(SKKN mới NHẤT) giúp học sinh lớp 12 hình thành kĩ năng giải bài toán cực trị hình học không gian liên quan đến khối chóp và lăng trụ

Rõ ràng chúng ta đều thấy rằng đây là lớp các bài toán mà học sinh khóđịnh hướng về lời giải, do nó tương đối lạ lẫm với học sinh, cùng với đó là tâmlý e ngại khi gặp yêu cầu có yếu tố l

MỤC LỤC

Trang

1 Mở đầu……… 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

2 Nội dung 1

2.1 Cơ sở lý luận 1

2.2 Thực trạng trước khi áp dụng đề tài 2

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm áp dụng để giải quyết vấn đề ……… 2

2.3.1 Phương pháp sử dụng tính chất hình học……… ………… 2

2.3.2 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức cơ bản……… ……… 6

2.3.3 Phương pháp sử dụng kĩ thuật đặt biến để đưa về xét cực trị hàm số ….12

2.3.4 Phương pháp sử dụng kĩ thuật trải hình……… .17

2.4 Hiệu quả áp dụng của sáng kiến kinh nghiệm………… .19

3 Kết luận, kiến nghị 20

Kết luận 20

Kiến nghị……… ……… … 20

Tài liệu tham khảo 21

0

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Rõ ràng chúng ta đều thấy rằng đây là lớp các bài toán mà học sinh khóđịnh hướng về lời giải, do nó tương đối lạ lẫm với học sinh, cùng với đó là tâm

lý e ngại khi gặp yêu cầu có yếu tố lớn nhất, nhỏ nhất (do quan niệm nhất quánrằng, câu hỏi về bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là câu hỏi khó nhấttrong nhiều kỳ thi như học sinh giỏi các cấp, thi THPT quốc gia hay thi ĐH, CĐtrước đây) Để giải được lớp các bài toán này, chúng ta cần một kiến thức tươngđối tổng hợp về véc tơ, về hình học đơn thuần, về bất đẳng thức, về hàm số…

Với những lý do trên, nhằm giúp học sinh hứng thú hơn với môn Toán vàđặc biệt là hình học, góp phần hình thành tư duy quy lạ về quen, vận dụng linhhoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên

cứu tìm tòi và sáng tạo, tôi trình bày chuyên đề “ Giúp học sinh lớp 12 hình thành kĩ năng giải bài toán cực trị hình học không gian liên quan đến khối chóp và lăng trụ”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh lớp 12 hình thành kĩ năng giải bài toán cực trị hình họckhông gian liên quan đến khối chóp và lăng trụ

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này xoay quanh các dạngtoán cực trị hình học không gian như: tìm hoặc xác định các yếu tố của khốichóp, lăng trụ để thể tích lớn nhất, nhỏ nhất; chu vi một đa giác lớn nhất, nhỏnhất

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, tôi sử dụng các phương pháp sauđây:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp khảo sát thực tiễn

- Phương pháp phân tích

- Phương pháp tổng hợp

- Phương pháp khái quát hóa

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

2.NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận

Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả tri thức về phươngpháp, khả năng tư duy, khả năng quy lạ về quen, đưa những vấn đề phức tạp trởthành những vấn đề tương đối nhẹ nhàng nhờ việc hiểu rõ cốt lõi của dạng toán

Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt học sinh có được những kiến thức nângcao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay kiến thức nâng cao).

Chuyên đề này, đa phần các ví dụ minh họa được trình bày dưới hai cáchlàm là phương pháp sử dụng các bất đẳng thức cơ bản và phương pháp hàm số.Chuyên đề cố gắng khắc phục điểm yếu về kĩ năng sử dụng bất đẳng thức Cô-sicho học sinh

2.2.Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

- Giáo viên mất nhiếu thời gian để chuẩn bị kiến thức, bài tập minh họa.

- Nhiều học sinh đã quên kiến thức cơ bản trong hình học không gian,

không biết vận dụng các kiến thức về véc tơ, bất đẳng thức, hàm số

- Đa số học sinh e ngại khi làm quen với các bài toán có yêu cầu về giá trị

Khi đó

Dấu xảy ra khi đôi một vuông góc với nhau

lần lượt là trọng tâm các tam giác , , Tính thể tích của tứdiện khi thể tích tứ diện đạt giá trị lớn nhất

A B C D [1]

2

C

B S

A

H

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Ta có tam giác và là những tam giác đều cạnh bằng

Gọi là trung điểm Trong tam giác , kẻ

● là đường cao của tam giác đều

Cách làm tương tự như bài trên

Tam giác đều cạnh bằng

lớn nhất Khi đó vuông

Trong tam giác vuông cân , có

Chọn A

N H

C

B A

S x

N H

C

D B

A x

Ví dụ 5 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , cạnhbên và Điểm thay đổi trên cạnh , là hìnhchiếu vuông góc của trên Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp

theo

A B C D [2]

Giải Cách 1.

đường tròn đường kính AB.

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh

Nhận xét: ràng buộc với nhau bởi một đại lượng không đổi là nên

ta có cách giải khác bằng kiến thức bất đẳng thức Cô-si như sau:

H trùng với tâm đáy hay M trùng với D.

Ví dụ 6 Cho hình chóp đều có đáy là tam giác đều cạnh , cạnh bênbằng và O là tâm của đáy Mặt phẳng thay đổi chứa SO và cắt các đoạn thẳng AB,AC lần lượt tại các điểm M, N( M,N khác A) Điểm thay đổitrên cạnh , là hình chiếu vuông góc của trên Khi góc tạo bởi

đường thẳng SA và mặt phẳng (P) có số đo lớn nhất, hãy tính

A B C D [4]

Giải.

 H là hình chiếu của A trên mặt phẳng SMN

 Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng

4TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Nhận xét: Nếu chỉ là nhận biết nhanh kết quả trong một câu hỏi trắc nghiệm,

giáo viên cũng nên chỉ cho học sinh thấy, MN qua O và cần có một vị trí đặc biệt thì chỉ có trường hợp MN song song với BC Từ đó dẫn tới được kết quả.

Ví dụ 7 Cho tam giác ABC đều cạnh a Một điểm M thay đổi trên đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng (ABC ) tại A ( M khác A ) Gọi H , O lần lượt là trực tâm tam giác MBC và ABC Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OHBC bằng:

khối tứ diện OHBC lớn nhất khi lớn nhất

Do H chạy trên đường tròn đường kính OD nên lớn nhất

Khi đó

Chọn B.

2.3.2 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức cơ bản

Trong phương pháp này, học sinh cần được rèn luyện kĩ năng sử dụng và biết cách chọn “điểm rơi” trong khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

Ví dụ 1 Trên ba tia vuông góc với nhau từng đôi, lần lượt lấy các

thay đổi nhưng luôn luôn thỏa Tính thể tích lớn nhất củakhối tứ diện

Ví dụ 2 Cho hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo

Gọi là diện tích toàn phần của hình hộp đã cho Tìm giá trị lớnnhất của

Giải

Gọi là ba kích thước của hình hộp chữ nhật

Theo giả thiết ta có

Nhận xét Nếu sử dụng thì sai vì dấu không xảy ra

Ví dụ 4 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , cạnhbên và vuông góc với mặt đáy Trên cạnh lấyđiểm và đặt Tính thể tích lớn nhất của khối chóp

Nhận xét: Khi dùng BĐT Cô-si đánh giá theo chiều tích sang tổng thì cần thêm

bớt hệ số để vế bên tổng triệt tiêu biến x.

Chọn B.

Ví dụ 5 Cho tứ diện có đôi một vuông góc với nhau,

Tính thể tích lớn nhất khối tứ diện đã cho

Giải

a a x

y

M

B A

S

Đặt Ta có

Khi đó

Ví dụ 6 Cho tam giác vuông cân tại , Trên đường thẳng qua vuông góc với mặt phẳng lấy các điểm khác phía so với mặtphẳng sao cho Tính thể tích nhỏ nhất của khối tứ diện

Giải

Tam giác vuông có

Diện tích tam giác vuông

Ta có

Dấu xảy ra khi và chỉ khi Chọn D.

Ví dụ 7 Cho hình chóp có đáy hình vuông cạnh , và

Trên lần lượt lấy hai điểm sao cho Tính thể tích lớn nhất của khối chóp biết

B M

N

8

c b

a

z

y x

A

B

C D

M

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Dấu xảy ra

Chọn B.

Ví dụ 8 Cho hình hộp chữ nhật có đáy là một hìnhvuông Biết tổng diện tích tất cả các mặt của khối hộp bằng Tính thể tích lớnnhất của khối hộp chữ nhật đã cho

Giải

Gọi là độ dài cạnh hình vuông đáy, là chiều cao của khối hộp với

Cách 1 Theo giả thiết ta có

Ví dụ 9 Cho hình lăng trụ đứng có thể tích và có đáy là tam giác đều Khi

diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì độ dài cạnh đáy bằng baonhiêu?

A B C D. [2]

Giải

Gọi là chiều cao lăng trụ; là độ dài cạnh đáy

Diện tích toàn phần của lăng trụ:

Áp dụng BĐT Côsi, ta có

Ví dụ 11 Cho tam giác đều cạnh Trên đường thẳng qua vàvuông góc với mặt phẳng lấy điểm sao cho Gọi lầnlượt là hình chiếu vuông góc của trên và Gọi là giao điểm của

C' D'

10TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

2.3.3 Phương pháp sử dụng kĩ thuật đặt biến để đưa về xét cực trị hàm số

Phương pháp này đòi hỏi học sinh phải biết cách xác định đại lượng còn

thiếu, đặt biến và đưa yêu cầu của bài toán về xét cực trị hàm số( nhiều bài có thể giải bằng cách sử dụng BĐT, thường là BĐT Cô-si)

F E

N

M

B

A O

Một vài nguyên tắc đặt biến thường gặp như: Nếu tam giác vuông biết độ dài một cạnh thì đặt biến là độ dài một trong hai cạnh còn lại.Nếu tứ giác là hình chữ nhật, vuông, thoi…biết một cạnh thì đặt biến là độ dài cạnh kề với nó…

Ví dụ 1 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại cạnhbên vuông góc với mặt phẳng đáy Biết tính thể tích lớnnhất của khối chóp đã cho

Giải Cách1 Đặt

Diện tích tam giác

Khi đó

Cách 2 (Dùng BĐT Cô-si)

Nhận xét: Do là tam giác vuông cân tại nên việc đặt

là gọn gàng nhất cho việc tính toán so với đặt

Ví dụ 2 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại Cạnh bên và vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích lớnnhất của khối chóp đã cho

S

12

1

x x

trị lớn nhất của Tuy nhiên, dùng BDT Cô-si đơn giản hơn.

Ví dụ 3 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và

Các cạnh bên Tính thể tích lớn nhất của khốichóp đã cho

Giải

Gọi là trung điểm của Suy ra là tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác Theo giả thiết, ta có suy ra là hìnhchiếu của trên mặt phẳng

Đặt

Tam giác vuông có

Diện tích tam giác vuông

Chọn A.

Ví dụ 4 Cho hình chóp có đáy là tam giác đều và có

Tính thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho

A S

S

A

B

C M O

Cách 2 (BĐT Cô-si cho 3 số ,thêm bớt để triệt tiêu x ở vế tổng)

Ví dụ 5 Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với ,cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy và Tính thể tíchlớn nhất của khối chóp đã cho

Ví dụ 6 Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm , cạnh bằng

vuông góc với mặt phẳng đáy và Tính thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho

Giải

Tam giác vuông có

Suy ra .Diện tích hình thoi

Tam giác vuông có

O

1

D C

Xét hàm trên , ta được Suy ra

Chọn D.

Cách 2 Áp dụng BDT Côsi, ta có

Nhận xét: Có thể đặt ta cũng có lời giải tương tự.

Ví dụ 7 Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, Các cạnh bên bằng nhau và bằng Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp đãcho

Giải

đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, do đó tứ giác là

Tam giác vuông có

Khi đó

Ví dụ 8 Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với

và mặt bên là tam giác cân tại và nằm trong mặtphẳng vuông góc với đáy Tính thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho

S

4

x

Ví dụ 10 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại

Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên và Tính thể tích lớn nhất của khối chóp

H

H

D S

C

16TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Đặt

Tam giác cân tại , có đường cao suy ra là

trung điểm của nên

Tam giác vuông có

Ta có

Xét hàm trên , ta được

Chọn A.

2.3.4 Phương pháp sử dụng kĩ thuật trải hình

Khi giải một bài toán về hình chóp mà các dữ kiện của nó liên quan đến tổng các cạnh, hoặc tổng các góc phẳng …thì việc phẳng hoá hình chóp (tức là trải phẳng tứ diện đó lên một mặt phẳng) sao cho phù hợp sẽ cho ta một lời giải gọn gàng và dễ hiểu.

Ví dụ 1 Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều

cạnh bên bằng , góc bằng đường gấp khúc dây đèn led vòngquanh kim tự tháp .Trong đó điểm cố định và

Ta sử dụng phương pháp trải đa diện

Cắt hình chóp theo cạnh bên SA rồi trải ra mặt phẳng hai lần, ta có hình vẽ sau

K

H S

B

Từ đó suy ra chiều dài dây đèn led ngắn nhất là bằng Từ giả thiết về

Vậy, chiều dài dây đèn led cần ít nhất là mét Chọn C.

Ví dụ 2 Cho hình chóp tam giác có đáy vuông tại ,

là các điểm lần lượt di động trên các cạnh và Tìm giá trị nhỏ nhất củachu vi tam giác

A B C D [8]

Giải

Trên tia và tia lần lượt lấy các

Gọi là đỉnh thứ 4 của hình bình hành

Khi đó là hình vuôngcạnh bằng

(c.c.c)

Như vậy mặt xung quanh của hình chóp đã

được trải ra trên mặt phẳng chứa đáy.

EMBED PBrush

Khi đó chu vi tam giác bằng độ dài đường gấp khúc

hàng

Vậy chu vi tam giác nhỏ nhất bằng Chọn B.

Ví dụ 3 Cho hình chóp đều có ; Lấy lần lượtthuộc cạnh Tính giá trị nhỏ nhất đó của chu vi

18TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

A B C D [9].

Giải

Trải tứ diện xuống mặt phẳng như sau:

Khi đó, với các điểm: ;

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Đề tài này bản thân tôi áp dụng trọng việc dạy và luyện cho học sinh ônthi THPT quốc gia và học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh Đa số học sinh có hứngthú, vận dụng tốt và phần nào tự tin khi gặp dạng toán này

Kết quả cụ thể ở các lớp khối 12, sau khi áp dụng sáng kiến kinhnghiệm này vào giảng dạy được thể hiện qua bài kiểm tra nhưsau :

Sốlượng Tỷ lệ

Như vậy tôi thấy sáng kiến kinh nghiệm trên có hiệu quả Mặc dù cố gắngtìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót Tôi rất mong được sựquan tâm, nghiệp bổ sung và góp ý của tất cả các đồng nghiệp Tôi xin chân

Kiến nghị

Nhằm giúp học sinh học tốt hơn về hình học không gian, đặc biệt là các

bài toán có yếu tố lớn nhất nhỏ nhất, bản thân tôi có kiến nghị:

- Trong phân phối chương trình môn Toán lớp 12, các cấp có thẩm quyềnnên tăng cường thêm số tiết cho hình học không gian

- Đối với học sinh lớp 12, giáo viên nên dành một số tiết tự chọn để ôntập lại cho các em về hình học tổng hợp, rèn luyện thêm kĩ năng vận dụng bấtđẳng thức cơ bản vào giải toán, thành thạo việc sử dụng bất đẳng thức Cô-sitrong các bài toán cực trị đại số cũng như hình học Giáo viên cần chuẩn bị các

mô hình thực tế để học sinh dễ quan sát và cũng nên ứng dụng công nghệ thôngtin vào các tiết giảng về nội dung này

-Vì thời gian trong phân phối chương trình không thể đáp ứng được việctruyền thụ nội dung các phương pháp giải nên cần tổ chức phụ đạo cho học sinhvào những buổi ngoài thời khoá biểu

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày tháng năm 2020

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình, không sao chép nội dung củangười khác

20TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đề thi thử lần 3 năm học 2017-2018, THPT Hậu Lộc 2 Thanh Hóa

[2] Huỳnh Đức Khánh (chủ biên) , Trắc nghiệm 12 Tuyển chọn luyện thi THPT

Quốc gia, NXB Đồng Nai năm 2019.

[3] Đề thi THPT Quốc gia năm 2017

[4] Facebook Diễn đàn giáo viên toán, tác giả: Nguyễn Thị Vân.

[5] Facebook Diễn đàn giáo viên toán, tác giả: Đồng Anh Tú.

[6] Đề thi thử THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh Lần 1 năm học 2018-2019.

[7] Facebook Diễn đàn giáo viên toán, tác giả: Nguyễn Văn Oánh.

[8] Facebook Diễn đàn giáo viên toán, tác giả: Lê Thanh Bình

[9] Trang web:http://www.violet.vn, tác giả Trần Thị Hiền, THPT Chuyên Hạ

Long