(SKKN mới NHẤT) kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số dạng bài toán tìm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

 là số điểm cực trị của hàm  là số giao điểm của với trục hoành không tính các điểm trùng với ở trên  Số cực trị của hàm bằng , trong đó là số điểm cực trị dương của hàm.. MỘT SỐ DẠN

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong vài năm gần đây khi bài thi môn toán chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, các câu hỏi về hàm xuất xuất hiện với số lượng khá nhiều trong đề thi Nội dung câu hỏi được khai thác ở nhiều khía cạnh khác nhau, nhiều dạng câu hỏi thực sự gây khó cho thí sinh Nhiều em khi gặp một số loại bài toán về hàm

số còn khá lúng túng, đôi khi không biết bắt đầu từ đâu Qua một thời gian giảng dạy, tôi nhận thấy rằng, nguyên nhân ở đây là do các em chưa nắm vững lý thuyết, chưa biết cách suy nghĩ và vận dụng như thế nào Do vậy, để giúp học sinh có thể tự tin hơn và có khả năng giải quyết tốt hơn câu hỏi về hàm số trong các bài thi đó, thì việc trang bị cho các em kiến thức cũng như cách suy nghĩ, kỹ năng là điều cần thiết

Với lý do đó, tôi chọn đề tài:

“KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI”

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

A THỰC TRẠNG

Đối tượng mà đề tài áp dụng là các em học sinh ôn luyện thi THPT QG của nhà trường Trước khi áp dụng đề tài này thì phần nhiều học sinh khá lúng túng trước dạng toán này

B NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Trong đề tài này, tôi trình bày kinh nghiệm cá nhân hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán về cực trị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối xuất hiện trong đề thi thử của các trường, các tỉnh thành và đề thi THPT QG trong những năm gần đây

A LÝ THUYẾT

Một số phép biến đổi đồ thị cơ bản

1 Từ đồ thị suy ra đồ thị

Ta có

và là hàm chẵn nên đồ thị nhận làm trục đối xứng

 Cách vẽ từ :

Giữ nguyên phần đồ thị bên phải của đồ thị

Bỏ phần đồ thị bên trái của , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua

2 Từ đồ thị suy ra đồ thị

Ta có

 Cách vẽ từ :

Giữ nguyên phần đồ thị bên trên của đồ thị

Bỏ phần đồ thị bên dưới của , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua

Nhận xét 1:

Để từ đồ thị hàm số suy ra đồ thị ta thực hiện như sau:

Bước 1: Từ đồ thị suy ra đồ thị

Bước 2: Từ đồ thị suy ra đồ thị

Nhận xét 2:

 Số điểm cực trị của hàm số bằng với

nếu nếu

nếu nếu

 là số điểm cực trị của hàm

 là số giao điểm của với trục hoành (không tính các điểm trùng với

ở trên)

 Số cực trị của hàm bằng , trong đó là số điểm cực trị dương của hàm

Ta có

 Cách vẽ từ :

Giữ nguyên phần đồ thị trên miền của đồ thị

Bỏ phần đồ thị trên miền của , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua

4 Từ đồ thị suy ra đồ thị

Tịnh tiến đồ thị lên phía trên (theo phương ) đơn vị nếu , tịnh tiến xuống dưới đơn vị nếu

Nhận xét: Số điểm cực trị hàm số bằng số điểm cực trị hàm số

5 Từ đồ thị suy ra đồ thị

Tịnh tiến đồ thị sang bên phải (theo phương ) đơn vị nếu , tịnh tiến sang trái đơn vị nếu

Nhận xét: Số điểm cực trị hàm số bằng số điểm cực trị hàm số

nếu nếu

6 Đồ thị hàm số có được bằng cách lấy đối xứng trước rồi mới tịnh tiến

Đồ thị hàm số có được bằng cách tịnh tiến trước rồi mới lấy đối xứng

B MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Để giải quyết được các câu hỏi liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối học sinh cần nắm vững lý thuyết về biến đổi đồ thị được trình bày ở trên

DẠNG 1: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI DẠNG

Nhắc lại:

 Số cực trị của hàm bằng , trong đó là số điểm cực trị dương của hàm

Ví dụ 1 Cho hàm số Đồ thị của hàm số như hình vẽ bên dưới

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?

Hướng dẫn Từ đồ thị hàm số ta thấy cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương (và điểm có hoành độ âm)

có điểm cực trị dương

có điểm cực trị

có điểm cực trị với mọi (vì tịnh tiến lên trên hay

xuống dưới không ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số) Chọn C.

Số điểm cực trị của hàm số là

Hướng dẫn Ta có

Do chỉ đổi dấu khi đi qua và

hàm số có điểm cực trị và trong đó chỉ có điểm cực trị dương

hàm số có điểm cực trị (cụ thể là do tính đối xứng của hàm số chẵn ) Chọn B.

mọi Có bao nhiêu số nguyên để hàm số có điểm cực trị ?

Hướng dẫn Do tính chất đối xứng qua trục của đồ thị hàm thị hàm số

nên yêu cầu bài toán có điểm cực trị dương

Xét

Do đó có hai nghiệm dương phân biệt

Chọn B.

Ví dụ 4 Cho hàm số có đạo hàm

với mọi Có bao nhiêu số nguyên để hàm số có điểm cực trị ?

Hướng dẫn Xét

Yêu cầu bài toán có hai nghiệm trái dấu

Chọn B.

Ví dụ 5 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới Số điểm cực trị của

Hướng dẫn Từ đồ thị ta thấy hàm số có điểm cực trị dương

hàm số có điểm cực trị

hàm số có điểm cực trị (vì phép tịnh tiến không làm thay

đổi cực trị) Chọn C.

Ví dụ 6 Cho hàm số xác định và có đạo hàm trên R, biết

Số điểm cực trị của hàm số

là:

TXĐ: R

Có

Nhận xét

Nên cùng dấu với

Suy ra bảng biến thiên của hàm số

Vậy hàm số đã cho có 7 điểm cực trị Chọn D

Ví dụ 7 Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị ?

Hướng dẫn Từ đồ thị hàm số ta thấy cắt trục hoành tại điểm

có hoành độ dương (và điểm có hoành độ âm)

có điểm cực trị dương

có điểm cực trị

có điểm cực trị với mọi (vì tịnh tiến sang trái hay sang

phải không ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số) Chọn D.

Ví dụ 8.Cho hàm số xác định và liên tục trên , có

Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

Hướng dẫn

Xét hàm số

Bảng biến thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên thì có hai điểm cực tiểu Do đó hàm

sẽ có 4 cực tiểu Chọn D

Ví dụ 9 Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị ?

Hướng dẫn Từ đồ thị ta có Suy ra bảng biến thiên của

Yêu cầu bài toán hàm số có điểm cực trị dương (vì khi đó lấy đối xứng qua ta được đồ thị hàm số có đúng điểm cực trị)

Từ bảng biến thiên của suy ra luôn có điểm cực trị dương tịnh tiến (sang trái hoặc sang phải) phải thỏa mãn

 Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn đơn vị

 Tịnh tiến sang phải không vượt quá đơn vị

DẠNG 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI DẠNG

Nhắc lại:

 Số điểm cực trị của hàm số bằng với

 là số điểm cực trị của hàm

 là số giao điểm của với trục hoành (không tính các điểm trùng với

ở trên)

mọi Hàm số có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị

Hướng dẫn

Ta có Cho

Bảng biến thiên

Suy ra hàm số có điểm cực trị

Và phương trình có tối đa nghiệm

Do đó hàm số có tối đa điểm cực trị

Mà hàm số và hàm số có cùng số điểm cực trị Suy ra hàm số có tối đa điểm cực trị Chọn A

số có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

Hướng dẫn

Ta có:

Ta lập bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 4 điểm cực trị, suy ra

có tối đa 5 nghiệm phân biệt

Do đó hàm số có tối đa điểm cực trị Chọn A

Ví dụ 12 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới Đồ thị hàm số

có tổng tung độ của các điểm cực trị bằng

Hướng dẫn Đồ thị hàm số có được bằng cách

 Tịnh tiến đề thị hàm số lên trên đơn vị ta được

 Lấy đối xứng phần phía dưới của đồ thị hàm số qua ta được

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra tọa độ các điểm cực trị là

tổng tung độ các điểm cực trị bằng Chọn C.

Ví dụ 13 Cho hàm số xác định và liên tục trên , có đạo hàm

Hàm số có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?

Hướng dẫn Xét hàm số

Ta thấy và là các nghiệm đơn còn là nghiệm kép hàm số

có 2 điểm cực trị phương trình có tối đa 3 nghiệm Nên hàm số có tối đa 5 điểm cực trị Chọn B

Ví dụ 14 Cho hàm bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên dưới Tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số có điểm cực trị là

C hoặc D

Hướng dẫn Vì hàm đã cho có điểm cực trị nên cũng luôn

có điểm cực trị

Do đó yêu cầu bài toán số giao điểm của đồ thị với trục hoành là

Để số giao điểm của đồ thị với trục hoành là , ta cần

 Tịnh tiến đồ thị xuống dưới tối thiểu đơn vị

 Hoặc tịnh tiến đồ thị lên trên tối thiểu đơn vị

Vậy hoặc Chọn A.

Ví dụ 15 Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Đồ thị hàm số có điểm cực trị khi

Hướng dẫn Vì hàm đã cho có điểm cực trị nên cũng luôn

có điểm cực trị

Do đó yêu cầu bài toán số giao điểm của đồ thị với trục hoành là

Để số giao điểm của đồ thị với trục hoành là ta cần tịnh tiến đồ thị xuống dưới lớn hơn đơn vị nhưng phải nhỏ hơn đơn vị

Chọn C.

Ví dụ 16 Tổng các giá trị nguyên của tham số để hàm số

có điểm cực trị bằng

Hướng dẫn Vẽ đồ thị hàm số như hình bên dưới

Ta thấy hàm số có điểm cực trị nên cũng luôn có điểm cực trị

Do đó yêu cầu bài toán số giao điểm của đồ thị với trục hoành là

Để số giao điểm của đồ thị với trục hoành là ta cần tịnh tiến đồ thị

lên trên nhưng phải nhỏ hơn đơn vị

Chọn D.

Ví dụ 17 Cho hàm số có đồ thị

như hình vẽ bên Có bao nhiêu giá trị nguyên

của tham số để hàm số

có điểm cực trị

?

Hướng dẫn Vì hàm đã cho có điểm cực trị nên

cũng luôn có điểm cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị)

Do đó yêu cầu bài toán số giao điểm của đồ thị với trục hoành là

Để số giao điểm của đồ thị với trục hoành là ta cần

 Tịnh tiến đồ thị xuống dưới tối thiểu đơn vị vô lý

 Hoặc tịnh tiến đồ thị lên trên tối thiểu đơn vị nhưng phải nhỏ hơn đơn vị

Chọn B.

Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?

Hướng dẫn Hàm số (là hàm số bậc ba) liên tục trên

Ta có có đúng nghiệm phân biệt trên

Khi đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm phân biệt nên hàm

số có đúng điểm cực trị Chọn D.

Ví dụ 19 Cho hàm số có đạo hàm trên và bảng biến thiên của hàm số như hình vẽ

Hướng dẫn

Đồ thị hàm số có được từ đồ thị bằng cách tịnh tiến đồ thị sang phải đơn vị và lên trên đơn vị Suy ra bảng biến thiên của

Dựa vào bảng biến thiên suy ra bảng biến thiên hàm số

ta có bảng biến thiên của hàm số như hình vẽ bên dưới

Từ BBT của hàm số ta thấy hàm số có điểm cực trị Chọn B

Ví dụ 20 Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như hình

vẽ sau

Hỏi số điểm cực trị của hàm số nhiều nhất là bao nhiêu ?

Hướng dẫn Ta có đồ thị hàm số có điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại tối đa điểm có hoành độ dương Khi đó

 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tối đa điểm

 Hàm số có điểm cực trị

Suy ra hàm số sẽ có tối đa điểm cực trị Chọn B.

Ví dụ 21 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới Có bao nhiêu số nguyên dương của tham số để hàm số có điểm cực trị ?

Hướng dẫn Vì hàm đã cho có điểm cực trị nên cũng luôn có điểm cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị)

Do đó yêu cầu bài toán số giao điểm của đồ thị với trục hoành là

Để số giao điểm của đồ thị với trục hoành là ta cần đồng thời

 Tịnh tiến đồ thị xuống dưới nhỏ hơn đơn vị

 Tịnh tiến đồ thị lên trên nhỏ hơn đơn vị

C HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Qua thực tế áp dụng đề tài trong việc ôn luyện cho các em, tôi nhận thấy rằng các em đã thích thú và tự tin giải các bài toán về cực trị hàm số chứa dấu giá trị

tuyệt đối, đã biết cách suy nghĩ để tiếp cận và giải khá tốt các bài loại này trong các đề thi thử và đề thi THPT QG

III KẾT LUẬN:

Sáng kiến này hi vọng góp phần thiết thực trong công tác dạy học và ôn thi tốt nghiệp Trong quá trình viết chuyên đề này tôi đã cố gắng rất nhiều, song vì trình độ hạn chế, thiếu sót là điều không thể tránh được Rất mong được sự góp

ý , bổ sung của các thầy cô giáo trong hội đồng nhà trường để đề tài được hoàn thiện hơn, được áp dụng rộng rãi và có hiệu quả hơn Xin trân trọng cảm ơn

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 14 tháng 7 năm

2020

Tôi xin cam đoan đây là SKKN do tôi viết, không sao chép nội dung của người khác

Người viết:

Trịnh Khắc Tuân