(SKKN mới NHẤT) kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp trong hai tính chất của số tổ hợp để giải một số bài toán nhị thức newton

Chính vì vậy, với mong muốn có thể đáp ứng được sự ham học hỏi của học sinh lớp 11 khi học về nhị thức Newton, tôi nghiên cứu và viết đề tài “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2

2 1 Cơ sở lí luận của sáng kiến 2

2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến 3

2 3 Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề 3

2.3 1 Hệ thống kiến thức liên quan 3

2.3.2.Một số ví dụ vận dụng ……… 3

2.3.3 Hệ thống bài tập tự luyện………11

2.4 Hiệu quả của sáng kiến 12

3 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 13

3.1 Kết luận 1 3

3.2 Kiến nghị 1 4

A.ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Trước đây chương Đại số tổ hợp là chương cuối cùng của chương trình Giải

tích lớp 12 Khi đó học sinh đã được học qua các công cụ mạnh như đạo hàm, tích phân Vì vậy, người ta đã kết hợp lý thuyết nhị thức Newton với các công cụ đạo hàm, tích phân để đưa ra rất nhiều bài toán khó về tổng các số tổ hợp, mà chúng xuất hiện nhiều trong đề thi Đại học – Cao Đẳng

Hiện nay chương Đại số tổ hợp được xếp vào cuối học kì 1 của lớp 11 Do

đó, theo truyền thống, muốn giải được các bài toán trên học sinh phải đợi đến cuối năm học lớp 11( lúc được học về đạo hàm) và cuối năm học lớp 12( lúc được học tích phân) Tuy nhiên trong sách giáo khoa lớp 11 có viết đôi bài về các tổng chứa số tổ hợp đơn giản Điều này khiến cho những học sinh ham tìm hiểu quan tâm đến các bài toán dạng này trong các tài liệu tham khảo, cùng với thực tế là mỗi năm có một nhóm học sinh lớp 11 hỏi về các bài toán dạng này Mỗi lần như vậy, việc phải trả lời các em rằng sau này các em mới có đủ kiến thức để giải làm lòng tôi thấy áy náy vì chưa làm thỏa mãn tính hiếu học của các

em Chính vì vậy, với mong muốn có thể đáp ứng được sự ham học hỏi của học

sinh lớp 11 khi học về nhị thức Newton, tôi nghiên cứu và viết đề tài “Kinh

nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp trong hai tính chất của số tổ hợp để

giải một số bài toán nhị thức Newton’’ Hi vọng nó sẽ là tài liệu tham khảo bổ

ích cho giáo viên và học sinh

1.2 Mục đích nghiên cứu

Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận và làm quen với cách học, cách làm nhanh bài

toán nhị thức Newton , từ đó có thể phát huy tối đa hiệu quả làm bài, nhằm đạt được kết quả cao nhất

Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi muốn định hướng để

học sinh có thể đưa ra hướng giải tự nhiên và phù hợp với kiến thức được học

của học sinh lớp 11 hiện nay đối với những bài toán có liên quan đến việc tính tổng của số tổ hợp ngay cả khi chưa học về đạo hàm, tích phân

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Kiến thức về nhị thức Newton

- Kiến thức về đạo hàm, tích phân của hàm số

- Học sinh lớp 11A, 12A năm học 2019 – 2020 trường THPT Nga Sơn

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tổng hợp

- Sử dụng phương pháp thực nghiệm

- Sử dụng phương pháp phân tích và so sánh những vấn đề có liên quan đến đề tài

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Hai tính chất của số tổ hợp

+)

2.1.2 Đạo hàm của một số hàm số cơ bản

+) +)

+) +)

+) +)

2.1.3 Nguyên hàm của một số hàm số cơ bản

2.1.4 Định nghĩa tích phân

Cho hàm số liên tục trên đoạn Giả sử là một nguyên hàm của

trên đoạn Khi đó:

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Việc hướng dẫn cho học sinh biết cách “ Sử dụng nét đẹp trong hai tính chất của số tổ hợp để giải một số bài toán nhị thức Newton” là rất cần thiết vì các lí

do sau:

Thứ nhất: Môn Toán đã có sự thay đổi trong việc viết sách giáo khoa: Ngày

trước chương Đại số tổ hợp là chương cuối cùng của chương trình Giải tích lớp

12 nay chương Đại số tổ hợp được xếp vào cuối học kì 1 của lớp 11, từ đó đòi hỏi học sinh lớp 11 phải giải một bài toán liên quan đến tính tổng của số tổ hợp

mà chưa được phép sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân

Thứ hai: Ngoài việc trực tiếp giải quyết các dạng bài tập thì học sinh cần nắm

vững kiến thức về đạo hàm, tích phân … và nhiều kiến thức có liên quan khác Trong bài viết này, tôi đưa ra một số bài toán nhị thức Newton có liên quan đến tính tổng của số tổ hợp , thấy kết quả đạt tốt và phù hợp đối với các đối tượng học sinh trường tôi

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan

Các khai triển cơ bản:

Với , ta có:

Với , ta có:

Hai tính chất :

2.3.2 Một số ví dụ áp dụng

1 Sử dụng tính chất trong một số bài toán nhị thức Newton Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước các số tổ hợp có dạng:

 Tăng dần từ hoặc giảm dần từ Tức là các hệ số của khai triển có dạng

 Là tích của các số tự nhiên liên tiếp: Tức là các hệ số của khai triển có dạng

 Hoặc các hệ số có thể biến đổi để đưa về các dạng trên

Các bước thực hiện:

 Chứng minh tính chất

Thật vậy:

 Áp dụng 1 lần hoặc nhiều lần tính chất để đưa tổng cần tính về tổng đơn giản

Ví dụ 1 2 Rút gọn tổng sau:

Phân tích: Nhận thấy, hệ số đứng trước các số tổ hợp tăng dần từ nên chúng ta có thể xử lí bài toán theo hai cách: bằng phương pháp đạo hàm hoặc sử dụng tính chất để giải quyết bài toán.Cụ thể từng cách giải như sau:

Lời giải

Cách 1: Sử dụng phương pháp đạo hàm

Ta có:

Đạo hàm bậc nhất hai vế, suy ra:

Cho , ta được:

Khi đó:

Cách 2: Sử dụng tính chất của số tổ hợp

Số hạng tổng quát của tổng có dạng

Áp dụng tính chất ta có:

Khi đó:

Nhận xét:

Cách thứ nhất khá phổ biến, mang tính chất truyền thống nhưng học sinh

thường lúng túng khi đưa ra nhị thức Newton cần khai triển để áp dụng, nhất là đối với các tổng phức tạp hơn cần sử dụng đạo hàm cấp 2, cấp 3, Mặt khác,

trong chương trình học: bài “ Nhị thức Newton ’’ học trước chương “ Đạo

hàm ” nên muốn giải bài toán này theo cách 1 thì học sinh phải học chương Đạo

hàm ở cuối chương trình Đại số & Giải tích 11.

Cách thứ hai phù hợp với nội dung chương trình đang học, tự nhiên hơn và

áp dụng được nhiều dạng bài tập tương tự, phức tạp hơn.

Ví dụ 2 3 Tìm số nguyên dương thỏa mãn:

Phân tích: Để tìm n, trước hết ta phải rút gọn được tổng vế trái Số hạng tổng

quát ở VT chưa có dạng , tuy nhiên bằng phép biến đổi đơn giản ta có thể đưa về các tổng mà số hạng tổng quát có dạng trên.

Lời giải

Số hạng TQ của tổng VT là:

Như vậy, VT sẽ được tách thành 2 tổng đơn giản hơn:

Theo bài ra ta có:

Vậy: là giá trị cần tìm

Nhận xét: Sau khi tách VT thành 2 tổng đơn giản, chúng ta sẽ tính được tổng

các số hạng ở VT theo n, sau đó ta sẽ tìm được n bằng cách đồng nhất hai vế của phương trình.

Ví dụ 3 3 : Tìm số nguyên dương sao cho:

Lời giải

Áp dụng tính chất ta có:

Ví dụ 1 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 2

Theo bài ra, ta có:

Nhận xét: Tương tự như ví dụ 3, chúng ta rút gọn tổng VT rồi giải phương trình

bậc nhất để tìm n.

Ví dụ 4 3 : Tính các tổng sau

a

b

c

Phân tích: Các tổng trên, mỗi bài một dạng, giúp chúng ta thành thạo hơn trong

việc áp dụng tính chất của số tổ hợp để tính các tổng phức tạp, cụ thể cách tính của từng bài như sau:

Lời giải

a Số hạng tổng quát trong tổng có dạng

Áp dụng tính chất liên tiếp hai lần ta có:

Khi đó:

b Số hạng tổng quát trong tổng có dạng

Ta có:

c Số hạng tổng quát trong tổng có dạng

Áp dụng tính chất liên tiếp ba lần ta có:

Nhận xét: Nhìn vào các số hạng của tổng , ta xác định số hạng tổng quát và áp

dụng tính chất để biến đổi Tùy thuộc vào từng bài toán, chúng ta có thể áp

Ví dụ 2,3,4 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 3

dụng tính chất liên tiếp hai, hoặc ba lần để được dãy tổng đơn giản và quen thuộc Từ đó, chúng ta dễ dàng rút gọn và tính các tổng đã cho theo yêu cầu của bài toán.

Ví dụ 5 3 : Chứng minh rằng, ta có:

Phân tích: Bài toán này nếu dùng đạo hàm ta thấy rất khó và phức tạp nhưng sử

dụng tính chất thì bài toán được giải quyết một cách nhẹ nhàng.

Lời giải

Số hạng tổng quát trong tổng ở VT có dạng

Áp dụng tính chất ta có:

Đẳng thức cần chứng minh trở thành:

Việc chứng minh đẳng thức (I) không mấy khó khăn Thật vậy:

Xét khai triển

Trong khai triển hệ số của là

Trong khai triển hệ số của là

Từ và suy ra đẳng thức được chứng minh, tức đẳng thức ban đầu được chứng minh

Nhận xét: Trong bài toán trên, sau khi áp dụng tính chất ta còn sử dụng tính

triển nhị thức Newton để xử lí bài toán Đây là mảng kiến thức hay được dùng để giải các bài toán tính tổng các số tổ hợp phức tạp, dạng toán này cũng đã xuất hiện trong đề thi HSG cấp tỉnh của tỉnh Thanh Hóa.

2 Sử dụng tính chất trong một số bài toán nhị thức Newton

Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước các số tổ hợp có dạng:

 , tức là các hệ số của khai triển có dạng

Ví dụ 5 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 3

 Tức là các hệ số của khai triển có dạng

 Hoặc các hệ số có thể biến đổi để đưa về các dạng trên

Các bước thực hiện:

 Chứng minh tính chất

Thật vậy:

 Áp dụng 1 lần hoặc nhiều lần tính chất để đưa tổng cần tính về tổng đơn giản

Ví dụ 6 4 : Tính tổng

Phân tích: Nhận thấy, hệ số đứng trước các số tổ hợp có dạng

nên chúng ta có thể xử lí bài toán theo hai cách: bằng phương pháp tích phân hoặc sử dụng tính chất để giải quyết bài toán.

Lời giải

Cách 1: Sử dụng phương pháp tích phân

Ta có:

Suy ra:

Cách 2: Sử dụng tính chất của số tổ hợp

Số hạng tổng quát trong tổng có dạng

Áp dụng tính chất ta có:

Nhận xét:

Cách thứ nhất khá phổ biến, mang tính chất truyền thống nhưng học sinh

thường lúng túng khi đưa ra nhị thức Newton cần khai triển để áp dụng, đồng thời sau khi đưa ra biểu thức để lấy tích thì việc chọn cận cũng gây nhiều khó

khăn cho các em Mặt khác, trong chương trình học: bài “ Nhị thức Newton ’’

được học ở chương trình Đại số & Giải tích 11, còn “Tích phân” thì phải đến kì

2 của chương trình Giải Tích 12 học sinh mới được học, hai mảng kiến thức cách nhau khá xa về mặt thời gian nên dễ gây ra những khó khăn nhất định cho học sinh.

Cách thứ hai phù hợp với nội dung chương trình đang học, tự nhiên hơn và

áp dụng được nhiều dạng bài tập tương tự, phức tạp hơn.

Ví dụ 7 2 : Chứng minh rằng

Phân tích: Hệ số đứng trước các số tổ hợp có dạng nên chúng ta

sẽ xử lí bài toán bằng cách áp dụng tính chất , nhưng khi áp dụng chúng

ta sẽ chọn giá trị của k là những số lẻ, cụ thể như sau:

Lời giải

Số hạng tổng quát của VT có dạng

Áp dụng tính chất ta có:

đpcm

Nhận xét: Trong hai ví dụ trên, số hạng tổng quát trong tổng đã cho có dạng

,vì vậy, có thể áp dụng ngay tính chất Trong trường hợp nếu số hạng tổng quát của tổng chưa có dạng đó thì cần biến đổi trước khi áp dụng tính chất Cụ thể, ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 6 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 4

Ví dụ 8 2 : Tính tổng

Lời giải

Số hạng tổng quát trong tổng có dạng

Biến đổi số hạng tổng quát và áp dụng tính chất ta có:

Vậy:

Nhận xét: Trong tổng trên, số hạng tổng quát trong tổng đã cho chưa có dạng

, vì vậy, để có thể áp dụng tính chất , ta cần phải biến đổi số hạng tổng quát bằng cách “thêm, bớt” hệ số của số hạng, từ đó ta được dãy tổng các

số tổ hợp quen thuộc để xử lí và tính tổng đã cho.

Ví dụ 9 3 : Tính tổng

Phân tích: Bài toán này nếu dùng tích phân ta thấy rất khó và phức tạp nhưng

sử dụng tính chất thì bài toán được giải quyết một cách nhẹ nhàng.

Lời giải

Số hạng tổng quát trong tổng có dạng

Áp dụng tính chất ta có:

Ví dụ 7,8 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 2

Khi đó:

Xét khai triển:

Trong khai triển hệ số của là:

Trong khai triển hệ số của là:

Từ suy ra:

Vậy:

Nhận xét: Trong bài toán trên, sau khi áp dụng tính chất ta còn sử dụng

khai triển nhị thức Newton để xử lí bài toán.

Thông qua các phương pháp và các ví dụ tương ứng chúng ta thấy, không có

phương pháp nào là Vạn năng, mỗi phương pháp có những ưu điểm riêng, có

những bài toán ta cần sử dụng kết hợp nhiều phương pháp với nhau để tìm ra lời giải và kết quả một cách nhanh nhất Dưới đây là hệ thống bài tập tự luyện để củng cố thêm kĩ năng xử lí các bài toán tính tổng các số tổ hợp cho học sinh.

2.3.3.Hệ thống bài tập tự luyện

Bài tập 1: Rút gọn các tổng sau

Bài tập 2: Chứng minh rằng

Bài tập 3: Tìm hệ số của trong khai triển , biết rằng:

Ví dụ 9 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 3

Bài tập 4: Tìm , biết rằng

Bài tập 5: Tính tổng

Bài tập 6: Chứng minh rằng

Bài tập 7: Tính tổng

Bài tập 8: Tính các tổng sau

Bài tập 9: Tính tổng

Bài tập 10: Tính tổng

Bài tập 11: Tính tổng

Bài tập 12: Tính tổng

Bài tập 13: Tính tổng

Bài tập 14:Tính tổng

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Thực tế cho thấy, với cách làm trên đã tạo được cho học sinh sự nhanh nhẹn,

kiên trì, linh hoạt, tiết kiệm được thời gian trong quá trình giải toán Học sinh biết vận dụng và có sự sáng tạo hơn trong học tập, biết liên kết nhiều mảng kiến thức, nhiều phương pháp giải cho mỗi phần trong cùng một bài toán Cách làm trên đã đáp ứng được nhu cầu học tập tích cực của học sinh Sau khi đã được ôn tập những kiến thức về tính chất của số tổ hợp , học sinh đã tự giải được những bài tập trong các tài liệu, trong các đề thi học sinh giỏi và nhất là những bài tập nằm trong các đề thi thử THPT Quốc gia của các trường trên cả nước trong thời gian gần đây Đồng thời biết tự xây dựng cho mình phương pháp giải bài tập phù

Bài tập 1,2, ,9 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 1

hợp với nội dung kiến thức được học và giải những bài tập tương tự trong các đề thi thử nghiệm của Bộ giáo dục và đào tạo Qua đó tôi nhận thấy rằng các em học sinh thích phương pháp này hơn các phương pháp truyền thống đồng thời hiệu quả trong học tập của học sinh đã được nâng lên rõ rệt

Để có được bài viết trên, tôi đã phải mày mò nghiên cứu và kiểm chứng qua một số nhóm học sinh có học lực khá, giỏi trong các lớp mà tôi giảng dạy như lớp 12A và lớp 11A năm học 2019 – 2020

Với bài toán: Chứng minh rằng:

Tôi đã chọn ra hai nhóm học sinh với số lượng bằng nhau, có lực học ngang

nhau, làm theo hai cách:

Cách 1: Sử dụng phương pháp đạo hàm

Cách 2: Sử dụng tính chất số tổ hợp

Kết quả thu được thể hiện ở bảng sau:

Nhóm Số học

sinh

Số học sinh có lời giải Số học sinh có lời

giải đúng

Số lượng % Số lượng %

Nhóm I( Sử dụng

phương pháp đạo hàm)

Nhóm II( Sử dụng tính

chất số tổ hợp)

Qua bảng thống kê trên ta thấy, kết quả học tập của học sinh đã vượt trội sau khi các em tìm được lời giải phù hợp với khả năng và kiến thức của mình

trong một bài toán cụ thể

3 Kết luận, kiến nghị

Bài tập 10,11,12,13,14 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 3

Sau khi thực hiện dạy chuyên đề này tôi rút ra được những kinh nghiệm sau: + Phương pháp biến đổi số hạng tổng quát để đưa tổng cần xử lý về các tổng cơ bản là phù hợp với nhận thức của học sinh khá, giỏi lớp 11

+ Việc dạy cho học sinh phương pháp(chứ không phải công cụ) đáp ứng và kích thích được hứng thú, ham tìm hiểu của học sinh khá, giỏi Phản ứng tích cực mà tôi nhận được từ các em học sinh đã làm cho tôi cảm nhận được niềm vui nghề nghiệp và làm cho quan hệ thầy trò gắn bó hơn

+ Khó khăn nhất của việc áp dụng phương pháp này là học sinh phải nhận ra được số hạng tổng quát của tổng Đây là khó khăn nội tại của kiểu bài toán này

mà phương pháp đạo hàm, tích phân cũng không khắc phục được

Trong thời đại công nghệ thông tin hiện nay, học sinh có rất nhiều nguồn tài liệu tham khảo Những học sinh ham học hỏi cò thể gặp những kiến thức có vẻ giống kiến thức đã học và cả những bài toán nâng cao mà các em không giải quyết được Việc giải đáp và tư vấn thấu đáo cho đối tượng học sinh này là điều cần thiết và không ít khó khăn, nó đòi hỏi giáo viên phải nghiên cứu, cập nhật kiến thức, phương pháp phù hợp để giảng dạy tốt hơn

Phương pháp sử dụng đạo hàm, tích phân rõ ràng là phương pháp mạng Nó không những dùng để giải toán mà còn giúp sáng tạo ra nhiều bài toán Sáng kiến kinh nghiệm này không phủ nhận điều đó mà chỉ nhằm cung cấp cho học sinh hướng giải quyết các bài toán một cách tự nhiên, từ đặc điểm nội tại của bài toán

3.2 Kiến nghị

Đề tài này có thể không lạ đối với những người yêu và thích nghiên cứu Toán Nhưng với mong muốn đáp ứng tinh thần ham học, thích khám phá của học sinh và trao đổi với đồng nghiệp Tôi hi vọng sáng kiến kinh nghiệm sẽ là tài liệu tham khảo cho các bạn đồng nghiệp trong quá trình giảng dạy học sinh khá, giỏi lớp 11