(SKKN mới NHẤT) giải pháp để giải nhanh các bài toán liên quan đến thể tích, tỉ số thể tích của khối chóp tứ giác có đáy là hình bình hành

Xây dựng công thức tính nhanh tỉ số thể tích đối với khối chóp tứ giáccó đáy là hình bình hành.... Việc nghiên cứu và phát hiện thêm các phương pháp giải nhanh, dễ hiểu đốivới bài toán l

MỤC LỤC

Trang 1 MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 1

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 1

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 2

2 NỘI DUNG SKKN 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 3

2.1.1 Thể tích khối chóp 3

2.1.2 Tỉ số thể tích đối với khối chóp tam giác 3

2.1.3 Tỉ số diện tích trong tam giác 3

2.2.THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN 3

2.3 GIẢI PHÁP 4

2.3.1 Xây dựng công thức tính nhanh tỉ số thể tích đối với khối chóp tứ giáccó đáy là hình bình hành 4

2.3.2 Các chú ý khi áp dụng 6

2.4 HIỆU QUẢ CỦA SKKN TRONG GIẢI TOÁN 6

2.4.1 Các ví dụ minh họa 6

2.4.2 Hiệu quả của SKKN 17

2.4.3 Một số bài tập tương tự 17

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 KẾT LUẬN 19

3.2 KIẾN NGHỊ 19

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 MỞ ĐẦU

1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình giáo dục phổ thông hiện hành, bộ môn HHKG cổ điểnthường gây ra cho học sinh rất nhiều khó khăn Đặc biệt là các bài toán về tínhthể tích, tỉ số thể tích của các khối đa diện

Thực tế, những năm gần đây, nội dung này xuất hiện thường xuyên ở các kỳthi, nhất là kỳ thi THPTQG và thường là ở mức độ VD - VDC Các câu hỏi vềthể tích, tỉ số thể tích của các khối đa diện dù ở hình thức nào (TNKQ, Tự luận)cũng đều gây ra rất nhiều khó khăn cho đa số học sinh

Việc nghiên cứu và phát hiện thêm các phương pháp giải nhanh, dễ hiểu đốivới bài toán liên quan đến thể tích, tỉ số thể tích các khối đa diện là rất cần thiết,nhất là đối với hình thức thi cử như hiện nay Qua đó, giúp học sinh THPT cóthêm phương pháp tiếp cận bài toán tính thể tích, tỉ số thể tích một cách tích cực,hứng thú, và dễ dàng hơn khi chuẩn bị bước vào các kỳ thi quan trọng; cũng nhưlàm phong phú thêm kho tàng các phương pháp giải toán sơ cấp

Mặt khác, trong các bài toán về tính thể tích, tỉ số thể tích của các khối đadiện thì bài toán về thể tích, tỉ số thể tích của khối chóp tứ giác có đáy là hìnhbình hành là bài toán xuất hiện nhiều nhất Để giải quyết dạng toán này, học sinhphải mất khá nhiều thời gian cho các kỹ năng vẽ hình, dựng chính xác thiết diện,xác định vị trí các giao điểm, phân chia khối chóp thành các khối chóp tam giác

để sử dụng tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác mới có thể tìm được lời giải vàđáp số Điều này dẫn đến tình trạng chán học, sợ học HHKG, ảnh hưởng đến kếtquả nhất là đối với hình thức thi trắc nghiệm như nhiện nay

Hơn thế nữa, nội dung kiến thức cơ bản và phương pháp giải loại toán nàyhầu như không có trong SGK toán phổ thông Các tài liệu tham khảo về vấn đềnày cũng rất hạn chế Rất nhiều đồng nghiệp tâm huyết cũng đã có những pháthiện, những phương pháp tính sáng tạo để giải quyết những khó khăn này Tuynhiên, hầu hết cũng chỉ dừng lại ở việc giải các bài toán cụ thể, chưa có bài viếthay chuyên đề nào cung cấp cho học sinh phương pháp giải nhanh loại toán này.1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Qua thực tế giảng dạy, tôi thấy việc sử dụng công thức tính nhanh tỉ số thểtích cho khối chóp có đáy là hình bình hành thực sự có nhiều ưu điểm và hiệuquả rõ rệt khi so với việc phải phân chia thành các khối chóp tam giác Kỹ năngnày không những làm cho đa số học sinh hứng thú, dễ hiểu mà còn nhanh chóngtính được thể tích, tỉ số thể tích, để từ đó tìm ra lời giải, đáp số bài toán Dù đây

là một nội dung nhỏ và kinh nghiệm bản thân còn hạn chế, nhưng tôi cũng mạnh

dạn coi đây là một đề tài SKKN của mình với tên gọi: “Giải pháp để giải nhanh các bài toán liên quan đến thể tích, tỉ số thể tích của khối chóp tứ giác có đáy

là hình bình hành ” Đề tài này đã được trình bày trước tổ chuyên môn và

được triển khai khi dạy các nhóm ôn thi THPTQG, các nhóm học sinh đại trà,cũng đã ít nhiều đem lại hiệu quả rõ nét

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu các bài toán liên quan đến thể tích, tỉ số thể tích của các khối đadiện sinh ra khi cắt khối chóp có đáy là hình bình hành bởi một mặt phẳngkhông đi qua đỉnh của khối chóp

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

- Dựa trên cơ sở lý thuyết đã được đề cập trong SGK: Đặc điểm của khối chóp

có đáy là hình bình hành, tỉ số diện tích trong tam giác, tỉ số thể tích trong khốichóp tam giác để xây dựng công thức tính nhanh

- Ngoài ra, tôi đã sử dụng các phương pháp sau để hoàn thành sáng kiến kinhnghiệm này:

+ Phương pháp điều tra, khảo sát trực triếp

+ Phương pháp thống kê, xử lí số liệu

+ Phương pháp nêu vấn đề

+ Phương pháp quy nạp và diễn dịch

2 NỘI DUNG

2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

2.1.1 Công thức tính thể tích khối chóp:

hình chiếu của S trên mặt đáy

Khi đó:

2.1.2 Tỉ số thể tích đối với khối chóp tam giác:

Cho hình chóp Trên các đoạn thẳng , , lần lượt lấy ba

Khi đó ta có:

2.1.3 Tỉ số diện tích của hai tam giác:

Cho Trên lần lượt lấycác điểm Khi đó:

2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN.

Bài toán về thể tích, tỉ số thể tích của khối chóp tứ giác có đáy là hình bình hành là bài toán ở mức VD – VDC trong các đề thi và thường phát biểu dưới dạng: Cho hình chóp tứ giác đều, hoặc hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi Một mặt phẳng không đi qua S thỏa mãn tính chất cho trước, cắt các cạnh lần lượt tại

Các yêu cầu thường gặp là:

- Tính toán các tỉ số , diện tích thiết diện .

việc khó khăn với đa số học sinh

+) Chia khối chóp S.ABCD thành các khối chóp tam giác để sử dụng tỉ số thểtích của khối chóp tam giác , sau đó lại ghép lại Điều này cũng sẽ rất khó khăn,nếu tư duy hình không gian không tốt dẫn đến việc chia khối chóp không chínhxác Một số học sinh khá giỏi làm được theo hướng này, nhưng mất rất nhiềuthời gian

2.3 GIẢI PHÁP.

Để giúp học sinh giải quyết các khó khăn trên, tôi xin đưa ra giải pháp sau:

2.3.1 Xây dựng công thức tính nhanh tỉ số thể tích đối với khối chóp tứ giác

có đáy là hình bình hành:

Cho hình chóp có đáy là hình bình hành Một mặt phẳngbất kỳ không đi qua S cắt các cạnh lần lượt tại

Khi đó ta luôn có:

Chứng minh:

a) Xét Gọi O là trung điểm AC,

Trước hết ta chứng minh:

và

Hoàn toàn tương tự, trong ta cũng có ,nên từ đó ta có:

b) Tiếp theo xét khối chóp ta có:

Tương tự xét khối chóp ta có

Vậy các công thức (*) được chứng minh

+) Ưu điểm của công thức thứ nhất của công thức (*) là giúp các em học sinhtìm nhanh được tỉ số một đoạn thẳng khi biết 3 tỉ số còn lại Từ đó xác địnhđược vị trí các điểm, cũng như dựng nhanh được thiết diện

+) Với công thức thứ hai, ưu điểm lớn nhất chính là giúp các e tính nhanh tỉ sốthể tích, và cả thể tích của khối chóp tứ giác mà không phải phân chia thành cáckhối chóp tam giác như trước đây.

2.3.2 Các chú ý khi áp dụng.

- Khi gặp các bài toán dạng nêu trên, lập tức các em học sinh thiết lập ngay các

tỉ số , sử dụng giả thiết và công thức thứ nhất của công thức(*) để tính tỉ số chưa biết, hoặc mối liên hệ giữa các tỉ số đó

- Sử dụng công thức thứ hai để lập ngay tỉ số thể tích các khối chóp tứ giác màkhông cần phân chia thành các khối chóp tam giác

- Lưu ý công thức (*) đúng với khối chóp tứ giác có đáy là hình bình hành nêncũng đúng với khối chóp tứ giác đều, khối chóp có đáy là hình chữ nhật, hìnhvuông, hình thoi và cả kể cả trường hợp các điểm nằm ngoài các

2.4 HIỆU QUẢ.

Để thấy được ưu điểm của công thức (*) và sự hiệu quả trong việc giải toánliên quan đến thể tích, tỉ số thể tích của khối chóp tứ giác có đáy là hình bìnhhành, tôi xin được lấy một số ví dụ chọn lọc minh họa sau đây

2.4.1 Các ví dụ minh họa:

Bài 1 (Đề KSCL lần 3 - THPT Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An - 2017):

Cho hình chóp có đáy là hình bình hành và có thể tích là V.Gọi M là trung điểm SB, P là điểm thuộc cạnh SD sao cho SP = 2DP Mặtphẳng cắt cạnh SC tại N Tính thể tích khối đa diện theo V

A B

C D

Giải:

Phân tích: Khó khăn của bài toán chính là việc xác định điểm N.

a) Lời giải khi chưa có công thức tính nhanh (*):

Ta có :

Suy ra:

Khi đó:

Chọn đáp án A.

b) Lời giải theo phương pháp sử dụng công thức tính nhanh (*):

Gọi N là giao điểm của với SC

Ta có:

Chọn đáp án A.

Nhận xét: Ưu điểm lớn nhất của lời giải thứ 2 là việc xác định vị trí điểm N cực

kỳ nhanh và chính xác ( tức là tính tỉ số ) Dẫn đến việc tìm

ra đáp số bài toán rất nhanh

Bài 2 (Đề KSCL lần 1 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn Bà Rịa Vũng Tàu 2020):

Cho khối chóp có thể tích , đáy là hình bình hành Gọi

M là trung điểm các cạnh SB, N là điểm trên cạnh SD Mặt phẳng ( AMN) cắtcạnh SC tại điểm P sao cho thể tích khối chóp bằng Tỉ số bằng:

A B C D

Giải:

Phân tích: Khó khăn của bài toán chính là có tới hai điểm N, P thay đổi.

a) Lời giải khi chưa có công thức tính nhanh (*):

Nhận xét: Cũng như bài 1, khó khăn lớn nhất của bài 2 chính là các tỉ số đoạn

thẳng chưa biết ( có tới 2 tỉ số chưa biết ) Lời giải không sử dụng côngthức (*) đã cho ta thấy được sự khó khăn, phức tạp của việc tìm biểu thức liên

hệ giữa các tỉ số đoạn thẳng Ngược lại với việc sử dụng công thức (*), chúng tathấy được ưu điểm vượt trội của lời giải Ở các ví dụ sau, tôi xin phép chỉ trìnhbày cách giải bằng cách sử dụng công thức (*) để thấy rõ hơn nữa ưu điểm củacông thức này

Bài 3 (Đề thi thử THPTQG 2020 - THPT Nguyễn Trãi - Thái Bình):

Cho hình chóp có đáy là hình vuông, mặt bên là mộttam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và có diện tíchbằng (đvdt) Một mặt phẳng qua trọng tâm và song song với mặtđáy chia khối chóp thành hai phần Tính thể tích V của phầnchứa điểm S:

Nhận xét: Sử dụng công thức tính nhanh để có hệ thức (a) liên hệ giữa V cần

tính với là cách tốt nhất để đi đến đáp số Nếu sử dụng cách truyền thốngthì ta phải phân chia khối thành hai khối chóp tam giác và sử dụng rấtnhiều tỉ số thể tích Các ví dụ sau tiếp tục làm rõ điều đó

Bài 4 (Đề KSCL Toán 12 của Sở GD&ĐT Đà Nẵng - 2017):

Cho khối chóp tứ giác đều Gọi M là trung điểm SC, mặt phẳng chứa AM và song song với BD chia khối chóp thành hai khối đa diện Đặt

là thể tích khối đa diện có chứa đỉnh S và là thể tích khối đa diện có chứađáy ABCD Tính tỉ số :

Đặt

Ta có

và

Do đó:

Chọn đáp án B.

Bài 7 (Đề KSCL Toán 12 của Sở GD&ĐT Bắc Giang -2020):

Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh bằng 2

và tam giác SBD vuông cân tại S Gọi E là trung điểm SC.Mặt phẳng qua AE cắt hai cạnh SB, SD lần lượt tại M, N Thể tích lớn nhất của khối đa diện bằng:

Bài 8 (Đề thi KSCL Toán 12 lần 2 - Chuyên Lào Cai - 2017):

Một viên đá có hình dạng là khối chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh bằngnhau và bằng a Người ta cắt khối đá đó bởi mặt phẳng song song với đáy củakhối chóp để chia khối đá thành hai phần có thể tích bằng nhau Tính diện tíchcủa thiết diện khối đá bị cắt bởi mặt phẳng nói trên (Giả thiết rằng tổng thể tíchcủa hai khối đá sau vẫn bằng thể tích của khối đá ban đầu)

Chọn đáp án B.

Bài 10 (Đề KSCL Toán 12 lần 2 - THPT Lê Lai – Thanh Hóa - 2020):

Cho khối chóp tứ giác đều có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.Mặt bên tạo với đáy một góc Mặt phẳng chứa AB và tạo với đáy mộtgóc cắt SC, SD lần lượt tại M, N Tính thể tích V của khối chóp

theo a:

A B C D

Giải:

Gọi O là tâm ABCD I, F lần lượt là trung điểm AB, CD E là giao điểm của

MN với SF Ta có: hay IE là phân giác

Suy ra E là trung điềm SF

Do đó M, N lần lượt là trung điểm SC, SD

Ta có:

Khi đó

Chọn đáp án C.

Bài 11 (Đề thi thử THPTQG -THPT Kim Thành – Hải Dương - 2020):

Cho hình chóp có đáy là hình bình hành Gọi K là trungđiểm SC Mặt phẳng chứa AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, N Gọi

lần lượt là thể tích khối chóp và khối chóp Giá trị nhỏ nhấtcủa tỉ số :

A

B

C

D

Giải:

Giả sử Ta có :

Khi đó:

Khi đó giá trị nhỏ nhất của là Chọn đáp án C.

Bài 12 (Đề KSCL -THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển– Cà Mau - 2020):

Cho khối chóp tứ giác đều có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a.Mặt bên tạo với đáy một góc Gọi G là trọng tâm tam giác SAC Mặt phẳngchứa AB và đi qua G cắt SC, SD lần lượt tại M, N Tính thể tích V của khối

Bài 13 (Đề thi thử THPTQG 2020- Lần 1 -THPT Nghi Sơn–Thanh Hóa):

Cho hình chóp có đáy là hình bình hành Gọi M, N lầnlượt là trung điểm SA, SD Mặt phẳng chứa MN cắt các cạnh SB, SC lầnlượt

tại Q, P Đặt , lần lượt là thể tích khối chóp và khối chóp

Tìm x để

Do V không đổi nên lớn nhất , đạt giá trị lớn nhất Ta có:

, ( do t > 1) Bảng biến thiên:

t 1

+ 0 -

0 0

Vậy lớn nhất khi Chọn đáp án D Bài 15 (Đề KSCL Toán 12 lần 1 -THPT Yên Lạc 2 – Vĩnh Phúc - 2020): Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành Các điểm thỏa mãn Mặt phẳng chứa đường thẳng cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại và đặt Giá trị nhỏ nhất của k là: A B C D

Giải:

Ta có:

Do đó:

lớn nhất

Chọn đáp án C.

Nhận xét: Qua một số ví dụ trên, rõ ràng chúng ta thấy được ưu điểm nổi bật

của phương pháp sử dụng công thức tính nhanh tỉ số thể tích đối với khối

kiến thức cơ bản và dễ nhớ, thì ưu điểm lớn nhất mà phương pháp đem lại làgiúp các em học sinh hứng thú hơn, học tập một cách tích cực hơn Trong các ví

dụ trên, khi tiến hành khảo sát trên rất nhiều đối tượng học sinh và yêu cầu các

em giải bằng phương pháp phân chia khối chóp, cũng như các phương phápkhác thì hầu hết các em đều rất khó khăn trong việc dựng thiết diện, cũng nhưthiết lập tỉ số thể tích theo yêu cầu, chỉ một vài em khá, giỏi là thành công Tuynhiên, khi tôi hướng dẫn các em giải theo hướng này thì kết quả thu được rất tốt.Các em không những nhanh chóng tìm ra vị trí các điểm mà thiết diện cắt cáccạnh hình chóp, rất nhanh có được tỉ số thể tích cần tính mà còn rất hứng thúvới tiết học

2.4.2 Hiệu quả của SKKN:

Tôi đã tiến hành giảng dạy thử nghiệm đề tài này cho 2 nhóm học sinh lớp 12

có học lực tương đối tương đương nhau để đối chứng tính hiệu quả của đề tài,trong khoảng thời gian 9 tiết học (từ ngày 30/05/2020 – 20/06/2020) Sau khicác em học xong, tôi tiến hành kiểm tra đánh giá

Nhóm 1: Giảng dạy theo phương pháp không sử dụng công thức (*): Dựng thiếtdiện, phân chia khối chóp

Nhóm 2: Giảng dạy theo phương pháp sử dụng công thức (*) tính nhanh tỉ số thể tích.

Kết quả thu được như sau:

Nhóm Số

lượnghọcsinh

2.4.3 Một số bài tập tương tự:

Bài 1 (Đề thi thử THPTQG 2020-lần 1-THPT Lương Thế Vinh- Hà Nội):

Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a Cạnh bên

và vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi lần lượt là trung điểm Mặt phẳng cắt tại Tính thể tích khối đa diện

A B C D

(Đáp án: A)

Bài 2 (Đề KSCL Toán 12 của Sở GD&ĐT Bình Thuận - 2017):

Cho khối chóp có đáy là hình bình hành và có thể tích là Gọi là trung điểm cạnh , là điểm nằm trên cạnh sao cho

Mặt phẳng di động đi qua các điểm và cắt các cạnh

lần lượt tại hai điểm phân biệt Tính giá trị lớn nhất của thể tíchkhối chóp theo

Bài 4 (Đề KSCLToán 12 lần 3-THPT Ngô Sĩ Liên- Bắc Giang-2017):

Cho khối chóp có đáy là hình bình hành và có thể tích là

18 Gọi là điểm thuộc cạnh sao cho Mặt phẳng cắt tại Tính thể tích khối chóp

A B C D

(Đáp án: D)

Bài 5 (Đề thi thử THPTQG 2019-Sở GD&ĐT Bình Thuận):

Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a Cạnh bên

và vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi lần lượt là hình chiếucủa A trên Mặt phẳng cắt tại Thể tích khối chóp

là:

A B C D

(Đáp án: D)

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ