(LUẬN văn THẠC sĩ) rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm

Thế nhưng, các công trình nghiên cứu về thực trạng giáo dục hiện nay cho thấy chất lượng nắm vững kiến thức của học sinh không cao, đặc biệt việc phát huy tính tích cực của học sinh, năn

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn i

Danh mục viết tắt ii

Danh mục các bảng iii

Mục lục iv

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Tư duy 5

1.1.1 Tư duy là gì ? 5

1.1.2 Tầm quan trọng của việc phát triển tư duy 5

1.1.3 Những đặc điểm của tư duy 6

1.1.4 Những phẩm chất của tư duy 6

1.1.5 Các thao tác tư duy 7

1.1.6 Vấn đề phát triển năng lực tư duy 9

1.1.7 Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển 10

1.2 Tư duy sáng tạo 10

1.2.1 Khái niệm về sáng tạo 10

1.2.2 Quá trình sáng tạo 12

1.2.3 Tư duy sáng tạo 12

1.2.4 Cấu trúc của tư duy sáng tạo 15

1.3 Phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán 17

1.3.1 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác 17

1.3.2 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới 18

1.3.3 Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo 18

1.3.4 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học 19

1.4 Thực trạng dạy và học bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm ở trường THPT 19

Kết luận chương 1 20

Chương 2 : RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC

SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

ĐƯỢC GIẢI BẰNG ĐẠO HÀM 21

2.1 Một số kiến thức cơ bản về đạo hàm 21

2.1.1 Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm 21

2.1.2 Định nghĩa đạo hàm của hàm số trên một khoảng 21

2.1.3 Các quy tắc tính đạo hàm 22

2.1.4 Bảng các đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản 22

2.1.5 Đạo hàm cấp cao 23

2.2 Giải bài tập bất đẳng thức bằng phương pháp khảo sát hàm số 23

2.3 Giải bài tập bất đẳng thức bằng các bất đẳng thức tiếp tuyến 45

2.4 Giải bài tập bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Jensen 65

Kết luận chương 2 75

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 76

3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 76

3.1.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm 76

3.1.2 Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 76

3.2 Phương pháp thực nghiệm 76

3.3 Nội dung và tổ chức thực nghiệm 77

3.3.1 Chọn nội dung thực nghiệm 77

3.3.2 Tổ chức thực nghiệm 77

3.3.3 Nội dung bài tập và đề kiểm tra 78

3.4 Kết quả của thực nghiệm sư phạm 85

3.4.1 Nhận xét của giáo viên qua tiết dạy thử nghiệm 85

3.4.2 Những đánh giá từ kết quả bài kiểm tra 86

Kết luận chương 3 87

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 88

1 Kết luận 88

2 Khuyến nghị 88

TÀI LIỆU THAM KHẢO 90

PHỤ LỤC 92

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang Bảng 3.1 Số lượng học sinh lớp đối chứng và lớp thực nghiệm 78 Bảng 3.2 Thống kê điểm số các bài kiểm tra của lớp thực nghiệm

và lớp đối chứng 86 Bảng 3.3 Tỉ lệ các bài trên trung bình và dưới trung bình của lớp thực

nghiệm và lớp đối chứng 86 Bảng 3.4 Tỉ lệ bài khá giỏi của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 86

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nhân loại đang bước vào thế kỷ XXI, thế kỷ tri thức, kỹ năng của con người được xem là yếu tố quyết định sự phát triển của xã hội Trong xã hội tương lai, nền giáo dục phải đào tạo ra những con người có trí tuệ, thông minh

và sáng tạo Muốn có được điều này, ngay từ bây giờ nhà trường phổ thông phải trang bị đầy đủ cho học sinh hệ thống kiến thức cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn Việt Nam và rèn luyện cho họ năng lực tư duy sáng tạo Thế nhưng, các công trình nghiên cứu về thực trạng giáo dục hiện nay cho thấy chất lượng nắm vững kiến thức của học sinh không cao, đặc biệt việc phát huy tính tích cực của học sinh, năng lực giải quyết vấn đề và năng lực tư duy sáng tạo không được chú ý rèn luyện đúng mức Từ thực tế đó, nhiệm vụ cấp thiết đặt ra là phải đổi mới phương pháp dạy học, sử dụng các phương pháp dạy học tích cực để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề

Trong chương trình toán THPT phần nội dung kiến thức “bất đẳng thức” là một nội dung khó đối với cả giáo viên và học sinh mà trong các đề thi đại học thường có bài tập về bất đẳng thức Với cách dạy và học theo lối truyền thống, lối tư duy thụ động đã ăn sâu khá nhiều vào các thế hệ học sinh

và ngay cả bản thân giáo viên thì theo kinh nghiệm giảng dạy và nhiều ý kiến của giáo viên, học sinh cho thấy dạy học bất đẳng thức để thi đại học mất quá nhiều thời gian Vì công thức trong nội dung bất đẳng thức nhiều, khó nhớ; các dạng bài tập phong phú với nhiều cách giải khác nhau Do đó cần rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh để đáp ứng nhu cầu mới của thời đại

Mặt khác, trong chương trình toán trung học phổ thông, đạo hàm là một trong các công cụ hiện đại mà sử dụng nó có thể giải được nhiều dạng bài tập khác nhau Sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức là một trong những phương pháp hay, trong khi việc sử dụng các phương pháp khác có thể gặp khó khăn

Với các lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập về bất đẳng thức đƣợc giải bằng đạo hàm” để dạy và học nội dung bất đẳng thức được hiệu quả

2 Lịch sử nghiên cứu

Qua tìm hiểu chúng tôi thấy có rất nhiều tài liệu nghiên cứu về việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học các bộ môn, có nhiều công trình nghiên cứu và lý thuyết đạo hàm hoàn thiện

Các tài liệu tham khảo về ứng dụng của đạo hàm ở Việt Nam cũng có rất nhiều, tuy nhiên chưa có nhiều cuốn sách đề cập đến bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm một cách hệ thống

3 Mục tiêu nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo

- Phân loại, xây dựng hệ thống các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm và đưa ra phương pháp chung cho mỗi loại đó

- Trên cơ sở đó rèn luyện sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm

4 Vấn đề nghiên cứu

- Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh là thế nào?

- Xây dựng hệ thống bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm như thế nào để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh?

5 Giả thuyết khoa học

Thông qua hệ thống các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm giúp cho học sinh xây dựng khả năng tự học, tự nghiên cứu và lòng say mê toán học, qua đó rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

6 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu hoạt động tư duy của học sinh trong quá trình giải bài tập về bất đẳng thức, từ đó hướng dẫn học sinh xây dựng tiến trình luận giải, làm cơ sở cho việc tìm kiếm lời giải một cách có hiệu quả

- Phân loại và xây dựng hệ thống bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm và đưa ra phương pháp chung cho mỗi loại đó

- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá hiệu quả của hệ thống bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm đã được phân loại và xây dựng để rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình tìm kiếm lời giải Đối chiếu kết quả thực nghiệm với kết quả điều tra ban đầu, rút ra kết luận về khả năng áp dụng hệ thống bài tập đã đề xuất

7 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn tác giả sử dụng chủ yếu 4 phương pháp nghiên cứu sau 7.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu lý luận dựa vào những tài liệu có sẵn, những văn kiện của Đảng và Nhà nước về các vấn đề liên quan đến giáo dục như: thực trạng giáo dục, chương trình đổi mới sách giáo khoa, cách thức vận dụng và đổi mới các phương pháp dạy học hiện nay…

Nghiên cứu các tài liệu có sẵn liên quan đến những thành tựu của nhân loại trên các lĩnh vực khác nhau: Giáo dục học, Tâm lí học, Toán học…

Nghiên cứu nội dung chương trình sách giáo khoa môn toán trung học phổ thông và các tài liệu tham khảo có liên quan

7.2 Phương pháp điều tra, quan sát

Dự giờ, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với các đồng nghiệp trong trường và các đồng nghiệp ở các trường khác

Tham khảo ý kiến của các giáo viên có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy toán ở bậc trung học phổ thông

Tiếp thu và nghiên cứu ý kiến của giảng viên hướng dẫn, các chuyên gia về bộ môn

Điều tra thực trạng khả năng sáng tạo của học sinh trước và sau khi giảng thực nghiệm

7.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Dạy thực nghiệm ở các lớp 12A1 trường THPT Thụy Hương, lớp 12A2

7.4 Phương pháp thống kê toán học

Xử lý các số liệu thu được sau khi điều tra

8 Những đóng góp của luận văn

- Xây dựng và phân loại hệ thống bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

- Kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy đề tài có tính khả thi và hiệu quả

- Kết quả của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo bổ ích thiết thực cho đồng nghiệp, sinh viên khoa Toán,

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tư duy

1.1.1 Tư duy là gì ?

L.N Tônxtôi đã viết: “Kiến thức chỉ thực sự là kiến thức khi nào nó là

thành quả những cố gắng của tư duy chứ không phải của trí nhớ’’ Như vậy, học sinh chỉ thực sự lĩnh hội được tri thức chỉ khi họ thực sự tư duy

Theo M.N.Sacđacôp: Tư duy là sự nhận thức khái quát gián tiếp các sự

vật và hiện tượng của hiện thực trong những dấu hiệu, những thuộc tính chung

và bản chất của chúng Tư duy cũng là sự nhận thức sáng tạo những sự vật, hiện tượng mới, riêng rẽ của hiện thực trên cơ sở những kiến thức khái quát

hóa đã thu nhận được

Còn theo tác giả Nguyễn Xuân Trường thì “tư duy là hành động trí tuệ

nhằm thu thập và xử lí thông tin về thế giới quanh ta và thế giới trong ta Chúng ta tư duy để hiểu, làm chủ tự nhiên, xã hội và chính mình’’

1.1.2 Tầm quan trọng của việc phát triển tư duy

Lý luận dạy học hiện đại đặc biệt chú trọng đến việc phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc điều khiển tối ưu quá trình dạy học, còn các thao tác tư duy cơ bản là công cụ của nhận thức, đáng tiếc rằng điều này cho đến nay vẫn chưa được thực hiện rộng rãi và có hiệu quả Vẫn biết sự tích lũy kiến thức trong quá trình dạy học đóng vai trò không nhỏ, song không phải quyết định hoàn toàn Con người có thể quên đi nhiều sự việc cụ thể mà dựa vào đó những nét tính cách của anh ta được hoàn thiện Nhưng nếu những nét tính cách này đạt đến mức cao thì con người có thể giải quyết được mọi vấn đề phức tạp nhất, điều đó nghĩa là anh ta đã đạt đến một trình độ tư duy cao Quá trình hoạt động nhận thức của học sinh chia làm hai mức độ:

- Trình độ nhận thức cảm tính: Là quá trình phản ánh thực tiễn dưới dạng cảm giác, tri giác và biểu tượng

- Trình độ nhận thức lý tính: Còn gọi là trình độ logic hay đơn giản là tư duy

1.1.3 Những đặc điểm của tư duy

- Quá trình tư duy nhất thiết phải sử dụng ngôn ngữ là phương tiện : Giữa tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ không thể chia cắt, tư duy và ngôn ngữ phát triển trong sự thống nhất với nhau Tư duy dựa vào ngôn ngữ nói chung và khái niệm nói riêng Mỗi khái niệm lại được biểu thị bằng một hay một tập hợp từ Vì vậy, tư duy là một sự phản ánh nhờ vào ngôn ngữ Các khái niệm là những yếu tố của tư duy Sự kết hợp các khái niệm theo những phương thức khác nhau, cho phép con người đi từ ý nghĩ này sang ý nghĩ khác

+ Tư duy phản ánh khái quát:

Tư duy phản ánh hiện thực khách quan, những nguyên tắc hay nguyên

lý chung, những khái niệm hay vật tiêu biểu Phản ánh khái quát là phản ánh tính phổ biến của đối tượng Vì thế những đối tượng riêng lẻ đều được xem như một sự thể hiện cụ thể của quy luật chung nào đó Nhờ đặc điểm này, quá trình tư duy bổ sung cho nhận thức và giúp con người nhận thức hiện thực một cách toàn diện hơn

+ Tư duy phản ánh gián tiếp:

Tư duy giúp ta hiểu biết những gì không tác động trực tiếp, không cảm giác và quan sát được, mang lại những nhận thức thông qua các dấu hiệu gián tiếp Tư duy cho ta khả năng hiểu biết những đặc điểm bên trong, những đặc điểm bản chất mà các giác quan không phản ánh được

+ Tư duy không tách rời quá trình nhận thức cảm tính:

Quá trình tư duy bắt đầu từ nhận thức cảm tính, liên hệ chặt chẽ với nó trong quá trình đó nhất thiết phải sử dụng những tư liệu của nhận thức cảm tính

1.1.4 Những phẩm chất của tư duy

a) Khả năng định hướng: Ý thức nhanh chóng và chính xác đối tượng cần lĩnh hội, mục đích phải đạt được và những con đường tối ưu đạt được mục đích đó b) Bề rộng: Có khả năng vận dụng nghiên cứu các đối tượng khác

c) Độ sâu: Nắm vững ngày càng sâu sắc hơn bản chất của sự vật, hiện tượng

d) Tính linh hoạt: Nhạy bén trong việc vận dụng những tri thức và cách thức hành động vào những tình huống khác nhau một cách sáng tạo

e) Tính mềm dẻo: Thể hiện ở hoạt động tư duy được tiến hành theo các hướng xuôi ngược chiều

f) Tính độc lập: Thể hiện ở chỗ tự mình phát hiện ra vấn đề, đề xuất cách giải quyết và tự giải quyết được vấn đề

g) Tính khái quát: Khi giải quyết một loại vấn đề nào đó sẽ đưa ra được mô hình khái quát, trên cơ sở đó để có thể vận dụng để giải quyết các vấn đề tương tự, cùng loại

1.1.5 Các thao tác tư duy

Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ Các thao tác trí tuệ cơ bản là:

a Phân tích - tổng hợp

Theo Nguyễn Cảnh Toàn: Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành nhiều

bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ Tổng hợp là nhìn bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các bộ phận của chỉnh thể và của chính chỉnh thể đó với môi trường xung quanh [17, tr.122]

Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy Những hoạt động trí tuệ đều diễn ra trên nền tảng của phân tích và tổng hợp Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất Phân tích tiến hành theo hướng tổng hợp, tổng hợp được thực hiện theo kết quả phân tích Trong học tập môn toán phân tích và tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tư duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề

b So sánh – tương tự

So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện tượng Muốn so sánh hai sự vật, hiện tượng ta phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các thuộc tính đó với nhau rồi tổng hợp lại xem hai sự vật, hiện tượng có cái gì

giống và khác nhau So sánh liên quan chặt chẽ với phân tích - tổng hợp và đối với các hình thức tư duy đó có thể ở mức độ đơn giản hơn nhưng vẫn có thể nhận thức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tượng

Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, rút ra kết luận hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác Do

đó, tương tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở một mức độ nào

đó, trong một quan hệ nào đó

Theo G.Polya: “Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các mối quan hệ xác định rõ ràng giữa bộ phận tương ứng” [20, tr.29]

c Khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá

Khái quát hoá là thao tác tư duy nhằm hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ hay quan

hệ chung nhất định Các thuộc tính chung đó gồm hai loại: những thuộc tính chung giống nhau và những thuộc tính chung bản chất

Theo GS Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [15, tr.46]

Theo Polya: “Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu” [21, tr.21]

Như vậy có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc biệt đến cái chung, cái tổng quát, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát hơn Trong toán học, người ta thường khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu tố của khái niệm, định lý, bài toán… thành những kết quả tổng quát

Đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược lại với khái quát hoá

Mối quan hệ giữa khái quát hoá và đặc biệt hoá thường được vận dụng trong tìm tòi, giải toán Từ một tính chất nào đó, ta muốn khái quát hoá ta thử đặc biệt hoá Nếu kết quả là của đặc biệt hoá là đúng thì ta mới tìm cách chứng minh dự đoán từ khái quát hoá Nhưng nếu sai thì dừng lại

Trừu tượng hoá: Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần thiết cho tư duy Sự phân biệt bản chất hay không bản chất ở đây chỉ mang nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động

Hoàng Chúng cho rằng: “Trừu tượng hoá và khái quát hoá liên hệ chặt chẽ với nhau Nhờ trừu tượng hoá ta có thể khái quát hoá rộng hơn và nhận thức sự vật sâu sắc hơn Và ngược lại khái quát hoá đến một mức nào đó giúp

ta tách được những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất, tức là đã trừu tượng hoá Trừu tượng hoá là một “hoạt động tư duy”, hoạt động này của bộ não con người có thể hướng tới bất kì vấn đề gì của khoa học nói chung và nói riêng của Toán học”

1.1.6 Vấn đề phát triển năng lực tư duy

- Việc phát triển tư duy cho học sinh trước hết là giúp học sinh thông hiểu kiến thức một cách sâu sắc, không máy móc, biết cách vận dụng kiến thức vào bài tập, từ đó mà kiến thức học sinh thu nhận được trở nên vững chắc và sinh động Chỉ thực sự lĩnh hội được tri thức khi tư duy tích cực của bản thân học sinh được phát triển và nhờ sự hướng dẫn của giáo viên các em biết phân tích, khái quát tài liệu có nội dung cụ thể và rút ra những kết luận cần thiết

- Sự phát triển tư duy diễn ra trong quá trình tiếp thu kiến thức và vận dụng tri thức, khi tư duy phát triển sẽ tạo ra một kỹ năng và thói quen làm việc có suy nghĩ, có phương pháp, chuẩn bị tiềm lực lâu dài cho học sinh trong hoạt động sáng tạo sau này

- Muốn phát triển năng lực tư duy, phải xây dựng nội dung dạy học sao cho nó không phải “thích nghi’’ với trình độ phát triển có sẵn của học sinh mà đòi hỏi phải có trình độ phát triển cao hơn, có phương thức hoạt động trí tuệ phức tạp hơn Nếu học sinh thực sự nắm được nội dung đó, thì đây là chỉ tiêu rõ nhất về trình độ phát triển năng lực tư duy của học sinh

1.1.7 Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển

a) Có khả năng tự lực chuyển tải tri thức và kỹ năng sang một tình huống mới Trong quá trình học tập, học sinh đều phải giải quyết những vấn đề đòi hỏi phải liên tưởng đến những kiến thức đã học trước đó Nếu học sinh độc lập chuyển tải tri thức vào tình huống mới thì chứng tỏ đã có biểu hiện tư duy phát triển

b) Tái hiện kiến thức và thiết lập những mối quan hệ bản chất một cách nhanh chóng c) Có khả năng phát hiện cái chung và cái đặc biệt giữa các bài toán

d) Có năng lực áp dụng kiến thức để giải quyết tốt bài toán thực tế: Định hướng nhanh, biết phân tích suy đoán và vận dụng các thao tác tư duy để tìm cách tối ưu và tổ chức thực hiện có hiệu quả

1.2 Tƣ duy sáng tạo

1.2.1 Khái niệm về sáng tạo

Các bài kiểm tra chuẩn thường không đo được tính sáng tạo một cách chính xác: trong thực tế chúng ta gặp khó khăn trong việc nhất trí về sáng tạo một cách tiềm tàng, ấy thế nhưng nhiều phụ huynh và giáo viên lại áp đặt nhiều giới hạn vào hành vi tự nhiên của chúng đến mức mà chúng thấy sáng tạo phiền hà cho chúng làm cho chúng không đồng ý Phụ huynh thường phản ứng tiêu cực đối với sự hiếu kỳ và sự bày bừa của con em mình Giáo viên và phụ huynh thường áp đặt các quy tắc trật tự, sự tuân thủ và “trạng thái bình thường” để phù hợp với họ

Các học sinh có đầu óc sáng tạo thường xuyên làm cho giáo viên lúng túng, các câu trả lời mới mẻ của chúng thường bị đe dọa, và hành vi của chúng thường đi chệch khỏi các hành vi được coi là bình thường Các chuyên gia về chương trình có xu hướng bỏ qua vai trò của HS trong các kế hoạch của họ và giáo viên thường bỏ qua chúng trong chương trình và các bài tập trên lớp của

họ Ngay cả khi họ nhận ra được tính sáng tạo thì các nhà giáo dục vẫn thường xuyên gộp các học sinh “có năng khiếu” lại với nhau không phân biệt giữa tài năng sáng tạo và tài năng trí tuệ hay giữa các kiểu sáng tạo khác nhau

Theo Carl Rogers, bản chất của tính sáng tạo là sự mới mẻ và do đó chúng ta không có tiêu chí để đánh giá nó Trong thực tế, sản phẩm càng độc đáo bao nhiêu thì nó càng có xu hướng bị những người đương thời đánh giá là ngu ngốc bấy nhiêu

Erich Fromm định nghĩa quan điểm sáng tạo như là sự tự nguyện để bị làm bối rối (làm quen chính mình với một cái gì đó chưa được biết đến với sự khó chịu), khả năng tập trung, khả năng trải qua kinh nghiệm như là người tạo nguồn cho các hành động, sự tự nguyện chấp nhận mâu thuẫn và sự căng thẳng do sự thiếu kiên nhẫn gây ra cho các ý tưởng sáng tạo

Theo bách khoa toàn thư: “Sáng tạo là hoạt động của con người trên cơ

sở các quy luật khách quan của thực tiễn, nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã hội phù hợp với mục đích và nhu cầu của con người Sáng tạo là hoạt động có tính đặc trưng không lặp lại, tính độc đáo và duy nhất”

Theo từ điển tiếng việt: “Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có”[10, tr.1130]

Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: “Sáng tạo là sự vận động của tư duy từ những hiểu biết đã có đến những hiểu biết mới” [17, tr.7]

Các công trình nghiên cứu này chỉ rằng ít có sự nhất trí về định nghĩa tính sáng tạo trừ việc cho rằng nó là một phẩm chất của trí tuệ và có quan hệ với tính thông minh Sáng tạo là quá trình vừa hữu thức vừa vô thức và vừa có thể quan sát được vừa không thể quan sát được Bởi vì các quá trình vô thức

và không thể quan sát được khó xử lý trong lớp học, cho nên thường có sự hiểu nhầm giữa giáo viên và những học sinh sáng tạo

Giáo viên thường yêu cầu học sinh có tư duy “phản ứng” (reactive thinking); nghĩa là họ chờ đợi học sinh phản ứng lại với câu hỏi, các bài tập, hay các mục trong bài kiểm tra và đưa ra câu trả lời ưa chuộng hơn Họ có xu hướng không khuyến khích tư duy “ngược” (proactive); nghĩa là tạo ra các câu hỏi và câu trả lời mới Đây là cách mà hầu hết giáo viên được đào tạo, và họ cảm thấy không thoải mái về việc không có câu trả lời đúng Một số giáo viên

thực sự phát triển tư duy phê phán trong học sinh, nhưng họ cần phải vượt ra khỏi tư duy phản ứng và thậm chí ra khỏi tư duy phê phán và khuyến khích học sinh tạo ra các ý tưởng Xã hội cần các nhà tạo tư tưởng để lập kế hoạch,

để ra các quyết định và để xử lý các vấn đề công nghệ và xã hội Giáo viên cần phải để cho học sinh biết rằng có câu hỏi đúng không phải lúc nào cũng quan trọng, rằng hiểu sâu là điều quan trọng, rằng các hoạt động khác nhau yêu cầu các khả năng khác nhau Giáo viên cần phải hiểu rằng hầu hết mọi học sinh đều có tiềm năng của tư duy sáng tạo

Qua các khái niệm trên có thể nói: “Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới không bị gò bó phụ thuộc vào những cái đã có”

1.2.2 Quá trình sáng tạo

Quá trình sáng tạo gồm 4 giai đoạn:

- Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn chủ thể thử giải quyết vấn đề bằng các cách khác nhau, huy động thông tin, suy luận

- Giai đoạn ấp ủ: Giai đoạn này bắt đầu khi công việc giải quyết vấn đề

bị ngừng lại, còn lại các hoạt động tiềm thức, các hoạt động bổ xung cho vấn

đề được quan tâm

- Giai đoạn bừng sáng: Giai đoạn ấp ủ kéo dài cho đến khi sự “bừng sáng” trực giác, một bước nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức, xuất hiện đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo Đây là giai đoạn quyết định trong quá trình tìm kiếm lời giải

- Giai đoạn kiểm chứng: Là giai đoạn chủ thể kiểm tra trực giác, triển khai các luận chứng lôgíc để có thể chứng tỏ tính đúng đắn của cách thức giải quyết vấn đề, khi đó sự sáng tạo mới được khẳng định

1.2.3 Tư duy sáng tạo

Những năm gần đây, người ta thường đòi hỏi nền giáo dục phải trang bị cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo như là một phẩm chất quan trọng của con người hiện đại, đặc biệt là từ khi thế giới đã bắt đầu chuyển mạnh sang nền kinh tế tri thức và xã hội tri thức ở nước ta, yêu cầu đó cũng đã được nhiều

nhà giáo dục đề nghị đưa vào như là một nội dung quan trọng của một triết lý giáo dục cho nước ta trong thời kỳ công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước

Theo nghĩa thông thường, sáng tạo là một tiến trình phát kiến ra các ý tưởng và quan niệm mới, hay một kết hợp mới giữa các ý tưởng và quan niệm

đã có Hay đơn giản hơn, sáng tạo là một hành động làm nên những cái mới Với cách hiểu đó thì cái quan trọng nhất đối với sáng tạo là phải có ý tưởng, như lời của nhà toán học vĩ đại Poincare: “Trong sáng tạo khoa học, ý tưởng chỉ là những ánh chớp, nhưng ánh chớp đó là tất cả”, hay lời của một nhà khoa học vĩ đại khác, Linus Pauling, khi trả lời câu hỏi làm thế nào người ta sáng tạo ra được các lý thuyết khoa học: “Người ta phải nắm bắt được nhiều ý tưởng ” và “con đường để có được một ý tưởng tốt là có thật nhiều ý tưởng”

Từ xa xưa, người ta đã thường nói đến những ý tưởng sáng tạo trong các lĩnh vực thi ca, âm nhạc, hội họa, nghệ thuật Các ý tưởng không đến với con người bằng suy luận, bằng tư duy logic, mà thường đến ở những giây phút xuất thần nào đó sau những tưởng tượng, những suy tư, những phỏng đoán, những đối chiếu, những so sánh bóng gió… tưởng chừng không liên quan gì đến điều mà mình đang bận tâm suy nghĩ

Trong tâm lý học định nghĩa: “Tư duy sáng tạo là tư duy vượt ra ngoài

vi giới hạn của hiện thực, của vốn tri thức và kinh nghiệm đã có, giúp quá trình giải quyết nhiệm vụ của tư duy được linh hoạt và hiệu quả”

Một số tác giả cho rằng: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao Ý tưởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Tính độc đáo của ý tưởng thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất ” [9, tr.72]

Nhà tâm lý học người Đức Mehlhow cho rằng: “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời mục tiêu cơ bản của giáo dục”

Theo Nguyễn Bá Kim: “Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những

mặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ” (Nguyễn Bá Kim – Phương pháp dạy học bộ môn Toán)

Thời đại khoa học ra đời từ thế kỷ 17 đã gắn liền với chủ nghĩa cơ giới

và chủ nghĩa duy lý Phương pháp sáng tạo ra các định lý mới, các kiến thức mới trong các lý thuyết khoa học của thời đại đó đã gắn chặt với các lập luận logic, với các phép quy nạp và diễn dịch hình thức Từ đầu thế kỷ 20 trở đi, khi khoa học mở rộng đối tượng của mình đến các hệ thống phức tạp trong tự nhiên và xã hội, thì các phương pháp tư duy cơ giới và duy lý không còn chiếm được vị trí độc tôn nữa, và các phương pháp tư duy sáng tạo cùng với quan điểm hệ thống trở thành phổ biến hơn, do đó để hiểu được cuộc sống và thế giới trong tinh thần hiện đại, việc rèn luyện một năng lực tư duy sáng tạo lại càng có ý nghĩa quan trọng

Việc rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo hiện nay thường gắn liền với một phương pháp nhận thức mới là phương pháp giải quyết bài toán, với quan niệm mới xem rằng nhiệm vụ của khoa học không phải là tìm kiếm chân lý,

mà là tìm kiếm lời giải cho những bài toán mà con người liên tục gặp phải trong cuộc sống Yếu tố cốt lõi của phương pháp giải quyết bài toán là tư duy sáng tạo, sáng tạo trong việc xác định bài toán, xác định mục tiêu của bài toán, tạo sinh các ý tưởng bằng các thao tác trí tuệ như tưởng tượng, phỏng đoán, so sánh với các ẩn dụ, đưa ra các giả thuyết, phê phán và đánh giá các giả thuyết, rồi lựa chọn các lời giải, thực thi từng phần hoặc toàn bộ một lời giải đã chọn, đánh giá các lời giải khả thi, sửa đổi để hoàn thiện lời giải, vân vân Từ nhiều năm gần đây, rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo và sử dụng rộng rãi phương pháp giải quyết bài toán đã được phổ biến rộng rãi trong nhiều lĩnh vực hoạt động như quản lý, lập kế hoạch kinh tế, giáo dục và hoạt động khoa học ở nhiều nước Trong lĩnh vực giáo dục, việc vận dụng phương pháp giải quyết bài toán trong tổ chức và quản lý giáo dục, trong việc cải thiện nội dung và

phương pháp dạy học, thậm chí đến việc đổi mới chương trình học của một số bộ môn khoa học như toán, lý, hóa, sinh học cũng đã được thực hiện ở nhiều nước

1.2.4 Cấu trúc của tư duy sáng tạo

Các nghiên cứu của nhiều nhà tâm lý học, giáo dục học… đã đưa ra năm thành phần cơ bản của cấu trúc tư duy sáng tạo: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề

a.Tính mềm dẻo (Flexibility)

Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng, nhanh chóng trật tự của

hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, có khả năng định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những mối liên hệ mới hoặc chuyển đổi quan

hệ và nhận ra bản chất của sự vật và điều phán đoán Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái độ đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người Có thể thấy rằng tính mềm dẻo của tư duy có các đặc trưng nổi bật sau đây:

- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại…

- Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới trong

đó có những yếu tố đã thay đổi; có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cách nghĩ đã có từ trước

- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

b Tính nhuần nhuyễn (Fluency)

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh,

đưa ra giả thuyết mới Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo

Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh

ra chất lượng Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở hai đặc trưng sau:

- Sự đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một vấn đề phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm được phương án tối ưu

- Khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có một cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật, hiện tượng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc

c Tính độc đáo (Originality)

Tính độc đáo là khả năng tìm và quyết định phương thức mới

Tính độc đáo được đặc trưng bởi các khả năng sau:

- Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới

- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau

- Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác

d Tính hoàn thiện (Elabolation)

Tính hoàn thiện: Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng

e Tính nhạy cảm vấn đề (Problem’s Censibitity)

Tính nhạy cảm vấn đề: Là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, sự mâu thuẫn, sai lầm, thiếu loogic, chưa tối ưu và từ đó đề xuất hướng giải quyết, tạo ra cái mới

Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:

- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề

- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ

đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới

Ngoài ra còn có các yếu tố quan trọng khác như: Tính chính xác (Precise), năng lực định giá (Ability to valued), phán đoán (Decide), năng lực định nghĩa lại (Redefinition)

Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Các yếu tố này có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người

1.3 Phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán

Các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Thân trong tác phẩm “Khuyến khích một số các hoạt động trí tuệ của học sinh qua môn toán

ở trường trung học cơ sở” đã đưa ra những biện pháp sau đây để bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

1.3.1 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác

Để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh cần được tiến hành trong mối quan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, trừu tượng hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá, hệ thống hoá, trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò nền tảng

Để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy, học sinh cần được luyện tập thường xuyên năng lực, tiến hành phân tích đồng thời với tổng hợp để nhìn thấy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau trong những

mối liên hệ khác nhau Trên cơ sở so sánh các trường hợp riêng lẻ, dùng phép tương tự để chuyển từ trường hợp riêng này sang trường hợp riêng khác, khai thác mối liên hệ mật thiết với trừu tượng hoá, làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa mệnh đề xuất phát và mệnh đề tìm được bằng đặc biệt hoá và hệ thống hoá, ta có thể tập luyện cho học sinh khái quát hoá tài liệu toán học, tạo khả năng tìm nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau, khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất Các hoạt động này góp phần bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn cũng như tính độc đáo của tư duy

1.3.2 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới

Về giảng dạy lý thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu, tạo ra các tình huống có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến thức mới Chú ý thường xuyên tập dượt cho học sinh suy luận có lý (thông qua quan sát, so sánh, đặc biệt hoá, khái quát hoá, quy nạp, tương tự,…) để có thể

tự mình tìm tòi, dự đoán được những quy luật của thế giới khách quan, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải của một bài toán, hướng chứng minh một định lý Nói cách khác tăng cường cả hai bước suy đoán và suy diễn trong quá trình dạy học toán

Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ điều phải chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện và giải quyết vấn đề

1.3.3 Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố của

tư duy sáng tạo: tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo Có thể khai thác nội dung các vấn đề giảng dạy, đề xuất các câu hỏi thông minh nhằm giúp học sinh lật đi lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm thật vững bản chất các khái niệm, các mệnh đề tránh được lỗi học thuộc lòng máy móc và lỗi vận dụng thiếu sáng tạo

Sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duy sáng tạo như: Những bài tập có cách riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng quát để khắc phục “tính ỳ”; những bài tập có nhiều lời giải khác nhau, đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác; những bài tập trong đó có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song nhau, giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược xảy ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận; những bài toán “không theo mẫu”, không đưa được về các loại toán giải bằng cách áp dụng các định

lý, quy tắc trong chương trình

1.3.4 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học

Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài, cần tiến hành thường xuyên hết tiết học này sang tiết học khác, năm này sang năm khác trong tất cả các khâu của quá trình dạy học trong nội khoá cũng như các hoạt động ngoại khoá Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo trong việc toán học hoá tình huống thực tế, trong việc viết báo toán với những đề toán tự sáng tác những cách giải mới, những kết quả mới khai thác từ các bài tập đã giải…

Một vấn đề rất đáng được quan tâm là vấn đề kiểm tra, đánh giá Các đề kiểm tra, các đề thi cần được soạn với yêu cầu kiểm tra được năng lực tư duy sáng tạo của học sinh Học sinh chỉ có thể làm được hoàn chỉnh các đề kiểm tra đó trên cơ sở bộc lộ rõ rệt năng lực tư duy sáng tạo của bản thân chứ không phải chỉ là học tủ, vận dụng kiến thức thiếu sáng tạo

1.4 Thực trạng dạy và học bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm ở trường THPT

Bằng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, giảng dạy của bản thân, cùng sự trao đổi với các giáo viên và học sinh hệ THPT chúng tôi thấy rằng: Chương trình toán THPT bất đẳng thức là một chủ đề khó, cần thiết Tuy nhiên, trong quá trình dạy và học vấn đề này lại không được giáo viên và cả

học sinh quan tâm chú trọng nhiều Có thể nói, bài tập bất đẳng thức rất đa dạng, phong phú về thể loại và phương pháp giải, nên khi làm bài tập bất đẳng thức học sinh thường khó phân biệt được dạng và phương pháp giải, thậm chí không giải quyết được Phần lớn học sinh thấy sợ học bất đẳng thức và không hứng thú với chủ đề này nhiều khi còn gây tâm lí chán nản đối với các em

Mặc dù, SGK mới có nhiều giảm tải về nội dung bất đẳng thức, đặc biệt bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm chỉ được đề cập đến rất ít ở đầu chương trình Giải tích 12 nâng cao nhưng trong các đề thi đại học thường có bài tập về bất đẳng thức, các bài tập này tương đối phức tạp nên để học tốt phần này giáo viên và học sinh đều phải bỏ rất nhiều thời gian và công sức

Các dạng bài tập ở phần này khá đa dạng, phong phú nên giáo viên phải mất công chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành một hệ thống phù hợp với trình độ nhận thức của từng học sinh Bên cạnh đó học sinh phải có sự nỗ lực thực sự, phát huy cao độ khả năng tư duy của mình, phải dành rất nhiều thời gian cho việc làm bài tập

Thời gian chữa bài tập trên lớp không nhiều nhưng giáo viên vẫn đưa ra được hệ thống bài tập khá phong phú để học sinh nắm được Đồng thời giáo viên yêu cầu học sinh về nhà tìm hiểu thêm, tự học để học tốt phần này

Kết luận chương 1

Trong chương này, luận văn đã trình bày các quan điểm của một số tác giả về khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo, phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán và thực trạng dạy và học bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm ở trường THPT

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐƯỢC GIẢI BẰNG ĐẠO HÀM 2.1 Một số kiến thức cơ bản về đạo hàm

2.1.1 Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cho hàm số y f x( ) xác định trên khoảng ( ; )a b và x0( ; ).a b

Nếu tồn tại giới hạn ( hữu hạn )

0

0 0

( ) ( )lim

2.1.2 Định nghĩa đạo hàm của hàm số trên một khoảng

Cho hàm số ( )f x xác định trên tập D, trong đó D là một khoảng hoặc là hợp

của những khoảng nào đó

Hàm số f gọi là có đạo hàm trên D nếu nó có đạo hàm f x tại mọi điểm '( ) x

thuộc D

Nếu hàm số f có đạo hàm trên D thì hàm số f xác định bởi ' f : D' R

x f x'( )

gọi là đạo hàm của hàm số f

Đạo hàm của hàm số y f x( ) cũng được kí hiệu bởi y '

2.1.4 Bảng các đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản Đạo hàm của các hàm số hợp (dưới

1( ) u

u u





' '

( )

2

u u

2

(tan )

os

u u

c u



' '

2

(cot )

sin

u u

(ln )u u

u



' '

(log )

ln

a

u u

y  f x và được kí hiệu là y" hay f x"( ) Nếu đạo hàm cấp hai có đạo hàm thì đạo hàm ấy được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số y f x( ) và được kí hiệu là y"' hay f x"'( )… Tổng quát, đạo hàm của hàm số cấp n  được gọi là 1đạo hàm cấp n của hàm số y  f x( ) và kí hiệu là y hay ( )n f( )n ( )x

Vậy f( )n ( )x  f(n 1)( )x  '

2.2 Giải bài tập bất đẳng thức bằng phương pháp khảo sát hàm số

Để chứng minh bất đẳng thức, ngoài các bất đẳng thức kinh điển như bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki , thì sử dụng đạo hàm cũng

là một công cụ hữu ích Trong nhiều trường hợp, sử dụng phương pháp khảo sát hàm số để chứng minh bất đẳng thức thì lời giải bài toán sẽ ngắn gọn và đơn giản hơn rất nhiều

Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức : A  B trên tập D ( với D là một đoạn, khoảng, nửa đoạn hay nửa khoảng)

Sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức ta thường dùng hai cách sau:

Cách 1: Xét f là một hàm số của một đối số nào đó, f xác định trên tập D

và thỏa mãn ( )f   , ( )A f   , với B  , D và f đơn điệu trên D

Nếu   chứng minh ( )f x nghịch biến trên D

Nếu  , chứng minh ( )f x đồng biến trên D

Cách 2:

Xét hiệu f   trên D và coi đây là hàm số của một đối số nào đó A B

Nếu f nghịch biến trên D, cần chỉ ra tồn tại ,  , D   : ( )f    A B

Do đó ( )f x  f(0) với 0

2

x 

  t anx  x 0

Kết quả trên còn có thể mở rộng hơn nữa:

Với mọi x > 0, với mọi nN*, ta có bất đẳng thức sau:

!

!3

!21

3 2

n

x x

x x e

n

x      

Nhận xét: Rõ ràng sử dụng phương pháp khảo sát hàm số trong các ví dụ trên

làm cho lời giải rất ngắn gọn, dễ hiểu Trong trường hợp này, việc xét dấu

(x

f

0

x

f x    x, rõ ràng không thể khẳng định được gì với x 0, trong các trường hợp như vậy, một thủ thuật thông thường được áp dụng là chúng ta liên tiếp tính đạo hàm để hạ bậc dần đa thức ẩn x

Ví dụ 3 Chứng minh rằng với x  thì ta có: 0

3

sinx6

x x

   với x  0

3

sinx6

x x

   với x  (đpcm) 0

Từ chứng minh ví dụ trên ta có thể chứng minh bất đẳng thức sau:

g'(x) = x – sinx > 0 với x > 0 ( theo ví dụ 1)

 hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (0;+ )

!4()

!2

6 4

!5()

!3

7 5

x  

Cosx < 1 – ( )

!4

!2

4

x 

Sinx < x – ( )

!5

!3

!4()

!2

6 4

!5()

!3

7 5

!2

!3

!7

!5

!3

3 4 7

5 3

x

(*)

Bài giải

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với n = 1, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành : sinx < x với x > 0

( Bất đẳng thức này đúng dựa vào kết quả của ví dụ 1)

Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh đúng với n = k, tức là:

Sinx < x -

)!

34(

!7

!5

!3

3 4 7

5 3

!7

!5

!3

1 4 7

5 3

x

với x > 0 Thật vậy, xét hàm số:

f(x) = x -

1 4 7

5 3

Ta có:

f'(x) = 1 -

)!

4(

!6

!4

!2

4 6

4 2

k

x x

3

x

)!

14(

!5

1 4 5

2

x

)!

24(

!4

2 4 4

!7

!5

!3

3 4 7

5 3

x

- sinx Theo giả thiết quy nạp ta có f( 4 )(x) > 0 với mọi x > 0

 f '''(x) đồng biến trên khoảng (0 ;+ )

!7

!5

!3

3 4 7

5 3

x

Nhận xét: Với ví dụ này ta đã áp dụng phương pháp quy nạp và đạo hàm cấp

cao để chứng minh bất đẳng thức Thông qua việc chứng minh bất đẳng thức (*), ta cũng đã xây dựng và chứng minh các bất đẳng thức sau:

Với 0 < x và với mọi nN ta có:

sinx > x -

)!

14(

!7

!5

!3

1 4 7

5 3

!6

!4

!2

2 4 6

4 2

x

cosx < 1-

)!

4(

!6

!4

!2

4 6

4 2

n

x x

sinx > x -

)!

34(

!7

!5

!3

3 4 7

5 3

!7

!5

!3

1 4 7

5 3

!6

!4

!2

2 4 6

4 2

!6

!4

!2

4 6

4 2

n

x x

Nhận xét: Ở các ví dụ trên ta đều nhìn ra ngay được hàm số cần xét sự biến

thiên Ví dụ tiếp theo minh họa việc lựa chọn hàm số thích hợp để xét sự biến thiên, khi bất đẳng thức cần chứng minh là bất đẳng thức nhiều biến

Dựa vào bảng biến thiên ta có ( ) 1

1 + 1

f'(x)

- 0 +

f(x) 1

8

Ví dụ 8 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC nhọn ta đều có:

2(sin sin sin ) 1(t anA tan tan )

25

 hàm số ( )f x đồng biến trên khoảng (0 ; )

Nhận xét: Trong các ví dụ trên ta dựa vào các điều kiện từ giả thiết để biến

đổi rồi từ đó lựa chọn hàm số thích hợp để xét tính đơn điệu

Ví dụ 9 Chứng minh rằng với a ; b > 0 thì:

  )

2

(2

b a b

b a b

b a b

b a

Đặt  (0;1)



b a

a t

)1

2

(2

b a b

Với 0 <  < 1 ta có bảng biến thiên:

t 0 2

Dựa vào bảng biến thiên nhận thấy 1

2

1)(t  

2

(2

b a b

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Vậy các bất đẳng thức đã cho được chứng minh

Nhận xét: Dựa vào bất đẳng thức vừa được chứng minh ở ví dụ 9 ta có thể

xây dựng những bất đẳng thức mới như sau:

c b a c

c b a c

b

a     

nếu 0< 1Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp ta phải sử dụng thêm các bất đẳng thức quen thuộc như bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopxki…

2sinxt anx-3x 0

y x

y

Bài giải

Không giảm tổng quát ta có thể giả sử y > x

Vì nếu x > y thì ta có thể viết bất đẳng thức tương tự :

) 4

1

ln1

x y

x

x y