(SKKN mới NHẤT) hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài toán nguyên hàm, tích phân chứa hàm ẩn mức độ vận dụng vận dụng cao trong đề thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CHỨA HÀM ẨN MỨC ĐỘ VẬN DỤNG -VẬN DỤNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NGA SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CHỨA HÀM ẨN MỨC ĐỘ VẬN DỤNG -VẬN DỤNG CAO

TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Lê Diễm Hương Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

THANH HÓA NĂM 2020

2 Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm 22.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan 32.3.1.1 Định nghĩa nguyên hàm, tích phân 32.3.1.2 Tính chất nguyên hàm, tích phân 32.3.1.3 Phương pháp đổi biến số và phương pháp nguyên hàm, tích phân từng

1 MỞ ĐẦU

1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Đất nước ta trên đường đổi mới cần có những con người phát triển toàn diện, năng

động và sáng tạo Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đòi hỏi sựnghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội Đổi mới sự nghiệpgiáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó có một yếu tố quan trọng là đổimới phương pháp dạy học, bao gồm cả phương pháp dạy học môn Toán

Mục tiêu Giáo dục phổ thông đã chỉ: “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải pháthuy tính tích cực,tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với từng đặc điểm củatừng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiếnthức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho họcsinh”

Trong những năm trước đây bài toán tìm nguyên hàm tích phân chứa hàm ẩn chỉ nằmphần lớn ở chương trình đại học Từ năm 2017 bộ GD & ĐT quyết định áp dụng phươngthức thi trắc nghiệm cho môn Toán thì bài toán tìm nguyên hàm tích phân chứa hàm ẩnđược coi là bài toán không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia, minh chứng điều đóchúng ta thấy rõ trong các đề thi chính thức và thử nghiệm của Bộ GD & ĐT Sự đổi mớiquyết đoán đã làm thay đổi toàn bộ cấu trúc của đề thi môn Toán, với thời lượng 90 phútcho 50 câu trắc nghiệm thì yêu cầu đặt ra với học sinh không còn đơn thuần là tư duychặt chẽ, lô gic, cẩn thận mà quan trọng hơn cả là sự linh hoạt, nhanh nhẹn, kỹ năng thaotác tốc độ Để thành công trong việc giải quyết tốt một đề thi trắc nghiệm Toán thì ngoài

việc học sâu cần phải học rộng, nhớ nhiều các dạng toán

Trong cá đề thi chính thức và thử nghiệm của Bộ GD & ĐT bài toán về nguyên hàm

tích phân chứa hàm ẩn thường nằm ở mức độ kiến thức vận dụng và vận dụng cao, là bài

toán dành cho học sinh khá giỏi Cái khó ở bài toán này được đa phần các thầy cố giáokhi giảng dạy đều nhận xét nó nằm ở các yếu tố: Thứ nhất đề bài thông thường đưa ra làmột hàm ẩn hoặc một phương trình chứa hàm ẩn; thứ hai sử dụng các tư duy về hàm sốchứa ẩn dẫn đến tư duy về nguyên hàm tích phân là một tư khó đối với học sinh; thứ babài toán còn đòi hỏi sự biến đổi phức tạp kết hợp cả nhiều phương pháp tính nguyên hàmtích phân dễ gây sai sót và nhầm lẫn cho học sinh Đây là một bài toán mới, được áp dụngvào thi cử chưa nhiều, trên thị trường sách và các tài liệu tham khảo còn ít, còn hạn chếcũng như chưa được đầu tư kỹ lưỡng về nội dung và hình thức Việc có một tài liệu hoànchỉnh, đầy đủ, phân chia các dạng toán khoa học luôn là một nhu cầu cấp thiết cho cảthầy cô và học sinh

Vì lí do đó trong quá trình giảng dạy học sinh nhiều năm ở các lớp 12 và trong quátrình ôn tập tiến tới kỳ thi THPTQG sắp tới tôi mạnh dạn đưa ra cách giải quyết những

khó khăn trên của học sinh bằng đề tài “ Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải

bài toán nguyên hàm, tích phân chứa hàm ẩn mực độ vận dụng - vận dụng cao trong

đề thi THPT Quốc gia”.

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Đứng trước những vấn đề trên trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng kiến thức chohọc sinh , tôi đã luôn trăn trở và đi tìm những thuật giải, những hướng đi cụ thể để giảiquyết những vấn đề từ dễ đến khó Nhưng chúng ta đã biết không có một chìa khoá vạnnăng nào có thể “mở khoá” được mọi bài toán Trong khi đó việc giảng dạy toán học nói

được vấn đề đặt ra của bài toán một cách sáng tạo, hoàn chỉnh là rất cần thiết Trong bàiviết này, dựa trên kinh nghiệm một số năm giảng dạy ở lớp 12, luyện thi THPTQG bồidưỡng kiến thức cho các em giành được số điểm cao nhất , tôi xin nêu lên hướng giải

quyết bài toán về nguyên hàm, tích phân chứa hàm ẩn với đề tài “ Hướng dẫn học sinh

một số phương pháp giải bài toán nguyên hàm, tích phân chứa hàm ẩn mực độ vận dụng - vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia”, nhằm làm cho học sinh nâng cao

khả năng tư duy, phát triển trí tuệ đồng thời bồi dưỡng niềm đam mê toán học cho các emhọc sinh,giúp các em tự tin để bước vào kì thi tốt nghiệpTHPT sắp tới

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Nội dung là các bài toán về nguyên hàm, tích phân chứa hàm ẩn trong chương trìnhmôn Toán cấp THPT

- Một số bài tập vận dụng và vận dụng cao nằm trong đề thi khảo sát chất lượngTHPTQG của các trường THPT và các đề thi THPTQG những năm gần đây của Bộ GD

& ĐT

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Đề tài sử dụng chủ yếu các phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Phương pháp thu thập thông tin và xử lí số liệu (từ các nguồn tài liệu ôn thi, các đề thithử nghiệm, các đề thi thử của các trường THPT, các đề thi HSG của các tỉnh, các báocáo, luận văn của sinh viên, thạc sĩ, bài giảng của một số giảng viên toán,…)

- Phương pháp thử nghiệm thực tiễn

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt

động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực,

bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ

môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người Toán học làmột môn học quan trọng và khó, kiến thức rộng, không ít học sinh ngại học môn này

- Muốn học tốt môn Toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở mônToán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập.Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic vàcách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn Toán họcmột cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bàitập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải

- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp chohọc sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán nguyên hàmtích phân chứa hàm ẩn

Khi gặp một bài toán về nguyên hàm tích phân có chứa hàm ẩn chúng ta có rất nhiềuhướng tiếp cận để tư duy ra lời giải Tuy nhiên với những bài toán hay và khó, lối tư duytheo hướng bó hẹp trong khuôn khổ kiến thức của SGK sẽ khiến học sinh khó khăn tìm

ra hướng giải quyết Vì tính chất phân loại của đề thi hiện nay, bài toán về tìm nguyênhàm tích phân nói chung và bài toán tìm nguyên hamg tích phân có chứa hàm ẩn nói

riêng đã đặt ra một yêu cầu cao hơn ở học sinh Để giải quyết được bài toán, học sinhkhông chỉ nắm được lý thuyết cơ bản mà phải biết kết hợp thành thạo các cách giải tổngquát mà các em học được Tạo nên một sự liên kết chặt chẽ giữa các mặt kiến thức nhất

là kiến thức giữa các cấp học giúp học sinh thấy được bản chất của vấn đề đang học, gâynên sự hứng thú tích cực trong học tập, làm cho các em chủ động hơn trong việc tiếp thu

và lĩnh hội tri thức, giúp các em không ngừng tìm tòi thêm nhiều cách giải mới, khắcphục được tâm lý lo sợ khi gặp bài toán khó là mục tiêu quan trọng nhất trong hoạt độngdạy học của mỗi giáo viên

Trong giới hạn của SKKN tôi chỉ hướng dẫn học sinh giải thành thạo một số bài

toán về nguyên hàm tích phân chứa hàm ẩn bằng “ Bốn phương pháp cơ bản”.

2.2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

Qua việc khảo sát khảo sát rất nhiều nhóm học sinh trong trường THPT Nga Sơn cũngnhư các trường THPT trong địa bàn huyện Nga Sơn và trong quá trình kiểm tra khảo sátđịnh kỳ học tập, luyện đề ôn thi THPTQG hai năm gần đây tôi nhận thấy học sinh khi gặpcâu về tìm nguyên hàm, tích phân có chứa hàm ẩn thường không định hướng được cáchgiải hoặc thậm chí bỏ qua câu này Điều một phần thấy khó do yếu tố tâm lí của học sinhnghĩ rằng đây là bài toán dành cho học sinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan không thểlàm được Điều đó dẫn đến một sự thật đáng buồn, phần lớn học sinh dự thi THPTQGđều bỏ qua hoàn toàn câu này hoặc chỉ làm được một vài dạng câu với mức độ nhận biếthọc thậm chí khoanh bừa Một điều đáng ngạc nhiên là những năm gần đây trong các đềthi khảo sát chất lượng các môn thi THPTQG của các trường THPT trong cả nước, đề thi

và đề minh họa của Bộ GD &ĐT từ năm 2017 đến nay thường xuất hiện các dạng câu hỏinày Lúc này vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướng dẫn chỉ rõ cho họcsinh phương pháp giải toán, nên giải như thế nào cho hợp lý đối với từng loại toán đểđược một bài toán đúng biến đổi đúng và suy luận có logic giúp các em học sinh có thêm

tự tin để giải quyết được những bài toán khó này Đó là mục đích của đề tài “ Hướng dẫn

học sinh một số phương pháp giải bài toán nguyên hàm, tích phân chứa hàm ẩn mực

độ vận dụng - vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia” mà tôi hướng đến.

2.3 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của đồng nghiệp

tôi mạnh dạn đưa ra bốn hướng giải quyết vấn đề bài toán về nguyên hàm, tích phânchứa hàm ẩn để giúp học sinh có những kỹ năng cần thiết trong quá trình ôn tập thi

THPTQG đó là: “phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất nguyên hàm; phương

pháp sử dụng định nghĩa tính chất tích phân, giải hệ tích phân; phương pháp đổi biến

số, phương pháp nguyên hàm tích phân từng phần”.

Đối với mỗi phương pháp, tôi phân tích và định hướng cho học sinh cho các em làm cụthể, đồng thời lấy các ví dụ có tính đặc trưng để học sinh nắm vững cách giải Nhữngdạng bài tập có nhiều cách giải tôi đều so sánh phân tích để các em thấy được ưu nhượccủa từng cách giải để từ đó các em chủ động trong việc định hướng,lựa chọn cách giảicho những bài tập tương tự

Để minh họa cho từng phương pháp, tôi đều đưa ra những bài toán nằm trong các Đềthi khảo sát THPT QG của các trường THPT hoặc của Bộ GD & ĐT Với mỗi bài toánnhư vậy tôi dẫn ra những cách giải phù hợp với nội dung chương trình đang học từ đóhọc sinh có định hướng phân loại, kỹ năng giải thành thạo các bài toán sẽ gặp

2.3.1.Hệ thống kiến thức liên quan

2.3.1.1 Định nghĩa nguyên hàm, tích phân

* Định nghĩa 1: Cho hàm số xác định trên Hàm số được gọi là nguyênhàm của trên nếu Họ tất cả các nguyên hàm của trên

Từ đó: ( là hằng số) hay

* Định nghĩa 2: Cho hàm số liên tục trên và là hai số bất kì thuộc Nếu

là một nguyên hàm của trên thì hiệu số được gọi là tích phân của từ đến và kí hiệu là: hay

* Nếu hàm số liên tục trên thỏa mãn thì:

* Nếu hàm số liên tục trên và thì:

* Nếu Nếu hàm số liên tục trên thì:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tỉ lệ trên

2.3.1.3 Phương pháp đổi biến số và phương pháp nguyên hàm, tích phân từng phần

* Phương pháp đổi biến số :

+ Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và hàm số liên tục sao cho

xác định trên Khi đó nếu là một nguyên hàm của tức là

thì + Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và hàm số liên tục sao cho

xác định trên ; là hai số thuộc Khi đó:

* Phương pháp nguyên hàm từng phần: Nếu là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên thì

* Phương pháp tích phân từng phần: Nếu là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên và là hai số thuộc thì

2.3.1.4 Quy tắc tính đạo hàm và nguyên hàm của một số hàm số

* Giả sử là các hàm số có đạo hàm tại điểm thuộc khoảng xác định

2.3.2 Các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân

2.3.2.1 Phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất của nguyên hàm

Ví dụ 1: Cho hàm số xác định trên tập thỏa mãn :

Tính giá trị của biểu thức:

A B C D

Hướng dẫn: Đáp án A

Phân tích: Khi gặp bài toán này các em học sinh sẽ lúng túng trong việc sử dụng giá trị

của hàm số tại điểm cho trước để tìm ra hàm ẩn Thậm chí có những em sẽ thấy đề

bài cho“ thừa” dữ kiện khi có hai giá trị của và dẫn đến sai lầm khi tìm hằng số C của Với những dạng toán này khi giả thiết có thể cho từ hai giá trị hàm tại 1 điểm trở lên tôi hướng dẫn các em giải quyết theo hai cách sau:

*Nhận xét: Trong hai cách giải trên cách thứ nhất học sinh sử dụngtrực tiếp định nghĩa

nguyên xét trên từng khoảng Còn cách thứ hai sử dụng định nghĩa tích phân có thể sử dụng máy tính hỗ trợ sẽ rút ngắn thời gian làm bài hơn.

Ví dụ 2: Cho hàm số xác định trên tập thỏa mãn : Tínhgiá trị của biểu thức:

+ Theo giả thiết: nên

Ví dụ 3: Cho hàm số xác định trên tập thỏa mãn :

Tính giá trị của biểu thức:

Ví dụ 4: Cho hàm số xác định trên tập thỏa mãn : Phương trình

có 2 nghiệm Tính giá trị của biểu thức:

A B C D

Hướng dẫn: Đáp án A.

Áp dụng định nghĩa nguyên hàm

+ Ta có Mặt khác:

+ Xét phương trình: Suy ra:

Ví dụ 5: Cho hàm số nhận giá trị dương và có đạo hàm trên khoảng thỏamãn và Tính giá trị biểu thức:

A B C D

Hướng dẫn: Đáp án A

Phân tích: Khi gặp dạng bài toán này tôi hướng dẫn học sinh kết hợp quy tắc đạo hàm

với định nghĩa nguyên hàm để tìm ra hàm ẩn

Phân tích: Với những bài toán xuất hiện lũy thừa tôi định hướng cho học sinh áp dụng

nguyên hàm Từ đó giải phương trình tìm được hàm ẩn

+ Ta có:

Từ phương trình:

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ 7: Cho hàm số xác định và liên tục trên R thỏa mãn:

Tính giá trị của biểu thức:

Suy ra: Vậy :

Ví dụ 8: Cho hàm số liên tục và nhận giá trị dương trên R, thỏa mãn và

Khi đó giá trị biểu thức: thuộc khoảng

A B C D

Hướng dẫn: Đáp án D

Phân tích: Với những bài toán đề bài cho tỉ số giữa đạo hàm và hàm số tôi định hướng

cho học sinh sử dụng theo nguyên hàm để tìm ra hàm ẩn.

+ Ta có:

Ví dụ 9: Cho hàm số thỏa mãn điều kiện Biết tổng

và là phân số tối giản Mệnh đề nàođúng?

+ Ta có:

+ Theo giả thiết: nên

Ví dụ 11: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn , thỏa mãn

A B C D

Hướng dẫn: Đáp án A

* Phân tích: Đây là một bài toán khó gây lúng túng trong việc định hướng tìm ra cách

giải Nên khi gặp những hệ thức chứa đạo hàm tôi hướng dẫn các em khéo léo biến đổi bám theo quy tắc đạo hàm dẫn đến hàm ẩn

Ví dụ 14: Cho hàm số liên tục trên , thỏa mãn điều kiện và

với mọi Biết: Tính

A B C D

Hướng dẫn: Đáp án A

* Phân tích: Khi gặp hệ thức có tổng(hiệu) có chứa hàm số và đạo hàm của nó tôi

định hướng cho học sinh biến đổi để dẫn đến đạo hàm của tích hoặc thương Từ đó học sinh sẽ có “thói quen” hình thành kỹ năng giải các bài toán tương tự

2.3.2.2.Phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất tích phân, giải hệ tích phân

* Nhận xét: Sau đây là một số bài toán tìm tích phân chứa hàm ẩn ngoài việc sử dụng

định nghĩa, tính chất tích phân còn có sự kết hợp nhạy bén các quy tắc đạo hàm của hàm

số ở chương trình lớp 11 Tôi đã đưa ra một số ví dụ sau để học sinh tự phân tích, định hướng và đưa ra lời giải.

Ví dụ 10: Cho hàm số thỏa mãn Biết Tính

Ví dụ 11: Cho hàm số liên tục trên , thỏa mãn điều kiện

và , Giá trị của tích phân bằng

A B C D

Hướng dẫn: Đáp án C

*Phân tích: Đây là một bài toán tính tích phân hàm ẩn chứa lũy thừa đặc biệt là mũ 2,

tôi định hướng học sinh đi phân tích theo hằng đẳng thức và sử dụng thêm tính chất: thì: từ đó tìm ra hàm ẩn

Ví dụ 12: Cho hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục trên , thỏa mãn điều kiện

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A B C D

Hướng dẫn: Đáp án D.Sử dụng quy tắc đạo hàm của một thương và định nghĩa tích phân.