(LUẬN VĂN THẠC SĨ) Xây dựng hệ thống bài tập chủ đề phương trình vô tỉ nhằm phát triển tư duy phê phán cho học sinh trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TÔ THỊ DINH XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY PHÊ PHÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TÔ THỊ DINH

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY PHÊ PHÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TÔ THỊ DINH

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY PHÊ PHÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học (bộ môn Toán)

Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn

HÀ NỘI – 2015

LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành được luận văn này, ngoài sự nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận được sự chỉ bảo, giúp đỡ từ nhiều phía của các thầy, cô giáo, gia đình và bạn

bè

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy kính mến PGS.TS

Nguyễn Minh Tuấn, người đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, định hướng

nghiên cứu và tận tình hướng dẫn cho tôi hoàn thành bản luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo khoa Sư phạm, trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội, những người đã trực tiếp giảng dạy

và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường cùng toàn thể bạn bè và người thân đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để bản luận văn được hoàn chỉnh hơn

Xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2014

Học viên

Tô Thị Dinh

MỤC LỤC

Lời cảm ơn i

Mục lục ii

Danh mục bảng iv

Danh mục biểu đồ iv

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 4

1.1 Dạy học phương trình vô tỉ 4

1.1.1 Khái niệm phương trình vô tỉ 4

1.1.2 Mục tiêu dạy học phương trình vô tỉ 4

1.1.3 Khó khăn và thách thức trong dạy học nội dung phương trình vô tỉ 5

1.2 Hệ thống bài tập 6

1.2.1 Khái niệm hệ thống bài tập 6

1.2.2 Mục đích hệ thống bài tập phương trình vô tỉ 6

1.2.3 Cách thức hệ thống bài tập phương trình vô tỉ 7

1.3 Tư duy phê phán 7

1.3.1 Khái niệm tư duy 7

1.3.2 Khái niệm tư duy phê phán 8

1.3.3 Dấu hiệu của năng lực tư duy phê phán 8

1.3.4 Nguyên tắc cơ bản của tư duy phê phán 10

1.3.5 Thực trạng dạy học tư duy phê phán ở trường phổ thông 11

1.3.6 Biện pháp phát triển tư duy phê phán 13

1.4 Hệ thống bài tập phương trình vô tỉ như thế nào để phát triển tư duy phê phán cho học sinh ……… 16

Chương 2 CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 18

2.1 Phương pháp biến đổi tương đương……….18

2.1.1 Nâng lên lũy thừa 18

2.1.2 Trục căn thức 25

2.1.3 Phương trình biến đổi về tích 30

2.1.4 Đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 35

2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ……… 38

2.2.1 Đặt một ẩn phụ hoàn toàn 38

2.2.2 Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất 44

2.2.3 Đặt ẩn phụ đưa về hệ 48

2.2.4 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn 54

2.3 Phương pháp lượng giác hóa 58

2.4 Phương pháp đánh giá 61

2.5 Phương pháp hàm số 64

2.6 Phương pháp đồ thị 68

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 73

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 73

3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 73

3.2.1 Đối tượng thực nghiệm 73

3.2.2 Tổ chức thực nghiệm 73

3.3 Kết quả thực nghiệm sư phạm……… 82

3.3.1 Tổng hợp kết quả thực nghiệm 82

3.3.2 Phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm 88

KẾT LUẬN 92

TÀI LIỆU THAM KHẢO 93

PHỤ LỤC 95

DANH MỤC BẢNG

Bảng 3.1 Bảng phân phối kết quả các bài kiểm tra 82

Bảng 3.2 Kết quả mức độ hứng thú học tập của học sinh 83

Bảng 3.3 Tổng hợp kết quả các bài kiểm tra 85

Bảng 3.4 Tổng hợp phân loại kết quả học tập 85

Bảng 3.5 Bảng thống kê các tham số đặc trưng từng lớp 87

Bảng 3.6 Bảng thống kê các tham số đặc trưng từng nhóm thực nghiệm 87

DANH MỤC BIỂU ĐỒ Biểu đồ 3.1 Tổng hợp phân loại kết quả học tập 86

Biểu đồ 3.2 Mức độ hứng thú học tập của học sinh 86

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước và hội nhập quốc tế đang đặt ra cho ngành giáo dục nước ta một nhiệm vụ quan trọng là đào tạo ra những con người có phẩm chất tốt, năng động và sáng tạo Một trong những điểm yếu của đa số học sinh hiện nay là thái độ thụ động trong học tập, ngại khó, lười đặt ra câu hỏi và trả lời để nhìn nhận vấn đề một cách sâu sắc và toàn diện Bên cạnh đó, học sinh chưa biết cách chọn lọc thông tin, hệ thống kiến thức một cách hợp lý trong học tập Chính vì lẽ đó, học sinh cần được rèn luyện ý thức, tư duy phê phán và tư duy sáng tạo ngay từ khi ngồi trên ghế nhà trường

Toán học là một môn khoa học của tư duy nhưng lại có mối liên hệ mật thiết với thực tiễn và được ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống Trong dạy học toán, một trong những nhiệm vụ quan trọng là hình thành và phát triển tư duy phê phán, tư duy sáng tạo cho học sinh

Thực tế giảng dạy toán ở trường phổ thông hiện nay cho thấy tư duy phê phán chỉ được phát triển một cách tự nhiên theo nội dung dạy học mà chưa được định hướng rõ ràng, cụ thể Như vậy, vấn đề đặt ra là làm thế nào

để học sinh học tập toán một cách hiệu quả? Làm thế nào để học sinh có khả năng hệ thống các nội dung toán học theo khả năng tư duy logic của mình? Làm thế nào để giúp học sinh có thể phân tích đánh giá các bài toán một cách toàn diện? Hay nói một cách khác, làm thế nào để phát triển tư duy phê phán cho học sinh trong dạy học toán? Nhận thấy nội dung phương trình vô tỉ khá quan trọng và phù hợp cho việc phát triển tư duy phê phán của học sinh trung học phổ thông Do đó, để phần nào giải đáp các câu hỏi trên tác giả đã chọn

đề tài : ‘‘Xây dựng hệ thống bài tập chủ đề phương trình vô tỉ nhằm phát

triển tư duy phê phán cho học sinh trung học phổ thông’’ làm luận văn thạc

sĩ

2 Mục đích nghiên cứu

Định hướng cho người học cách hệ thống các dạng toán quan trọng trong nội dung phương trình vô tỉ Việc khai thác sâu từng bài toán cụ thể sẽ giúp học sinh phát triển khả năng tư duy phê phán một cách toàn diện khi đánh giá một bài toán hay một vấn đề

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Thứ nhất: Nghiên cứu cơ sở lý luận về phương trình vô tỉ và tư duy

phê phán

Thứ hai: Hệ thống các dạng toán về chủ đề phương trình vô tỉ, đồng

thời thiết kế các bài toán theo hướng phát triển vấn đề, phân tích và khai khác sâu nhằm phát triển tư duy phê phán cho học sinh một cách toàn diện

Thứ ba: Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của

đề tài trong dạy học

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

Khách thể nghiên cứu là quá trình dạy học nội dung phương trình vô tỉ

ở trường trung học phổ thông (cụ thể là trường trung học phổ thông Ngô Quyền)

Đối tượng nghiên cứu là các dạng toán về phương trình vô tỉ được khai

thác sâu theo hướng phát triển tư duy phê phán cho học sinh trung bình, khá

5 Vấn đề nghiên cứu

Đề tài tập trung vào nghiên cứu vấn đề cơ bản sau:

Khai thác các bài toán về phương trình vô tỉ như thế nào để phát triển

tư duy phê phán cho học sinh trung học phổ thông một cách toàn diện?

6 Giả thuyết khoa học

Xây dựng hệ thống bài tập chủ đề phương trình vô tỉ nhằm phát triển

tư duy phê phán cho học sinh sẽ có hiệu quả tích cực trong việc giúp học sinh chủ động chiếm lĩnh tri thức, nội dung kiến thức bài học, trở thành con người

có tư duy độc lập tự chủ, năng động và nắm bắt vấn đề một cách sâu sắc và toàn diện

7 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

- Phạm vi về thời gian: Từ tháng 01 năm 2014 đến tháng 10 năm 2014

- Phạm vi về nội dung: Các bài toán về phương trình vô tỉ được khai

thác theo hướng phát triển tư duy phê phán cho học sinh trung học thổ thông

- Khảo sát tại trường trung học phổ thông Ngô Quyền thành phố Hải

Phòng

8 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Ý nghĩa lý luận của đề tài:

Cung cấp một cách rõ ràng và hệ thống cơ sở lý luận những vấn đề cơ bản về phương trình vô tỉ và tư duy phê phán

- Ý nghĩa thực tiễn của đề tài:

Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích với giáo viên và học sinh trung học phổ thông trong giảng dạy và học tập

9 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:

- Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: Sưu tầm, đọc, nghiên cứu các

bài báo, luận văn, sách tham khảo về phương trình vô tỉ và tư duy phê phán

- Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, tổng kết kinh

nghiệm, tham vấn chuyên gia

- Nhóm phương pháp xử lý thông tin: Định lượng, định tính, thống kê

và phân tích thống kê

10 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được trình bày theo ba chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận

Chương 2: Các bài toán phương trình vô tỉ

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Dạy học phương trình vô tỉ

1.1.1 Khái niệm phương trình vô tỉ

Khái niệm phương trình là một trong những khái niệm quan trọng của toán học Khi nói đến phương trình ta hiểu rằng đó là hai biểu thức chứa biến

số nối với nhau bởi dấu ‘‘ = ’’ mà ta phải tìm giá trị của biến số để giá trị tương ứng của hai biểu thức bằng nhau (xem [7, tr 59, 60])

Có thể định nghĩa cơ bản về phương trình vô tỉ như sau: ‘‘Phương trình

vô tỉ là phương trình chứa ẩn dưới dấu căn’’

Ví dụ: 2x   là một dạng phương trình vô tỉ 3 x 3

1.1.2 Mục tiêu dạy học phương trình vô tỉ

Phương trình là phần kiến thức nền tảng, cơ bản, quan trọng xuyên suốt chương trình phổ thông với nhiều ứng dụng rộng rãi trong thực tế và cuộc sống Lí thuyết phương trình không phải chỉ là cơ sở để xây dựng đại số học

mà còn giữ vai trò quan trọng trong các bộ môn khác của toán học (xem [7, tr 64,65]) Việc dạy học kiến thức về phương trình là rất quan trọng Một trong những nội dung hay và khó trong phần kiến thức này là phương trình vô tỉ

Do đó, cần đặt ra mục tiêu dạy học nội dung này một cách hợp lý giúp cho quá trình dạy học đạt hiệu quả cao nhất, cụ thể:

- Học sinh có thể nhận biết được các dạng bài tập về phương trình vô tỉ

- Học sinh hiểu và giải quyết được các bài toán về phương trình vô tỉ từ đơn giản đến phức tạp và theo các cách khác nhau

- Học sinh được rèn luyện về tính quy củ, tính kế hoạch, tính kỉ luật (xem [7, tr 68])

- Rèn cho học sinh kĩ năng tính toán, suy luận logic, đánh giá, phân tích, tổng hợp các vấn đề Học sinh được phát triển tư duy phuật giải (xem [7, tr 68])

- Học sinh biết mở rộng, phát triển bài toán theo hướng tư duy của mình, liên hệ nội dung phương trình vô tỉ với các nội dung học tập khác

- Giảm bớt áp lực, khó khăn cho học sinh trong quá trình học tập nội dung phương trình vô tỉ

- Kích thích tư duy, niềm say mê, hứng thú của học sinh trong học tập nội dung phương trình vô tỉ nói riêng và bộ môn toán nói chung

1.1.3 Khó khăn và thách thức trong dạy học nội dung phương trình vô tỉ

Phương trình vô tỉ là dạng toán khó và quan trọng trong chương trình phổ thông, yêu cầu người học và người dạy cần có kiến thức chắc chắn và có tầm nhìn thật tổng quát về toán học thì mới giải quyết tốt các các bài tập về nội dung này Do vậy, trong dạy học nội dung phương trình vô tỉ giáo viên và học sinh đều gặp những khó khăn nhất định

1.1.3.1 Khó khăn đối với giáo viên

Giáo viên thường gặp khó khăn trong việc tổng hợp tài liệu, phân tích, nghiên cứu sâu các dạng bài tập về phương trình vô tỉ do đây là một nội dung khá khó, phức tạp đòi hỏi sự kiên trì, kiến thức chắc chắn và sâu rộng Hiện nay, sách vở, tài liệu tham khảo rất nhiều với nhiều hình thức khác nhau, do vậy nếu không biết cách chọn lọc tài liệu hợp lí, chất lượng thì giáo viên sẽ nghiên cứu dàn trải, lan man, thiếu trọng tâm trong việc hệ thống kiến thức và không đảm bảo tính chính xác, đúng đắn của nội dung kiến thức cần nghiên cứu

Nội dung phương trình vô tỉ khá khô khan, phức tạp nhiều bài tập có vấn

đề, học sinh dễ chán nản nên ít hứng thú học tập và giải toán do chưa đủ khả năng bao quát vấn đề, dẫn đến khó khăn cho giáo viên trong quá trình giảng dạy Đòi hỏi giáo viên cần chuẩn bị kĩ càng, thiết kế nội dung dạy học hợp lí, khéo léo, kiến thức chắc chắn thì mới đạt được hiệu quả

Giáo viên chưa có kinh nghiệm, chuyên môn chưa sâu sẽ gặp nhiều khó khăn trong quá trình giảng dạy nội dung này, nếu chuẩn bị không tốt dễ làm mất niềm tin đối với học sinh, không đảm bảo chất lượng dạy học

1.1.3.2 Khó khăn đối với học sinh

Trong quá trình học tập và nghiên cứu nội dung phương trình vô tỉ, học sinh dễ mắc phải một số khó khăn sau:

Thứ nhất, trong quá trình giải các bài tập về phương trình vô tỉ học sinh thường mắc sai lầm Nguyên nhân chủ yếu về mặt kiến thức dẫn đến sai lầm

là học sinh nắm không vững chắc các định nghĩa, định lí, quy tắc vận dụng chúng một cách máy móc, không chú ý đến các điều kiện hạn chế phạm vi tác dụng của chúng (xem [6, tr 209])

Thứ hai, vì chưa đủ khả năng phân tích, khai thác bao quát mọi trường hợp, vấn đề trong các bài tập về phương trình vô tỉ nên bài giải không được trọn vẹn, thiếu sót

Thứ ba, học sinh chưa biết cách hệ thống logic các dạng bài tập về phương trình vô tỉ nên gặp khó khăn với các bài toán phức tạp và các bài tập mới

Thứ tư, học sinh chưa được định hướng rõ ràng về phương pháp giải cho từng dạng toán, chưa biết khai thác một bài toán theo nhiều hướng khác nhau

để lựa chọn một cách hợp lý Do đó, các em chưa linh hoạt, sáng tạo trong giải toán

1.2 Hệ thống bài tập

1.2.1 Khái niệm hệ thống bài tập

Hệ thống là tập hợp các phần tử có quan hệ hữu cơ với nhau, tác động chi phối lẫn nhau theo các quy luật nhất định để trở thành một chỉnh thể Từ

đó xuất hiện thuộc tính mới gọi là tính trồi của hệ thống mà từng phần tử riêng lẻ không có hoặc có không đáng kể

Hệ thống bài tập là liệt kê, sắp xếp, phát triển các bài tập theo một trật tự logic nhất định tạo thành một tập hợp các bài toán với các phương pháp giải đặc trưng nhất cho từng dạng toán

1.2.2 Mục đích hệ thống bài tập phương trình vô tỉ

Việc hệ thống bài tập về nội dung phương trình vô tỉ nhằm thực hiện các mục đích cơ bản sau:

- Giúp học sinh có thể nghiên cứu các bài tập về nội dung phương trình

vô tỉ một cách đơn giản, nhẹ nhàng, vừa sức với các em

- Giúp học sinh dễ dàng tiếp cận với các dạng toán, các bài tập quen thuộc, đến các bài tập khó hơn

- Học sinh có lối tư duy mở, biết khai thác, phát triển mở rộng sáng tạo ra các bài tập mới trên cơ sở các bài tập cơ bản đã học

- Học sinh có kinh nghiệm trong việc hệ thống bài tập trong nội dung phương trình vô tỉ nói riêng và trong toán học nói chung

- Giảm bớt áp lực cho giáo viên và học sinh trong dạy và học nội dung phương tình vô tỉ

1.2.3 Cách thức hệ thống bài tập phương trình vô tỉ

Hệ thống bài tập phương trình vô tỉ được định hướng như sau:

- Phân dạng cụ thể, rõ ràng các bài toán về phương trình vô tỉ

- Sắp xếp logic các bài toán về phương trình vô tỉ từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, từ cụ thể đến tổng quát

- Khai thác, đánh giá, phân tích từng bài toán cụ thể trong từng dạng nhằm làm sáng tỏ phương pháp tư duy để giải bài toán

- Liên hệ, mở rộng, phát triển các bài toán nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho người học

1.3 Tư duy phê phán

1.3.1 Khái niệm tư duy

Tư duy là quá trình tâm lý thuộc nhận thức lý tính là một mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri giác Tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết (xem [11])

1.3.2 Khái niệm tư duy phê phán

Tư duy phê phán là một trong những loại hình tư duy bậc cao của tư duy

Có nhiều quan niệm về tư duy phê phán (xem [9]) Tư duy phê phán là quá trình vận dụng tích cực trí tuệ vào việc phân tích, tổng hợp, đánh giá sự việc,

ý tưởng, giả thuyết từ sự quan sát, kinh nghiệm, chứng cứ, thông tin và lý lẽ nhằm đưa ra nhận định về sự việc, ra quyết định và hình thành cách ứng xử của mỗi cá nhân

Người có tư duy phê phán thường suy nghĩ chủ động hướng tới những vấn đề và tình huống phức tạp dựa trên những suy nghĩ, quan điểm và niềm tin của mình Họ hoàn toàn có thể khiến chính những suy nghĩ, quan điểm và niềm tin của mình trở nên hợp lí và chính xác hơn bằng cách tự khám phá, đặt

ra hàng loạt câu hỏi và tìm ra câu trả lời hay giải pháp cho những câu hỏi đó

Tư duy phê phán thể hiện ở năng lực phân tích sự việc, hình thành và sắp xếp các ý tưởng, bảo vệ ý kiến, so sánh, rút ra các kết luận, đánh giá các lập luận, giải quyết vấn đề

Có thể nói, tư duy phê phán là quá trình vận dụng trí tuệ tích cực và khéo léo để khái quát, ứng dụng, phân tích, tổng hợp và đánh giá thông tin từ sự quan sát, kinh nghiệm, chứng cứ, thông tin, vốn kiến thức và lý lẽ

Bên cạnh đó, tư duy phê phán là quá trình xác định thận trọng, kĩ lưỡng

sự việc có thể chấp nhận, từ chối hay nghi ngờ và mức độ tin cậy của nó trước khi chấp nhận hay từ chối sự việc đó

Tóm lại, tư duy phê phán có thể định nghĩa như sau: “Tư duy phê phán là quá trình vận dụng tích cực trí tuệ vào việc phân tích, cân nhắc, tổng hợp, đánh giá và liên hệ mọi khía cạnh các nguồn thông tin với thái độ hoài nghi tích cực dựa trên những tiêu chuẩn nhất định để đưa ra các thông tin phù hợp nhất nhằm giải quyết vấn đề”

1.3.3 Dấu hiệu của năng lực tư duy phê phán

1.3.3.1 Dấu hiệu của năng lực tư duy phê phán

Năng lực tư duy phê phán thể hiện ở các dấu hiệu sau:

- Biết đề xuất những câu hỏi và vấn đề quan trọng khi cần thiết, diễn đạt chúng một cách rõ ràng, chính xác

- Biết lắng nghe, cân nhắc suy xét từ những ý kiến khác nhau và sẵn sàng đưa ra ý tưởng đối trọng với ý tưởng của người khác (nếu cần)

- Sẵn sàng xem xét các giả định, các ý kiến khác nhau và cân nhắc chúng một cách thận trọng

- Tổ chức, sắp xếp các ý tưởng và diễn đạt một cách logic

- Có khả năng tự lựa chọn lấy giải pháp, không phụ thuộc vào khuôn mẫu có sẵn, đánh giá tính hợp lí của việc giải quyết vấn đề

- Có khả năng bình luận, đánh giá kiến thức và ý tưởng của người khác Sẵn sàng bảo vệ ý kiến và quan điểm của mình

- Đưa ra những cách giải quyết, những kết luận đúng, hay và kiểm tra xem chúng có mâu thuẫn gì so với chuẩn đã có hay không

- Có khả năng loại bỏ những thông tin chưa chính xác, sai lệch và không

có liên quan

- Sẵn sàng ngừng việc đánh giá khi còn thiếu sót chứng cứ và lý do

- Có thể nhận ra các thiếu sót, sai lầm và tự giải quyết, sửa chữa sai lầm

- Có khả năng đưa ra các quyết định nhằm giải quyết vấn đề

1.3.3.2 Dấu hiệu của năng lực tư duy phê phán trong toán học

Năng lực tư duy phê phán trong toán học được thể hiện qua một số dấu hiệu sau:

- Biết phân tích đúng đắn, rõ ràng các yêu cầu của bài toán

- Khai thác các giả thiết của bài toán theo nhiều khía cạnh khác nhau để tìm ra cách giải phù hợp

- Biết liên hệ các dữ kiện cần thiết trong một bài toán

- Biết đưa ra những dự đoán cần thiết để giải bài toán Tác giả [13, tr 5]

có viết: Tất nhiên chúng ta sẽ học chứng minh nhưng chúng ta sẽ học cả dự đoán nữa

- Đặt ra các câu hỏi và trả lời trong quá trình đi đến lời giải của bài toán

- Sắp xếp lời giải một cách logic, phù hợp đối với bài toán

- Có thể tìm kiếm những căn cứ trong các lập luận khi giải quyết vấn đề

- Sẵn sàng xem xét các ý kiến khác nhau với thái độ hoài nghi tích cực

- Có khả năng phản bác lại ý kiến của người khác với luận cứ chắc chắn, đầy đủ và khẳng định, bảo vệ, thể hiện, chứng minh quan điểm và lời giải của mình là đúng

- Có khả năng nhận ra những thiếu sót, sai lầm trong quá trình lập luận giải quyết bài toán

- Có khả năng sửa chữa sai lầm khi lập luận để chứng minh hoặc giải toán

- Có khả năng phát hiện, tìm tòi nhiều cách giải khác nhau trong một bài toán và biết lựa chọn phương pháp phù hợp, tối ưu nhất dể hoàn thiện bài giải

- Tổng hợp cách giải, so sánh, đánh giá các cách giải trong một bài toán

- Biết phân tích, liên hệ, mở rộng, phát triển thành bài toán mới

1.3.4 Nguyên tắc cơ bản của tư duy phê phán

Một trong các nguyên tắc quan trọng nhất và đồng thời khó thực hiện nhất

trong tư duy phê phán chính là tính triệt để, tức là việc thu thập đủ tất cả những cơ sở lập luận, các chứng cứ sẵn có cho một chủ đề dựa trên sự nghiên cứu kĩ lưỡng Mọi ý kiến phải có cơ sở lập luận của nó, những tri thức không đầy đủ thường là xuất phát điểm cho những kết luận sai lệch Do vậy, cần có các nguyên tắc quan trọng để quá trình tư duy phê phán đi đúng hướng tránh tình trạng lệch lạc, ngụy biện, thiên vị như sau:

- Thu thập đủ thông tin cần thiết: Trong quá trình thu thập, tổng hợp và

xử lý thông tin không đưa ngay ra kết luận về vấn đề một cách vội vàng dễ dẫn đến định hướng cảm tính, phán xét chủ quan đem lại kết quả chưa chính xác

- Hiểu và xác định rõ tất cả các khái niệm liên quan: Mỗi khía cạnh, vấn

đề nhỏ trong một vấn đề lớn cần được phân tích, tìm hiểu cẩn thận rõ ràng để phát hiện ra vấn đề lớn

- Đưa ra những câu hỏi về nguồn gốc của các cơ sở lập luận và trả lời các câu hỏi đó

- Đặt câu hỏi về các kết luận và trả lời Câu hỏi có thể giữ vai trò chất kích thích, làm cho phản ứng mong đợi nhanh chóng diễn ra Những câu hỏi

có nội dung như thế dường như là những máy phát nhỏ sản xuất ra các ý nghĩ (xem [12, tr 235])

- Chú ý các giả thiết và các khuynh hướng ngầm: Giả thiết chính là cơ sở, căn cứ để định hướng cách phát hiện vấn đề

- Đừng mong đợi mình sẽ có tất cả các câu trả lời

- Xem xét vấn đề trên phạm vi lớn

- Xem xét những nguyên nhân và hệ quả khác nhau của vấn đề

- Chú ý loại bỏ các tác nhân gây cản trở suy nghĩ

1.3.5 Thực trạng dạy học tư duy phê phán ở trường phổ thông

1.3.5.1 Quan điểm về tư duy phê phán của giáo viên hiện nay

Chúng tôi đã tiến hành điều tra quan điểm về tư duy phê phán của 100 giáo viên trường trung học phổ thông Ngô Quyền qua kết quả thống kê ở bảng 1.1 cho thấy nhận thức về tư duy phê phán của giáo viên còn nhiều hạn chế:

- Nhiều giáo viên cho rằng tư duy phê phán là chê bai, tranh cãi, không chấp

nhận ý kiến của người khác

- Có giáo viên quan niệm rằng tư duy sáng tạo và phương pháp dạy học hiện đại không liên quan gì với tư duy phê phán

- Đa số giáo viên cho rằng rèn tư duy phê phán cho học sinh trong dạy học nói chung và trong bộ môn toán nói riêng là không quá cần thiết

- Giáo viên chưa hiểu tường tận về tư duy phê phán cũng như tầm quan trọng của việc rèn luyện tư duy phê phán trong quá trình dạy học

- Nhiều giáo viên nhận thức được tầm quan trọng của việc rèn luyện và phát triển tư duy phê phán cho học sinh nhưng lại chưa biết khai thác các nội dung dạy học như thế nào, bằng cách nào cho đúng đắn, hợp lý và hiệu quả Nhìn chung, giáo viên vẫn chưa nhận thức rõ ràng về vai trò của tư duy phê phán trong dạy học Điều này có thể do một số nguyên nhân sau:

- Một trong những đặc điểm văn hóa và tư duy của người Việt là đề cao quan hệ xã hội theo hướng dĩ hoà vi quý Do đặc điểm này, tranh luận sẽ dễ dàng bị đồng nhất với tranh cãi hay tranh chấp, nghĩa là những thái độ tiêu cực mang tính cá nhân, cục bộ, địa phương hay gây mất đoàn kết Vì vậy, trong tâm thức người Việt Nam, phê phán thường bị hiểu ngầm là chê bai, coi thường

- Phương pháp dạy học sử dụng chưa hiệu quả Việc vận dụng các phương pháp dạy học hiện đại chưa hợp lí, nặng về hình thức Do đó, sự tương tác giữa học sinh và học sinh, giáo viên và học sinh trong và ngoài lớp học còn hạn chế

- Tập trung vào ghi nhớ kiến thức theo kiểu thuộc lòng mà chưa chú ý vào việc học khái niệm hoặc học ở cấp độ cao (như phân tích, tổng hợp) dẫn đến hậu quả là học hời hợt thay vì học chuyên sâu

- Chương trình giảng dạy nặng về lí thuyết, mục đích chính là kết quả thi

cử nên đã hạn chế phần nào khả năng phát triển tư duy ở cấp độ cao

1.3.5.2 Tư duy phê phán của học sinh hiện nay

Học sinh hiện nay có biết cách sử dụng tư duy phê phán trong học tập cũng

như trong cuộc sống hay không? Điểm yếu của học sinh Việt Nam là gì? Câu hỏi này đã được rất nhiều người làm công tác giáo dục đặt ra, đã và đang tìm cách khắc phục Qua kết quả điều tra ý kiến của học sinh khối 12 trường trung

học phổ thông Ngô Quyền ở bảng 1.2 cho thấy nhận thức của học sinh về tư duy phê phán còn khá mơ hồ:

- Đa số học sinh có thái độ thụ động trong học tập, chưa tự tin vào bản thân mình, chưa dám khẳng định mình

- Học sinh ngại bảo vệ ý kiến của bản thân, không dám bắt bẻ ý kiến chưa đúng, kém thuyết phục của người khác

- Tuy nhiên, cũng có những học sinh muốn thể hiện quan điểm, sự hiểu biết của mình nhưng lại trở thành ngụy biện, suy diễn do thiếu thông tin, thiếu kiến thức, thiếu chiều sâu, thiếu hệ thống

- Nhiều học sinh mắc phải hội chứng đám đông, không biết thể hiện ý kiến lập trường của mình mà quan điểm lúc nào cũng chung chung, hình thức, hoặc né tránh vấn đề mà không đánh giá trực diện

Nguyên nhân có thể là do phương pháp đào tạo, cách giảng dạy thầy đọc trò ghi, học tập còn coi trọng kết quả thi cử, học thiếu đi đôi với hành, cơ sở vật chất trang thiết bị phục vụ học tập còn chưa đầy đủ đồng bộ Học sinh có

ít cơ hội để thể hiện mình Do đó, nhà trường cần trang bị cho học sinh các kĩ năng tư duy đặc biệt là kĩ năng tư duy phê phán Bởi không thể phủ định rằng

tư duy phê phán là chiếc chìa khóa cần được trao cho học sinh để mở ra cánh cửa tư duy độc lập, sáng tạo nhằm phát huy trí tuệ của dân tộc

1.3.6 Biện pháp phát triển tư duy phê phán

1.3.6.1 Làm thế nào để phát triển tư duy phê phán cho giáo viên và học sinh

Điều cần thiết trước tiên là nâng cao nhận thức, hiểu biết của giáo viên

và học sinh về việc rèn luyện và phát triển tư duy phê phán Giáo viên và học sinh cần hiểu rằng tư duy phê phán ở đây không phải là bài xích, chỉ trích, chê bai hay coi thường người khác, cũng không phải không phải là sự hoài nghi

để tìm cách soi mói hay luôn tìm cách phủ định mà phê phán ở đây mang tính tích cực, mang tính phát triển trên cơ sở tôn trọng ý kiến của mọi người từ đó tìm ra phương án tốt nhất để đánh giá hay giải quyết vấn đề Chúng ta cần ý

thức được rằng không có gì là tuyệt đối, ai cũng có thể sai, thậm chí sách cũng có thể viết sai, nhầm lẫn, chân lí không phải bao giờ cũng thuộc về đa số Bên cạnh đó, cần xây dựng môi trường học tập thân thiện, bình đẳng giữa giáo viên và học sinh, khuyến khích học sinh tự do phát biểu ý kiến cá nhân theo hướng tích cực Có như vậy, học sinh mới tự tin vào bản thân để thể hiện quan điểm mình trước mọi người mà không rụt rè, e ngại

Cung cấp trang thiết bị dạy học cần thiết cho giáo viên và học sinh, đồng thời tổ chức các hoạt động trong trường, lớp cho học sinh tham gia, rèn luyện Định hướng cho người giáo viên biết cách khai thác, tìm tòi, nghiên cứu, xây dựng, thiết kế hoạt động dạy học cho hợp lý phát triển tối đa tư duy phê phán cho học sinh

Có như vậy, mới tạo điều kiện phát triển tư duy bậc cao của học sinh, xây dựng niềm tin, hứng thú học tập của các em và đảm bảo quá trình dạy học đạt kết quả cao theo mục tiêu dạy học đã đề ra

1.3.6.2 Biện pháp phát triển tư duy phê phán cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học toán

Việc rèn luyện và phát triển tư duy bậc cao cho học sinh trong bộ môn toán là rất cần thiết Trong quá trình dạy học, để phát triển tư duy phê phán cho học sinh một cách tích cực giáo viên cần lưu ý các biện pháp sau:

- Biên soạn tài liệu giảng dạy phù hợp với năng lực và trình độ của học sinh

- Giáo viên cần tích cực nghiên cứu, tìm tòi, xây dựng các câu hỏi mở, các tình huống dạy học và các bài toán thực tế nhằm kích thích học sinh động não, tìm ra nhiều cách giải, xây dựng các dạng toán tương tự

- Giáo viên cần rèn cho học sinh các thao tác tư duy cơ bản và khả năng quan sát, động não Tạo điều kiện cho học sinh suy nghĩ độc lập, tự nghiên cứu và tìm ra phương án giải quyết vấn đề trước khi đưa ra sự trợ giúp

- Tạo cơ hội để học sinh trình bày lời giải, nhận xét và đánh giá kết quả của mình và người khác Đồng thời, tạo điều kiện cho các em tự phát hiện ra

sai lầm và khắc phục sai lầm của mình và người khác Bởi vì con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình (xem [7])

- Ngoài ra, giáo viên cần khuyến khích học sinh sử dụng các kỹ năng lập luận, chứng minh, kĩ năng thảo luận làm việc nhóm

- Đánh giá quá trình học của học sinh trong suốt học kỳ chứ không chỉ dựa vào kết quả kỳ thi cuối kỳ

- Giảm khối lượng giảng dạy và tăng cường chấm bài, trả bài kiểm tra và chấm điểm bài tập về nhà cho học sinh

Ngoài sự hỗ trợ, định hướng, dẫn dắt của giáo viên thì học sinh cũng cần

tự rèn luyện các kĩ năng cần thiết để phát triển tư duy phê phán cho mình trong học

toán một cách toàn diện Cụ thể:

- Học sinh cần biết thu thập thông tin, xác định vấn đề đang cố gắng giải quyết Phải chắc chắn rằng bản thân nhìn vấn đề rõ ràng, khách quan, chính xác để thực hiện một quyết định thông minh, đúng đắn khi giải quyết vấn đề

- Xây dựng giả thuyết, phác thảo và động não những giải pháp khác có thể Vạch ra những ưu khuyết điểm của mỗi giải pháp, từ đó mở ra những cách giải quyết vấn đề mới của bài toán

- Cần biết đặt câu hỏi cho mỗi câu trả lời mà bản thân tìm thấy Chẳng hạn như: Lời giải chính xác chưa? Còn sai sót gì không? Còn cách giải nào khác ?

- Khi thu nhận được một thông tin, điều cần trước tiên là hiểu rõ nội dung thông tin đó, về điều gì, liên quan đến những vấn đề gì, lĩnh vực nào Tiếp theo, dựa trên những cơ sở khoa học và logic, đặt ra các câu hỏi như: Tại sao lại khẳng định là A mà không phải là B trong khi B cũng có các khả năng như A? Nếu là B thì khi đó sẽ có kết quả là B1, kết quả này có giống kết quả

A1 của khả năng A không? Nếu có giống thì sẽ rút ra kết luận nào và nếu không thì lí do là ở đâu? (xem [9])

- Trong bất cứ thời điểm, tình huống nào học sinh cũng phải sẵn sàng động não, suy luận và đánh giá

- Phân tích các trường hợp có thể xảy ra khi giải bài toán

- Không chỉ bó hẹp trong nguồn tài liệu mà giáo viên cung cấp, học sinh cũng cần học cách tự tìm những tài liệu mới để phục vụ cho học tập

- Học sinh cần biết xác định cho mình các nhiệm vụ cụ thể trước mắt, các nhiệm vụ lâu dài để đặt ra kế hoạch, mục tiêu thực hiện các nhiệm vụ

Như vậy, có thể nói tư duy phê phán có vai trò rất lớn trong việc học tập toán của học sinh Kết quả học tập và tốc độ phát triển trí tuệ phụ thuộc rất lớn vào phương pháp học tập của các em Học sinh nào nắm vững phương pháp tư duy phê phán thì chất lượng học tập càng cao và trí tuệ phát triển vững chắc Tư duy phê phán vận dụng không chỉ tri thức về logic mà còn những tiêu chí trí tuệ khác như sự rõ ràng, đáng tin cậy, sự xác đáng, sự sâu sắc, tính thiết thực, chiều sâu và tầm rộng cũng như sự quan yếu và tính công bằng Và kỹ năng này không phải ngày một ngày hai để có được mà phải là một quá trình học tập, rèn luyện kiên trì và lâu dài của mỗi cá nhân

1.4 Hệ thống bài tập phương trình vô tỉ như thế nào để phát triển tư duy phê phán cho học sinh

Căn cứ vào những kiến thức lý luận về tư duy phê phán, đồng thời dựa vào nội dung kiến thức phương trình vô tỉ, cho thấy đây là nội dung kiến thức phù hợp để khai thác trong dạy học nhằm phát triển tư duy phê phán cho học sinh phổ thông Với mục đích hệ thống bài tập để phát triển tư duy bậc cao cho học sinh, khai thác các bài toán với những góc nhìn đa chiều tạo điều kiện cho người học dễ tiếp nhận mảng kiến thức quan trọng này Do đó, có thể hệ thống bài tập về phương trình vô tỉ như sau:

- Phân dạng các bài tập trong nội dung phương trình vô tỉ một cách hợp

lý, đầy đủ, phù hợp với năng lực và trình độ học sinh

- Chọn lọc các bài toán ví dụ hay trong từng dạng toán phương trình vô tỉ

và sắp xếp chúng một cách logic theo hướng phát triển bài toán từ đơn giản đến phức tạp

- Phân tích những sai lầm mà người học dễ mắc phải khi giải các bài toán Định hướng cho người học cách phát hiện ra sai lầm và tự mình khắc phục những sai lầm đó

- Phân tích các bài toán theo nhiều cách giải khác nhau từ đó phân tích đánh giá, nhận xét để lựa chọn ra phương pháp giải hợp lý nhất cho từng bài toán cụ thể

- Đặt ra các câu hỏi, các vấn đề mở cho người học tìm hướng giải quyết hoặc định hướng phát triển bài toán tổng quát

- Sắp xếp các bài tập tương tự theo trật tự logic phù hợp với các ví dụ đã trình bày

Việc hệ thống bài tập như trên nhằm giúp người học dễ hiểu và tiếp nhận kiến thức về phương trình vô tỉ hơn, đặc biệt là đối với những bài tập mang tính tổng quát, phức tạp, nhiều vấn đề Do đó sẽ kích thích hứng thú học tập, niềm say mê tìm tòi nghiên cứu đào sâu các vấn đề về phương trình vô tỉ nói riêng và bộ môn toán nói chung cho học sinh Đồng thời, phát triển tư duy học sinh từ thấp đến cao, các em biết cách hệ thống các kiến thức đã học theo khả năng tư duy và tìm tòi của bản thân Giúp học sinh phát triển tư duy logic, rèn luyện khả năng phân tích đánh giá bài toán theo nhiều khía cạnh khác nhau Bên cạnh đó, các em cũng rút ra được những kinh nghiệm mình trong quá trình học tập giải quyết vấn đề Từ đó, rèn luyện và phát triển tư duy phê phán cho học sinh một cách toàn diện trong dạy và học bộ môn toán

CHƯƠNG 2 CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 2.1 Phương pháp biến đổi tương đương

2.1.1 Nâng lên lũy thừa

Ví dụ 1 Giải phương trình x3x2  x23x2 (1)

 Lời giải Điều kiện xác định x   1

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được

    

2

1 1 2

x x  x xPhương trình này có nghiệm x   hoặc 1 x  (thỏa mãn điều kiện) 2

Vậy tập nghiệm của phương trình là S   1; 2

 Phát triển bài toán

- Phương trình dạng f x   g x  tương đương  

hoặc 2n f x 2n g x  tương đương  

   

0

x  thỏa mãn điều kiện

Vậy tập nghiệm của phương trình là 8

Nhưng rõ ràng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (2) Nguyên

nhân dẫn đến sai lầm này là phép biến đổi bình phương hai vế tạo ra phương trình mới không tương đương với phương trình (2) (vế trái của (2) là một biểu thức không âm, còn vế phải thì chưa phải biểu thức không âm tức là chỉ được bình phương hai vế của phương trình nếu hai vế cùng dấu)

- Hướng khắc phục sai lầm bình phương hai vế đưa về phương trình hệ quả

x thay vào phương trình (2) ta có

 Phát triển bài toán

- Phương trình dạng f x( ) g x( )tương đương với

2

( ) 0( ) ( )

 Nhận xét

- Sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình (3) là chuyển vế sau

đó đặt nhân tử chung đưa phương trình về dạng tích

 Lời giải Điều kiện xác định

320

x x x

( 1) ( 2) ( 3)

x x  x x  x xBình phương hai vế của phương trình trên và biến đổi ta được phương trình tương đương

- Một hướng giải khác cũng khắc phục được sai lầm đã nêu ở trên đó là tìm nghiệm dựa vào xét các trường hợp từ điều kiện xác định

Trường hợp 1 Nhận thấy x = 0 là một nghiệm của phương trình

Trường hợp 2 Với x  , giản ước hai vế của phương trình cho 2 x , ta được

Vậy phương trình (3) có tập nghiệm là 0; 28

6x28x2 4x2 12x

Phương trình có nghiệm x = 1 Thử lại x = 1 thỏa mãn phương trình (4)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1

 Phát triển bài toán

 Lời giải Điều kiện xác định x   1

Biến đổi phương trình (5) về dạng

Phương trình này có nghiệm x  1 3 và x  1 3

Thử lại: x 1 3, x 1 3 là nghiệm của phương trình (5)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1 3; 1 3

 Hướng phát triển bài toán

x x

Giải phương trình trên ta được x = 2 (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2

 Phát triển bài toán

- Đối với phương trình vô tỉ nhẩm được nghiệm x0 thì sử dụng phương pháp nhân liên hợp đưa phương trình về dạng

Khi đó, giải phương trình trên được x = 2

Vậy nghiệm của phương trình (7) là x = 2

 Nhận xét

- Nhận thấy x = 2 là nghiệm của phương trình (7), khi đó phương trình có thể

phân tích về dạngx2  f x 0 Để thực hiện được điều đó cần sử dụng thuật tách, nhóm biến đổi phương trình (7) thành phương trình mới tường minh hơn

12 4 3 6 5 3

Sau đó, giải phương trình trên tương tự phương trình (7)

- Chúng ta có thể mắc sai lầm khi không chú ý đánh giá giá trị của biểu thức

Do đó, định hướng việc nhân x   với biểu thức liên hợp của nó 1 1

- Tuy nhiên sai lầm dễ mắc phải khi nhân biểu thức liên hợp là x   mà 1 1không xét x    nên có thể giải thừa nghiệm của phương trình (8) 1 1 0

 Lời giải Điều kiện xác định x  1

+ Nếu x    thì x = 2, thế x = 2 vào phương trình (8) được 2.(-3) = 0 1 1 0

(vô lý) suy ra x = 2 không là nghiệm của phương trình (8)

+ Nếu x  thì phương trình (8) tương đương 2

Giải phương trình trên ta được x = 3 do x  2

Vậy nghiệm của phương trình là x = 3

Vậy tập nghiệm của phương trình là 0;8

do đó phương trình (9) có thể giải tương tự phương trình (8)

- Khi giải phương trình hệ quả cần thử lại nghiệm

 Phát triển bài toán

biểu thức liên hợp Nếu tồn tại x (giá trị của ẩn) để biểu thức ấy bằng 0 thì cần

thử lại giá trị đó vào phương trình, để tránh việc mất nghiệm hoặc thừa nghiệm của phương trình xuất phát, sau đó ta sẽ xét trường hợp khác 0

- Thường dự đoán nghiệm sau đó sử dụng lượng liên hợp phù hợp để làm xuất hiện nhân tử chung

- Cần để ý khi nhân liên hợp, đưa về phương trình tích hai nhân tử thì rất có thể nhân tử phức tạp sẽ vô nghiệm Do đó, trước khi giải phần phức tạp này cần kiểm tra xem nó có vô nghiệm không

2.1.3 Phương trình biến đổi về tích

7 12 3 6

x  x  x x  x (10)

 Lời giải Điều kiện xác định x   2

Phương trình (10) tương đương

x3x4 x3 2 x2  Hay

Giải hai phương trình trên ta được x = 2; x = 3 hoặc x = 7 (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2;3;7 

Và giải ra nghiệm là x = 3 hoặc x = 7, kết quả là thiếu nghiệm

- Nguyên nhân dẫn đến sai lầm trên là người học chưa hiểu rõ công thức khai căn

- Ngoài ra ta có thể giải bài toán trên như sau:

+ Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình

+ Với x > 3 chia cả hai vế cho x – 3 ta được phương trình

2 4

x x

Giải phương trình trên được x = 7

+ Với x < 3 chia cả hai vế của phương trình cho x – 3 ta được

2 4

x   x

Giải phương trình trên được x = 2

Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2;3;7 

Giải hệ trên tìm được u và v sau đó tìm được nghiệm của phương trình (11)

Tuy nhiên, giải hệ trên là phức tạp hơn nhiều

 Phát triển bài toán

- Phương trình có dạng

( ) ( ) 1 ( ) ( )

f x g x   f x g x , tương đương

f x( ) 1 g x( ) 1 0

Khi đó, dễ dàng giải phương trình trên

Ví dụ 3 Giải phương trình x 3 2x x 1 2x x24x3 (12)

 Lời giải Điều kiện xác định x   1

Phương trình (12) tương đương

  

x  x x  x x x Hay

 x 3 2x x 1 1 0Tương đương

Giải hai phương trình trên ta được x = 0 hoặc x = 1(thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  0;1

 Phát triển bài toán

Giải phương trình trên ta được 27 6 21

 Phát triển bài toán

- Khi gặp các bài toán có dạng giống đẳng thức f x( )k g x( )k cần biến đổi, thêm bớt, sử dụng các thuật toán nhằm đưa về hằng đẳng thức trên và giải

Giải phương trình trên được hai nghiệm là x 1và x 2 2

Cách 2 Phương pháp nâng lên lũy thừa Phương trình (14) viết thành

2

2x  1 x 3x 1Tương đương

2

2 2

 Nhận xét

- Đối với phương trình trên tuy nhẩm được nghiệm là x = 1 nhưng việc tách,

nhóm để biến đổi thành tích thi không dễ dàng Nếu không biết cách tách khéo léo thì gặp khó khăn khi giải phương trình trên bằng cách này

- Qua các cách giải trên nhận thấy phương pháp đặt ẩn phụ là tối ưu hơn cả Bài tập áp dụng

Bài 1 Giải các phương trình sau

1 x x( 1) x x( 2)  x2

2 x x 1 x x 2 2 x x 3 

3 x23x2 x2 4x3 x2 5x4