(SKKN mới NHẤT) kinh nghiệm hướng dẫn học sinh một số dạng tính tích phân chứa hàm ẩn

Với học sinh phổ thông việc sửdụng kỹ thuật biến đổi để đưa về những dạng công thức quen thuộc, trong chươngtrình đã được học ở sách giáo khoa và để tính tích phân là dễ hiểu và thiết th

MỤC LỤC

Nội dung Trang

I MỞ ĐẦU……… 2

1 Lý do chọn đề tài……… 2

2 Mục đích nghiên cứu……… 2

3 Đối tượng nghiên cứu……… 2

4 Phương pháp nghiên cứu……… 2

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM………. 3

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm………. 3

2.2.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề……… 5

2.3.1.Dạng 1……… 5

2.3.2.Dạng 2 ……… 8

2.3.3.Dạng 3……… 13

2.3.4.Bài tập áp dụng……… 15

II.4 Hiệu quả sáng kiến đối với họat động dạy và học 17

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ……… 19

1 Kết luận ……… 19

2 Kiến nghị ……… 19

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Đứng trước một bài toán, đặc biệt là bài toán khó người làm toán luôn đặt raphương hướng giải quyết Tuy nhiên đối với người ham mê toán còn đi tìm cáccách giải quyểt khác nhau, nhất là tìm được cách giải hay ngắn gọn và mới lạ thì lạicàng kích thích tính tò mò khám phá và lòng say mê môn học

Trong chương trình toán THPT (lớp 12) chúng ta thường gặp bài toán về tính tíchphân dạng hàm ẩn Đây là các dạng toán thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi

và đặc biệt là kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia

Có nhiều phương pháp để giải dạng bài toán này Với học sinh phổ thông việc sửdụng kỹ thuật biến đổi để đưa về những dạng công thức quen thuộc, trong chươngtrình đã được học ở sách giáo khoa và để tính tích phân là dễ hiểu và thiết thực chohọc sinh khi ứng dụng

Nhằm phát triển tư duy sáng tạo và giúp học sinh biết cách tìm tòi trong quá trìnhhọc toán đặc biệt với những em học khá, giỏi Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạycác đội tuyển học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh ôn thi tốt nghiệp THPT tôi luônhướng cho các em tìm ra nhiều cách giải một bài toán, mục đích là nhằm phát triển

tư duy sáng tạo và kỹ năng làm toán Với những lí do như trên, từ thực tế giảngdạy, với kinh nghiệm thu được, tôi đã tiến hành thực hiện đề tài sáng kiến kinh

nghiệm cho năm 2020 với nội dung “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh một số

dạng tính tích phân chứa hàm ẩn ”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Với việc nghiên cứu đề tài “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh một số dạng tính

tích phân chứa hàm ẩn ” sẽ giúp học sinh, đặc biệt là đối tượng học sinh học ở

mức độ khá, giỏi có thể tính tích phân một cách nhanh hơn, mới lạ hơn và sángtạo hơn

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến là áp dụng cho học sinh ở mức độ trung bìnhkhá trở lên lớp 12 -THPT Nga Sơn –Thanh Hóa Tất nhiên với từng đối tượng lớp

mà sẽ có những ví dụ minh họa hoặc các bài toán áp dụng sẽ là khác nhau

Sáng kiến kinh nghiệm này được trình bày các dạng bài toán tiêu biểu thường gặp,

có ví dụ minh hoạ điển hình và một số bài tập áp dụng Qua đó mong muốn khaithác thêm được cái hay cái đẹp của toán học và đồng thời góp phần tăng thêm kỹnăng giải toán cho học sinh

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Trong chương trình toán lớp 12 học sinh đã được học về nguyên hàm tích phântuy nhiên với dạng tích phân chứa hàm ẩn, học sinh thường coi đây là dạng toánkhó và mới lạ Tuy nhiên với việc đưa về một số dạng công thức quen thuộc họcsinh đã được học thì việc tính toán trở nên sẽ đơn giản hơn

Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 12 (cả cơ bản và nâng cao) đều dạy lýthuyết định nghĩa và tính chất của tích phân, cùng với những kiến thức về đạo hàmcủa chương trình toán lớp 11

Xin nhắc lại định nghĩa tích phân ( SGK Giải tích NC lớp 12 trang 148 mục 2) vàtính chất cơ bản của tích phân (SGK Giải tích NC lớp 12 trang 151 mục 3 ) là lýthuyết cơ bản nhất để tính tích phân trong hàm ẩn

2.1.1 Định nghĩa

Cho hàm số liên tục trên và là hai số bất kỳ thuộc Nếu là mộtnguyên hàm của trên thì hiệu số được gọi là tích phân của từ đến và kí hiệu là Trong trường hợp , ta gọi là tích phâncủa trên đoạn

Người ta dùng kí hiệu để chỉ hiệu số Như vậy nếu là mộtnguyên hàm của trên thì

2.1.2 Tính chất

Giả sử liên tục trên và là ba số bất kì thuộc Khi đó ta có:

với

Chú ý: Nếu với mọi thì

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong một đợt ra đề thi thử, kỳ thi tốt nghiệp THPT cho học sinh các lớp đượcphân công giảng dạy tại trường THPT Nga Sơn tôi đã ra bài toán sau:

Bài toán: Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn

Biết , tính tích phân

Với các đáp án đưa ra như sau:

A B C D.

*Kết qủa thu được

Khi chấm bài của các em tôi thấy phần lớn các em không làm được bài này.Thực ra đây là bài toán không khó, nếu ta biết sử dụng phương pháp phù hợp mà cụthể là phát hiện ra vế trái là đạo hàm của một tích, cụ thể là từ giả thiết :

, ta nhận thấy vế trái là biểu thức có dạng ,

từ đó ta có lời giải:

Lời giải

Ta có

, vì Khi đó

Vậy Chọn đáp án C.

Như vậy phương pháp tính tích phân trong hàm ẩn ta đã giúp học sinh phát hiện racái đặc điểm của bài toán, do vậy có cách giải ngắn gọn và rất dễ hiểu kể cả với học

sinh học ở mức độ trung bình Bài toán này cũng chính là dạng 2.3.2 trong phần các

giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề mà tôi sẽ trình bày dưới đây

Sau những năm trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá giỏi, học sinh dựthi học sinh giỏi trường, ôn thi tốt nghiệp THPT tôi đã đi tìm tòi các cách giải phù

hợp trong đó: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh một số dạng tính tích phân

chứa hàm ẩn ” là những phương pháp như thế và tôi đã mạnh dạn cải tiến phương

pháp, đồng thời áp dụng sáng kiến trong qúa trình giảng dạy của mình tại trườngTHPT Nga Sơn Thanh Hoá

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Để làm sáng tỏ điều này tôi xin đưa ra 3 dạng toán cơ bản, 13 ví dụ điển hình từ

dễ đến khó và các bài tập áp dụng cho mỗi loại Cũng xin nói thêm là nhằm pháthuy tư duy sáng tạo và kỹ năng giải toán cho học sinh, nên các bài toán minh hoạ

ra theo hình thức tự luận còn phần bài tập áp dụng ra theo hình thức trắc nghiệm,

để phù hợp với các kỳ thi hiện nay Cụ thể như sau :

2.3.1: Dạng 1 Dạng áp dụng định nghĩa, tính chất của tích phân

2.3.1a Sử dụng giả thiết cho đạo hàm ta tìm được hàm số

Ở dạng này từ việc cho hàm số và ta tìm được và từ đó tínhđược tích phân

Sau đây là hai ví dụ minh hoạ cho dạng này, và cũng xin lưu ý rằng đây là dạngtích phân mà Bộ GDĐT thường dùng cho kỳ thi THPT Quốc gia hay tốt nghiệpTHPT cho các năm gần đây.

Ta có hai ví dụ minh hoạ sau:

Bài 3 Cho hàm số là hàm lẻ và liên tục trên biết và

Nhận xét: Qua hai ví dụ trên ta thấy để áp dụng được tính chất cơ bản ( tính chất 3)

của tính phân ta đã phải thông qua phương pháp đổi biến số Đây là tình huốnggiúp học sinh chuyển từ cái mới lạ trở thành cái quen thuộc dễ hiểu

2.3.2 :Dạng 2 Dạng đưa về một vế là đạo hàm của hàm số hợp quen thuộc 2.3.2a Đưa biểu thức về vế trái có dạng Từ đó ta tìm được rồi tính tích phân

Bài 5 Cho hàm số , liên tục trên đoạn và thỏa mãn và :

Khi đó

Bài 6 Cho hàm số liên tục, không âm trên và thỏa mãn :

, và Tính tích phân

Gợi mở: Từ giả thiết ta có , biểu thức vế trái có dạng

Khi đó

Nhận xét: Cái mấu chốt của dạng này là giáo viên giúp học sinh phát hiện và biết

đưa từ giả thiết về vế, mà ở đó là đạo hàm của hàm số hợp liên quan đến tích phâncần tính Lúc đó việc tính toán chỉ còn là tính phân đơn giản quen thuộc

2.3.2b.Đưa biểu thức về vế trái có dạng Từ đó ta tìm được rồi tính

Nhận xét: Với là biểu thức cho trước thì ta có

Đặt ta được (*) Ngược lại mọi biểu thức có dạng ta có thể biến đổi đưa về dạng

Khi đó ta có bài toán tổng quát cho ví dụ cho 2.3.2 như sau:

Cho ; là các biểu thức đã biết Tìm hàm số thỏa mãn

(**)

Do vế trái có dạng (*) nên ta có thể biến đổi (**)

Trong đó được chọn sao cho :

(với là một nguyên hàm của ) Từ đây ta sẽ chọnđược biểu thức

Bài 8 Cho hàm số liên tục; có đạo hàm trên đoạn và thỏa mãn

, Tính

Lời giải

Bài 10 Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn

với Biết , tính tích phân

Gợi mở bài toán : Trước hết ta đi tìm biểu thức Ta có :

nên ta chọn , từ đó ta có lời giải

Lời giải

Ta có

Do:

Gọi là nguyên hàm của trên

 , trong đó a b c, , là các số nguyên dương và a

c là phân số tối giản Khi đó a b c  bằng

Bài 6 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn và

với mọi Tích phân bằng

2.4 Hiệu quả của sáng kiến đối với các hoạt động dạy và học

Nội dung sáng kiến này đã được trình bày tùy theo đối tượng ở các lớp 12 nhưng

chủ yếu dành cho các em học sinh khá giỏi Sự hứng thú và tự tin của học sinh đốivới việc học Toán, đặc biệt là loại toán về tích phân, thật sự được cải thiện, đã gópphần vào thành tích chung trong các kì thi của nhà trường trong các năm học qua Sau nhiều năm được phân công trực tiếp giảng dạy các khối lớp 12, đặc biệt làcác đối tượng học sinh khá, giỏi ở trường THPT Nga Sơn –Thanh Hóa, tôi đã ápdụng sáng kiến này trong việc giảng dạy đại trà ở lớp, bồi dưỡng học sinh khá giỏi,

ôn luyện thi thi THPT quốc gia trước đây và tốt nghiệp THPT hiện nay Từ đó tôi

đã rút ra kết luận sau :

* Kết quả kiểm nghiệm trong quá trình giảng dạy cho các nhóm lớp:

( Lớp 12B, 12G ,12H trường THPT Nga Sơn Thanh Hoá)

Số học sinh làm được bài dạng này khi đã dạy phương pháp

Số lượng Phần trăm Số lưọng Phần trăm

- Sau khi sử dụng phương pháp này vào việc giảng dạy tôi nhận thấy số học sinhkhá giỏi ngày càng được tăng lên ở các năm và học sinh không còn ‘‘ e ngại’’ khigặp các bài toán về tích phân hàm ẩn.

* Bài học kinh nghiệm rút ra:

Sau một thời gian đưa vào sử dụng , bồi dưỡng học sinh tôi đã rút ra một số kinhnghiệm sau:

- Giáo viên phải nghiên cứu kỹ kiến thức sách giáo khoa, tài liệu tham khảo

- Lựa chọn đúng phương pháp giảng dạy bộ môn phù hợp với đối tượng học sinh

- Để áp dụng và làm tốt các bài tập cần cho học sinh nắm vững cơ sở lý thuyếtcủa vấn đề tránh được những thiếu sót và không chặt chẽ trong quá trình giải bàitập của học sinh

- Khi cho bài tập cần nâng cao dần về mức độ khó

- Sau mỗi bài tập cần chốt lại cái cơ bản của vấn đề và nhận xét nhằm lôi cuốnhọc sinh có lòng say mê học toán

III.KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

1.Kết luận

Trên đây là sáng kiến của tôi trong quá trình trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học

sinh giỏi Sau nhiều năm tôi đã hệ thống thành chuyên đề về : “Kinh nghiệm

hướng dẫn học sinh một số dạng tính tích phân chứa hàm ẩn ”

Đây là phương pháp rất hữu ích giúp học sinh biết chuyển bài toán từ lạ thành

quen, từ tưởng như phức tạp thành bài toán đơn giản để giải quyết và đặc biệt làmcho học sinh cảm thấy hứng thú say mê học tập Dạng toán này cũng là một chuyên

đề quan trọng giúp cho giáo viên ôn luyện thi tốt nghiệp THPT hàng năm

2 Kiến nghị

Mặc dù bản thân đã rất tâm huyết với đề tài, tuy vậy thời gian nghiên cứu còn hạnchế, bản thân kinh nghiệm chưa nhiều nên bài viết không tránh khỏi những thiếusót Mong được sự góp ý chân thành của quý Thầy Cô giáo

Tôi xin chân thành cảm ơn !

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh hóa,ngày 24 tháng 6 năm 2020

Tôi xin cam đoan trên đây là SKKN củamình, không sao chép nội dung

người khác

Trịnh Văn Hoan

TÀI LIỆU THAM KHẢO

- Sách giáo khoa Đại số và giải tích 12 nâng cao – Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) –NXB Giáo dục Việt Nam-Năm 2008

- Sách giáo khoa Đại số và giải tích 12 – Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) –NXBGiáo dục Việt Nam-Năm 2008

- Phương pháp tính tích phân – Nguyễn Hữu Ngọc (Chủ biên) –NXB Trẻ -Năm2002

Giải toán đại số và giải tích – Trần Thành Minh (Chủ biên) –NXB Giáo Dục Năm 2003

Báo toán học và tuổi trẻ

- Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thậut tính tích phân – Trần Phương – NXB Đạihọc quốc gia Hà nội – Năm 2011

- Đề thi thử THPT quốc gia và tốt nghiệp THPT của các Sở GDĐT Thanh Hoá(2018), Ninh Bình( 2019), Tây Ninh (2020) …

DANH MỤC

CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP

CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Trịnh Văn Hoan

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THPT Nga sơn

giá xếp loại

Kết quả đánh giá xếp loại

Năm học đánh giá xếp loại

1.

Phương pháp lượng giác hoá để giải các

phương trình vô tỷ.

Sở GD&ĐT Tỉnh Thanh

2.

Phương pháp toạ độ để giải và biện luận

phương trình chứa tham số.

Sở GD&ĐT Tỉnh Thanh

1.

3.

Sử dụng phương pháp toạ độ, để giải các

bài toán bất đẳng thức và giá trị lớn nhất,

nhỏ nhất.

Sở GD&ĐT Tỉnh Thanh

4.

- Hướng dẫn học sinh xác định số hạng

tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy

hồi, qua bài học cấp số cộng, cấp số nhân.

Sở GD&ĐT Tỉnh Thanh

3.

5.

- Phương pháp tọa độ để tính khoảng cách

trong bài toán hình học không gian.

Sở GD&ĐT Tỉnh Thanh

6.

- Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

qua một số bài toán về GTLN, GTNN và

BĐT bằng phương pháp toạ độ.

Sở GD&ĐT Tỉnh Thanh

7.

- Phương pháp tìm giới hạn của dãy số

được cho bởi công thức truy hồi, qua việc

tìm số hạng tổng quát của dãy.

Sở GD&ĐT Tỉnh Thanh