(SKKN mới NHẤT) một số giải pháp giúp học sinh lớp 11 phát huy sáng tạo trong học tập nội dung về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 11 PHÁT HUY SÁNG TẠO TRONG HỌC TẬP NỘI DUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 11 PHÁT HUY SÁNG TẠO TRONG HỌC TẬP NỘI DUNG

VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx

THANH HÓA NĂM 2020

Người thực hiện: Lê Khắc Luyện Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU Trang 01 1.1 Lí do chọn đề tài Trang 01

1.2 Mục đích nghiên cứu ……….…… Trang 01

1.3 Đối tượng nghiên cứu ……….…… Trang 01

1.4 Phương pháp nghiên cứu ……….…… Trang 01

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang 02

2.1 Cơ sở lí luận của Sáng kiến kinh nghiệm Trang 02

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh

nghiệm Trang 03

2.3 Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng để giải quyết

vấn đề Trang 03 2.3.1 Vận dụng vào giải một số dạng phương trình lượng

giác Trang 03 2.3.2 Vận dụng giải một số bài toán về phương trình chứa

tham số Trang 08 2.3.3 Vận dụng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất …… Trang 09 2.3.4 Hệ thống bài tập tổng hợp tự luyện giao thêm giúp

học sinh tiếp tục củng cố, rèn luyện kỹ năng Trang 10

2.4 Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động

giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường Trang 11

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trang 12

3.2 Kiến nghị ……… Trang 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… Trang 13 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐÃ ĐƯỢC ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI Trang 14

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm học gần đây, chúng ta đã và đang tích cực đổi mới phương pháp dạy học Theo xu thế đổi mới này, trong quá trình học, người học là trung tâm, là chủ thể của mọi hoạt động; người học phải chủ động, tích cực tìm tòi sáng tạo để tiếp nhận kiến thức cho bản thân; người học phải học

để học được cách học Bên cạnh đó người dạy là người tổ chức, hướng dẫn hoạt động học tập cho người học để đạt được những điều như thế Trong đó, mục tiêu phát triển tư duy sáng tạo và phát huy sự tìm tòi khám phá cho người học là rất quan trọng Vì vậy trong dạy học người dạy phải luôn tìm cách để đạt được mục tiêu này

Hiểu rõ được điều đó, trong quá trình dạy học tôi luôn nghiên cứu kỹ từng nội dung kiến thức cần truyền đạt cho học sinh để tìm ra những vấn đề cần hướng dẫn học sinh khai thác, vận dụng, tìm tòi khám phá thêm Qua đó không chỉ giúp cho học sinh nắm vững kiến thức đang học mà còn phát triển

tư duy sáng tạo, khuyến khích hoạt động tìm tòi khám phá của học sinh, giúp học sinh hiểu kiến thức sâu sắc, thấu đáo hơn và biết vận dụng

Với tinh thần trên, trong quá trình giảng dạy nội dung Chương I - Đại

số và Giải tích 11 [1], tôi đã hướng dẫn học sinh vận dụng, khái thác kiến

thức về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx ở để giải một số dạng toán

giúp các em phát huy sáng tạo trong học tập Tôi đã thực nghiệm giải pháp này trong quá trình giảng dạy tại lớp 11C3, năm học 2019-2020 và thu được kết quả tốt Vậy nên trong năm học này, tôi đã chọn đề tài Sáng kiến kinh

nghiệm là "Một số giải pháp giúp học sinh lớp 11 phát huy sáng tạo trong

học tập nội dung về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx".

1.2 Mục đích nghiên cứu

Tôi nghiên cứu đề tài này nhằm tìm ra những giải pháp phù hợp với điều kiện thực tế và đối tượng học sinh nhà trường, giúp học sinh lớp 11 phát huy sáng tạo trong học tập, từ đó học sinh có hứng thú và nâng cao chất lượng học tập môn học; giúp người dạy có thêm kinh nghiệm và hướng đi mới trong giảng dạy về phương trình lượng giác Sáng kiến kinh nghiệm này còn nhằm trao đổi với với đồng nghiệp về phương pháp dạy học, là một tài liệu tham khảo đối với học sinh để góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học toán ở trường THPT Như Xuân nói riêng và các trường THPT nói chung

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là các hướng vận dụng, khai thác

nội dung kiến thức về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx trong giảng

dạy Bài 3: “Phương trình lượng giác thường gặp”, Chương I, Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11, chương trình cơ bản [1]

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu chủ yếu của Sáng kiến kinh nghiệm này là: Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết và phương pháp điều tra khảo sát thực

tế, thu thập thông tin

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của Sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm này vận dụng, khai thác cách giải phương

trình bậc nhất đối với sinx và cosx đã được trình bày trong Sách giáo khoa

Đại số và giải tích 11 [1], [2] (bao gồm cả chương trình cơ bản và chương trình nâng cao) Trong đó những cơ sở lí thuyết trọng tâm sẽ được nhắc lại sau đây

(1) Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Phương trình dạng , trong đó a, b, c là những hằng số

đã cho với a khác 0 hoặc b khác 0 được gọi là phương trình bậc nhất đối

với sinx và cosx.

Để giải phương trình ta biến đổi biểu

như sau

(2) Phép biến đổi biểu thức

Ta có:

Do

Từ đó:

(*)

(**)

(3) Cách giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

hai phép biến đổi (*) và (**)

- Với phép biến đổi (*), phương trình

được đưa về dạng cơ bản (1)

- Với phép biến đổi (**), phương trình

được đưa về dạng cơ bản (2)

Và như thế, việc giải phương trình được đưa về giải phương trình lượng giác cơ bản (1) hoặc (2)

(4) Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm

Ta có, phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi hay

Ngoài ra, khi thì phương trình có nghiệm

khi và chỉ khi c = 0, tức là cũng phải thoả mãn điều kiện

Vậy ta có kết quả sau:

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm

Phương trình lượng giác là một trong những nội dung kiến thức quan trọng của chương trình toán 11 nói riêng và chương trình toán THPT nói chung Tuy nhiên đây là một nội dung khó đối với không ít học sinh Học sinh rất dễ lúng túng trước một số lượng lớn các công thức lượng giác và trước sự

đa dạng về các hướng biến đổi của một biểu thức lượng giác Có thể ví khi học sinh đứng trước một bài toán giải phương trình lượng giác là đứng trước một con đường rất nhiều ngã rẽ mà học sinh lúng túng không biết chọn ngã rẽ nào để đi đến nơi cần đến

Nội dung phương trình lượng giác trong chương trình toán 11 trình bày rất cơ bản (bao gồm các phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình thường gặp) Đòi hỏi học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản này

và biết khai thác vận dụng chúng để giải các phương trình lượng giác khác với sự đa dạng phong phú Tuy nhiên điều này không phải đa số học sinh làm được nếu như không có sự hướng dẫn chu đáo của người dạy

Một thực tế mà tôi nhận thấy là mặc dù học sinh nắm vững cách giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx nhưng chưa biết khai thác vận dụng chúng giải một số bài toán tương tự hoặc liên quan Vì vậy tôi có Sáng kiến kinh nghiệm này để giúp cho học sinh học phương trình lượng giác một cách tích cực, hứng thú hơn và phát huy sự tự tìm tòi sáng tạo trong học tập

2.3 Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Sau khi học sinh nắm vững cách giải và đã có kỹ năng trong việc giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx, chúng ta có thể hướng dẫn học sinh khai thác cách giải đó theo một số hướng như sau

2.3.1 Vận dụng vào giải một số dạng phương trình lượng giác

a) Vận dụng giải phương trình dạng

Có thể nói phương trình dạng là

phương trình bậc nhất đối với sinu(x) và cosu(x), do đó hoàn toàn có thể vận

dụng trực tiếp cách giải trên để giải dạng phương trình này Và thực chất học

sinh đã được tiếp xúc nó qua các ví dụ và bài tập trong Sách giáo khoa Đại số

và giải tích 11 Tuy nhiên, chúng ta cần hướng dẫn thêm để học sinh biết vận dụng cách giải một cách linh hoạt, biết sử dụng điều kiện có nghiệm trong quá trình giải phương trình, biết biến đổi phương trình về dạng quen thuộc Ta xét ví dụ sau

Ví dụ 1 Giải các phương trình:

a) 2 (sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x

b) cos2x + 2sinxcosx - sin2x = 1

Giải

a) 2 (sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x

sin2x + (1+ cos2x) = 3 + cos2x

sin2x + ( - 1)cos2x = 3 -

Vậy nên phương trình đã cho vô nghiệm

b) cos2x + 2sinxcosx - sin2x = 1

(1+cos2x) + sin2x - (1- cos2x) = 1

cos2x + sin2x = 1 cos2x + sin2x =

sin cos2x + cos sin2x = sin = sin

Nhận xét

1) Việc kiểm tra điều kiện có nghiệm ở cách giải câu a) giúp chúng ta rút ngắn được phép giải và tránh được sai lầm

2) Câu b) là phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx nên còn có cách giả khác là chia hai vế cho cosx và đặt ẩn phụ t = tanx Tuy nhiên trong trường hợp này cách giải đó sẽ phức tạp hơn so với cách giải đã trình bày

b) Vận dụng cách giải tương tự

Ngoài việc vận dụng trực tiếp cách giải trên để giải phương trình dạng

, sau đây chúng ta xét một số dạng phương trình có thể giải được bằng cách vận dụng cách giải tương tự như cách giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Dạng 1 a) (1a).

(với )

Cách giải:

- Vận dụng phép biến đổi (*), đưa (1a) về dạng

- Vận dụng phép biến đổi (**), đưa (1b) về dạng

Ví dụ 2 Giải các phương trình:

a) cos5x - 2sin3xcos2x - sinx = 0

(Trích đề Đại học khối D năm 2009 [3])

b) sinx + cosxsin2x + cos3x = 2(cos4x + sin3x)

(Trích đề Đại học khối B năm 2009 [4])

Giải:

a) cos5x - 2sin3xcos2x - sinx = 0

cos5x - (sin5x + sinx) - sinx = 0

cos5x - sin5x = 2sinx cos5x - sin5x = sinx

sin cos5x - cos sin5x = sinx sin = sinx

b) sinx + cosxsin2x + cos3x = 2(cos4x + sin3x)

sinx(1- 2sin2x) + cosxsin2x + cos3x = 2cos4x

sinxcos2x + cosxsin2x + cos3x = 2cos4x

sin3x + cos3x = 2cos4x

sin3x + cos3x = cos 4x

sin sin3x + cos cos3x = cos4x cos = cos4x

(với )

Cách giải:

- Vận dụng phép biến đổi (*), đưa (2) về dạng

- Hoặc vận dụng phép biến đổi (**), đưa (2) về dạng

Nhận xét:

Dạng 1 là trường hợp riêng của dạng 2 khi c = 0 hoặc d = 0.

Ví dụ 3 Giải các phương trình:

a) cos3x - sinx = (cosx - sin3x)

(Trích đề Đại học khối A năm 2009 [5])

Giải:

a) cos3x - sinx = (cosx - sin3x)

cos3x + sin3x = sinx + cosx

cos3x + sin3x = sinx + cosx

cos cos3x + sin3x = sin sinx + cos cosx

b) Điều kiện: (*)

cosx - sin2x = (cos2x + sinx)

cos2x + sin2x = cosx - sinx

cos2x + sin2x = cosx - sinx

cos cos2x + sin2x = cos cosx - sin sinx

Kiểm tra với điều kiện (*), ta được nghiệm của phương trình đã cho là

c) Vận dụng phép biến đổi biểu thức giải một số phương trình khác

Có một số phương trình không thể vận dụng cách giải tương tự như cách giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx nhưng có thể giải được chúng bằng cách áp dụng phép biến đổi biểu thức

về dạng (*) hoặc (**) mà ta đã biết Ta xét Ví dụ 4 sau đây.

Ví dụ 4 Giải các phương trình:

a) 2cos2x +2 sinxcosx + 1 = 3(sinx + cosx)

Giải:

a) 2cos2x +2 sinxcosx + 1 = 3(sinx + cosx)

2 + (cos2x + sin2x) = 3(sinx + cosx)

2 + 2( cos2x + sin2x) = 6( sinx + cosx)

2 + 2(cos cos2x +sin sin2x) = 6(sin sinx + cos cosx)

b)

2.3.2 Vận dụng giải một số bài toán về phương trình chứa tham số

Thông qua cách giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx chúng

ta có thể hướng dẫn học sinh (như đã trình bày ở mục I.4) nắm được:

Từ đó hướng dẫn học sinh sử dụng điều kiện này để giải quyết một số bài toán về phương trình lượng giác chứa tham số, đặc biệt là bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm

Ví dụ 5 Tìm m để mỗi phương trình sau đây có nghiệm:

a) (m + 2)(cos4x - sin4x) + m(cosx - sinx)2 = m + 2 (1).

Giải

a) (1) (m + 2)(cos2x + sin2x)(cos2x - sin2x) + m(1- 2sinxcosx) = m + 2

(m + 2)cos2x - msin2x = 2 (1')

(1) có nghiệm (1') có nghiệm

b) Vì cosx + sinx = cos nên cosx + sinx + 2 > 0, do đó (2) xác định với mọi x

Ta có: (2) 2mcosx + m +1 = 2(cosx + sinx + 2)

2(m - 1)cosx - 2sinx = 3 - m (2')

(2) có nghiệm (2') có nghiệm

Ví dụ 6 Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m:

2m(cosx + sinx) = m2 + 2(cosx - sinx) + 3 (*)

Giải

(*) 2(m - 1)cosx + 2(m + 1)sinx = m2 + 3 (**)

(*) có nghiệm (**) có nghiệm

Do đó:

- Nếu m = 1 thì (*) là sinx = 1 nên có nghiệm

- Nếu m = -1 thì (*) là cosx = -1 nên có nghiệm

- Nếu thì (*) vô nghiệm

2.3.3 Vận dụng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Ngoài việc vận dụng điều kiện cần và đủ để phương trình

có nghiệm như trên, chúng ta còn có thể hướng dẫn học sinh khai thác điều kiện này để giải một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và thu được hiệu quả rất tốt Sau đây là một số ví dụ minh hoạ

Ví dụ 7 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

Giải

a) Ta có: y = 6sin7x + 8cos7x 6sin7x + 8cos7x = y (1).

(1) có nghiệm theo ẩn x khi và chỉ khi 62 + 82 y2

Vậy: miny = -10; maxy = 10

b) Vì cosx + sinx = cos nên cosx + sinx - 2 < 0, do đó hàm số xác định với mọi x.

Ta có:

(2) (2) có nghiệm theo ẩn x khi và chỉ khi y2 + (y - 1)2 4(y + 1)2

2y2 + 10y + 3

Vì 2cos2x - sin2x nên 2cos2x - sin2x + 4 > 0, do đó hàm số xác định với mọi x Khi đó:

(4) có nghiệm theo ẩn x khi và chỉ khi (2y - 1)2 + (-y)2 (3 - 4y)2

11y2 - 20y + 8

Vậy: .

a) Tìm m để y > 0 với mọi x.

b) Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải

Vì cosx + sinx = cos nên cosx + sinx + 2 > 0, do đó hàm số xác định với mọi x.

Ta có: y(cosx + sinx + 2) = 2mcosx + m +1

(y - 2m)cosx + ysinx = m - 2y + 1 (*).

(*) có nghiệm theo ẩn x

a) Ta có: y > 0 với mọi x

Suy ra maxy đạt giá trị nhỏ nhất khi m =

2.3.4 Hệ thống bài tập tổng hợp tự luyện giao thêm giúp học sinh tiếp tục củng cố, rèn luyện kỹ năng

Bài 1 Giải các phương trình sau:

Bài 2 Giải các phương trình sau:

d)

Bài 3 Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm:

Bài 4 Giải và biện luận theo m mỗi phương trình sau:

Bài 5 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số

Tìm m để y < 1 với mọi x.

Tìm m để miny < -1.

Tìm m để (miny)2 + (maxy)2 = 2

2.4 Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Tôi đã áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy tại lớp 11C3 trường THPT Như Xuân trong năm học 2019 – 20120 Qua đó, tôi nhận thấy học sinh đã tích cực, hứng thú, phát huy sáng tạo, biết tìm tòi, khám phá trong học tập phương trình lượng giác, giúp các em tự tin hơn trong học tập Đa số học sinh nắm vững các dạng toán, phương pháp giải và biết vận dụng; trước mỗi bài toán đã có định hướng rõ ràng, không còn mò mẫm, lúng túng; tìm được hướng giải, biết cách trình bày và ít gặp sai lầm, thiếu sót, điểm số được nâng lên

Đối với bản thân, khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, tôi thấy tiết dạy hiệu quả, tạo được hứng thú cho học sinh, giúp học sinh nắm vững, khắc sâu nội dung kiến thức Bản thân cũng cảm thấy tự tin, hứng thú hơn khi giảng dạy nội dung về phương trình lượng giác, cảm nhận thấy tiết dạy lôi cuốn, học sinh sôi nổi, chú ý, chủ động, tích cực

Đối với đồng nghiệp và nhà trường, Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm trao đổi về phương pháp, giải pháp giảng dạy những nội dung kiến thức về phương trình lượng giác và vận dụng, khai thác giải một số dạng toán liên quan Nội dung Sáng kiến này cũng chính là một nội dung mà tôi đã trình bày trong sinh hoạt chuyên môn định kỳ của tổ chuyên môn Toán Qua đó để cùng với các đồng nghiệp đi đến thống nhất về phương pháp, giải pháp giảng dạy nhằm nâng cao hiệu quả, chất lượng giảng dạy nội dung Chương I – Đại

số và Giải Tích 11 nói riêng và môn Toán nói chung

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Qua áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, tôi thu được một số kết quả chính, đó là:

- Học sinh nắm được một phương pháp giải phương trình lượng giác và biết vận dụng giải quyết một số các bài toán có trong chương trình

- Học sinh hứng thú hơn trong học tập về giải phương trình lượng giác nói riêng và học tập môn toán nói chung

- Giáo viên hệ thống được một số dạng toán vận dụng phương pháp nói trên để giải, qua đó hướng dẫn học sinh học tập một cách hứng thú, phát huy sáng tạo

- Trên cơ sở này giáo viên tìm ra những phương pháp giảng dạy phương trình lượng giác một cách hiệu quả, thú vị

- Nội dung của Sáng kiến kinh nghiệm này có thể làm tài liệu để đồng nghiệp và học sinh lớp 11, 12 tham khảo trong quá trình dạy và học

Sáng kiến kinh nghiệm này còn có thể phát triển theo các hướng:

- Tiếp tục nghiên cứu, khai thác, vận dụng kiến thức về phương trình bạc nhất đối với sinx và cosx để giải thêm các bài toán, dạng toán khác

- Vận dụng cách làm và giải pháp mà Sáng kiến kinh nghiệm này đưa

ra để giảng dạy các nội dung kiến thức khác trong chương trình toán THPT

3.2 Kiến nghị:

- Đối với đồng nghiệp: Với kết quả của Sáng kiến kinh nghiệm này, tôi mong các đồng nghiệp quan tâm, chia sẻ, cùng trao đổi, ứng dụng vào giảng dạy để không ngừng nâng cao hiệu quả tiết dạy và kết quả học tập của học sinh

- Đối với tổ chuyên môn: Trong các cuộc sinh hoạt chuyên môn cần tăng cường trao đổi về giải pháp phát huy tính sáng tạo, sự tìm tòi, khám phá của học sinh trong học tập

- Đối với Sở Giáo dục và Đào tạo: Tiếp tục chỉ đạo nâng cao chất lượng công tác viết Sáng kiến kinh nghiệm; những Sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng tốt cần tập hợp, in thành tài liệu và phổ biến đến các trường THPT để giáo viên, học sinh nghiên cứu, áp dụng, sử dụng trong dạy và học

XÁC NHẬN CỦA Thanh Hóa, ngày 30 tháng 6 năm 2020