(SKKN mới NHẤT) sử dụng phương pháp hàm số để giải một số bài toán cực trị hình học tọa độ trong không gian

Còn đại đa số các em rất ngại học hình,nhất là hình học cực trị trong không gian.Để tạo hứng thú say mê học hình học cho học sinh .Trong quá trình giảng dạy tôi đúc rút và mạnh dạn đưa r

TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Mai Thị Hồng Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA, NĂM 2020

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

Trong các tài liệu tham khảo các bài toán này có rất nhiều cách giải, trong đóthường giải bằng phương pháp sử dụng hình học thông thường, cách giải nàykhông phải đối tượng nào cũng làm được, phải là những em có tư duy hình họcthật tốt, thường là học sinh khá giỏi Còn đại đa số các em rất ngại học hình,nhất là hình học cực trị trong không gian.

Để tạo hứng thú say mê học hình học cho học sinh Trong quá trình giảng dạy

tôi đúc rút và mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng phương pháp

hàm số để giải một số bài toán cực trị hình học tọa độ trong không gian” tôi

hi vọng với đề tài này phần nào giúp học sinh rèn luyện khả năng tư duy vềphương pháp sử dụng hàm số trong hình học tọa độ trong không gian, nhất làcác bài toán lên quan đến cực trị, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạotrong giải toán, giúp các em tự tin hơn để bước vào kỳ thi THPT Quốc gia

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Bản thân nghiên cứu đề tài này nhằm mục tiêu :

- Cùng chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh kinh nghiệm về ứng dụnghàm số để giải một số dạng bài tập liên quan đến cực trị hình học tọa độ trongkhông gian

- Bản thân rèn luyện chuyên môn và nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ

- Định hướng cho học sinh cách giải một dạng toán khó mà học sinh thường gặptrong đề thi THPT quốc gia

- Tạo cho học sinh hứng thú say mê học tập bộ môn Toán nói chung, nhất làmôn hình học giải tích nói riêng

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài này có thể là một tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh lớp 12 họctập và ôn thi THPT Quốc gia

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Dựa trên cơ sở các kiến thức về phương pháp tọa độ trong không gian, kết hợpkiến thức về cực trị của hàm số đã được học trong chương trình THPT

- Qua khảo sát thực tế kết quả lớp học

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Phương pháp nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này dựa trên cơ sở:

- Sử dụng chiều biến thiên của hàm số

- Kiến thức cơ bản về hình học tọa độ trong không gian như:

+ Tính chất điểm thuộc đường thẳng, điểm thuộc mặt phẳng, công thức lậpphương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng

+ Các công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, từ điểm đến đườngthẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng , hoặc khoảng cách hai đường thẳng.+ Các công thức tính góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa hai đường thẳng,hoặc góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

2.2 Thực trạng vấn đề

Trước đây khi gặp các bài toán hình học, học sinh thường nghĩ tới việc vẽ hình

để tìm lời giải Bên cạnh đó một số bài toán cực trị hình học tọa độ trong khônggian có nhiều lời giải phức tạp, các em thấy khó hiểu thường bỏ qua, ngay cảhọc sinh khá giỏi cũng tỏ ra lúng túng và làm sai Để giải quyết vấn đề đó, tôitiến hành hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp hàm số để giải một số bàitoán cực trị hình học tọa độ trong không gian, với đề tài này tôi hi vọng phầnnào giúp các em tiếp cận vấn đề một cách đơn giản, tạo hứng thú đam mê hơntrong học tập, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán, và ônthi THPTQG

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện:

2.3.1 Một số dạng bài tập cụ thể:

Dạng 1: Tìm một điểm thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài toán 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d và hai

điểm A, B Tìm tọa độ điểm sao cho biểu thức P nhỏ nhất; lớn nhất.

Cách giải:

Đưa phương trình đường thẳng về dạng tham số t, dạng tham số t.

Tính giá trị biểu thức P theo t, đặt hàm số ( )

Xét hàm số f(t) theo t, tìm giá trị lớn nhất,( nhỏ nhất ) của f(t) và suy ra giá trị của t.

Kết luận điểm M.

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết điểm

.Tìm tọa độ điểm H trên đường thẳng

CD sao cho tam giác ABH có chu vi nhỏ nhất

Chuyển phương trình của sang dạng tham số

Gọi tọa độ của có dạng ,

Ta có

Cách 2: Chuyển phương trình của sang dạng tham số

Gọi tọa độ của có dạng ,

Ta có

Trong mặt phẳng Oxy xét các điểm ; (H, K cùng

phía đối với với trục Ox)

Gọi là điểm đối xứng của điểm qua trục Ox.

Đường thẳng có vectơ chỉ phương

nên có vectơ pháp tuyến: và đi qua

Bài toán trên tuy được giải bằng nhiều cách khác nhau, nhưng sử dụng phươngpháp hàm số thì lời giải đơn giản hơn, đa số các em hiểu bài Trong khi giảibằng cách 2 lại phức tạp gây khó khăn cho học sinh, ngay cả học sinh khá giỏi

Ở một dạng toán khác việc sử dụng phương pháp hàm số để giải tỏ ra khá hiệuquả

Dạng 2: Lập phương trình mặt phẳng.

Bài toán 1: Trong hệ Oxyz cho điểm A Lập phương trình mặt phẳng chứađường thẳng d, sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng là lớn nhấthoặc nhỏ nhất

Cách giải:

- Gọi VTPT của mặt phẳng cần tìm là

-Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm , có VTPT

-Viết công thức khoảng cách từ điểm A đến mp , chứa A,B,C.

- Xét hai trường hợp :

+ Trường hợp C = 0, tính khoảng cách từ điểm A đến mp

+ Trường hợp C 0, đặt , xét hàm số f(t), sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(t) và suy ra giá trị của t.

Gộp hai trường hợp ta kết luận, viết pt mp cần tìm

Ví dụ: Trong hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Lập phươngtrình mặt phẳng ( ) chứa d sao cho khoảng cách từ tới ( ) là lớn nhất

0

Từ (a) và (b) ta suy ra lớn nhất khi (2)

- Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (): Ax+By+Cz+D=0 là:

Bài toán 2: Trong hệ Oxyz cho đường thẳng d và mp(P) Lập phương trình mặt

phẳng chứa đường thẳng d sao cho góc giữa mp và mp (P) là lớn nhất,nhỏ nhất

+ Trường hợp C 0, đặt , xét hàm số f(t), trên R Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(t) và suy ra giá trị của t.

Kết hợp hai trường hợp ta kết luận, viết pt mp cần tìm.

Ví dụ 1: Trong không gian toạ độ Oxyz cho đường thẳng d có phương trình

và mặt phẳng P có phương trình: 3x – y – z = 4 Lập phươngtrình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d, sao cho góc giữa hai mặt phẳng(P) và

( ) là bé nhất

Hướng dẫn:

Gọi phương trình mp( ) có dạng: Ax + By + Cz + D = 0.(*) ( )VTPT của mặt phẳng ( ) là:

Vì mp( ) chứa d nên suy ra: (1) (Với

Từ (a) và (b) suy ra giá trị lớn nhất của đạt được khi (3)

- Có thể mở rộng ra các bài toán như sau :

Ví dụ 2: Trong hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (Q): x + 2y +2z – 3 =0 và đường

thẳng Lập phương trình mp(P) chứa d sao cho góc giữahai mặt phẳng (P) và (Q) nhỏ nhất

Bài toán 3: Trong hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ Lập phương

trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’lớn nhất

Ví dụ: Trong hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng và

Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho góc giữamặt phẳng (P) và đường thẳng d’ lớn nhất

Vậy góc giữa đường thẳng và mp (P) nhỏ nhất khi (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra thay vào (*) ta được: 7x - y + 5z - 9 = 0 Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là : 7x - y + 5z - 9 = 0

Nhận xét : Có thể mở rộng ra các bài toán lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa

d sao cho góc giữa hai mặt phẳng hoặc góc giữa đường thẳng và mặt phẳngthỏa mãn một điều kiện nào đó

Dạng 3: Lập phương trình đường thẳng

Ở một số bài toán lập phương trình đường thẳng việc áp dụng phương pháphàm số được khái quát bài toán như sau:

Bài toán: Trong không gian Oxyz cho điểm A Lập phương trình đường thẳng

d thỏa mãn một trong các điều kiện như sau:

- Đường thẳng d nằm trong mp(P), đi qua A và cách một điểm B cho trước

- Đường thẳng d đi qua A, song song với mp(Q), và tạo với một góc lớn nhất,hoặc nhỏ nhất

- Đường thẳng d đi qua A cắt đường thẳng , và cách một khoảng lớn nhất

- Đường thẳng d đi qua A cắt , và tạo với một góc lớn nhất, hoặc nhỏ nhất

Cách giải:

Từ điều kiện bài toán (từ công thức góc hoặc khoảng cách) ta thiết lập biểuthức liên quan hai trong ba ẩn a, b, c (giả sử giữa a và b)

Xét hai trường hợp: TH và TH

Trong TH , đặt Dùng bảng biến thiên của hàm số ta suy ra giá

trị cần tìm của t

Và viết phương trình đường thẳng d

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng Và các

Lập phương trình tham số đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B mộtkhoảng lớn nhất, nhỏ nhất

Nhận xét :

- Có thể mở rộng ra các bài toán như sau: Lập phương trình đường thẳng d nằmtrong (P) đi qua A và cách B một khoảng thỏa mãn một điều kiện nào đó

- Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này

- Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng  đi qua M0 , có vectơ chỉ phương là:

Ví dụ 2: Trong hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng d đi qua

- Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình tham số đường

thẳng d đi qua và cắt đường thẳng sao cho

Từ bảng biến thiên của hàm số

- Vậy khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d lớn nhất là 3 khi

phương trình đường thẳng d cần tìm là : Xét hàm số :

- Có thể mở rộng ra các bài toán trên thỏa mãn một điều kiện nào đó cho trước

- Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình chính tắc

đường thẳng d đi qua A (-1;0;-1) và cắt đường thẳng saocho góc giữa đường thẳng d và là lớn nhất; nhỏ nhất

Hướng dẫn:

Giả sử

+) Vậy góc giữa hai đường thẳng d và là lớn nhất khi và chỉ khi

sảy ra khi chính tắc đường thẳng cần tìm là :

+) Và góc giữa hai đường thẳng d và là nhỏ nhất khi và chỉ khi

sảy ra khi Ta chọn VTCP của d là phương trình chính tắcđường thẳng cần tìm là :

Nhận xét : Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này và mở rộng ra các

bài toán thỏa mãn một điều kiện nào đó cho trước Trong bài trắc nghiệm khóhọc sinh có thể thử đáp án là ra, nhưng cũng có bài không thể thử được, mà phải

làm tự luận mới ra kết quả, hoặc có bài thử còn phức tạp hơn Trong khuôn khổ

đề tài này tôi hướng dẫn cho học sinh những bài giải tự luận như thế.

2.3.2.Một số bài tập tự luyện

Bài 1 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mp (P): x+2y-z+5=0 và đường

thẳng d: Lập phương trình mp(Q) chứa d sao cho góc giữa haimặt phẳng (P) và mp(Q) là nhỏ nhất

Bài 2 : Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:

Lập phương trình mp( ) chứa d sao cho khoảng cách từ A(1;0;5) tới ( ) làlớn nhất

Bài 3 : Trong không gian cho ba điểm và điểm , để đạt giá trị nhỏ nhất thì bằng:

Bài 6 : Trong không gian , cho các điểm , và đường thẳngd: Tìm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến AB là nhỏnhất.

Bài 7 : Trong không gian cho điểm Điểm thỏa mãn nhỏ nhất Tính giá trị của

A B C D

Bài 8 : Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và hai điểm

Lập phương trình thẳng d đi qua điểm A và cắt đườngthẳng  sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất Đường thẳng d

A

B.

C D

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:

Khi chưa dạy cho học sinh cách sử dụng phương pháp hàm số để giải một số bài toán cực trị hình học tọa độ trong không gian tôi cho các em làm bài kiểm tra 45 phút, và thu được kết quả như sau:

Số Điểm 8- Điểm từ 6,5 Điểm từ 5 đến Điểm từ 2 Điểm dưới

Kết quả rất thấp, đa số các em không làm được, chỉ số ít có làm nhưng kết quảkhông đúng.Trong một số câu hỏi trắc nghiệm học sinh khoanh ngẫu nhiên,không suy nghĩ lời giải Nguyên nhân của kết quả trên là học sinh thiếu công cụ

Điểm từ 2 đến dưới 5

Điểm dưới 2

3 Kết luận và kiến nghị :

3.1 Kết luận: Cực trị trong hình học tọa độ trong không gian là dạng toán khó

đối với học sinh, vì vậy khi giảng dạy phần này, cần lựa chọn phương pháp hợp

lý và rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy, khả năng hệ thống kiến thức Saucùng giáo viên phải kiểm tra đánh giá và rút kinh nghiệm cho các em về việcvận dụng các phương pháp này

3.2 Kiến nghị:

- Phương pháp giải này cần đưa vào trong sách giáo khoa cùng với các phươngpháp khác như phương pháp vectơ, phương pháp sử dụng hình không gian đểcác em được sử dụng thành thạo

- Mở rộng với các bài toán tương tự theo chủ đề tìm cực trị

Mặc dù đã có sự đầu tư và thu được những kết quả trong quá trình giảng dạy,song vì điều kiện thời gian còn hạn chế nên bài viết chỉ mang tính chất tươngđối, rất mong được bạn bè đồng nghiệp góp ý kiến chỉnh sửa để đề tài hoànchỉnh hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Nga Sơn, ngày 22 tháng 6 năm 2020

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Người thực hiện Mai Thị Hồng

Tài liệu tham khảo:

1 Sách giáo khoa hình học 12 nâng cao và cơ bản

2 Bài tập hình học 12 nâng cao và cơ bản

3 Bài toán liên quan đến cực hình học tọa độ trong các đề thi học sinh giỏi ,các đề thi thử THPT Quốc gia

DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH

VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Mai Thị Hồng

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Ba Đình

TT Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp loại

(Ngành GDcấphuyện/tỉnh;

Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại

(A, B,hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1

Phát huy tính tích cực

-sáng tạo chủ động cho học

sinh thông qua việc giải bài

toán cực trị trong chương