giúp học sinh hiểu kỹ đề toán và trong quá trình giải không có sai sót nhỏ hoặc không phạm sai lầm Việc hiểu kỹ nội dung đề bài

là tiền đề quan trọng trong việc giải bài tập toán Nó giúp học sinh rất nhiều trong việc chọn ẩn, đặt điều kiện của ẩn, suy luận, lập luận logic, kỹ năng tính toán

Giáo viên phải rèn cho học sinh thói quen đặt điều kiện cho ẩn và đối chiều với điều kiện của ẩn cho thích hợp để tránh việc sai sót khi kết luận bài toán

Bài toán: Cho một số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được

một số lớn hơn số đã cho là 63 Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99

Tìm số đã cho

Phân tích:

Học sinh cần phải nắm được cấu tạo số trong hệ thập phân:

+ Số có hai chữ số abthì được biểu di n là 10ab

Ta thấy hai đại lượng chưa biết là chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị của số cần tìm Theo giả thiết, khi viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại, ta vẫn được một số có hai chữ số Điều đó chứng tỏ rằng hai chữ số ấy đều phải khác 0

Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số mới là : yx 10y x 

Theo các điều kiện của đề bài ta có hệ phương trình :





 

 , giáo viên lưu ý học sinh đối chiếu với điều kiện ban

đầu của đề bài xem đã thỏa mãn các điều kiện chưa

Yêu cầu 2: Lời giải phải có căn cứ chính xác

Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, giáo viên cần lưu ý học sinh lập luận phải có căn cứ và phải chính xác, khoa học Vì mỗi câu lập luận trong bài giải đều liên quan đến ẩn số và các dữ kiện đã cho trong đề toán Do đó giáo viên cần phải giúp học sinh hiểu được đâu là ẩn số, đâu là các dữ kiện đã cho trong bài toán, để t đó dựa vào những yếu tố và các mối liên quan giữa các đại lượng đã cho

và ẩn số để lập luận và lập nên phương trình Vì thế, trước khi hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách lập phương trình, giáo viên nên hướng dẫn học sinh luyện tập các phương pháp biểu di n sự tương quan giữa các đại lượng bởi một biểu thức chứa ẩn, trong đó ẩn số đại diện cho một đại lượng nào đó chưa biết Học sinh có thể sử dụng cách lập bảng (có thể viết ngoài giấy nháp) để biểu di n các đại lượng chưa biết bởi những biểu thức của ẩn cùng với các quan hệ của chúng

Bài toán: Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì

xong Mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B Hỏi nếu làm một

mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu?

Phân tích:

T giả thiết hai đội cùng làm trong 24 ngày thì xong cả đoạn đường (và được xem là xong 1 công việc), ta suy ra trong một ngày cả hai đội làm chung 1

24 công việc Tương tự, số phần công việc mà mỗi đội làm trong một ngày và số ngày cần thiết để đội đó hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch

Khi đó nếu gọi:

+ x là số ngày để đội A làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc

+ y là số ngày để đội B làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc

+ x là số phần công việc làm trong một ngày của đội A

+ y là số phần công việc làm trong một ngày của đội B

Qua đó ta thấy rằng khi chọn ẩn là “thời gian” thì hệ phương trình phức tạp hơn so với khi chọn ẩn là “năng suất làm việc” Do đó khi giải cần chú ý đến việc

chọn ẩn

Yêu cầu 3: Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện

Giáo viên khi giảng dạy cho học sinh giải loại toán này cần phải chú ý đến tính toàn diện của bài giải Nghĩa là lời giải của bài toán phải đầy đủ, chính xác, không th a cũng không thiếu Phải làm sao sử dụng hết tất cả các dữ kiện của đề bài, không bỏ sót một dữ kiện, một chi tiết nào dù là nhỏ, khi đã sử dụng hết tất cả các dữ kiện của bài toán, lập được phương trình, giải tìm được kết quả thì cuối cùng các em phải chú ý đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn hoặc có thể thử lại kết quả

để trả lời, kết luận bài toán cho chính xác Có như vậy mới thể hiện được tính đầy

đủ và toàn diện nhất

Bài toán: Một ô tô đi t A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa Nếu xe chạy

với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc

50 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định Tính độ dài quãng đường AB

và thời điểm xuất phát của ôtô tại A

Giải:

Gọi độ dài của quãng đường AB là x (km)

Thời gian dự định đi t A đến B là y (giờ)

x

y x





 



Yêu cầu 4: Lời giải bài toán càng đơn giản càng tốt

Bài giải phải đảm bảo được 3 yêu cầu trên không sai sót, có lập luận, mang tính toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ của học sinh, đại đa số học sinh hiểu

Nhưng nếu ta chọn ẩn số như sau :

Gọi số chân gà là x (xZ,0  x 100) và số chân chó là y (yZ,0 y 100)

Yêu cầu 5: Lời giải phải trình bày khoa học

Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình chúng ta cần lập luận dựa vào các dữ kiện của đề bài Tuy nhiên khi lập luận trình bày lời giải cần phải có thứ tự, vấn đề nào cần lập luận trước, vấn đề nào cần lập luận sau Giữa các bước lập luận biểu di n sự tương quan giữa các đại lượng phải logic, chặt chẽ với nhau, bước sau là sự kế th a của bước trước, bước trước nêu ra nhằm chủ ý cho bước sau tiếp nối Không nên di n giải lung tung, không có trình tự, dài dòng giữa các bước

Trên đây là 5 yêu cầu quan trọng khi thực hiện giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình mà giáo viên cần lưu ý cho học sinh Ngoài việc nhắc nhở học sinh nắm vững các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, phương trình, nắm vững các yêu cầu đặt ra trong việc giải toán, học sinh là đối tượng để giải tốt các bài tập, nhưng việc quan trọng nhất trong thành công dạy học vẫn là do người giáo viên Để học sinh học được tốt, hiểu được bài, vận dụng được

lý thuyết để giải bài tập thì trước hết giáo viên phải soạn bài thật tốt, chuẩn bị một

hệ thống các câu hỏi phù hợp, một số bài tập trắc nghiệm, tự luận đơn giản phù hợp với t ng đối tượng học sinh Phân tích thật rõ ràng và tỉ mỉ các ví dụ trong sách giáo khoa ở các tiết dạy trên lớp hoặc phân tích thật kĩ các bài tập mẫu cho học sinh qua các giờ học tự chọn để làm nền tảng cho học sinh giải các bài tập khác Mặt khác giáo viên có thể chia học sinh thành các nhóm nhỏ, mỗi nhóm có một nhóm trưởng

tổ chức thảo luận các bài tập mẫu để các em học sinh yếu kém có thể hiểu được bài một cách sâu hơn, giúp các em có thể giải được một số bài tập tương tự, làm cho các em không chán nản, không ngại khó khi giải bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình T đó giúp các em có hứng thú giải những bài tập dạng khó hơn Do vậy giáo viên cần phải cho học sinh những bài tập tương tự để các em tự làm và cũng cần phải phân loại rõ ràng cho học sinh t ng dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình để t đó học sinh có thể chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn

2.3.3 Các bài toán về chuyển động

- Phương pháp giải

Toán chuyển động gồm 3 đại lượng: Quãng đường, vận tốc, thời gian

S = v.t quãng đường = vận tốc ´ thời gian

t = S

v thời gian = quãng đường : vận tốc

v = S

t vận tốc = quãng đường: thời gian

Đi nhanh hơn thì vận tốc lớn hơn;

Đi chậm hơn thì vận tốc nhỏ hơn;

Đến sớm hơn (đến trước) thì thời gian ít hơn;

Đến muộn hơn (đến chậm, đến sau) thì thời gian nhiều hơn

- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa

+ Dạng “Khởi hành cùng lúc, cùng nơi và đi cùng chiều”:

Bài toán: Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp t làng lên tỉnh trên quãng đường

dài 30 km, khởi hành cùng một lúc Vận tốc xe của Bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của

cô Liên là 3 km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ Tính vận tốc xe

của mỗi người

Gọi vận tốc của bác Hiệp là x (km/h), x > 0 khi đó vận tốc của cô Liên là x - 3 (km/h)

Thời gian bác Hiệp đi t làng lên tỉnh là 30

x

Thời gian bác Liên đi t làng lên tỉnh là: 30

x 3 (giờ)

Vì bác Hiệp đến trước cô Liên nửa giờ, tức là thời gian đi của bác Hiệp ít hơn thời

gian cô Liên nửa giờ nên ta có phương trình: 30 30 1

Vì x > 0 nên x2 = -12 không thỏa mãn điều kiện của ẩn

Vậy: Vận tốc của bác Hiệp là 15 km/h

Vận tốc của cô Liên là 12 km/h

Bài toán: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km Một canô đi t

bến A đến bến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A Kể t lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ Hãy tìm vận tốc của canô trong khi nước yên lặng,

biết rằng vận tốc của nước chảy là 3 km/h

Gọi vận tốc thực của canô là x (km/h), x > 3

Gọi vận tốc khi đi xuôi dòng là: x + 3 (km/h)

Gọi vận tốc khi ngược dòng là: x - 3 (km/h)

Thời gian xuôi dòng là: 30

Bài toán: Một xuồng du lịch đi t thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một

đường sông dài 120 km Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn Khi về, xuồng đi theo đường khác dài hơn đường lúc đi là 5 km và với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 5 km/h Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi

Giải:

Gọi vận tốc của xuồng lúc đi là x (km/h), x > 0, thì vân tốc lúc về là x - 5 (km/h)

Vì khi đi có nghỉ 1 giờ nên thời gian khi đi hết tất cả là: 120 1

Vì x > 0 nên x1 = -20 không thỏa mãn điều kiện của ẩn

Trả lời: Vận tốc của xuồng khi đi là 30 km/h

Bài toán: Một người đi xe máy t A đến B quãng đường dài 95 km Lúc về người

đó đi theo con đường khác ngắn hơn đường cũ là 23 km nhưng khó đi hơn do đó

vận tốc chỉ bằng 4

5 vận tốc lúc đi Tuy nhiên thời gian đi vẫn nhiều hơn thời gian

về là 7,5 phút Tính vận tốc lúc đi của người đó ?

Hướng dẫn học sinh:

- Phân tích bài toán:

+ Thấy rõ hai quá trình chuyển động đi và về

+ Có 3 đại lượng tham gia: S, v, t

+ Mối liên hệ giữa hai quá trình: Svề + 23 = Sđi

Vậy vận tốc lúc đi người đó là 40 (km/h)

Bài toán: Tìm vận tốc và chiều dài của một đoàn tàu hỏa biết đoàn tàu ấy chạy

ngang qua văn phòng ga t đầu máy đến hết toa cuối cùng mất 7 giây Cho biết sân

ga dài 378m và thời gian kể t khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây

Giải :

Gọi x(m/s) là vận tốc của đoàn tàu khi vào sân ga (x > 0)

Gọi y(m) là chiều dài của đoàn tàu (y > 0)

Tàu chạy ngang văn phòng ga mất 7 giây nghĩa là với vận tốc x(m/s) chạy với quãng đường y(m) mất 7 giây

Ta có phương trình y7x

Khi biết sân ga dài 378m và thời gian kể t khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây, nghĩa là với vận tốc x(m/s) tàu chạy với quãng đường y 378 (m) mất 25 giây

Vậy vận tốc của đoàn tàu là 21(m/s)

Chiều dài của đoàn tàu là 147(m)

Bài toán : Trên mộ đường tròn chu vi 1,2m , ta lấy 1 điểm cố định A Hai điểm

chuyển động M, N chạy trên đường tròn , cùng khởi hành t A với vận tốc không đổi Nếu chúng di chuyển trái chiều nhau thì chúng gặp nhau sau mỗi 15 giây Nếu chúng chuyển động cùng chiều nhau thì điểm M sẽ vượt N đúng 1 vòng sau 60 giây Tìm vận tốc điểm M, N?

Giải:

Gọi x(m/s) là vận tốc điểm M (x > 0)

Gọi y(m/s) là vận tốc điểm M (y > 0)

Khi chúng di chuyển trái chiều nhau thì chúng gặp nhau sau mỗi 15 giây nên ta có phương trình 15x 15y 1,2 

Nếu chúng chuyển động cùng chiều nhau thì điểm M sẽ vượt N đúng 1 vòng sau 60 giây ta có phương trình 60x 60y 1 

Bài toán: Một ca nô chạy trên sông xuôi dòng 126 km và ngược dòng 66 km trong

7,5 giờ Một lần khác, ca nô cũng chạy trong 6,5 giờ xuôi dòng 70 km và ngược dòng 88 km Tính vận tốc của dòng nước chảy và vận tốc thật của ca nô (vận tốc thật của ca nô không đổi )

Vận tốc xuôi dòng của ca nô là: x + y (km/h)

Vận tốc ngược dòng của ca nô là: x - y (km/h)

Thời gian ca nô xuôi dòng 126 km là 126  