(SKKN mới NHẤT) một số giải pháp giải bài toán tọa độ trung điểm đoạn thẳng nối hai tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ 1 điểm đến đường tròn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT LANG CHÁNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỌA ĐỘ TRUNG ĐIỂM ĐOẠN THẲNG NỐI HAI TIẾP ĐIỂM CỦA CÁC TIẾP TUYẾN KẺ TỪ MỘT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỌA ĐỘ TRUNG ĐIỂM ĐOẠN THẲNG NỐI HAI TIẾP ĐIỂM CỦA CÁC TIẾP TUYẾN KẺ

TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG TRÒN

Người thực hiện: Nguyễn Công Hiến Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

THANH HÓA NĂM 2020

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lí do chọn đề tài: 1

1.2 Mục đích nghiên cứu: 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu: 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu: 2

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm: 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm: 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: 3

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề: 5

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm: 8

3.1 Kết luận 12

3.2 Kiến nghị 12

TÀI LIỆU THAM KHẢO 13

CÁC TỪ VIẾT TẮT

KL - Kết luận

PT - Phương trình

THCS - Trung học cơ sở

THPT - Trung học phổ thông

VTPT - Véc tơ pháp tuyến

VTCP - Véc tơ chỉ phương

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài:

Sự phát triển của xã hội và đổi mới đất nước đang đòi hỏi cấp bách phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo Nền kinh tế nước ta đang chuyển từ cơ chế kế hoạch hoá tập trung sang cơ chế thị trường có sự quản lí của nhà nước Công cuộc đổi mới này đề ra những những yêu cầu mới đối với hệ thống giáo dục, những yêu cầu đó được phản ánh trong Nghị quyết Hội nghị lần thứ hai Ban Chấp hành Trung ương Đảng (khoá VIII) về định hướng chiến lược phát triển giáo dục - đào tạo trong thời kỳ công nghiệp hoá, hiện đại hoá và nhiệm vụ đến năm 2000 như sau:

Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là nhằm xây dựng những con người và thế hệ thiết tha gắn bó với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, có đạo đức trong sáng, có ý chí kiên cường xây dựng và bảo vệ tổ quốc; công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước; giữ gìn và phát huy các giá trị vǎn hoá của dân tộc, có nǎng lực tiếp thu tinh hoa vǎn hoá nhân loại; phát huy tiềm nǎng của dân tộc và con người Việt Nam, có ý thức cộng đồng và phát huy tính tích cực của cá nhân, làm chủ tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có tư duy sáng tạo, có kỹ nǎng thực hành giỏi, có tác phong công nghiệp, có tính tổ chức

kỷ luật; có sức khoẻ, là những người thừa kế xây dựng chủ nghĩa xã hội vừa

"hồng" vừa "chuyên" như lời dặn của Bác Hồ [1]

Trong nhà trường, với vị trí đặc biệt của môn Toán, nhiệm vụ của giáo viên dạy bộ môn toán là:

+ Truyền thụ tri thức, kĩ năng toán học cho học sinh

+ Phát triển trí tuệ chung cho học sinh

+ Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và thẩm mĩ cho học sinh, bảo đảm chất lượng phổ cập đồng thời chú trọng phát triển và bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về toán

Trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông, đường thẳng và đường tròn chiếm một vị trí quan trọng; kiến thức về đường thẳng và đường tròn xuyên

suốt chương trình từ THCS đến THPT Bài toán “Tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng nối hai tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ một điểm cho trước nằm ngoài đường tròn đến đường tròn” thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi và đề thi

tốt nghiệp THPT (các năm trước gọi là kỳ thi THPT Quốc gia) ở mức độ vận dụng hoặc vận dụng cao Rất nhiều học sinh đã bỏ bài toán này vì lựa chọn phương pháp giải không phù hợp dẫn đến mất thời gian và không đi đến kết quả đúng

Với lí do trên và những kinh nghiệm học hỏi được từ các đồng nghiệp cùng

với điều kiện chủ quan của bản thân đã giúp tôi chọn đề tài: “Một số giải pháp giải bài toán tọa độ trung điểm đoạn thẳng nối hai tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ một điểm cho trước đến đường tròn”.

1.2 Mục đích nghiên cứu:

+ Nêu phương pháp giải quyết bài toán trên một cách nhanh, chính xác nhất

+ Hỗ trợ giáo viên trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi

+ Định hướng giải quyết bài toán mở rộng trong không gian hỗ trợ giáo viên và học sinh ôn tập thi tốt nghiệp THPT

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Phương pháp giải bài toán tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng nối các tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm cho trước đến đường tròn

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau: + Phương pháp lý thuyết: nghiên cứu các tài liệu có liên quan xây dựng cơ

sở lý thuyết

+ Phương pháp điều tra khảo sát thực tế: Rút ra từ quá trình giảng dạy trong ba năm học 2017-2018; 2018-2019, 2019-2020

+ Phương pháp so sánh

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:

+ Ứng dụng trong việc giải bài toán "Viết phương trình đường thẳng nối hai tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ một điểm cố định (nằm ngoài đường tròn) đến đường tròn"

+ Ứng dụng trong việc giải bài toán "Viết phương trình mặt phẳng chứa các tiếp điểm của các tiếp diện đi qua một điểm cố định (nằm ngoài mặt cầu) với mặt cầu"

+ Ứng dụng trong việc giải bài toán "Viết phương trình mặt phẳng chứa các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ một điểm cố định (nằm ngoài mặt cầu) đến mặt cầu"

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:

c' b'

a

h

C B

A

M0(x0;y0)

n= A;B ( )

x

y

O

T

R

I

b

a

- Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

- Phương trình tổng quát củađường thẳng đi qua điểm và có VTPT

- Phương trình đường tròn dạng: (với điều kiện

- Phương trình đường tròn tâm , bán kính : [2]

- Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tâm , bán kính

[3]

- Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tâm , bán kính tại điểm thì và [3]

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

* Bài toán tổng quát: Cho đường tròn có tâm , bán kính và điểm

nằm phía ngoài đường tròn Từ điểm kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn ; gọi là các tiếp điểm Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

T1

H

Khi gặp bài toán này, hầu hết học sinh đều nghĩ ngay đến việc đi tìm tọa

độ các tiếp điểm sau đó suy ra tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

Để tìm được tọa độ các tiếp điểm học sinh phải xác định được phương trình các tiếp tuyến hoặc phải viết được phương trình đường tròn tâm và có bán kính sau đó giải hệ phương trình mới có được tọa độ

Kết quả khảo sát thực trạng tư duy nhóm học sinh khi gặp bài toán cụ thể như sau:

Bài toán cụ thể: “Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho đường tròn

có phương trình Từ điểm kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn ; gọi là các tiếp điểm Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng ”

Năm học Tổng số HS tham

gia khảo sát

Tư duy giải quyết bài toán Tìm các tiếp

điểm

Hướng giải quyết khác (Viết PT đường thẳng )

Với cách giải quyết này rất mất thời gian và dễ nhầm lẫn trong quá trình giải Trong khi đó thời gian làm bài thi có hạn nên học sinh khi gặp bế tắc hoặc

gặp phải con số “không đẹp” thì thường sẽ bỏ qua bài toán này.

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

* Bài toán tổng quát: Cho đường tròn có tâm , bán kính và điểm

nằm phía ngoài đường tròn Từ điểm kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn ; gọi là các tiếp điểm Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

T2

T1

H

Trước hết, bài toán chỉ yêu cầu tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

; không yêu cầu tìm tọa độ các tiếp điểm Vì vậy chúng ta sẽ vận dụng tính chất của véc tơ để tìm tọa độ điểm như sau:

- Dễ nhận thấy chính là giao điểm của với và tại

- Xét vuông tại và có là hình chiếu vuông góc của trên cạnh

(1)

- Do thuộc đường thẳng (2)

- Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình; giải hệ ta được tọa độ điểm

* Bài toán cụ thể: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho đường tròn có phương trình Từ điểm kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn ; gọi là các tiếp điểm Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

Lời giải:

T2

T1

H

- Đường tròn có phương trình

có tâm và bán kính

- Ta có: đường thẳng có VTPT là phương trình là:

(1)

- Do nên tọa độ điểm thỏa mãn phương trình:

(2)

Kết luận:

* Ứng dụng trong việc giải bài toán "Viết phương trình đường thẳng nối hai tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ một điểm cố định (nằm ngoài đường tròn) đến đường tròn"

Bài toán: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho đường tròn có phương trình Từ điểm kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn ; gọi là các tiếp điểm Viết phương trình của đường thẳng

T2

T1

H

- Phân tích:

Yêu cầu bài toán tìm phương trình đường thẳng , không yêu cầu tìm tọa độ các tiếp điểm

Để ý rằng đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với , từ việc tìm được tọa độ điểm và tọa độ véc tơ ta có phương trình đường thẳng

- Cách giải cụ thể:

Bước 1: Xác định tọa độ điểm

Bước 2: Viết phương trình đường thẳng

Do VTPT của đường thẳng là nên ta có phương trình đường thẳng là:

:

* Một số bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho đường tròn có phương trình Từ điểm

kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn ; gọi là các tiếp điểm Tìm tọa

độ trung điểm của đoạn thẳng

Bài 2: Cho đường tròn có phương trình Từ điểm

kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn ; gọi là các tiếp điểm Tìm tọa

độ trung điểm của đoạn thẳng

Bài 3: Cho đường tròn có phương trình Từ điểm

kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn ; gọi là các tiếp điểm Viết phương trình đường thẳng

thứ tự là tiếp điểm của đường tròn với các cạnh và Tìm tọa

độ đỉnh biết trung điểm của là

Hướng dẫn:

Từ

Từ

I

M

C B

A

Bài 5: Cho tam giác có Đường tròn nội tiếp tam giác

có tâm và tiếp xúc với các cạnh thứ tự tại Tìm tọa độ đỉnh biết đường thẳng có phương trình

Hướng dẫn:

Từ

Từ

Từ

Từ

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:

+ Với phương pháp trên, bài toán đã trở nên đơn giản và “nhẹ nhàng” hơn

rất nhiều

+ Bản thân các đồng nghiệp cũng không còn “ngại” khi gặp các bài toán

tương tự

+ Đối với việc bồi dưỡng, ôn luyện học sinh khá giỏi, học sinh cũng không

còn tâm lý “sợ” khi gặp dạng toán tương tự, tư duy tự tin hơn và giải toán tốt

hơn

Sau khi áp dụng phương pháp đã nêu trên, khảo sát lại nhóm học sinh về nội dung này, tôi có bảng so sánh và kết quả như sau:

Năm học

Tổng số

HS tham gia khảo sát

Tư duy giải quyết bài toán khi chưa áp dụng đề tài Kết quả sau khi áp dụng đề tài

Tìm các tiếp điểm

Hướng giải quyết khác (Viết PT đường thẳng

)

Phương pháp tìm thông qua biểu thức

Tỷ lệ giải quyết bài toán thành công

+ Việc mở rộng bài toán trong không gian, chúng ta cũng có phương pháp giải tương tự, hỗ trợ tốt cho đối tượng học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT

Bài toán cụ thể:

* Bài toán 1: (Câu 50 - Đề 2 - Phần hai: Một số đề tự luyện - Tài liệu: Hướng dẫn ôn tập Kỳ thi THPT Quốc gia năm học 2019-2020 môn Toán - trang 211).

[4], [5]

thẳng Hai mặt phẳng chứa , tiếp xúc với tại và Tọa độ trung điểm của là:

Phương pháp giải:

Vậy là hình chiếu vuông góc của trên tọa độ

α ( )

T'

T

I

(P')

(P)

d

* Bài toán 2: (Câu 47 - Chương III - Phần hai: Hình học - Tài liệu: Trắc nghiệm TOÁN 12 - trang 131) [6]

Cho mặt cầu tâm , bán kính Mặt phẳng đi qua điểm tiếp xúc với mặt cầu tại điểm thì điểm thuộc mặt phẳng có phương trình là:

Hướng dẫn:

- vuông tại ;

- Gọi là hình chiếu vuông góc của trên

thuộc đoạn và

là điểm cố định

Từ phương pháp giải đã trình bày ở bài toán 1

- Vậy mặt phẳng đi qua , có VTPT

có phương trình:

Đáp án A

H

(α)

(P)

(P)

M

M

P O

* Một số bài tập áp dụng (Cho dạng mở rộng trong không gian):

đường thẳng Hai mặt phẳng chứa , tiếp xúc với tại và Tìm tọa độ trung điểm của

Bài 2: Trong không gian , cho hai mặt phẳng và

Mặt cầu tâm , tiếp xúc với và thứ tự tại

và Tìm tọa độ tâm của mặt cầu biết tọa độ trung điểm của là

Hướng dẫn:

Từ

Từ

Bài 3: Trong không gian cho mặt cầu có phương trình và điểm Đường thẳng thay đổi luôn đi qua điểm và tiếp xúc với mặt cầu tại Điểm thuộc mặt phẳng có phương trình là:

Hướng dẫn:

Từ kết quả của bài toán 2 ở trên suy ra PTMT , đáp án là A

H M

M 2

M1

A

O (α)

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận

Mặc dù bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn nhưng phương pháp giải không đi sâu vào khai thác tiếp tuyến mà chủ yếu dựa vào tính chất hình học, tọa độ véc tơ để giải quyết

Nên tìm phương pháp giải quyết bài toán đơn giản, dễ hiểu, dễ thực hiện bằng cách sử dụng kiến thức liên quan

Việc mở rộng bài toán trong không gian cũng phải được áp dụng để có phương pháp giải tối ưu, nhanh nhất đáp ứng ôn tập dành cho học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT

3.2 Kiến nghị

Đối với giáo viên, không nên cho rằng đây là bài toán khó và bỏ qua; khi dạy học sinh dạng bài toán này nên tạo tư tưởng thoải mái cho học sinh và cố gắng trình bày bài toán sao cho đơn giản, nhẹ nhàng Nên sử dụng hình ảnh trực quan để học sinh học sinh dễ hiểu

Đối với học sinh, không nên bỏ qua bài toán này; khi gặp bài toán dạng này hãy bình tĩnh để tìm phương pháp giải phù hợp

Do thời gian nghiên cứu có hạn, quá trình thực nghiệm áp dụng chưa rộng rãi với các đối tượng học sinh Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của các bạn bè đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 6 năm 2020

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

(Đã ký) Nguyễn Đình Bảy

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.

NGƯỜI VIẾT SKKN

(Đã ký)

Nguyễn Công Hiến

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Trích Nghị quyết Hội nghị lần thứ hai Ban Chấp hành Trung ương Đảng (khoá VIII) về định hướng chiến lược phát triển giáo dục - đào tạo trong thời kỳ công nghiệp hoá, hiện đại hoá và nhiệm vụ đến năm 2020

2 Hình Học 10, Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên, Bộ Giáo dục và Đào tạo, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2016

3 Phân dạng và Phương pháp giải toán Hình Học 10, Trần Thị Vân Anh, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2016

4 Hướng dẫn ôn tập kỳ thi THPT Quốc gia năm học 2018-2019, Đoàn Quỳnh, Phạm Khắc Ban, Doãn Minh Cường, Phạm Đức Tài, Nguyễn Khắc Minh, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2019

5 Hướng dẫn ôn tập kỳ thi THPT Quốc gia năm học 2019-2020, Đoàn Quỳnh, Phạm Khắc Ban, Doãn Minh Cường, Phạm Đức Tài, Nguyễn Khắc Minh, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2020

6 Trắc nghiệm TOÁN 12, Đoàn Quỳnh, Phạm Khắc Ban, Doãn Minh Cường, Nguyễn Khắc Minh, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2020