Bài viết Chuyển pha lượng tử ở khí Bose đồng nhất khi thế hoá học thay đổi nghiên cứu lý thuyết về giản đồ pha để tìm ra các kịch bản chuyển pha lượng tử đối với hệ khí Bose đồng nhất (hệ) ở nhiệt độ cực thấp khi thế hoá học thay đổi.
Trang 1CHUYỂN PHA LƯỢNG TỬ Ở KHÍ BOSE ĐỒNG NHẤT
KHI THẾ HOÁ HỌC THAY ĐỔI
Đặng Thị Minh Huệ1, Lê Thị Thắng2
1 Bộ môn Vật lý, Khoa Điện - Điện tử, Trường Đại học Thuỷ lợi, email: dtmhue@tlu.edu.vn
2 Bộ môn Hoá, Khoa Hóa - Môi trường, Trường Đại học Thuỷ lợi
1 GIỚI THIỆU CHUNG
Khí Bose là hệ Bose tương tác yếu Ở
một trạng thái lượng tử, hệ Bose có thể có
một số tuỳ ý các hạt Chuyển pha lượng tử
là hệ chuyển từ trạng thái lượng tử này
sang trạng thái lượng tử khác khi thế hoá
hoặc hằng số liên kết thay đổi, đạt đến giá
trị tới hạn Các kịch bản chuyển pha lượng
tử được xác định qua việc khảo sát sự phụ
thuộc vào thế hoá hoặc hằng số liên kết ở
mỗi giá trị nhiệt độ của các tham số trật tự
đặc trưng cho hệ Các nghiên cứu lý thuyết
đã cho thấy rằng hệ lượng tử ở nhiệt độ
cực thấp, khi thế hoá học hoặc hằng số liên
kết thay đổi, đạt đến giá trị tới hạn sẽ xảy
ra chuyển pha lượng tử trong hệ [2] Tuy
nhiên, thực nghiệm cũng chứng tỏ rằng có
thể tạo ra nhiều loại chuyển pha bằng cách
đơn giản là điều chỉnh các tham số như
nhiệt độ; thế hoá học hoặc hằng số liên kết
của hệ Đặc biệt, khí Bose khi được làm
lạnh xuống nhiệt độ cực thấp (gần 0K ) sẽ
xảy ra ngưng tụ Bose – Einstein (BEC)
[1] Như vậy, về mặt suy luận logic theo lý
thuyết thì khi hệ khí Bose đi qua điểm
chuyển pha BEC khí Bose đồng thời cũng
xảy ra ngưng tụ lượng tử
Để khảo sát đặc tính chuyển pha lượng tử
của khí Bose, ở bài báo này, chúng tôi
nghiên cứu lý thuyết về giản đồ pha để tìm ra
các kịch bản chuyển pha lượng tử đối với hệ
khí Bose đồng nhất (hệ) ở nhiệt độ cực thấp
khi thế hoá học thay đổi
2 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp thế hiệu dụng Cornwall– Jackiw-Tomboulis (CJT) là phương pháp hiện đại, dựa trên tích phân phiếm hàm và bảo toàn được các tính chất của hiệu ứng tập thể và liên kết trong hệ lượng tử Phương pháp này rất ưu việt trong việc nghiên cứu chuyển pha trong hệ [3] Do đó chúng tôi sử dụng phương pháp thế hiệu dụng CJT trong gần đúng bong bóng đúp để nghiên cứu chuyển pha lượng tử trong khí Bose ở nhiệt
độ cực thấp
Bắt đầu từ mô hình mật độ Lagrangian của
hệ được biểu diễn dưới dạng:
trong đó: - toán tử trường biểu diễn hệ
khí Bose đồng nhất; µ- kí hiệu thế hoá học
tương ứng; m - khối lượng của nguyên tử khí
Bose; λ - hằng số liên kết và luôn dương,
được biểu diễn qua độ dài tán xạ sóng âm (a)
tương ứng với va chạm giữa các nguyên tử cùng loại như sau:
2
m
Như vậy, tham số điều khiển trong nghiên cứu này là thế hoá học Tức là chúng tôi sẽ nghiên cứu giản đồ pha vẽ trên mặt phẳng
(T, μ) ứng với giá trị cho trước của hằng số
liên kết được chọn phù hợp với thực nghiệm
để khảo sát cấu trúc pha và các kịch bản chuyển pha lượng tử của hệ
Trang 23 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Dựa trên [4], chúng tôi thu được thế hiệu
dụng CJT trong gần đúng bong bong đúp cải
tiến, là phép gần đúng phục hồi định lý
Goldstone:
2
0
,
3
1
ln ( ) ( , ) D(k) 1
2
CJT
(3)
trong đó các nghịch đảo hàm truyền tự do
và nghịch đảo hàm truyền ở gần đúng mức
cây được viết là
2
2 0 1
2 0
3 2
( )
2
n
n
k
m
k m
2
1 1
2
2
( )
2
n
n
k
M m
k M m
(4)
với 0là trung bình chân không của ;
2
3 3
M P P
;
2
3
M P P
; (5)
3 3
n
d k
( )
, a, b = 1, 2 ; n là số nguyên
Từ (3) chúng tôi nhận được:
3.1 Phương trình khe
0
2 0
( , )
CJT
M
(6)
3.2 Phương trình Schwinger - Dyson
2 1
2
0 ( )
2
CJT
n
n
k M
D k
k D
m
(7)
Sử dụng thế hoá học hiệu dụng:
2 P 2P
(8) Thu được mật độ ngưng tụ của hệ là
2 11 22
0
2
P P
(9)
Ở nhiệt độ cực thấp, T 1
, khai triển các tích phân trong thế hiệu dụng nhận được biểu thức thế hoá học có dạng:
3/2 5/2 3/2 3/2 2
4
4
T
Khi đó phương trình khe được viết lại là: 2
0
(11) Trong nghiên cứu chuyển pha, giản đồ pha đóng vai trò quan trọng, cho chúng ta thông tin đầy đủ về cấu trúc pha, điểm tới hạn và dạng chuyển pha của hệ Dưới đây, các công thức (10), (11) sẽ được sử dụng để nghiên cứu số về giản đồ pha và mật độ ngưng tụ trong hệ Từ đó đưa ra các kịch bản chuyển pha lượng tử khả dĩ trong hệ Cụ thể: chúng tôi thực hiện bài trên đối với khí Bose đồng nhất gồm rất nhiều nguyên tử 87Rb (m ≈ 80
GeV) với hằng số liên kết được chọn phù
hợp với thực nghiệm là λ = 10-11 eV-2 (hệ đơn
vị dùng để tính số là hệ c1,k1)
Trước tiên, dựa vào phương trình (10), chúng tôi vẽ giản đồ pha trên mặt phẳng
(T, μ) Kết quả cho ở hình 1
Hình 1: Giản đồ pha trên mặt phẳng (T,μ)
Hình 1 cho thấy ở một nhiệt độ cực thấp xác định, khi thế hoá học thay đổi, trong hệ xảy ra chuyển pha lượng tử khi thế hoá học
Trang 3đạt đến giá trị tới hạn Giá trị tới hạn của thế
hoá học là hoành độ giao điểm của đường
T = hằng số cỡ nK với đường cân bằng pha
0
Ví dụ, Ở nhiệt độ T = 550 nK , khi
tăng thế hoá học đạt đến giá trị tới hạn
μ c 2,3.10-11 eV, hệ sẽ chuyển pha lượng tử
Tại điểm chuyển pha này hệ chuyển từ pha
đối xứng không bị phá vỡ ( ) sang pha 0
đối xứng bị phã vỡ ( ) Khi đó, mật độ 0
ngưng tụ tăng đột biến
Tiếp theo, để khẳng định các kết luận suy
ra từ hình 1, dựa vào (11) chúng tôi tiến hành
nghiên cứu số, khảo sát sự phụ thuộc vào thế
hoá của tham số ngưng tụ 2
0
ở nhiệt độ T =
550 nK Kết quả cho ở hình 2
Hình 2 Sự phụ thuộc của tham số ngưng tụ 2
0
vào thế hoá học của hệ ở nhiệt độ T = 550 nK
Hình 2 khẳng định rằng, ở một nhiệt độ
cực thấp xác định, cho trước, tham số của
mật độ ngưng tụ tăng đột biến khi thế hoá
học tăng đạt đến giá trị tới hạn Rõ ràng giá
trị tới hạn của thế hoá khi T = 550 nK là gần
bằng 2,3.10-11 eV, phù hợp với hình 1
Như vậy, có thể kết luận rằng, hệ khí Bose
khi được làm lạnh đến một nhiệt độ cực thấp
xác định sẽ xảy ra chuyển pha lượng tử khi
thế hoá học (tham số điều khiển) đạt đến giá
trị tới hạn Trong trường hợp nhiệt độ của hệ
được hạ xuống đúng bằng nhiệt độ tới hạn thì
sẽ đồng thời xảy ra ngưng tụ BEC và ngưng
tụ lượng tử trong hệ thế hoá học cũng đạt đến
giá trị tới hạn Các kết quả nghiên cứu cho
thấy các tác giả đã hoàn thành mục tiêu đặt
ra của bài báo này
4 KẾT LUẬN
Thực hiện nghiên cứu lý thuyết về chuyển pha lượng tử trong khí Bose đồng nhất ở nhiệt độ cực thấp bằng cách sử dụng phương pháp thế hiệu dụng CJT cải tiến trong gần đúng bong bóng đúp, thu được các kết quả chính như sau:
1 Xây dựng được biểu thức giải tích về phương trình khe, phương trình mật độ ngưng tụ và thế hoá của khí Bose ở nhiệt độ cực thấp
2 Kết quả nghiên cứu số về giản đồ pha
của hệ trên mặt phẳng (T,μ) cho thấy luôn
xảy ra chuyển pha lượng tử trong khí Bose ở nhiệt độ cực thấp
3 Kết quả nghiên cứu số cũng khẳng định rằng sẽ đồng thời xảy ra ngưng tụ BEC và ngưng tụ lượng tử nếu thế hoá học của hệ ở nhiệt độ tới hạn và thế hoá học đạt giá trị tới hạn μc tương ứng Kết luận này phù hợp với các kết quả nghiên cứu lý thuyết lẫn thực nghiệm về BEC, khẳng định mô hình nghiên cứu là đúng
5 TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Alexander L F and Christopher J F
(2012), Bose gas: Theory and Experiment,
Contemporary Concepts of Condensed Matter Science 5, pp 27-67
[2] Moshe Gitterman (2014), Phase Transitions Modern Application, World Scientific, Singapore
[3] Cornwall, J M., Jackiw, R and Tomboulis
(1974), Effective Action for Composite
Operators, Phys Rev D10, 2428
[4] Tran Huu Phat, Le Viet Hoa, Nguyen Tuan
Anh, and Nguyen Van Long (2009), Bose -
Einstein condensation in binary mixtures of Bose gases, Ann Phys (NY) 324, 2074
