(SKKN mới NHẤT) hướng dẫn học sinh lớp 10 trường THPT quan sơn xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai

Trong chương trình Đại Số 10 các em được học cách xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai đây là một trong những nội dung quan trọng của đại số lớp 10.. Ta cần nắm vững một số kiến

I MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong năm học 2019- 2020 tôi được phân công lên giảng dạy ở trường T.H.P.T Quan Sơn trong đó có khối 10 Trong quá trình giảng dạy các em tôi thấy rất nhiều em có học lực trung bình, một số em có học lực yếu và khá; Vì thế trong quá trình dạy học tôi thấy các em thiếu rất nhiều thứ như kiến thức cơ bản, kỹ năng, kỹ xảo giải quyết các bài toán và đang còn thụ động ít sáng tạo trong quá trình học tập và rèn luyện

Trong chương trình Đại Số 10 các em được học cách xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai đây là một trong những nội dung quan trọng của đại số lớp 10 Với cách hướng dẫn như trong SGK thì tôi thấy còn khá dài dòng, chưa đơn giản làm mất nhiều thời gian của các em Tôi thấy đó là một bất cập cần khắc phục và nhu cầu cấp thiết hiện nay là phải có những cách làm đơn giản hơn, dễ hiểu hơn, tiết kiệm thời gian làm bài mà lại có hiệu quả cao đối với các em

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Với mong muốn giúp các em xét được dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai một cách nhẹ nhàng hơn, dễ làm hơn so với cách của SGK nên tôi

mạnh dạn chọn "Hướng dẫn học sinh lớp 10 trường THPT Quan Sơn xét dấu

nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai" Qua nội dung này tôi mong các em

đặc biệt là những em có học lực yếu, trung bình, khá xét dấu được nhị thức bậc nhất và nhị thức bậc hai đồng thời cải thiện cách làm, tăng thêm kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải toán của các em

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

+ Nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết;

+ Thống kê, xử lý số liệu;

+ Tổng hợp kiến thức đã có

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

+ Đối với sáng kiến "Hướng dẫn học sinh lớp 10 trường THPT Quan

Sơn xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai" Ta cần nắm vững một số

kiến thức cơ bản sau:

+ Cách tìm tập xác định của hàm số, biểu thức (hoặc điều kiện xác định của hàm số, biểu thức);

+ Cách giải phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn;

+ Cách xét dấu hàm số, biểu thức

Cụ thể:

+ Muốn tìm tập xác định của hàm số ta cần nhớ hàm số được xác định khi nào? như biểu thức ở mẫu của hàm phân thức phải khác 0,

+ Để giải phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn ta xem lại cách giải ở trang 58 SGK Đại số 10

+ Cách xác định dấu của một hàm số, biểu thức là bước rất quan trọng Để làm tốt được ta cần ghi nhớ kiến thức sau:

*1: Cách lập bảng xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai

*2: Khi biết f(x) mang cùng một dấu trên khoảng K Muốn biết f(x) âm hay dương ta chỉ việc lấy một điểm x0 bất kỳ trên khoảng K thay vào f(x) nếu f(x0) dương thì kết luận f(x) dương trên khoảng K và ngược lại nếu f(x0)

âm thì f(x) âm trên khoảng K

*3:Hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên khoảng K và phương trình f(x) = 0 có các nghiệm x1, x2, , xm khác nhau trên K = (a; b) với x1< x2< < xm

ta có lưu ý sau:

+ Nếu tại nghiệm có số nghiệm dạng , , thì trên mỗi khoảng lân cận (bên phải, bên trái) của điểm mang dấu khác nhau

+ Nếu tại nghiệm có số nghiệm dạng , , (ta quy ước gọi là nghiệm bội) thì trên mỗi khoảng lân cận của điểm mang cùng một dấu

Sau khi xác định được dấu của f(x) muốn lấy nghiệm của bất phương trình đã cho thì chỉ cần dựa vào yêu cầu của bài toán như: f(x) > 0; f(x) 0; f(x) < 0; f(x) 0 để suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình giảng dạy tôi thấy khi học sinh xét dấu nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai nếu chỉ dùng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và định

lí về dấu của tam thức bậc hai thì chưa đủ còn dài dòng, chưa nhanh gọn và đặc

biệt là nếu lập bảng xét dấu ở một số bài toán thì mất rất nhiều thời gian làm bài của các em

2.3 Một số giải pháp

Trước hết ta cần nắm vững định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai

I Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất (Đại số 10).

Nhị thức có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng , trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng

Bài toán: Xét dấu nhị thức f(x) = ax + b

Giải:

+ Phương trình f(x) = 0 có nghiệm

+ Để xét dấu nhị thức ta có thể trình bày theo một trong hai cách sau:

Cách 1: Lập bảng xét dấu

x

Cách 2: Dùng trục số

Ghi nhớ: Khoảng lớn hơn nghiệm của nhị thức cùng dấu với hệ số a, khoảng bé

hơn nghiệm của nhị thức trái dấu với a

Vận dụng: Xét dấu các nhị thức sau

Giải:

a) f(x) = 0 có nghiệm và có hệ số a = 2 > 0 nên

Cách 1: ta có bảng xét dấu

x

Cách 2: Ta có trục xét dấu

Kết luận

b a



Trái dấu với a Cùng dấu với a

3 2

và b) f(x) = 0 có nghiệm và có hệ số a = -4 < 0 nên

Cách 1: Ta có bảng xét dấu

x

-Cách 2: Ta có trục xét dấu

Kết luận:

và

II Định lí về dấu của tam thức bậc hai: (Đại số 10)

+ Nếu thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi ;

+ Nếu thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi ;

+ Nếu thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi hoặc , trái dấu với

hệ số a khi trong đó là hai nghiệm của f(x)

Bài toán: Xét dấu tam thức

Khi đó ta có hai cách trình bày

Cách 1: Dùng bảng xét dấu

+ Nếu tam thức cùng dấu với hệ số a với mọi x

x

f(x) Cùng dấu với hệ số a

+ Nếu Khi đó tam thức cùng dấu với hệ số a với mọi

x

f(x) Cùng dấu với hệ số a 0 Cùng dấu với hệ số a

+ Nếu Tam thức có hai nghiệm Khi đó tam thức cùng dấu với

hệ số a khi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm và tam thức trái dấu với hệ số a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm

x

f(x) Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

Cách 2: Dùng trục số

+ Nếu tam thức cùng dấu với hệ số a với mọi x

5 4



-+ Nếu Khi đó tam thức cùng dấu với hệ số a với mọi

+ Nếu Tam thức có hai nghiệm Khi đó tam thức cùng dấu với hệ số a khi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm và tam thức trái dấu với hệ số a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm

Áp dụng: Xét dấu các tam thức sau

Giải: Chúng ta sẽ giải các câu trên theo cả hai cách

a) Ta có nên f(x) có hai nghiệm và nên ta có bảng xét dấu sau:

x

Hoặc ta trình bày theo cách sau:

Ta có nên f(x) có hai nghiệm và nên ta trục xét dấu sau:

b) Ta có và nên ta có bảng xét dấu

x

Hoặc và nên ta có trục xét dấu

c) Ta có nên f(x) có hai nghiệm và nên ta có bảng xét dấu sau:

x

Cùng dấu với hệ số a

1

Trái dấu với a

Cùng dấu với hệ số a 2 Cùng dấu với hệ số a

b a



2

-+

Hoặc ta trình bày theo cách sau:

Ta có nên f(x) có hai nghiệm và nên ta có trục xét dấu sau:

d) Ta có và nên ta có bảng xét dấu sau:

x

Hoặc có và nên ta có trục xét dấu sau:

Nhận xét: Đối với cách lập bảng và cách dùng trục số đều có ưu nhược điểm

của nó như: Dùng bảng số thì ta biết được dấu của từng hàm số thành phần trong hàm số f(x) và biết được hàm số f(x) xác định hay không xác định tại điểm (

là nghiệm của hàm số thành phần) nhưng cũng có nhược điểm là dùng bảng thì cồng kềnh trong các bài toán gồm nhiều hàm số thành phần, còn đối với trục

số thì ta không thể hiện được dấu của hàm số thành phần và không thể hiện rõ hàm số có xác định hay không xác định tại nhưng nếu chỉ xét dấu không thì cách làm này lại ngắn ngọn đơn giản Vậy tùy vào từng bài toán cụ thể mà ta dùng bảng số hay trục số

Bây giờ ta vận dụng dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai giải một số bài toán.

Bài 1 Giải bất phương trình

Hướng dẫn:

+ Xét phương trình

+ Xét dấu

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

1 2



5 2



1

-+

Nhận xét:

+ Phần không gạch chéo là phần nghiệm của bất phương trình Ngoặc vuông tại điểm nào thì lấy nghiệm tại điểm đó, ngoặc tròn là không lấy

+ Do bất phương trình trên lấy nghiệm bằng 0 nên tại điểm ta để ngoặc vuông hướng về phía tập nghiệm chứa điểm đó của bất phương trình nếu không lấy bằng 0 thì ta để ngoặc tròn hướng về tập nghiệm kề nó

+ Đối với những bài toán đơn giản chỉ cần xét dấu của biểu thức thì tôi thường bảo các em dùng trục số cho nhanh

+ Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt thì trong trái, ngoài cùng (tức trong khoảng hai nghiệm trái dấu với hệ số a, ngoài khoảng hai nghiệm cùng dấu với hệ số a)

Bài 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm

trái dấu

Hướng dẫn:

Phương trình trên là một tam thức bậc hai để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì a.c<0

Yêu cầu bài toán tương đương với

Bài 3 Giải bất phương trình

Hướng dẫn:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

Bài 4 Giải hệ bất phương trình sau

Hướng dẫn:

Để giải hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình và lấy nghiệm chung của chúng

* Giải

Xét dấu:

Vậy nghiệm của là

* Giải

Xét dấu:

Kết hợp nghiệm:

Vậy nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là

4



2





4



4

(2



Bài 5 Tìm m để bất phương trình đúng với Hướng dẫn:

Đặt

TH1: m =0 thì bất phương trình đã cho tương đương

Vậy m = 0 loại

Vậy thỏa mãn đề ra

Chú ý: Rất nhiều em không xét trường hợp 1 mà sử dụng điều kiện của trường

hợp 2 luôn Trường hợp 2 chỉ được sử dụng khi hệ số của đã khác không

Bài 6 Xét dấu đa thức

Hướng dẫn:

Giải

Khi đó ta có các cách trình bày

Cách 1: lập bảng xét dấu

x

-Vậy luôn dương với mọi x thuộc

luôn âm với mọi x thuộc

Cách 2: vẽ trục số

Vậy luôn dương với mọi x thuộc

luôn âm với mọi x thuộc

Chú ý:

+ Dấu của là tích của dấu hai biểu thức thành phần và . + Để xác định dấu của trong một khoảng nào đó ta chọn một điểm đại diện trong khoảng đó rồi thay vào nếu dương thì khoảng đó mang dấu dương, nếu âm thì khoảng đó mang dấu âm Tôi thường chọn khoảng chứa các giá trị đặc biệt như chứa 0; 1; 2; …

2

+ có 3 nghiệm (không có nghiệm bội) nên các khoảng lân cận nhau mang dấu trái nhau

Hướng dẫn:

Để giải bất phương trình này ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối Muốn phá ta dùng định nghĩa của trị tuyệt đối (bài này không bình phương hai vế được)

Vì bài toán này có chứa hai dấu trị tuyệt đối nên ta dùng bảng để phá trị tuyêt đối và giải bất phương trình Đặt

Dựa vào bảng trên ta thấy:

Yêu cầu bài toán tương đương

Kết hợp đk thì thỏa mãn (1)

+ Nếu thì thỏa mãn yêu cầu bài toán (2)

Yêu cầu bài toán tương đương

Kết hợp đk thì thỏa mãn (3)

Từ (1), (2), (3) tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

Nhận xét: Từ bài toán này ta thấy để giải bài toán chứa nhiều dấu trị tuyệt đối ta

nên dùng bảng để phá dấu trị tuyệt đối

Bài 8 Giải bất phương trình:

Hướng dẫn:

ĐK

Đặt

1 0 0 555

Giải phương trình:

Xét dấu

Dựa vào trục số tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

Nhận xét: Bài toán dạng này ta nên dựa vào trục số để xét dấu f(x) thay vì lập

bảng xét dấu

Hướng dẫn:

Giải phương trình

Xét dấu

Vậy khi

khi

Nhận xét:

+ Nhiều em thấy cả tử và mẫu có chung nên đơn giản Kết luận sai vì tại biểu thức không xác định

+ Theo quy luật ở các bài toán trước lân cận khoảng dương là khoảng âm, lân cận khoảng âm là khoảng dương sẽ sai ở bài toán này (những em lập bảng xét dấu sẽ ít sai hơn) Khi dùng trục số ta thấy cả tử và mẫu đều có nghiệm Trong trường hợp này ta coi là nghiệm bội của biểu thức vì vậy khoảng lân cận bên trái và bên phải của -1 mang cùng một dấu

Bài 10 Xét dấu biểu thức

Hướng dẫn:

Giải phương trình

Xét dấu

Vậy

Nhận xét: có nghiệm bội tại nên khoảng bên trái và bên phải của 2 mang cùng một dấu

Bài 11 Tập nghiệm của bất phương trình là

2

3



2 )

3

5 2

Hướng dẫn:

Giải phương trình

Xét dấu tam thức

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là đáp án A

Bài 12 Tập nghiệm của bất phương trình là

Hướng dẫn:

Giải phương trình

Xét dấu biểu thức

án B

Bài 13 Tập nghiệm của bất phương trình là

Hướng dẫn:

Giải phương trình

Xét dấu biểu thức

5 3





3



3 2



1 2 2



(

1 





Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

đáp án C

Nhận xét:

+ Bất phương trình không xác định tại nên khi lấy nghiệm cần loại

bỏ các giá trị này

+ Dùng trục số những bài toán dạng này xét dấu nhanh hơn dùng bảng xét dấu

Bài 14 Gọi S là tập hợp các số nguyên thỏa mãn

Tính số phần tử của S

Hướng dẫn:

trong đó có các nghiệm là nghiệm bội (có số nghiệm chẵn)

Xét dấu biểu thức

Nhận xét: -Đối với bài toán dạng này nhiều em không biết lấy dấu của biểu

thức như thế nào Các em chỉ cần ghi nhớ nếu biểu thức có nghiệm bội tại x=4 thì khoảng bên trái và bên phải 4 mang cùng một dấu, còn không phải nghiệm bội thì làm như cũ

Bài 15 Cho hàm số như hình vẽ Gọi S là tập hợp các số nguyên dương thõa mãn Tính số phần tử của S

Hướng dẫn:

Vậy đáp án B

0









x

y

0 2

( )

f x

2.4.Bài tập củng cố

Bài 1 Cho nhị thức Khẳng định nào sau đây đúng

Bài 2 Biểu thức không âm khi x thuộc

Bài 3 Với x thuộc tập nào dưới đây thì biểu thức không âm?

Bài 4 Bất phương trình có tập nghiệm S là?

Bài 5 Tập nghiệm của bất phương trình là?

Bài 6 Cho hàm số như hình vẽ Khi đó tập nghiệm của bất phương trình là?

Bài 7 Cho đồ thị hàm số như hình vẽ Tập nghiệm của bất phương trình là?

Bài 8 Tập nghiệm của bất phương trình là?

x

y

( )

y f x

x

y

( )

y f x

1 2

( )

y g x

.

Bài 9 Tam thức bậc hai dương khi và chỉ khi x thuộc

Bài 10 Tập nghiệm của bất phương trình là

Bài 11 Tam thức bậc hai âm khi và chỉ khi x thuộc

Bài 12 Tam thức nào sau đây nhận giá trị âm với

Bài 13 Bảng xét dấu nào sau đây của tam thức

A

B

C

D

Bài 14 Tam thức luôn dương khi và chỉ khi m thỏa mãn?

Bài 15 Biểu thức không dương khi và chỉ khi x thỏa mãn

Bài 16 Tập xác định của hàm số là

f(x

f(x

-Bài 17 Biểu thức dương với khi và chỉ khi m thỏa mãn

Bài 18 Tập nghiệm của hệ bất phương trình là?

Bài 19 Cho đồ thị hàm số như hình vẽ Gọi S là tập hợp các số nguyên dương thỏa mãn Khi đó số phần tử của S là?

2.5 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong năm học vừa qua Tôi thấy sáng kiến trên rất phù hợp đối với các em có lực học trung bình và trung bình khá Áp dụng cho các em tôi thấy rõ những tiến bộ rõ rệt và cải thiện được kỹ năng xét dấu nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai của các em lên rất nhiều, các

em có hứng thú học toán hơn

Kết quả cụ thể đối với lớp 10A3(sĩ số 36) và lớp 10A7 (sĩ số 38) trong năm học 2019- 2020 như sau:

Điểm dưới 5 Điểm từ 5 đến6,5 Điểm từ 6,5đển 8 Điểm trên 8 số

lượng

tỉ lệ

%

số lượng

tỉ lệ

%

số lượng

tỉ lệ

%

số lượng

tỉ lệ

%

Lớp

10A3

Trước khi áp dụng

Sau khi áp dụng

22,2

% Lớp

10A7

Trước khi áp dụng

Sau khi áp

%

x

y

( )

y f x

( )

y g x 1



dụng

III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận

Khi tôi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm hướng dẫn học sinh xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai so với cách giải lâu nay thì các em có hứng thú, thích học lên rất nhiều và thấy rõ sự tiến bộ trong học tập toán của các em vì các em làm bài tập có phương pháp, đường lối rõ ràng và rất dễ sử dụng Mặc dù

cố gắng tìm tòi và nghiên cứu nhưng vẫn còn những thiếu sót và hạn chế mong đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi Tôi xin chân thành cảm ơn

Tôi nghĩ khả năng áp dụng sáng kiến của tôi vào thực tế rất khả thi và rất phù hợp đối với nhiều học sinh có lực học trung bình và trung bình khá

3.2 Kiến nghị

Đối với nhà trường thì theo tôi tùy thuộc vào lực học của các em, các lớp chúng ta linh hoạt đổi mới phương pháp dạy học sao cho phù hợp với lực học của các em mà vẫn đảm bảo được chất lượng dạy và học

Đối với sở giáo dục và đào tạo có thể xem xét một số sáng kiến kinh nghiệm hay mà lại phù hợp với từng đối tượng học sinh phổ biến đến các trường

để các Thầy cô có điều kiện tiếp cận học hỏi kinh nghiệm và giảng dạy cho các

em sao cho đạt kết quả tốt nhất

XÁC NHẬN CỦA THỦ

TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 30 tháng 6 năm 2020

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

(Ký và ghi rõ họ tên)

Lại Việt Quang