Hơn nữa, bài toán về cực trị của hàm số trong đề thi của các kỳ thi Trunghọc phổ thông Quốc gia của Bộ giáo dục và Đào tạo đã được đề cập, khai thác ởcác mức độ khác nhau, các dạng t
Trang 11 MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài
Mỗi một nội dung trong chương trình Toán phổ thông đều có vai trò rất quantrọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh Trong quá trìnhgiảng dạy, giáo viên phải đặt ra cái đich là giúp học sinh nắm được kiến thức cơbản, hình thành phương pháp giải toán, phát triển tư duy logic, từ đó tạo được thái
độ và động cơ học tập đúng đắn Vì vậy việc lựa chọn phương pháp giảng dạyphù hợp với mỗi nội dung kiến thức nhất định là đặc biệt quan trọng Nó vừa giúpngười thầy có được sự định hướng trong việc giảng dạy - tuỳ thuộc vào mục tiêu,nội dung cần đạt, trình độ nhận thức của học sinh, vừa giúp người học dễ dàngtiếp cận kiến thức, tích lũy kiến thức, từ đó biết vận dụng vào làm bài thi đạt đượckết quả cao nhất
Trong dạy học môn Toán, phương pháp tư duy của học sinh phần lớn đượchình thành và được rèn luyện trong quá trình giải toán, thông qua hoạt động nàyhọc sinh hoạt động tích cực để tìm tòi, khám phá và chiếm lĩnh tri thức mới.Trong tác phẩm nổi tiếng “ Giải toán như thế nào”, G.Polya cho rằng: “Ví nhưdòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đếnđâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất quen thuộc đối vớichúng ta” Là giáo viên dạy Toán, việc hướng dẫn và rèn luyện cho học sinh biếtcách chuyển từ bài toán mới về những bài toán quen thuộc, bài toán “khó” trở vềbài toán “dễ”, biết cách “xử lí” các tình huống có vấn đề về các tình huống đơngiản là điều rất cần thiết và thiết thực
Hơn nữa, bài toán về cực trị của hàm số trong đề thi của các kỳ thi Trunghọc phổ thông Quốc gia của Bộ giáo dục và Đào tạo đã được đề cập, khai thác ởcác mức độ khác nhau, các dạng tiếp cận khác nhau gây không ít khó khăn chohọc sinh trong quá trình giải quyết bài toán này Đặc biệt là từ khi Bộ GD và ĐT
áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho môn Toán, đòi hỏi học sinh khôngnhững phải có kiến thức sâu, rộng mà còn phải có các cách tiếp cận, các phươngpháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất
Với những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết định chọn
đề tài: “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua một lớp bài toán về cực trị của hàm số nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán ở trường THPT Triệu Sơn 3’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của bản thân
trong năm học 2019– 2020 Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn
1.2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là phát triển năng lực tư duy, quy lạ về quenthông qua một lớp các bài toán về cực trị của hàm số nhằm rèn luyện các kỹ năngtoán học và định hướng phát triển cho học sinh những năng lực sau:
- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và năng lực giải quyếtcác tình huống thực tiễn
- Năng lực sử dụng máy tính cầm tay casio
Trang 2- Kỹ năng vận dụng kiến thức về hàm số.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lớp các bài toán về cực trị của hàm sốtrong
chương trình học lớp 12 để rèn luyện các kỹ năng và phát triển các năng lực Toán
học của học sinh
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoaGiải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập giải tích- Nâng cao và Cơ bản, tàiliệu phân phối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát triển nănglực học sinh, đề minh họa và đề thi THPT Quốc gia của các năm 2016, 2017,
2018, 2019
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớpthực nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài
Trang 32 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải Toán có vai tròquan trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của học sinh, để từ đó có khảnăng thích ứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết
Giúp học sinh có cái nhìn và phương pháp dễ hiểu, dễ vận dụng vào thực tếgiải toán, giúp các em có sự tự tin khi gặp dạng toán này đồng thời giúp học sinhphát triển tư duy cũng như đam mê học toán
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trường THPT Triệu Sơn 3 là một trường nằm ở phía tây của huyện, có nhiều
xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134, có nhiều học sinh là con
em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp Tư duy của học sinh chậm, điều kiệnkinh tế còn khó khăn, đường đi học còn xa và khó đi nên ảnh hưởng rất nhiều đếnkết quả học tập của các em
Kỹ năng giải toán còn chậm; Khả năng phát hiện vấn đề nảy sinh trên cơ sở
đã có, khả năng quy lạ về quen còn nhiều hạn chế Do đó học sinh gặp nhiều lúngtúng, sai lầm khi gặp các bài toán có sự thay đổi dạng
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1 Kiến thức cơ bản về cực trị hàm số:
Định lý: Giả sử hàm số liên tục trên khoảng chứa điểm và có đạo hàm trên các khoảng và Khi đó :
Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm
Điểm cực đại , cực tiểu của hàm số gọi chung là điểm cực trị của hàm số
Như vậy : Điểm cực trị của hàm số phải là một điểm trong của tập hợp
là điểm cực trị của hàm số nếu qua đạo hàm đổi dấu
Chú ý : Nếu là một điểm cực trị của hàm số thì:
1 Điểm được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số
2 được gọi là giá trị cực trị của hàm số ( còn gọi là cực trị của hàm số)
2.3.2 Hướng dẫn học sinh phương pháp nhận dạng bài tập và vận dụng giải các bài tập liên quan.
Trang 42.3.2.1 Dạng bài tập cơ bản để học sinh nhận biết và làm quen:
Dạng 1: Cho biết đồ thị (hoặc BBT) của hàm số Xác định số điểm cực trị của hàm số
Bài tập 1.1: (Đề thi THPTQG năm 2018-Mã đề 101) [1]
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
Bài tập 1.2: (Đề minh họa THPTQG năm 2019) [1]
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên
Hàm số đã cho có mấy điểm cực đại?
Dạng 2:Cho đồ thị Xác định số điểm cực trị của hàm số
Bài tập 2.1: (Đề thi thử THPTQG trường THPT Phan Đình Phùng – Hà Tĩnh) [2]
Cho hàm số liên tục trên Biết đồ thị của hàm số như hìnhvẽ
Số điểm cực trị của hàm số là:
Trang 5Bài tập 2.2: Cho hàm số có đạo hàm
liên tục trên R Đồ thị của hàm số
được cho bởi hình vẽ bên Số điểm cực trị của
Nhận xét: Ở dạng 2 này học sinh thường mắc một số sai lầm:
- Lấy số điểm cực trị của hàm số là số điểm cực trị của hàm số
- Số điểm chung của đồ thị với trục Ox là số điểm cực trị của hàm số
Để tránh được những sai lầm, GV nhấn mạnh đối với dạng này ta chỉ cần tìm số giao điểm của đồ thị và trục , không kể các điểm mà đồ thị
tiếp xúc với trục Nếu yêu cầu bài toán hỏi cụ thể điểm cực đại, cực tiểu thì GV hướng dẫn học sinh lập bảng xét dấu của hàm số , từ đó đưa ra kết luận.
Bảng xét dấu đạo hàm được lập từ đồ thị có thể dựa theo nguyên tắc: Trên khoảng đồ thị nằm phía trên trục thì trên khoảng đó đạo hàm nhận giá trị dương và trên khoảng đồ thị nằm phía dưới trục thì trên khoảng đó đạo hàm nhận giá trị âm Tại “điểm nối” giữa hai khoảng đó đạo hàm nhận giá trị bằng không
Dạng 3: Cho biểu thức của Xác định số điểm cực trị của hàm số
điểm cực trị của hàm số là:
A B C D
Trang 6Bài tập 3.2: Cho hàm số có đạo hàm Sốđiểm cực trị của hàm số là:
A B C D
Hàm số đạt cực đại tại
Số điểm cực đại của hàm số là:
A B C D
Nhận xét: Ở dạng 3, giáo viên cần chú ý cho học sinh qua nghiệm kép của pt
thì không đổi dấu; khi đó giá trị nghiệm kép không được gọi là điểm cực trị.
2.3.2.2 Giới thiệu bài toán với tư cách là một tình huống gợi vấn đề để cho vấn đề trở nên hấp dẫn, tạo khả năng kích thích hoạt động tích cực của học
sinh; từ đó định hướng cho học sinh tìm lời giải, chốt phương pháp cho dạng toán.
Tình huống gợi vấn đề là tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ cần thiết và có khả năng vượt qua nhưng không phải là ngay tức khắc làm được nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán mà phải trải qua quá trình tích cực suy nghĩ, đòi hỏi tính sáng tạo để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có…
Bài toán đưa ra cần làm cho học sinh thấy rõ tuy chưa có ngay lời giải nhưng đã
có một số kiến thức, kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và các em học sinh tin rằng nếu tích cực suy nghĩ, vận động tích cực sáng tạo, tư duy thì sẽ giải quyết được.
Dạng 1: Cho đồ thị hoặc BBT của hàm số . Xác định số điểm cực trị của hàm số
Từ dạng bài tập cho đồ thị Xác định số điểm cực trị của hàm số
, GV mở rộng vấn đề cho đồ thị hoặc BBT của hàm số Xác định số điểm cực trị của hàm số
Trang 7Bài tập 1.1: (Đề thi thử THPTQG năm 2018-Trường THPT Triệu Sơn 1 – Thanh Hóa) [2] Cho hàm số xác định và có đạo hàm
trên Biết đồ thị của hàm số như hình vẽ dưới
Số điểm cực trị của hàm số là
Ví dụ trên khoảng cho ta có:
- Từ đó ta có bảng xét dấu của như sau
3/2
- Vậy hàm số có 1 điểm cực trị (cực đại) tại Chọn D.
( số điểm cực trị của hàm số bằng số điểm cực trị của )
Bài tập 1.2: Cho hàm số có đồ thị của nó trên khoảng như hình
vẽ Khi đó trên hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A 1 B 4
C 3 D 2.
Trang 8( số điểm cực trị của hàm số bằng số điểm cực trị của )
là bằng nhau nhưng mỗi hàm số đạt cực trị tại các giá trị khác nhau mà thôi Tuy nhiên, với cách suy luận này thì các em chưa thấy rõ được mấu chốt của vấn đề Ví dụ ta chỉ cần thay đổi yêu cầu của bài là xác định số điểm cực tiểu, cực đại của hàm số , ; nếu không hiểu rõ bản chất là các em chọn sai đáp án Để hiểu rõ hơn, GV giới thiệu cho học sinh một
số bài tập sau:
Bài tập 1.3: ( Đề thi thử THPTQG năm
2019-Trường THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh) [2]
Trang 9Nhận thấy các nghiệm và là các nghiệm bội lẻ nên quanghiệm đổi dấu; các nghiệm là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị tathấy tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng nên qua nghiệmkhông đổi dấu.
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
Bài tập 1.4: [3] Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và
đồng thời đồ thị hàm số như hình vẽ bên Số điểm cực trị của
Phân tích và lựa chọn đáp án:
Dựa vào đồ thị, ta có
Bảng biến thiên của hàm số
Xét
Trang 10Bảng biến thiên của hàm số
Vậy hàm số có điểm cực trị Chọn C.
Qua các ví dụ trên, GV định hướng cho học sinh tìm lời giải, chốt phương pháp cho dạng toán 1:
+ Từ đồ thị hàm số hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành.
+ Tính đạo hàm của hàm số
+ Dựa vào đồ thị của và biểu thức của để xét dấu
Nhận xét: Việc rèn luyện giải toán có tính chất quan trọng, nhưng việc rèn luyện
khả năng tìm phương pháp, lời giải của bài toán là khâu có tính chất quyết định trong toàn bộ công việc rèn luyện giải toán Do vậy, khi dạy học sinh giải toán, giáo viên ngoài việc cung cấp lời giải của bài toán, cần dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ, tư duy tìm ra con đường hợp lý để giải toán.Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, học sinh cần phải suy nghĩ để vận dụng những kiến thức nào, cần xem xét đến mối liên hệ nào để tìm ra lời giải của bài toán.
Dạng 2: Cho đồ thị hoặc BBT của hàm số . Xác định số điểm cực trị của hàm số
Bài tập 2.1: [3] Cho hàm số xác định trên
và có đồ thị của hàm số như hình vẽ Hàm
số có bao nhiêu điểm cực trị?
Phân tích và lựa chọn đáp án:
Cách 1:
Trang 11có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương lên trên 4 đơn vị.
Khi đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm, ta chọn đáp án A
Cách 2: Số cực trị của hàm bằng tổng số nghiệm đơn và bội lẻ của phương trình
Dựa vào đồ thị của hàm ta thấy phương trình
trên có một nghiệm đơn Vậy hàm sô có 1 cực trị
Bài tập 2.2: Cho hàm số có đạo hàm trên
Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới.Số
điểm cực trị của hàm số
Trang 12Bài tập 2.3: [3] Cho hàm số có đạo hàm trên Đồ thị hàm số như
Suy ra số nghiệm của phương trình
chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số
Chú ý Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: trên khoảng ta thấy đồ thị hàm nằm phía trên đường nên mang dấu
Nhận thấy các nghiệm là các nghiệm đơn nên qua nghiệm
đổi dấu
Trang 13Bài tập 2.4 : [3] Cho hàm số và đồ thị
hình bên là đồ thị của hàm Hỏi đồ thị của
nhiêu điểm cực trị ?
1 0
∞
h(x) h'(x) x
Đồ thị hàm số có nhiều điểm cực trị nhất khi có nhiều giao điểm với trục hoành nhất, vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại nhiều nhất 6 điểm, suy
ra đồ thị hàm số có tối đa 11 điểm cực trị Chọn B.
Qua định hướng tìm lời giải của các bài tập trên, GV cho học sinh chốt phương pháp cho dạng toán 2:
+ Từ đồ thị hàm số , tìm hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành.
Trang 14+ Tính đạo hàm của hàm số
+ Dựa vào đồ thị của và biểu thức của để xét dấu
Chú ý: * Nếu trong khoảng đồ thị hàm số nằm trên đồ thị hàm số
thì
* Nếu trong khoảng đồ thị hàm số nằm dưới đồ thị hàm số thì
Dạng 3: Cho biểu thức Xác đinh số điểm cực trị của hàm số
Bài tập 3.1: Cho hàm số có đạo hàm
với mọi Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
Phân tíchvà lựa chọn đáp án:
Ta có
Ta thấy và là cácnghiệm đơn còn là nghiệm kép
Vậy hàm số có điểm cực trị Chọn B.
Chú ý: Nếu bài toán hỏi điểm cực đại ( cực tiểu) của hàm số thì ta phải lập bảng xét dấu của để kết luận.
Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại ?
Phân tíchvà lựa chọn đáp án:
Ta có
Trang 15Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại Chọn B.
mọi Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu ?
Trang 16Vậy hàm số có điểm cực tiểu là Chọn A.
Qua định hướng tìm lời giải của các bài tập trên, GV cho học sinh chốt phương pháp cho dạng toán 3:
+ Tính đạo hàm của hàm số
+Từ biểu thức của và hãy xét dấu rồi suy ra số điểm cực trị của
Dạng 4: Cho đồ thị Xác định số điểm cực trị của hàm số
Bài 4.1: [3] Cho hàm số có đạo hàm trên R
và có đồ thị như hình bên Đồ thị của hàm số
có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêuđiểm cực tiểu ?
A điểm cực đại, điểm cực tiểu.
B điểm cực đại, điểm cực tiểu.
C điểm cực đại, điểm cực tiểu.
D điểm cực đại, điểm cực tiểu.
Phân tíchvà lựa chọn đáp án:
Dựa vào đồ thị, ta có:
và
Trang 17Ta có
Bảng biến thiên
Dựa vào BBT, ta kết luận có điểm cực đại, điểm cực tiểu Chọn C Bài 4.2: Cho hàm số có đạo hàm trên R và
có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị ?
Trang 18Dựa vào đồ thị suy ra:
- Phương trình có hai nghiệm (nghiệm
kép) và
- Phương trình có một nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm bội lẻ
là và Suy ra hàm số
có điểm cực trị Chọn B
Bài 4.3: [3] Cho hàm số có đạo hàm trên
và có đồ thị như hình vẽ bên dưới Tìm số điểm
cực trị của hàm số
Phân tíchvà lựa chọn đáp án:
Ta có
Dựa vào đồ thị ta thấy:
+) pt có ba nghiệm bội lẻ phân biệt (vì đồ thị hàm số có điểmcực trị)
Vậy hàm số có điểm cực trị Chọn B.
Qua định hướng tìm lời giải của các bài tập trên, GV cho học sinh chốt phương pháp cho dạng toán 4:
+ Tính đạo hàm của hàm số
