(SKKN mới NHẤT) phân loại và phương pháp giải bài tập phương trình đường tròn cho học sinh lớp 10 trường THPT thường xuân 2

Phương pháp nghiên cứu: Phân loại các dạng bài về phương trình đường tròn theo bám theo nộidung bài “Phương trình đường tròn” sách giáo khoa hình học 10 cơ bản hiệnhành, qua đó đưa ra p

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài:

Phương trình đường tròn là phần kiến thức cơ bản trong sách giáo khoahình học 10, cũng là phần kiến thức chiếm tỉ trọng cao trong các bài kiểm tracuối năm, tuy nhiên thời lượng bài tập sách giáo khoa chỉ có 01 tiết và ôn tậpthêm buổi chiều khoảng 6 tiết, để có được tài liệu dạy học được đầy đủ phần cơbản của phương trình đường tròn này trong thời gian trên thì cần phải phân loại

và đưa ra các phương pháp phù hợp với các bài tập này

Hiện tại các sách bài tập, sách tham khảo về phần phương trình đườngtròn hình học 10 phong phú và đa dạng tuy nhiên hệ thống bài tập phù hợp vớihọc sinh học chương trình ban cơ bản và thời lượng ôn tập trên lớp không nhiều

Do vậy tôi biên soạn và lựa chọn đề tài “Phân loại và phương pháp giải bài tập phương trình đường tròn cho học sinh lớp 10 trường THPT Thường Xuân 2”.

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phảinghiên cứu bài phương trình đường tròn trong sách giáo khoa cơ bản lớp 10hiện hành và các tính chất của của đường tròn ở các phần trước đó

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Phân loại các dạng bài về phương trình đường tròn theo bám theo nộidung bài “Phương trình đường tròn” sách giáo khoa hình học 10 cơ bản hiệnhành, qua đó đưa ra phương pháp giải phù hợp với mỗi loại bài tập

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm [1]:

2.1.1.Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Trong mặt phẳng , đường tròn tâm bán kính có phương trình:

Chú ý Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính là

2.1.2.Nhận xét

● Phương trình đường tròn có thể viết dưới dạng

trong đó

tròn khi Khi đó, đường tròn có tâm bán kính

2.1.3.Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho đường tròn có tâm và bán kính và đường thẳng là tiếp

tuyến với tại điểm

Ta có

Do đó có phương trình là

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Qua các năm giảng dạy tôi thấy còn nhiều học sinh vẫn còn lúng túng khi làm bài tập về phường trình đường tròn, một phần các em chưa có mối liên hệ với kiến thức đường tròn lớp dưới, phần còn lại đa số các em chưa phân loại tổng hợp, đưa ra phương pháp giải các dạng bài tập về phần này nên các em thấynhiều bài tập và khó nhớ cách làm

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường tròn

1 Phương pháp

1.1 Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Trong mặt phẳng đường tròn tâm bán kính có phươngtrình:

Chú ý Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính R là

1.2 Nhận xét

● Phương trình đường tròn có thể viết dưới dạng

trong đó

tròn khi Khi đó, đường tròn có tâm bán kính

2 Các ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tọa độ tâm và bán kính của đường tròn

Lời giải

Đường tròn có tâm Bán kính :

Ví dụ 2: Tọa độ tâm và bán kính của đường tròn

phải là phương trình đường tròn

Ví dụ 5: Cho phương trình Có bao nhiêu giá trị nguyên dương không vượt quá 10 để là phương trình của đường tròn?

Do đó có 7 giá trị nguyên dương của

Dạng 2: Thiết lập phương trình đường tròn

Gọi I là trung điểm của đoạn suy ra ,

Đường tròn cần tìm có đường kính là suy ra nó nhận làm tâm

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , viết phương trình đường

Ví dụ 5: Viết phương trình đường tròn có tâm và tiếp xúc với

Lời giải

Gọi là tâm của Do nên Hai điểm cùng

Vậy phương trình đường tròn cần tìm

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hai điểm

và đường thẳng

Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm

và tiếp xúc với

Lời giải

Đường trung trực đi qua là trung điểm và nhận

làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình

Do đi qua hai điểm nên tâm của thuộc trung trực nên

.Theo giả thiết bài toán, ta có

Lời giải

Vì thuộc góc phần tư (I) nên Khi đó:

Ví dụ 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng

và Viết phương trình đường tròn

có bán kính bằng , có tâm thuộc và tiếp xúc với

Ví dụ 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho đường tròn

Tia cắt tại Viết phương trình đường tròn , bán kính và tiếp xúc ngoài với tại

Lời giải

Đường tròn có tâm , bán kính

ra Đường thẳng đi qua hai điểm và nên có phương trình

Đường tròn tiếp xúc ngoài với nên tâm thuộc

đường thẳng , suy ra Hơn nữa, nên

Cho đường thẳng và đường tròn có tâm bán kính

- Nếu thì cắt tại hai điểm phân biệt

- Nếu thì tiếp xúc với

- Nếu thì và không có điểm chung

Phương pháp 2

Xét hệ phương trình

- Nếu hệ có hai nghiệm thì cắt tại hai điểm phân biệt

- Nếu hệ có một nghiệm thì tiếp xúc

- Nếu hệ vô nghiệm thì và không có điểm chung

1.2 Vị trí tương đối của đường tròn với đường tròn

Cho hai đường tròn có tâm lần lượt là bán kính Ta có +) và ở ngoài nhau (không có điểm chung)

+) và đựng nhau (không có điểm chung)

+) và đồng tâm (không có điểm chung)

+) và tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi

+) và tiếp xúc trong khi và chỉ khi

+) và cắt nhau khi và chỉ khi

Ví dụ 2: Tìm để đường thẳng có điểm chung với đường

tròn

Lời giải

Đường tròn có tâm và có bán kính

Đường thẳng có điểm chung với đường tròn khi và chỉ khi

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng , cho hai đường tròn:

Ta thấy suy ra hai đường tròn cắt nhau

Gọi điểm thuộc đường thẳng cần tìm

Tọa độ thỏa mãn hệ

Lấy

Nhận thấy luôn thỏa mãn phương trình (3)

Suy ra đường thẳng qua giao điểm của hai đường tròn là:

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ , cho hai đường tròn

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ , cho đường tròn

Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dàibằng

Ví dụ 6: Tìm để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

Lời giải

Với hệ phương trình vô nghiệm, với

Vậy với thì hệ có nghiệm duy nhất

Ví dụ 7: Định để hệ phương trình sau có đúng một nghiệm

Hệ phương trình đã cho có đúng một nghiệm

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán

Tìm đề hệ có hai nghiệm sao cho biểu thức

Cách 1: Tiếp tuyến của đi qua , nhận làm vectơ pháp tuyến nên nó có có phương trình:

•Bài toán 4: Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Cách 1: Viết phương trình đường thẳng

TH1: Xét tiếp tuyến vuông góc với trục hoành, có dạng: +Nếu hệ có nghiệm thì đó chính là phương trình tiếp tuyến chung vuông góc với trục hoành của và

+Nếu hệ vô nghiệm thì và không có tiếp tuyến chung vuông góc với trục hoành

TH2: Xét tiếp tuyến không vuông góc với trục hoành, có dạng:

+Giải hệ phương trình (1) ta tìm được mối liên hệ giữa ; Từ đó viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn

Lưu ý: Để kiểm tra kết quả ta dùng tính chất của vị trí tương đối giữa 2

đường tròn Hạn chế của cách 2 là phải chia trường hợp, học sinh thường nghĩ đến đường thẳng có hệ số góc , do vậy nếu không xét trường hợp tiếp tuyến vuông góc với trục hoành trong một số trường hợp sẽ dẫn tới thiếu nghiệm

2 Các ví dụ mẫu:

Ví dụ 1: Trên hệ trục tọa độ , cho đường tròn có tâm và một tiếp tuyến của nó có phương trình là: Viết phương trình của đường tròn

Lời giải

Bàn kính của đường tròn là

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn

tại điểm

Lời giải

Đường tròn có tâm , bán kính

Do đó điểm thuộc đường tròn

Tiếp tuyến của tại có véctơ pháp tuyến là

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại là

vuông góc với đường thẳng

Lời giải

Gọi là đường thẳng vuông góc với

có tâm , bán kính là tiếp tuyến của

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là

Ví dụ 6: Cho đường tròn Lập phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến của qua

Lời giải

có tâm , bán kính Đường thẳng qua có véc tơ pháp tuyến

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng , cho hai điểm và Chứng minh tập hợp các điểm trong mặt phẳng thỏa mãn

là một đường tròn Viết phương trình tiếp tuyến của đườngtròn đó, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

Lời giải

Chứng tỏ tập hợp các điểm trong mặt phẳng thỏa mãn

là một đường tròn có phương trình Đường tròn có tâm , bán kính

Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng có dạng:

là tiếp tuyến của khi và chỉ khi:

Vì nên chỉ có thỏa mãn.

Vậy tiếp tuyến cần tìm là

Ví dụ 8: Trong mặt phẳng , cho đường tròn

Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp tuyến tạo với một góc bằng

Lời giải

Đường tròn có tâm và bán kính

Gọi tiếp điểm , khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:

Vì

Đường thẳng tạo với một góc bằng khi và chỉ khi

Giải hệ phương trình tạo bởi ta được:

Giải hệ phương trình tạo bởi ta được:

Với , thay vào ta được tiếp tuyến

Với , thay vào ta được tiếp tuyến

Với , thay vào ta được tiếp tuyến

Với , thay vào ta được tiếp tuyến

Vậy có bốn tiếp tuyến tới thỏa mãn điều kiện đề bài.

phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến cắt lần lượt tại saocho

Lời giải

có tâm , bán kính Tiếp tuyến cắt lần lượt tại sao cho Tiếp tuyến

Trường hợp 1: Với Phương trình tiếp tuyến có dạng

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là và

Trường hợp 2: Với Phương trình tiếp tuyến có dạng

do là tiếp tuyến của

.

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là và

Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện

Ví dụ 10: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau:

là tiếp tuyến chung của và

Suy ra

TH1: Nếu chọn thay vào (*) ta được

nên ta có 2 tiếp tuyến là

TH2: Nếu thay vào (*) ta được

hoặc

Vậy có 4 tiếp tuyến chung của hai đường tròn là:

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:

2.4.1 Đối với hoạt động giáo dục: Năm học 2019-2020 tôi dạy 2 lớp 10C6 và

10C7 là hai lớp cơ bản có học lực tương đương theo đánh giá trong kỳ 1 Dođiều kiện về thời gian lớp 10C6 không được ôn tập bài tập trong sáng kiến này,còn lớp 10C7 được ôn tập đầy đủ các dạng bài tập trong sáng kiến kinh nghiệmnày Kết quả bài kiểm tra 45’ sau thời gian học và ôn tập bài “Phương trìnhđường tròn” theo đánh giá của tôi là học sinh lớp 10C7 làm bài tốt hơn lớp10C6 Cụ thể như sau:

Lớp

10C6

Sĩ số

Số hsđiểmyếu

Số hsđiểmtrungbình

Số hskhá,giỏi

Điểm trungbình trung

cả lớp

Điểm thấpnhất

Điểmcaonhất

Số hsđiểmtrungbình

Số hskhá,giỏi

Điểm trungbình trung

cả lớp

Điểm thấpnhất

Điểmcaonhất

40 2 26 12 6,8 5 10

2.4.2 Đối với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường: có tài liệu tham khảo khi

giảng dạy bài “Phương trình đường tròn” chương trình hình học lớp 10

3 Kết luận, kiến nghị

3.1 Kết luận:

Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh chuyên đề này, tôi thấy các emhọc sinh đã tự tin hơn khi đứng trước bài toán về phương trình đường tròn và kếtquả làm bài tập về phần này có nhiều tiến bộ

Với thời lượng hạn chế trong khuôn khổ một sáng kiến kinh nghiệm, tôi

có bổ sung thêm một số kiến thức liên quan ở trong phần phụ lục Bên cạnh đótôi rất mong sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để đề tàiđược hoàn thiện hơn

3.2 Kiến nghị: đối với nhà trường xem đề tài này là tài liệu tham khảo cho học

sinh học bài “Phương trình đường tròn” và được lưu ở thư viện nhà trường đểcác đồng nghiệp và học sinh tham khảo

4.Tài liệu tham khảo

và cộng sự (2006) Hình học 10, nhà xuất bản giáo dục, 3, 81-83.

5 Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng SKKN Ngành

GD, huyện, tỉnh và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên.

Họ và tên tác giả: Đỗ Văn Hào

Chức vụ và đơn vị công tác: giáo viên trường THPT Thường Xuân 2

T

Cấp đánh giá xếp loại

(Ngành GDcấphuyện/tỉnh;

Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại

(A, B,hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại 1

Hướng dẫn học sinh tìm tòi và

2

Hướng dẫn học sinh THPT

Thường Xuân 2 sử dụng máy

tính Casio FX-570ES trong

phương trình và hệ bất

phương trình đại số

Xác nhận của Hiệu trưởng

Thường Xuân, ngày 02 tháng 7 năm 2020

Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm này

do tôi tự viết chứ không phải đi sao chép Nếu sai tôi xin chịu mọi trách nhiệm!

Tác giả

Đỗ Văn Hào