(SKKN mới NHẤT) kết hợp các kĩ thuật KWL và mảnh ghép trong giảng dạy bài toán tích phân hàm ẩn

Để giải quyết bài toán này đòihỏi học sinh phải nắm vững các tính chất trong tích phân từ đó hình thành tư duykhái quát để giải quyết các bài toán tích phân hàm ẩn một cách tốt nhất.. Và

GIẢNG DẠY BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM ẨN

Người thực hiện: Lê Mạnh Hùng Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THPT Hàm Rồng SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán học

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

1.2.Mục đích nghiên cứu

1.3 Đối tượng nghiên cứu

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1.5 Không gian nghiên cứu

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Các tính chất và phương pháp tính tích phân

2.1.2 Kỹ thuật dạy học KWL và kỹ thuật mảnh ghép

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.3 Các giải pháp tiến hành để giải quyết vấn đề

đó có các bài toán tích phân dưới dạng hàm ẩn Để giải quyết bài toán này đòihỏi học sinh phải nắm vững các tính chất trong tích phân từ đó hình thành tư duykhái quát để giải quyết các bài toán tích phân hàm ẩn một cách tốt nhất.

Thực tế tại trường THPT Hàm Rồng hiện nay các giáo viên ngày càng quantâm nhiều đến tất cả khâu trong chu trình lên lớp như thiết kế bài giảng, chuẩn bịbài lên lớp, các phương pháp và kĩ thuật lên lớp, quản lí học sinh trên lớp,hướng dẫn học sinh chủ động học tập…Tuy nhiên phần lớn các hoạt động giảngdạy vẫn theo phương pháp dạy học truyền thống, tập trung cả lớp học dưới sựtruyền đạt của giáo viên Học sinh học tập dưới một áp lực lớn, thụ động, hạnchế tư duy sáng tạo, chưa phát huy được hết khả năng bản thân, chưa có điềukiện rèn luyện được các kỹ năng sống cần thiết sau này

Trước tình hình đó tôi luôn có ý thức đổi mới phương pháp giảng dạy, đổimới hình thức giảng dạy trong từng tiết học phù hợp với điều kiện cho phép cóthể Ngoài việc dạy tốt từng tiết học theo thời khóa biểu, mỗi tháng tôi cố gắngthực hiện tổ chức một đến hai buổi học bồi dưỡng hoàn toàn theo phương phápdạy học tích cực tại lớp hoặc hội trường, giúp các em thay đổi không khí họctập, tạo điều kiện cho các em thể hiện và rèn luyện bản thân một các toàn diện,tạo hứng thú, khơi dậy sự say mê đối với môn Toán học Và đó là lý do đề tài

“KẾT HỢP CÁC KỸ THUẬT KWL VÀ MẢNH GHÉP TRONG GIẢNG DẠY BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM ẨN” ra đời với mong muốn các em

học sinh không chỉ có thêm tự tin giải quyết các bài toán tích phân hàm ẩn màqua đó còn rèn luyện cho học sinh nhiều kỹ năng sống quan trọng

1.2 MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI:

- Giúp học sinh hình thành khả năng phân tích, tìm mối liên hệ giữa giả thiết vàyêu cầu bài toán từ đó xác định cách giải quyết bài toán một cách chuẩn xác,nhanh gọn

- Hình thành cho học sinh khả năng đánh giá tình huống, biến những bài toán lạ,chưa có cách giải về những bài toán quen thuộc đã biết cách giải

- Giúp các em học sinh thay đổi không khí học tập, phát triển kỹ năng làm việctập thể, khả năng thuyết trình, thể hiện mình trước đám đông, tạo điều kiện chocác em vượt qua nỗi sợ hãi và rèn luyện bản thân một cách toàn diện, tạo hứngthú, khơi dậy sự say mê đối với môn Toán học

- Nghiên cứu các tính chất cơ bản, quan trọng trong tích phân, các phương pháptính tích phân, các phương pháp xử lý một số bài toán tích phân hàm ẩn.

- Nghiên cứu và vận dụng kỹ thuật KWL và kỹ thuật mảnh ghép trong dạy học

1.4 KHÔNG GIAN NGHIÊN CỨU

Hai lớp 12B1, 12B2 của trường THPT Hàm Rồng - Thành phố Thanh hóa

- Lớp 12B2 không áp dụng đề tài nghiên cứu

- Lớp 12B1 thường xuyên áp dụng đề tài nghiên cứu

1.5 THỜI GIAN NGHIÊN CỨU

Từ tháng 1 năm 2020 đến tháng 5 năm 2020

2 NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI:

2.1 Cơ sở lý luận của đề tài

2.1.1 Về tích phân hàm ẩn:

- Xét phương trình , nói chung không giải ra đối với y, trong đó

là một hàm số xác định Nếu thì (1) có nghiệm duy nhất Khi đó y được gọi là hàm ẩn theo biến số trên

- Các tính chất tích phân, các phương pháp tính tích phân là công cụ, là cơ sởcho lời giải các bài toán tích phân hàm ẩn Nắm vững các tính chất này, học sinh

sẽ có thể tự tin mở ra nhiều con đường để đi đến lời giải chính xác

ii Nếu thì

Các phương pháp tính tích phân

- Phương pháp đổi biến số:

+) Tính tích phân mà không có trong bảng các nguyên hàm cở bản:Đặt , vi phân hai vế Khi đó, ta có :

+) Trong đó, có đạo hàm liên tục trên miền K, hàm số liên tục

và sao cho hàm hợp xác định trên miền K; a và b là hai số thuộc miền K

+) Nhận dạng : Hàm số dưới dấu tích phân là hai loại hàm số khác nhau.

* Chú ý: Cần phải chọn u, dv sao cho du đơn giản và dễ tính v đồng thời tích

phân đơn giản hơn tích phân

2.1.2 Kỹ thuật KWL và kỹ thuật mảnh ghép.

2.1.2.1 Kỹ thuật KWL:

K: What we know ( Chúng ta biết gì)

W: What we want to learn (Chúng ta muốn học cái gì)

L: What we learn (Chúng ta học cái gì)

Sơ đồ KWL là một công cụ để tổ chức tư duy nhằm giúp người học liên hệ cáckiến thức đã biết liên quan đến bài học, các kiến thức muốn biết và các kiến thứchọc được sau mỗi bài học

Cách tiến hành:

Bước 1: Sau khi giới thiệu bài học, mục tiêu cần đạt được của bài học, giáo viên

PHIẾU HỌC TẬPTên bài học (hoặc chủ đề)………Tên học sinh (hoặc nhóm)……….Lớp…………

“SƠ ĐỒ KWL”

K

Những điều em đã biết

WNhững điều em muốn biết

LNhững điều em đãhọc được

Bước 2: Hướng dẫn học sinh điền các thông tin vào phiếu

- Yêu cầu học sinh viết vào cột K những gì mà em cho là đã biết liên quan đếnbài học

- Sau đó khuyến khích học sinh suy nghĩ và viết vào cột W những gì mà các emcho là cần phải biết, phải học để có thể đạt được mục tiêu bài học

-Sau khi học song bài học, học sinh điền vào cột L của phiếu những gì vừa họcđược Lúc này, các em xác nhận sự chính xác về những điều các em đã viết ở 2cột và so sánh với những gì các em vừa học được về bài học

Một số điểm cần lưu ý:

Tổ chức: Có thể sử dụng kỹ thuật này cho học sinh học cá nhân hoặc học theo

nhóm 2-5 học sinh

Công cụ: Ngoài các đồ dùng học tập theo yêu cầu của bài học cần có phiếu học

tập cho cá nhân hoặc cho nhóm

Ưu điểm và hạn chế:

Ưu điểm: Áp dụng được cho tất cả các môn học Dễ thực hiện, không tốn kém

Giúp học sinh biết cách tự học thông qua việc xác định những kiến thức, kỹnăng đã có, xác định mục tiêu học tập cá nhân cũng như nhìn lại quá trình họctập Nếu kỹ thuật này được tiến hành theo nhóm cũng giúp nâng cao các mốiquan hệ, giao tiếp, cộng tác giữa các học sinh trong nhóm học sinh học cáchchia sẻ và tôn trọng lẫn nhau

Hạn chế: Không có

Một số lưu ý tại cột K

Chuẩn bị những câu hỏi để giúp học sinh động não Đôi khi để khởi động, họcsinh cần nhiều hơn là chỉ đơn giản nói với các em : "Hãy nói những gì các em đãbiết về "

Khuyến khích học sinh giải thích Điều này rất quan trọng vì đôi khi những điềucác em nêu ra có thể là mơ hồ hoặc không bình thường

Hỏi học sinh xem các em muốn biết thêm điều gì về chủ đề Cả giáo viên và họcsinh ghi nhận câu hỏi vào cột W Hoạt động này kết thúc khi học sinh đã nêu ratất cả các ý tưởng Nếu học sinh trả lời bằng một câu phát biểu bình thường, hãybiến nó thành câu hỏi trước khi ghi nhận vào cột W

Một số lưu ý tại cột W

Hỏi những câu hỏi tiếp nối và gợi mở Nếu chỉ hỏi các em : "Các em muốn biếtthêm điều gì về chủ đề này?" Đôi khi học sinh trả lời đơn giản "không biết", vìcác em chưa có ý tưởng Hãy thử sử dụng một số câu hỏi sau :

"Em nghĩ mình sẽ biết thêm được điều gì sau khi em đọc chủ đề này?"

Chọn một ý tưởng từ cột K và hỏi: "Em có muốn tìm hiểu thêm điều gì có liênquan đến ý tưởng này không?"

Chuẩn bị sẵn một số câu hỏi của riêng bạn để bổ sung vào cột W Có thể bạnmong muốn học sinh tập trung vào những ý tưởng nào đó, trong khi các câu hỏicủa học sinh lại không mấy liên quan đến ý tưởng chủ đạo của bài đọc Chú ý làkhông được thêm quá nhiều câu hỏi của bạn Thành phần chính trong cột W vẫn

là những câu hỏi của học sinh

Yêu cầu học sinh đọc và tự điền câu trả lời mà các em tìm được vào cột L.Trong quá trình đọc, học sinh cũng đồng thời tìm ra câu trả lời của các em vàghi nhận vào cột W

Học sinh có thể điền vào cột L trong khi đọc hoặc sau khi đã đọc xong

Một số lưu ý tại cột L

Ngoài việc bổ sung câu trả lời, khuyến khích học sinh ghi vào cột L những điềucác em cảm thấy thích Để phân biệt, có thể đề nghị các em đánh dấu những ýtưởng của các em Ví dụ các em có thể đánh dấu tích vào những ý tưởng trả lờicho câu hỏi ở cột W, với các ý tưởng các em thích, có thể đánh dấu sao

Đề nghị học sinh tìm kiếm từ các tài liệu khác để trả lời cho những câu hỏi ở cột

W mà bài đọc không cung cấp câu trả lời (Không phải tất cả các câu hỏi ở cột

W đều được bài đọc trả lời hoàn chỉnh)

Thảo luận những thông tin được học sinh ghi nhận ở cột L

Khuyến khích học sinh nghiên cứu thêm về những câu hỏi mà các em đã nêu ởcột W nhưng chưa tìm được câu trả lời từ bài đọc

- Mỗi cá nhân làm việc độc lập trong khoảng vài phút, suy nghĩ về câu hỏi, chủ

đề và ghi lại những ý kiến của mình

- Khi thảo luận nhóm phải đảm bảo mỗi thành viên trong từng nhóm đều trả lờiđược tất cả các câu hỏi trong nhiệm vụ được giao và trở thành “chuyên gia” củalĩnh vực đã tìm hiểu và có khả năng trình bày lại câu trả lời của nhóm ở vòng 2

- Các nhóm mới thực hiện nhiệm vụ, trình bày và chia sẻ kết quả

Một vài ý kiến cá nhân với kĩ thuật "Các mảnh ghép"

- Kĩ thuật này áp dụng cho hoạt động nhóm với nhiều chủ đề nhỏ trong tiết học,học sinh được chia nhóm ở vòng 1 (chuyên gia) cùng nghiên cứu một chủ đề

- Phiếu học tập mỗi chủ đề nên sử dụng trên giấy cùng màu có đánh số 1,2,…,n(nếu không có giấy màu có thể đánh thêm kí tự A, B, C, Ví dụ A1, A2,

An, B1, B2, , Bn, C1, C2, , Cn)

- Sau khi các nhóm ở vòng 1 hoàn tất công việc giáo viên hình thành nhóm mới(mảnh ghép) theo số đã đánh, có thể có nhiều số trong 1 nhóm mới Bước nàyphải tiến hành một cách cẩn thận tránh làm cho học sinh ghép nhầm nhóm

- Trong điều kiện phòng học hiện nay việc ghép nhóm vòng 2 sẽ gây mất trật tự.Tuy nhiên kỹ thuật mảnh ghép tạo điều kiện cho học sinh có môi trường học tậptích cực, buộc phải tập trung tối đa, chủ động lĩnh hội kiến thức để trở thànhchuyên gia trong vòng 1; sau đó ở vòng 2 học sinh được rèn luyện kỹ năngthuyết trình trước đám đông, kỹ năng chia sẻ những hiểu biết của mình, kỹ nănglắng nghe và nhanh chóng lĩnh hội kiến thức trong khoảng thời gian ngắn…Điều đó giúp học sinh dần vượt qua sự sợ hãi của bản thân, tự tin và năng độngtrong các hoạt động trước tập thể

- Giáo viên nên sắp xếp bố trí thời gian để có bài tests nhanh, kiểm tra và đánhgiá hiệu quả làm việc của một vài cá nhân bất kỳ trong lớp

2.2 Thực trạng vấn đề cần giải quyết

- Trong quá trình giảng dạy khả năng học tích phân của học sinh còn chưa tốt

Đa số học sinh khi gặp bài toán tích phân thường dùng máy tính bỏ túi trong khi

đó trong các đề thi THPT của những năm gần đây xuất hiện rất nhiều câu tíchphân hạn chế sử dụng máy tính Do vậy học sinh rất lo ngại và tỏ ra sợ hãi trướcnhưng câu hỏi không thể dùng máy tính để giải quyết Một trong cách cho bài

toán như vậy là yêu cầu học sinh làm việc với các hàm số ẩn, không cho địnhnghĩa hàm số đó một cách tường minh mà chỉ cho những tính chất đặc trưng,buộc người học phải giải bằng chính hiểu biết và năng lực bản thân.

- Học sinh ít chú ý đến các tính chất cơ bản của tích phân, không nắm rõ mụctiêu, bản chất của các phương pháp tính tích phân Đối với học sinh, nếu việcgiải các bài tích phân với các hàm số được cho một cách tường minh là đã khóthì việc sử lý các bài tích phân hàm ẩn lại càng khó khăn rất nhiều lần Do đócác em mất nhiều thời gian làm bài mà hiệu quả lại không cao

- Việc học quá nhiều môn gây cho các em học sinh cảm giác chán nản, khôngtập trung trong học tập Các hình thức dạy học truyền thống làm hạn chế sự pháttriển kỹ năng sống toàn diện ở học sinh, học sinh giảm hứng thú và thiếu sự say

mê trong học tập nói chung và môn Toán nói riêng

2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết

- Thông qua việc giải quyết một số bài toán minh họa, giúp học sinh rút ra cáchnhận diện bài toán tích phân hàm ẩn, cách sử lý sao cho gọn gàng, tránh dàidòng lê thê, mất thời gian

- Phối hợp sử dụng kỹ thuật dạy học: kỹ thuật KWL và kỹ thuật mảnh ghép đểthay đổi không khí học tập, giúp học sinh hào hứng hơn, tiếp thu kiến thức mộtcách tự nhiên, không gò ép đồng thời rèn luyện cho học sinh các kỹ năng sốngmột cách toàn diện

2.3.1 Một số bài toán Tích phân hàm ẩn:

Thông qua việc giải quyết một số bài toán minh họa dưới đây, ta rút ra cáchnhận diện bài toán tích phân hàm ẩn, cách sử lý bài toán sao cho gọn gàng, tránhdài dòng lê thê, mất thời gian

Bài toán 1: Cho hàm số liên tục trên đoạn chứng minh rằng:

Nhận xét:

Dấu hiệu đặc trưng của bài toán tích phân là xuất hiện hàm số với a,

b là hai cận của tích phân

Sau đây là một kết quả được trực tiếp suy ra từ bài toán 1:

Cho các hàm số liên tục trên đoạn với , ta có :

1

2

3 Nếu chẵn trên thì

4 Nếu lẻ trên thì

Bài toán 2: (Bất đẳng thức Holder trong tích phân)

Chứng minh rằng nếu và là hai hàm số liên tục trên đoạn thì ta

Bài toán 3: Cho các hàm số liên tục trên đoạn , có

Phân tích:

Cơ sở để sử lý bài toán này là xuất phát từ nguyên tắc tính đạo hàm của tích haihàm số và Ta đã biết nếu và cùng có đạo hàm trên D thì:

của một hàm số nào đó rồi áp dụng công thức nguyên hàm, tích phân thích hợp

Lời giải bài toán 3:

- Tìm là một nguyên hàm của hàm số , từ đó tìm hàm số

- Nhân hai vế của biểu thức với ta được:

Vì vế trái của (1) là đạo hàm của hàm số do đó ta viết lại

- Lấy tích phân hai vế của (2) trên đoạn ta có:

ét tích phân

Thay vào ta có

Vì tích phân không phụ thuộc tham số nên ta có

Cộng hai tích phân ở (1) và (2) ta được

Từ đó suy ra

*) Lời giải khi áp dụng cách giải nhanh: Trong lời giải trên, đoạn lấy tích phân

quả đã được chứng minh trong bài toán 1 để sử lý Lời giải như sau:

V

í dụ 2: Cho hàm số liên tục và Biết rằng và

với mọi Tính tích phân

Phân tích: Trong bài toán yêu cầu tính tích phân trên đoạn và có sự xuấthiện của hàm số nên ta sử dụng kết quả của bài toán 1

Dễ dàng nhận thấy

Lời giải chi tiết:

Nhận xét: lời giải rất đơn giản, nhanh gọn, phù hợp với trắc nghiệm và tâm lý

học sinh

í dụ 3: Cho hàm số nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn

Phân tích: - Trong tích phân cần tính có sự xuất hiện của hàm số với nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên nên ta suy ra một

nguyên hàm của là Từ đó áp dụng phương pháp tích phân từngphần để biến đổi về tích phân dễ tính hơn

- Có sự xuất hiện của hàm số , hơn nữa cận tíchphân là nên ta áp dụng kết quả của Bài toán 1 để giải quyết bài toán Lời giải:

-nBằng phương pháp tích phân từng phần ta có:

- Áp dụng kết quả bài toán 1:

Ví dụ 4: (Đề minh họa Toán THPT Quốc gia 2018)

Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn thỏa mãn

Phân tích: Dấu hiệu đặc trưng của bài toán này là giả thiết đưa ra hai tích phân.

Một tích phân của một hàm số dạng , tích phân còn lại thông qua phươngpháp tính tích phân từng phần sẽ thu được một tích phân “liên quan” với tíchphân đầu tiên Từ đó ta sẽ có lời giải bài toán như sau:

Lời giải:

Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có:

Kết hợp với giả thiết suy ra:

Bình phương hai vế của (1) và áp dụng bất đẳng thức ở bài toán 2: Ta có:

Vậy dấu đẳng thức đã xảy ra, suy ra sự tồn tại sao cho

Thay vào (1) ta thu được và d đó

- Kết hợp với giả thiết , suy ra:

- Bình phương hai vế của (1) và áp dụng bất đẳng thứ ở bài toán 2, ta có:

- Vậy dấu đẳng thúc đã xảy ra, suy ra tồn tại sao cho

- Thay vào (1) ta thu được và do óó

Vậy

Ví dụ 6: Cho hàm số có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn và

Phân tích:

quát nhưng xét trên ta sẽ đưa về dạng trên bằng cách chia hai vế cho x

Ví dụ 7: Cho hàm số có đạo, liên tục trên đoạn thỏa mãn

Lời giải:

- Ta có tương đương với

- Xét hàm số chọn một nguyên hàm của hàm số là

Suy ra

- Nhân hai vế của (1) với ta thu được

- Tiếp tục biến đổi ta sẽ có

- Dựa vào giả thiết của ta sẽ tìm cách xác định phương trình của hàm số

- Ta có là một mối liên hệ giữa hai hàm số và Mặt khác

từ biểu thức , ta thấy được biểu diễn thông qua tíchphân của hàm số nên ta sẽ tính đạo hàm của hàm số để tìm thêm mộtmối liên hệ nữa giữa và Từ hai mối liên hề trên, ta sẽ cố gắng tìmđược hàm số và cs đáp án chính xác cho bài toán

Lời giải:

*) Buổi học bồi dưỡng thứ nhất (90 phút)

Hoạt động 1: (kỹ thuật KWL) Dự kiến thời gian là 10 phút

Phát phiếu học tập số 1 cho học sinh (xem phục lục)

- Giáo viên cho học sinh thời gian nhớ lại và kết nối các kiến thức trên

- Giáo viên tổng kết, viết ngắn gọn, súc tích vào ô K trên bảng

Bước 2

Giáo viên: Như vậy là các em đã được học, rèn luyện tính tích phân của nhiều

loại hàm số, đặc điểm chung của các hàm số này là đã được cho bởi công thức

Em có muốn tìm hiểu thêm điều gì liên quan không?

Học sinh: Em muốn tìm hiểu nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số ẩn,

không cho định nghĩa hàm số đó một cách tường minh mà chỉ cho những tínhchất đặc trưng thì tích phân của hàm s đó sẽ đợc tính như thế nào?

Giáo viên:"Em nghĩ mình sẽ biết thêm được điều gì sau khi em học chủ đề

này?"

Học sinh: Em nghĩ mình sẽ biết thêm về cách nhận diện bài toán tích phân hàm

ẩn, các dạng thường gặp, phương pháp giải ngắn gọn các dạng toán đó…

Giáo viên: Bây giờ các em sẽ cùng nhau tìm hiểu vấn đề này nhé.

Hoạt động 2: (kỹ thuật mảnh ghép) Dự kiến thời gian là 40 phút.

Bước 1: (Dự kiến là 20 phút)

Chia lớp thành 4 nhóm, mỗi nhóm 9 học sinh (lớp thực hành sĩ số 36), kê lạibàn ghế hoạt động theo nhóm (số học sinh mỗi nhóm tùy vào sỹ số của lớp, nên