(SKKN mới NHẤT) kỹ thuật dồn biến trong bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức trong chương trình phổ thông

Trong quá trình giảng dạy và học tập, khi đứng trước một bài toán bấtđẳng thức, chúng ta thương đặt ra các câu hỏi: - Vai trò các biến trong bất đẳng thức thế nào Bình đẳng hay không bìn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG

- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KỸ THUẬT DỒN BIẾN TRONG BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG

Người thực hiện: Hồ Thị Bình Chức vụ: Giáo viên

SKKN (thuộc lĩnh vực môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2020

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 2

1.1 Lí do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2

2.3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức hai biến 4

2.4 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức ba biến 13

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 19

3.1 Kết luận 19 3.2 Kiến nghị 19p

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Việc đổi mới phương pháp, hình thức dạy học và kiểm tra, đánh giá theođịnh hướng phát triển năng lực học sinh đã được triển khai từ hơn 30 năm qua.Hầu hết giáo viên hiện nay đã được trang bị lí luận về các phương pháp và kĩthuật dạy học tích cực trong quá trình đào tạo tại các trường sư phạm cũng nhưquá trình bồi dưỡng, tập huấn hằng năm Tuy nhiên, việc thực hiện các phươngpháp dạy học tích cực trong thực tiễn còn chưa thường xuyên và chưa hiệu quả Bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của hàm số là một dạng Toán khó đối vớihầu hết học sinh phổ thông, kể cả học sinh khá giỏi Trong đề thi THPT quốcgia và đề thi Học sinh giỏi các tỉnh thành, bài toán bất đẳng thức và tìm GTLN,GTNN của hàm số luôn là một bài tập ở đòi hỏi mức độ vận dụng cao Mặc dù

đa phần các bài tập đều quy về một biến và dùng kỹ thuật khảo sát hàm số đểgiải quyết, song với thời gian giải quyết đề thi trắc nghiệm như hiện nay, việc sửdụng bất đẳng thức Cauchy giúp học sinh tiết kiệm được rất nhiều thời gian

Chính vì vậy, tôi chọn đề tài “Kỹ thuật dồn biến trong bài toán tìm GTLN, GTNN

của biểu thức trong chương trình phổ thông” làm đề tài nghiên cứu của mình

1.2 Mục đích nghiên cứu

Sử dụng Kỹ thuật dồn biến nhằm giúp học sinh bớt khó khăn khi giải cácbài toán bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của hàm số trong quá trình học vàthi

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 10 và 12 qua các nămgiảng dạy từ trước đến nay

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu là xây dựng cơ sở lý thuyết, thống kê đưa ra các bàitoán tổng quát

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

-Đánh giá trực tiếp từ bất đẳng thức Cauchy cho hai ẩn: Với

Bất đẳng thức Cauchy cho ba ẩn Với

…

Nguyên lý cực trị của hàm nhiều biến Một hàm liên tục trên một tập đóng, bị

chặn D nếu không đạt GTLN hay GTNN tại điểm dừng thì sẽ đạt trên biên D

Định lý ABC

Định lý 1: Nếu f(abc, ab+bc+ac, a+b+c) là hàm đơn điệu trên R theo abc thì GTLN và GTNN xảy ra khi hai trong 3 số a, b, c bằng nhau hoặc có một số bằng 0.

Định lý 2: Nếu f(abc, ab+bc+ac, a+b+c) là hàm lồi trên R theo abc thì GTLN xảy ra khi hai trong 3 số a, b, c bằng nhau hoặc có một số bằng 0.

Định lý 3: Nếu f(abc, ab+bc+ac, a+b+c) là hàm lõm trên R theo abc thì GTNN xảy ra khi hai trong 3 số a, b, c bằng nhau hoặc có một số bằng 0.

Bản thân định lý ABC cũng là một công cụ khá hiệu quả trong loại bài toán này song định lý không được phép sử dụng khi thi Đại học nên chúng tôi không đề cập đến vấn đề này ở đây mà chỉ dùng với mục đích dự đoán điểm rơi, định hướng để giải bài tập.

Chú ý đến đặc điểm của biểu thức cần tìm GTLN, GTNN (tính đối xứng,

bất đối xứng,…) để dự đoán được điểm rơi.

Như vậy từ các nhận xét trên ta thấy GTLN, GTNN thường có thể đạt được trong trường hợp các biến bằng nhau (đạt tại tâm) hoặc ít nhất một biến nằm trên biên của tập xác định (đạt trên biên) Ta sẽ xét cụ thể 3 kỹ thuật dồn biến

+ Dồn biến về tâm+ Dồn biến ra biên+ Dồn biến theo các đại lượng hỗn hợp

Ngoài ra còn một số kỹ thuật dồn biến trong lớp hàm lồi, hàm lõm, dồn biến bằng cách xét hàm đặc trưng, dồn biến bằng việc khảo sát độc lập từng biến, xin được đề cập đến trong một bài viết khác.

Trong quá trình giảng dạy và học tập, khi đứng trước một bài toán bấtđẳng thức, chúng ta thương đặt ra các câu hỏi:

- Vai trò các biến trong bất đẳng thức thế nào (Bình đẳng hay không bình đẳng)

- Có những đại lượng nào có tổng hay tích là hằng số hay không

- Dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra khi nào

- Biểu thức nào lớn, biểu thức nào bé trong bất đẳng thức

- Những công thức, hằng đẳng thức nào liên quan đến các biểu thức trong bài toán …

Việc trả lời các câu hỏi này giúp chúng ta định hướng cách giải, đánh giá cácbiểu thức, sử dụng công thức, bất đẳng thức quen thuộc, thay đổi hình thức củabất đẳng thức…để giải quyết bài toán.Trong bài viết này, tôi xin nêu ra một sốphương pháp thường được sử dụng trong việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy ởchương trình phổ thông

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Với sự thay đổi của kì thi THPT Quốc Gia kể từ năm 2017, các bài toánthực tế có thể sẽ được đưa vào các đề thi Như đề thi minh họa lần 1 và lần 2 của

Bộ Giáo Dục và Đào tạo đều có các bài toán thực tế nói chung Trước khi thựchiện đề tài này nhiều học sinh có tâm lý sợ các bài tập tìm giá trị lớn nhất nhỏnhất chứa nhiều biến Đây là một dạng toán mới và khó nên đa số học sinh khigặp dạng toán này còn lúng túng và không giải được Học sinh thường làm theophương pháp hàm cơ bản sẽ mất nhiều thời gian hơn so với sử dụng bất đẳngthức Cauchy

Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đã trình bày chi tiết phương pháp tìm GTLN vàGTNN của hàm số một biến số (khả vi) Trong các đề thi Đại học những nămgần đây thường xuất hiện dạng bài tập tìm GTLN và GTNN của một hàm số hai

hay ba biến, có thể có hoặc không có điều kiện ràng buộc Phương pháp chính

để giải quyết các bài toán này là chứng minh một bất đẳng thức phụ và thôngqua một số phép biến đổi (đánh giá, đặt ẩn phụ) để làm giảm số biến trong biểuthức ban đầu, dần quy về hàm một biến và khảo sát hàm số để tìm được GTLN,GTNN Kỹ thuật đánh giá nhằm làm giảm số biến của một biểu thức gọi chung

là kỹ thuật dồn biến và cũng là việc khó khăn nhất khi giải quyết các bài toándạng này

2.3.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức hai biến.

2.3.1 Bài toán tìm GTLN, GTNN, dùng phương pháp thế biến.

Phần này trình bày một số kỹ thuật dồn biến thường sử dụng để tìm GTLN,GTNN của các bài toán chứa hai biến có một số dạng đặc biệt: có thể thế biến,dạng đối xứng, đẳng cấp…

Ví dụ 1 Cho và Tìm GTLN và GTNN của biểuthức sau:

Từ điều kiện của bài toán ta có thể rút được ngay y theo x rồi thế vào biểu thức P sẽ được một hàm một biến số Sử dụng điều kiện để tìm TXĐ của hàm một biến mới, qua đó, khảo sát hàm số trên đoạn này, bài toán sẽ được giải quyết, cụ thể:

Khảo sát hàm số này trên đoạn ta có Min P = – 12 và Max P = 20

Ví dụ 2 Cho Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Tương tự trên ta có thể rút một biến theo biến còn lại: và

Trong đó

Nhưng do nên

Từ đó Khảo sát hàm số trên đoạn này ta có

Qua ví dụ trên ta thấy phương pháp này có ba bước rõ ràng:

1 Chọn ra một biến và thay thế toàn bộ các biến trong biểu thức cần tìm qua biến đó

2 Tìm tập các giá trị mà biến mới có thế nhận

3 Khảo sát hàm một biến trên tập hợp trên để tìm GTLN, GTNN

2.3.2 Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đối xứng

Trong phần này ta xét các bài toán tìm GTLN và GTNN của các biểu thức

hai biến mà giả thiết và biểu thức có dạng đối xứng với x và y Với dạng này ta

thường dùng các phép biến đổi để đưa biểu thức cần tìm GTLN và GTNN về

dạng hàm số một biến là các đa thức đối xứng của x và y Đó có thể là các đa thức đối xứng sơ cấp (tổng x + y hoặc tích xy) hoặc một số dạng khác (

Ví dụ 1 (CĐ Khối A, B – 2008) Cho là số thực thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Từ giả thiết , ta nghĩ tới hằng đẳng thức

Qua ví dụ trên ta thấy.

Giả thiết và biểu thức P đều là các đa thức đối xứng của x và y nên luôn

có thể biểu diễn qua các đa thức đối xứng sơ cấp (S = x+y, P = x) Do đó điều đầu tiên ta nghĩ đến là có thể đặt một trong hai đại lượng này làm biến mới.

Giữa các đa thức đối xứng của x, y lại có mối liên hệ với nhau theo các bất đẳng thức ta đã đề cập ban đầu nên có thể đánh giá đề tìm được tập các giá trị biến mới có thể nhận và đánh giá được P trong trường hợp cần thiết.

Ví dụ 2 (ĐH Khối B – 2009)

Tìm GTNN của , với là các sốthỏa mãn điều kiện:

Vì giả thiết là biểu thức khá phức tạp nên ta khai thác nó trước cho gọn để sử dụng dễ dàng hơn Chú ý hằng đẳng thức :

Và Khi đó điều kiện bài toán trở thành :

Ta biến đổi được A như sau :

Ta có thể nghĩ đến việc đưa A về hàm một biến bằng cách đặt

Tìm điều kiện của biến t ta sử dụng bất đẳng thức

Ví dụ 3 (ĐH Khối B- 2011) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Nhìn vào biểu thức P ta nghĩ ngay đến việc đặt một biến mới Ta sẽ cố gắng khai thác một số thông tin về biến này từ giả thiết, cụ thể

Lời giải

Biến đổi giả thiết:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:

Đặt , , ta được :

.Xét hàm số:

5 Cho Chứng minh rằng

6 Cho Tìm GTLN của

2.3.3 Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đẳng cấp.

Trong phần này ta sẽ xét một số bài toán mà biểu thức cần tìm GTLN,GTNN chứa hai biến và giả thiết hoặc biểu thức đó thể hiên tính đẳng cấp Vớiloại bài toán này, cách thường dùng nhất là đổi biến nhờ phép đặt , cố gắngđưa biểu thức cần tìm GTLN, GTNN về dạng thuần nhất để có thể giản ước mộtbiến

Ví dụ 1 Cho hai số thực Chứng minh rằng

Bài toán này có nhiều cách giải (có thể xét hiệu hay dùng trực tiếp BĐT Cauchy) Tuy nhiên để ý thấy BĐT cần chứng minh là biểu thức đẳng cấp của nên trong bài viết này ta sẽ sử dụng phép dồn biến đã nói ở trên.

Nếu , BĐT luôn đúng

Nếu đặt

BĐT cần chứng minh trở thành , hay

Khảo sát hàm số trên trên tập số thực R ta có ngay điều phải chứng minh

Ví dụ 2 (Đề thi ĐH khối B – 2008) Cho Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Nhận xét rằng biểu thức P đã cho chưa phải là một biểu thức thuần nhất (Tử và mẫu đẳng cấp) Tuy nhiên sử dụng giả thiết ta có thể xử lý được điều này.

Ta có

Nếu

Nếu đặt ta có

.Khảo sát hàm số trên trên tập số thực R ta được

Ví dụ 4 Cho Tìm GTLN của biểu thức

Bài toán này cũng có thể làm một cách tương tự như bài trên Tuy nhiên với các trường hợp giả thiết là một đẳng thức thì ta có thể làm một cách tự nhiên hơn như sau.

Do nên đặt ta có Khi đó

Đến đây lại khảo sát trên ta được

Với cách làm đó ta có thể giải quyết một loạt các bài toán như sau.

1 Cho Tìm GTLN và GTNN của

2 Cho Tìm giá trị lớn nhất của

3 (Đề thi D – 2013) Cho Tìm GTLN của

Tìm GTLN, GTNN của

Bài toán 4 mặc dù không phải dạng đẳng cấp, giả thiết thì mỗi vế là một biểu thức đẳng cấp có bậc khác nhau Tuy nhiên kỹ thuật đã trình bày trong Ví

dụ 4 hoàn toàn có thể áp dụng trong trường hợp này, cụ thể như sau.

Đặt , từ giả thiết ta có và suy ra

Ví dụ 1 Cho Tìm GTNN của biểu thức .

Với bài toán này ta dự đoán P sẽ đạt GTNN khi các biến bằng nhau và sử dụng phép dồn biến về tâm

Do P là biểu thức thuần nhất nên có thể chuẩn hóa:

Như vậy trong trường hợp này ta đã quy từ một bài toán tìm GTNN củamột biểu thức 3 biến về hai biến Đến đây chỉ cần thay ta sẽ được biểuthức và dạng hàm một biến

Khảo sát hàm này trên ta được

Vậy

Ví dụ 2 (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho Tìm GTLN của

Với bài toán này ta phải tìm số sao cho nó không làm thay đổi tổng bình phương của 3 biến Cụ thể ta xét Ở đây ta cũng có thể dự đoán là GTLN đạt được khi các biến bằng nhau.

Với dự đoán về điểm rơi ta sẽ chứng minh là với

Thật vậy, bất đẳng thức trên có thể viết

Vậy hay Max P = 6, đạt được khi

Qua ví dụ trên ta thấy có hai vấn đề:

- Việc chọn biến t phụ thuộc vào giả thiết ràng buộc ban đầu giữa ba biến và

ta cố gằng không làm thay đổi mối quan hệ đó trong quá trình dồn biến Ngoài

ra, việc dự đoán điểm rơi nghĩa là ta dự đoán được GTLN của P, từ đó làm cho việc đánh giá biểu thức cuối cùng trở lên đơn giản hơn nhiều.

- Bất đẳng thức (hay ≥ 0) không phải lúc nào cũng đúng Trong một số trường hợp ta phải sắp xếp lại thứ tự các biến hoặc chọn biến lớn nhất, nhỏ nhất dựa vào tính đối xứng hay tính hoán vị vòng quanh của các biểu thức trong đề bài.

Bài tập tương tự.

1 Cho Tìm GTNN của

Giả sử trong quá trình tìm GTLN hay GTNN mà ta cần chứng minh

với , ta có thể hi vọng vào đánh giá trong đó là các đại lượng nào đó tùy điều kiện bài toán Từ đó có thể quy về một bài toán với số ẩn ít hơn Về tư tưởng thì phép dồn biến này gần giống trường hợp trước, chỉ khác ở kỹ thuật chọn biến mới.

Ví dụ Cho không âm và thỏa mãn Tìm GTNN của

Với bài toán này trước tiên ta cũng sẽ dự đoán xem đạt GTNN khi nào Xét tại tâm (3 biến bằng nhau), tại biên (1 biến bằng 0) ta có thế thấy GTNN có nhiều khả năng xảy ra khi một biến bằng 0, hai biến bằng nhau và thử dồn biến

về trường hợp này.

Khi cho biến thì phải tìm hai số sao cho nó vẫn bảo toàn điều kiện trong giả thiết của bài toán, tức là lúc này Ta có thể xét

.Xét hiệu

Khảo sát hàm này trên ta có

Vậy Min P = , đạt được khi và các hoán vị của nó

Qua ví dụ trên, một lần nữa ta thấy tầm quan trọng của việc xác định điểm rơi trong việc giải quyết các bài toán dạng này Đó là căn cứ để lựa chọn cách dồn biến và đánh giá các bất đẳng thức trung gian.

2.4.3.Dồn biến theo các đại lượng hỗn hợp

Trong một số bài toán, việc dồn biến theo hai phương pháp trên trở lên phức tạp thì ta có thể để ý một số điểm đặc biệt trong biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để lựa chọn biến cần dồn về cho thích hợp Một số trường hợp có thể chọn biến là các biểu thức hỗn hợp chứa 3 biến (đối xứng hoặc bất đối xứng), tùy thuộc vào từng trường hợp Dạng này không có quy tắc như hai dạng trước nhưng nếu khéo léo lựa chọn biến mới thì lời giải có thể ngắn gọn và đơn giản hơn nhiều.

Cách dồn biến trong loại bài tập này khá đa dạng Đầu tiên là một ví dụ

có thể dùng phép thế biến

Ví dụ 1 Cho Tìm GTNN của

Để ý thấy biểu thức đối xứng với x, y còn vai trò của z hoàn toàn khác.

Ta sẽ thay z theo x, y

Ta có Đến đây, nếu thay vào ta sẽ được một biểu

thức đối xứng theo hai biến :

Sử dụng cách dồn biến của biểu thức hai biến đã xét ở trên ta đặt

và tích được đánh giá nhờ Cauchy:

Khảo sát hàm một biến trên khoảng ta có

Min P = 16, đạt được khi

Một số bài toán có các biểu thức dạng đối xứng với 3 biến thì có thể dồn

về một trong các đa thức đối xứng sơ cấp ( )

Ví dụ 2 Cho

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

Bài toán này xuất hiện các đa thức đối xứng của Nói chung các đa thức này có mối quan hệ với nhau do khai triển nên ta sẽ chọn một trong các đa thức đó làm biến mới để dồn về Nhìn biểu thức ta nghĩ ngay đến việc đặt

Đặt , ta có nên Khi đó

.Khảo sát hàm số một biến trên tập đã được chỉ ra ta có

đạt được tại và các hoán vị của nó

đạt được tại

Qua đó có thể thấy việc khai thác triệt để mối quan hệ giữa các đa thức đối xứng 3 biến thường gặp ( ) giúp ta giải quyết khá hiệu quả các bài toán dạng trên Sau đây là một ví dụ tương tự.

Ví dụ 3 (Đề thi B-2010) Cho Tìm GTNN của biểu thức

Nhìn vào dạng của ta nghĩ ngay đến việc dồn về biến Các biểu thức còn lại trong M và trong giả thiết đều có thể đánh giá được qua

Ta có thể thấy việc dồn về biến được thực hiện khá đơn giản

và từ đó , đạt được khi