Thầy đỗ văn đức bài giảng nguyên hàm tích phân và ứng dụng khóa IMO 2022

Microsoft Word BÀI GI¢NG TÍCH PHÂN KHÓA IMO 2K4 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE môn Toán Đăng kí học – Inbox thầy Thầy Đỗ Văn Đức – http facebook comdovanduc2020 1 Thầy Đỗ Văn Đức Khóa học LIVE VIP IMO môn Toán Page livestream và tài liệu https www facebook comdovanduc2020 Group hỏi bài và tâm sự https www facebook comgroups2004thayduc Bài 1 – Mở đầu về Nguyên Hàm 1 Định nghĩa  Cho hàm số  f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) Hàm số  F x được gọi là nguyên hà.

Trang 1

Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE môn Toán Đăng kí học – Inbox thầy

Thầy Đỗ Văn Đức

Khóa học LIVE-VIP IMO môn Toán Page livestream và tài liệu: https://www.facebook.com/dovanduc2020

Group hỏi bài và tâm sự: https://www.facebook.com/groups/2004thayduc

Bài 1 – Mở đầu về Nguyên Hàm

1 Định nghĩa

 Cho hàm số f x  xác định trên K (K là khoảng,

đoạn hoặc nửa khoảng) Hàm số F x  được gọi là

nguyên hàm của hàm số f x  trên K nếu

   

F x  f x với mọi x K

 Ví dụ: Hàm số y x 32x là 1 nguyên hàm của hàm số 3x2 trên 2  vì

x32x3x2  2 x 

 Chú ý 1: Nếu K  a b; thì các đẳng thức F a  f a F b ;   f b  được hiểu là

     lim

 Với mọi hằng số ,C hàm số F x C cũng là một nguyên hàm của hàm số f x  trên K

 Với mỗi nguyên hàm G x  của f x  trên K thì tồn tại một hằng số C sao ho G x F x C

với mọi x K

Do đó F x C C,  là họ tất cả các nguyên hàm của f x  trên K Ký hiệu  f x x F x d   C

 Chú ý: Mọi hàm số f x  liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

Trang 2

 Chú ý: Nếu f x x F x d   C thì f ax b x d 1F ax b  C a 0 

a



4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

 Chú ý: Nếu  f x x F x d   C thì  f u u F u d   C, với u là 1 hàm của x, và

 d 1  

a

 Từ đó ta chỉ cần biết nguyên hàm của một số hàm số thông dụng

sẽ xây dựng được nguyên hàm của hàm số hợp

Bài 2: Chứng minh rằng hàm số F x ln sinx là một nguyên hàm của hàm số f x cotx

Bài 3: Chứng minh hàm số F x  a2x2 là một nguyên hàm của hàm số f x  2x 2





Bài 4: Chứng minh hàm số   1 ln





Trang 3

8 2

Trang 4

11 Biết hàm số F x ax2bx c  2x là một nguyên hàm của hàm số 3   20 2 30 7

Trang 5

Một số khai triển cần lưu ý

x

Trang 6

18 Tìm các nguyên hàm của các hàm số sau:

11

xx

11

xx



Trang 7

 I  f cosx.sin dx x t cosxdt sin d x x

 I  f sinx.cos dx x t sinxdtcos d x x

 I  f sin2x;cos2x.sin 2 dx x t sin2xdtsin 2 d x x

 I  f sinxcosx  sinxcosx xd  t sinxcosxdtcosxsinx.d x

Trang 8

d .3

x xI

cos tan 2

xI

Trang 9

e

d cos

1

xI

3 d 1

1

d 1

x xI

Trang 10

d cos

A 3 11ln 2

4

.4

.8

.4

 

Trang 11

Bài 4 – Phương pháp nguyên hàm từng phần

PHƯƠNG PHÁP

 Bước 1: Biến đổi về dạng I  f x x d g x h x x    d

 Bước 2: Đổi biến  

Trang 12

d x d

xu



 2 2

lnd1



77 Tìm các nguyên hàm sau:

a) x2 2e dx x b)  x21 cos d 2x x c)  x2 e d 2 x x

Trang 13

xx

d1

xx

4 d 1

Trang 14

88 Cho hàm số ye sin x x Họ nguyên hàm của hàm số trên là

A xcotxln sin xC B xcotxln sin xC

C xcotxln sin x C D xcotxln sin x C

94 Giả sử F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  lnx2 3

x  x x  x C

Trang 15

Bài 5 – Nguyên hàm các hàm số lượng giác

xI

Trang 16

104 Tìm các nguyên hàm sau:

a) I sin3xcos3xcos3xsin 3 dx x b) d 3

sin cos

xI

Bài 4 – Mở đầu về Tích Phân

1 Bài toán diện tích hình thang cong Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành

và hai đường thẳng x a x b a b ,     Giả sử f là hàm số liên tục,

đồng biến và nhận giá trị dương trên đoạn  a b; Ta có diện tích S

của hình thang cong đó là: SF b F a , với F là một nguyên

hàm bất kì của f trên đoạn  a b;

2 Quãng đường đi được của một vật Giả sử một vật chuyển động có vận tốc thay đổi theo

thời gian, v f t  0 t T Khi đó quãng đường L

vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t a

đến thời điểm t b 0 a b T    là

   ,

L F b F a trong đó F là một nguyên hàm bất

kì của f trên khoảng 0;T

3 Khái niệm tích phân Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F b F a  được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là  d    

b

b a a

 f là hàm số dưới dấu tích phân

 f x x d là biểu thức dưới dấu tích phân

 x là biến lấy tích phân

 Định lý về diện tích hình thang cong

Cho hàm số y f x  liên tục, không âm trên đoạn  a b; Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a x b ,  là  d

b a

f x x



4 Tính chất của tích phân Giả sử hàm số f, g liên tục trên K và , ,a b c là 3 số bất kì thuộc K Khi đó

Trang 17

3 d2

xx

x x

 

1 0

d e

x x



Trang 18

2 0

1x xd

16 0

d9

f x

 f 1 a f,   2 b Giá trị của biểu thức f  1 f 2 bằng

Trang 19

b) Từ công thức I J L, hãy đưa ra một đánh giá chính xác hơn cho I

132 Một vật chuyển động với vận tốc v t  1 2sin 2t (m/s) Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t0 (s) đến thời điểm 3

 Tìm quãng đường vật đó đi được trong 4

giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

136 Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a t  3t t2 (m/s2) Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc

137 Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 25m/s Gia tốc trọng trường là 9,8m/s2

a) Sau bao lâu viên đạn đạt tới độ cao lớn nhất?

b) Tính quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm đất (tính chính xác đến hàng phần trăm)

Trang 20

Bài 5 – Phương pháp đổi biến tính tích phân

Đổi biến loại 1

1

d 4

2

2 2 1

xI

2 0

d 1

d.1

xI

1

xI

1 3

xI

2

d 4

Trang 21

148 Khi đổi biến x 3 tan ,t tích phân 1 2

0

d3

xI

3 0

2

d 1

4 d 1

3 3

0 d 19

d 1

0

1

d 1

2 0

2

d 1

1 d 9

1 d 1

Trang 22

2 1 2

d1

x xI

3d

1

8 3 0

xI

2 0

d.1

x xI

sin

d cos

Trang 23

ln d

e

3 2 1

ln sin

d cos





Trang 24

e d 2

xx

e d x

3 0

d ax d

axu



 

Bài toán 4 – Phương pháp tích phân từng phần tạo ra các lượng triệt tiêu

Tham khảo: Nhóm giáo viên Toán Việt Nam

e

a x

2 1

4

,

1 e d 1e 1e( 1)

a b

x xI

Trang 25

e1

195 Biết rằng 3  

e 1

Trang 26

198 Biết 4  

2 4

2 1 2

3 3

.edln( e) ln( e),1

1

2

d 3

1 3ln

xx

d 9

uuu





206 Cho biết

3 7

Trang 27

Trang 28

sin cos

xI

Trang 29

226 Cho hàm số f x  liên tục trên  thỏa mãn 2   16  

2

1 4

4

d

f xxx

d

I  u u D

1 2 0

Trang 30

Bài 9 – Đổi biến một số tích phân đặc biệt

234 Cho số dương a và hàm số f x  liên tục trên  thỏa mãn f x  f    x a, x  Giá trị của biểu thức  d

a a

1

xI

Trang 31

2 d ,b

0

e d

x t

b 

Trang 32

258 Cho biết 2

0cos

Trang 33

d

f x xx

267 Cho hàm số f x  liên tục trên  và thỏa mãn   2

Trang 34

Bài 10 - Ứng dụng tích phân tính diện tích

Giới hạn bởi một đồ thị, trục hoành và hai đường thẳng x a x b , 

270 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 ln x

271 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 4 x y2,  và hai đường thẳng 0 x1,x 3

272 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường yxe ,x trục Ox và hai đường , x 1,x 2

273 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 1x2, trục hoành và đường x1

274 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y ex1, trục hoành và hai đường thẳng

277 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 24x3 và trục hoành

Giới hạn bởi hai đồ thị y f x y g x ,    và hai đường thẳng x a x b , 

278 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x2 4x và y x

279 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường yx36x29x và y x

280 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y ln x2

x

 và

 2

4 ln.2

xy

x





281 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 xex và y x e x

282 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x e ,x x y   và 1 0 xln 5

283 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y(x1) x và đường thẳng 1 y  x 1

284 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x x 216 và y3x212 x

285 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ysin 2 ,x ycosx và hai đường thẳng 0,

2

x x

286 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 ,x y  x2 2x và hai đường thẳng x0,x 2

287 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y x23x và đường thẳng 2 y  x 2

288 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y x y,   và trục hoành 6 x

Trang 35

y và nửa đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính

2 2 , nằm trên trục hoành, thuộc khoảng nào sau đây:

294 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y 3 ,x2 cung tròn có phương trình y 4x2 (với

0 x 2) và trục hoành Diện tích của  H bằng

Trang 36

297 Tìm a để diện tích hình phẳng giới hạn bởi  : 2 2 ,

Trang 37

yx

Trang 38

320 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y24ax a 0 và đường thẳng x a là

a

2

8.3

Trang 39

Bài 11 - Ứng dụng tích phân tính thể tích

Thể tích khi quay miền D giới hạn bởi y=f(x), y=0, x=a, x=b quanh trục hoành

328 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường y  x2 2 ,x y Tính thể tích vật thể tròn xoay được 0.tạo thành khi quay  H quanh trục hoành

329 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường y x 2 lnx, trục hoành và xe Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình  H quanh trục hoành

Thể tích khi quay miền D giới hạn bởi y=f(x), y=g(x), x=a và x=b với

    0  ;

f x g x   x a b

330 Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol  P y x:  2 và đường thẳng

d y x quay xung quanh trục Ox

331 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường x2   và y 5 0 x y   Tính thể tích của khối tròn 3 0.xoay được tạo thành khi quay hình  H quanh trục hoành

332 Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y x y,   và 2 x y 0

333 Tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

2 2 , 4 2

yx  x y  khi nó quay quanh trục hoành x

Thể tích khi quay miền D giới hạn bởi các đường x g y y a y b  ,  ,  quanh trục tung

334 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường y x2, 8x y2 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình  H quanh trục tung

335 Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng

337 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 4x

và trục hoành quanh trục hoành là

.4

.2



Trang 40

339 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số y 1,

x

 trục hoành và hai đường thẳng x1,x2 quanh trục hoành là

.5V

.2

345 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số y2x x 2

và trục hoành quanh trục hoành là

347 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số ysin cos ,x x

trục hoành, trục tung và đường thẳng

V 

B

2

.12

V 

C

2

.15

V 

D

2

.16

V 

Trang 41

348 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  H giới hạn bởi đường cong 22 ,

1

yx

351 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường y22x và x Khi quay 4  H

quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng

A 10  B 16 

C 32  D 20 

352 Gọi  H là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  3x 10, y1 và nhánh nằm

bên phải trục tung của Parabol yx2 Thể tích khối tròn xoay khi quay hình

354 Cho vật thể như hình vẽ, biết AC AD 5;BC BD  2 và AB 1

Thể tích khối tròn xoay khi quay vật thể này quanh trục là đường thẳng AB là

Trang 42

355 Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y x y,  0

và x quanh trục 4 Ox Đường thẳng x a 0 a 4 cắt đồ thị hàm số y x tại M (hình vẽ) Gọi 1

V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết rằng V 2 V1 Khi

A 1208

3



B 1280 3



C 1820 3



D 1802 3

Trang 43

358 Hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia ra làm 2 phần bởi một nhánh của Parabol có đỉnh là O (như hình vẽ) Gọi  H là phần hình phẳng có diện tích lớn hơn Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình  H quanh trục OC (trong hình vẽ) là

A 128

5

.3

.5

359 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2, bị phân chia làm 2 phần bởi 1 đường parabol có đỉnh O là trung điểm của CD (như hình vẽ) Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng phần tô đậm (như hình vẽ) quanh trục CD là

Trang 44

361 Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng 8 và một hình tròn có bán kính bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho tâm của hình tròn trùng với tâm của hình vuông như hình vẽ Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay mô hình trên quay trục AB, với AB là 1 đường kính của hình tròn và là trục đối xứng của hình vuông (như hình vẽ)

4 3

2 3

.3

8 3

V    

363 Một thùng đựng bia hơi (có dạng như hình vẽ) có đường kính đáy là 30 cm, đường kính lớn nhất của thân thùng là 40 cm, chiều cao của thùng là 60 cm, cạnh bên hông của thùng có hình dạng của một parabol Thể tích của thùng bia gần nhất với con số nào sau đây? (coi độ dài của vỏ thùng không đáng kể)

A 60 lít B 62 lít C 64 lít D 70 lít

Trang 45

366 Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc   1 2

23

a t  t t (m/s2), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc Hỏi quãng đường vật đi được trong 12 giây

kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng bao nhiêu?

367 Một chiếc máy bay vào vị trí cất cánh chuyển động trên đường bằng với vận tốc v t  t2 2t (m/s) với

t là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động Biết máy bay đạt vận tốc 120 (m/s) thì nó rời đường băng Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường bằng gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Nguồn: Đề KSCL Toán thi tốt nghiệp THPT 2021 lần 3 trường chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa

Bài 13 - Ứng dụng tích phân và bài toán có yếu tố đồ thị

Nhận xét: Hình tròn có thể coi là 1 hình Elip đặc biệt với a b R  , nên SR2

2 Diện tích Parabol bị cắt bởi đường thẳng nằm ngang

Một Parabol y ax 2bx c và một đường thẳng y m cắt nhau tạo thành

một hình phẳng có diện tích là 4

3

S Rh với R và h được thể hiện như hình

vẽ

Tiêu đề	Nguyên Hàm Tích Phân Và Ứng Dụng
Tác giả	Đỗ Văn Đức
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	bài giảng
Năm xuất bản	2022
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	78
Dung lượng	2,8 MB