Chính vì vậy, bài toán cực trị hình học tọa độ không gian thường xuất hiện ở đề thi học sinh giỏi hoặc ở các câu hỏi ở mức độ vận dụng và vận dụng cao trong các đề thi THPT Quốc Gia nay
Trang 11 MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
Trong chương trình phổ thông, hình học là môn học không dễ đối với học sinh Để học tốt môn hình học ngoài những yêu cầu cơ bản thì người học cần phải có tư duy logic chặt chẽ và khả năng trừu tượng hóa cao hơn các môn học khác
Bài toán cực trị nói chung hay cực trị tọa độ không gian thường tạo ra khó khăn nhất định cho học sinh Chính vì vậy, bài toán cực trị hình học tọa độ không gian thường xuất hiện ở đề thi học sinh giỏi hoặc ở các câu hỏi ở mức độ
vận dụng và vận dụng cao trong các đề thi THPT Quốc Gia (nay là kì thi tốt
nghiệp THPT Quốc Gia) Để bài thi của các em đạt kết quả tốt nhất thì ngoài
việc các em phải nắm được hệ thống kiến thức cơ bản thì các em phải có được kiến sâu, rộng và đồng thời phải lựa chọn được phương pháp tối ưu để giải nhanh và hiệu quả nhất
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy, việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với từng dạng bài sẽ kích thích được hứng thú học tập của học sinh, giúp các em chủ động lĩnh hội và tích lũy được kiến thức từ đó có được kỹ năng
để vận dụng vào làm bài thi đạt kết quả cao, là nhiệm vụ đặc biệt quan trọng của người thầy
Từ những lý do trên cùng với sự tích luỹ kinh nghiệm của bản thân qua
những năm giảng dạy, tôi chọn đề tài: “SỬ DỤNG YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐỂ
GIẢI HIỆU QUẢ MỘT LỚP BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN, NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 12, NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG GIẢNG DẠY VÀ ĐÁP ỨNG YÊU CẦU ĐỔI MỚI CỦA KỲ THI THPT QUỐC GIA (NAY LÀ KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT)” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình trong năm học
2019 – 2020
1.2 Mục đích nghiên cứu
Hình thành cách giải hiệu quả một lớp bài toán về cực trị hình học tọa độ không gian Hơn nữa rèn luyện các kỹ năng vận dụng kiến thức, kỹ năng lựa chọn phương pháp và định hướng phát triển năng lực tư duy cho học sinh
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp giải một lớp các bài toán cực trị hình học tọa độ không gian bằng cách sử dụng các yếu tố hình học
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Phương pháp điều tra quan sát
- Phương pháp tổng kết rút kinh nghiệm
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra phương pháp để giải quyết một vấn đề là vô cùng quan trọng Nó giúp ta có định hướng tìm được lời giải của một lớp các bài toán Trong dạy học giáo viên là người có vai trò thiết kế và
Trang 2điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên
Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu, tôi thấy đây là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn hút được các em học sinh khá giỏi Nếu ta biết
sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy, kiến thức véctơ, tìm được vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị xảy ra thì có thể đưa bài toán trên về một bài toán quen thuộc, đơn giản giảm nhẹ được tính cồng kềnh của biến đổi đại số
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Bài toán cực trị nói chung và bài toán cực trị tọa độ không gian nói riêng
là bài toán gây ít nhiều khó khăn cho học sinh Bên cạnh khó khăn do vốn kiến thức, kinh nghiệm còn ít ỏi, các em học sinh chưa nắm vững kiến thức hình học và cái nhìn tổng quan, phân loại các dạng toán và phương pháp giải Vậy khi gặp dạng toán này các em chưa tự tin và rất lúng túng tìm lời giải, hơn nữa là lời giải hiệu quả Nếu tháo gỡ được khó khăn đó sẽ đem lại hiệu quả cao trong công tác giảng dạy của các thầy cô cũng như việc học tập của các em học sinh
Ngoài mục tiêu đảm bảo chất lượng đại trà thì chất lượng mũi nhọn luôn được tập thể nhà trường quan tâm và trăn trở Bên cạnh đó chất lượng tuyển sinh vào 10 của nhà trường không cao, cụ thể tỉ lệ số học sinh đạt điểm trên 7 thấp hơn nhiều so với các trường trên địa bàn huyện Chính vì vậy, thầy cô giáo giảng dạy luôn phải tư duy, tìm tòi phương pháp giảng dạy sao cho đạt hiệu quả cao nhất
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1 Ôn tập kiến thức
2.3.1.1 Các công thức cần nhớ
* Công thức về khoảng cách:
- Khoảng cách giữa hai điểm
- Khoảng cách từ điểm đến
- Khoảng cách từ điểm đến :
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và
d( , ) =
* Công thức về góc:
Trang 3- Công thức tính góc giữa hai đường thẳng : ( , lần
lượt là hai vtcp của hai đường thẳng).
- Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: ( là vtpt,vtcp của mặt phẳng và đường thẳng).
- Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng: ( lần luợt là hai vtpt của hai mặt phẳng).
* Lưu ý: Các công thức tính góc nêu trên có điều kiện:
2.3.1.2 Một số kết quả được sử dụng.
* Kết quả 1: Trong một tam giác cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn.
* Kết quả 2: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm
ngoài đường thẳng đến một đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất
*Kết quả 4: Trong không gian , cho và 2 điểm
mặt phẳng
với mặt phẳng
2.3.1.3 Hai bài toán cơ bản của hình học tọa độ trong không gian thường được sử dụng.
Bài toán 1: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng
Phương pháp giải:
- Viết phương trình đường thẳng
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của lên
Bài toán 2: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng
Phương pháp giải:
- Viết phương trình
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên
Lưu ý: Có thể giải 2 bài toán trên bằng cách khác d
M
H
P
M
H
Trang 42.3.2 Giải bài toán cực trị hình học tọa độ không gian bằng hai phương pháp
Ví dụ: (Đại học khối B năm 2009)
Trong không gian , cho mặt phẳng và hai điểm
Trong các đường thẳng đi qua và song song với Viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ điểm đến đường thẳng đó
là nhỏ nhất
Phân tích, hướng dẫn:
Cách 1: Dùng phương pháp sử dụng các yếu tố
hình học
Gọi là đường thẳng cần tìm vậy gọi
là mặt phẳng sao cho và //
d Q
B
A
Gọi lần lượt là hình chiếu của trên và Áp dụng kết quả 2 ta
có , đẳng thức xảy ra khi vậy đường thẳng , đường
Cách 2: Dùng phương pháp hàm số
,
- TH2: Nếu thì ta chia cả tử và mẫu của biểu thức trong căn cho ta có
Đặt =
Trang 5Bảng biến thiên của
0 + 0
2
Từ bảng biến thiên nhận thấy tại * Nhận xét: Ngoài bài toán trên thì còn có nhiều bài toán cực trị tọa độ không gian có thể giải bằng 2 phương pháp:
- Phương pháp đại số: Chuyển đại lượng cần tìm Min, Max về biểu thức đại số và dùng bất đẳng thức hoặc khảo sát hàm số để tìm Min, Max - Phương pháp sử dụng các yếu tố hình học: Sử dụng các yếu tố hình học và bất đẳng thức hình học để tìm Min, Max Từ hai cách giải của bài toán trên nhận thấy nếu giải theo phương pháp đại số có lợi thế là ít dùng đến trí tưởng tượng trong không gian nhưng phải tính toán điều đó làm mất nhiều thời gian và dễ có sai sót Đối với phương pháp hình học thì đòi hỏi học sinh có sự tưởng tượng không gian nhưng lời giải thể hiện tính nhanh gọn, tiết kiệm thời gian, kết quả thường chính xác, phù hợp với xu thế thi THPT Quốc Gia Sau đây tôi xin đưa ra một số bài toán cực trị hình học tọa độ để chứng tỏ tính ưu việt của phương pháp hình học 2.3.3 Dạng toán cực trị hình học tọa độ không gian bằng phương pháp sử dụng yếu tố hình học 2.3.3.1 Dạng toán cực trị hình học tọa độ không gian liên quan đến khoảng cách. Bài toán 1: Cho điểm cố định và điểm di động trên đường thẳng (hoặc mặt phẳng). Xác định điểm để có độ dài nhỏ nhất Phương pháp giải:
A
H M
Q
A
H M
Gọi là hình chiếu của trên đường thẳng (hoặc mặt phẳng) Xét tam giác
và áp dụng kết quả 2 ta có Đẳng thức xảy ra khi , vậy
AM nhỏ nhất khi là hình chiếu của trên đường thẳng (hoặc mặt phẳng).
Trang 6Ví dụ 1.1 (KSCL Sở GD&ĐT Lạng Sơn 2019):
Trong không gian , cho 2 điểm và đường thẳng
Trong các véc tơ , xác định véc tơ chỉ phương của đường thẳng đi qua , vuông góc với , đồng thời cách điểm một khoảng bé nhất, khoảng cách bé nhất đó là:
Phân tích, hướng dẫn:
Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng
Gọi lần lượt là hình chiếu của của lên và đường thẳng , Áp dụng bài toán cơ bản 2 ta có
thẳng là đường thẳng có véc tơ chỉ phương Đáp án A.
Ví dụ 1.2 (KSCL lần 1, Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai , Sóc Trăng năm 2018):
Xét các mặt cầu có tâm đi qua điểm , tiếp xúc với
Tính giá trị biểu thức , khi mặt cầu
có bán kính bé nhất:
Phân tích, hướng dẫn:
Gọi là hình chiếu của trên , với là điểm bất kỳ trên
vậy theo kết quả 2 thì Vậy mặt cầu đi qua và tiếp xúc với
có bán kính nhỏ nhất là mặt cầu có đường kính với là tiếp điểm của với , hay là hình chiếu của trên Lập phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với
Vậy mặt cầu có tâm I là trung điểm Đáp án C.
Bài toán 2:
Trong không gian , cho điểm và đường thẳng
a Lập phương đi qua và cách điểm cho trước một khoảng lớn nhất
b Lập phương trình chứa đường thẳng và cách N một khoảng lớn nhất.
Phương pháp:
a Gọi H là hình chiếu của N trên , khi đó
Trang 7đẳng thức xảy ra khi
Vậy là mặt phẳng đi qua M và vuông góc
với
Q
N
H M
b Gọi lần lượt là hình chiếu của trên
thức xảy ra khi
d Q
N
Ví dụ 2.1 (KSCL lần 2, Ngô Quyền, Hải Phòng 2018):
hai điểm và cách một khoảng lớn nhất Khi đó đó giá trị của biểu thức là:
Phân tích, hướng dẫn:
Đáp án C.
Ví dụ 2.2 (KSCL Lê Quý Đôn Điên Biên 2019):
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm Biết đi qua
và cách một khoảng lớn nhất Phương trình của là:
Phân tích, hướng dẫn:
, áp dụng phương pháp giải bài toán 2a thì
Bài toán 3:
Trang 8Cho và hai điểm phân biệt Tìm điểm M thuộc sao cho:
a nhỏ nhất b lớn nhất
Phương pháp giải:
a
TH1: Nếu nằm khác phía so với
theo kết quả 3 ta có
Đẳng thức xảy ra khi thẳng hàng
M
B
A
P
TH2: Nếu nằm cùng phía so với ,
gọi là điểm đối xứng với qua
áp dụng kết quả 3 ta có:
Đẳng thức xảy ra khi thẳng hàng
B
A '
M
A
P
b
TH1: Nếu nằm cùng phía so với ,
khi thẳng hàng hay điểm
B
M
A
P
TH2: Nếu nằm khác phía so với ,
gọi là điểm đối xứng với qua
Đẳng thức xảy ra khi hay điểm
M
B
A '
A
P
Ví dụ 3.1 (KSCL Sở GD&ĐT Sóc Trăng 2018):
Trong không gian cho và hai điểm phân biệt
trị bằng:
Phân tích, hướng dẫn:
nằm nằm khác phía với mp Gọi là điểm đối xứng của qua mặt
Trang 9phẳng vậy , đẳng thức xảy ra khi thẳng
,
Ví dụ 3.2 (KSCL Chuyên Hùng Vương phú Thọ 2018): Trong không gian
thuộc và nhỏ nhất Giá trị bằng bằng:
Phân tích, hướng dẫn:
nằm cùng phía với mp Gọi là điểm đối xứng của qua , ta có
, ta có Gọi là hình chiếu của
Đáp án B.
Bài toán 4: Trong không gian , cho n điểm Viết phương trình đi qua sao cho tổng lớn nhất
Phương pháp:
TH1: Nếu n điểm nằm cùng phía so với Gọi G là
TH2: Nếu m điểm nằm về một phía và k điểm nằm về khác phía nằm cùng phía so với Gọi là trọng tâm của m điểm, là trọng tâm
của k điểm, đối xứng với qua điểm vậy , nằm cùng phía đối
Trang 10- Nếu Gọi là điểm thỏa mãn Và là trung điểm
Ví dụ 4.1 (KSCL lần 1,chuyên Lương thế Vinh, Đồng Nai 2018):
Trong không gian cho 4 điểm và
Gọi là mặt phẳng đi qua sao cho tổng khoảng cách từ
và đến lớn nhất, đồng thời ba điểm nằm cùng phía so với
Trong các điểm sau, điểm nào thuộc :
Phân tích, hướng dẫn:
Gọi G là trọng tâm 3 điểm
Ví dụ 4.2 (Tạp chí Epsilon, số 17): Trong không gian cho 3 điểm
Gọi là mặt phẳng đi qua và tổng khoảng cách từ và đến lớn nhất Khoảng cách là:
Phân tích, hướng dẫn:
TH1: A và B nằm cùng phía so với M là trung điểm vậy
TH2: và nằm khác phía so với Gọi là điểm đối xứng với qua
và là trung điểm của
Đáp án A.
mãn Tìm điểm trên đường thẳng d (hoặc mặt phẳng
(α)) sao cho có giá trị nhỏ nhất
Phương pháp
- Tìm điểm I thỏa mãn
- Áp dụng quy tắc 3 điểm ta phân tích :
Trang 11
Áp dụng bài toán 1 xác định được để đạt giá trị nhỏ nhất
Ví dụ 5.1: (Sở GD &ĐT Hà Tĩnh 2018-2019) : Trong không gian , cho 3
, giá trị nhỏ nhất của bằng:
Phân tích, hướng dẫn: Đặt
Gọi là điểm thỏa mãn đẳng thức Ta có
cùng phía so với Gọi là hình chiếu vuông góc của lên
Gọi là điểm đối xứng với qua
Đáp án A.
Ví dụ 5.2:
Trong không gian , cho 2 điểm và đường thẳng
giá trị nhỏ nhất Khi đó bằng:
Phân tích, hướng dẫn:
Gọi là trung điểm , vậy
Đáp án D.
Bài toán 6:
Trong không gian , cho đa giác và số thực thỏa
Trang 12đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất.
Phân tích, hướng dẫn:
- Tìm điểm thỏa mãn
- Áp dụng quy tắc 3 điểm và phân tích như bài toán 5 ta có:
- Ta có không đổi, áp dụng bài toán 1 ta xác định được
vị trí của để đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất
* Nhận xét:
- Nếu , Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi nhỏ nhất
- Nếu , Biểu thức đạt giá trị lớn nhất khi nhỏ nhất.
Ví dụ 6.1 (Sở GD &ĐT Điện Biên 2018-2019):
Trong không gian , cho 3 điểm và mặt phẳng Xét điểm thay đổi thuộc , giá trị nhỏ
D 55
Phân tích, hướng dẫn:
Đáp án A.
Ví dụ 6.2 (Sở GD &ĐT Hà Nội 2018-2019):
tìm giá trị của a, b để biểu thức nhỏ nhất Giá trị của bằng:
Phân tích, hướng dẫn:
Gọi là điểm thỏa mãn đẳng thức vậy là trung điểm của
*Nhận xét: Ngoài cách giải trên ta có thể giải bài toán bằng cách sử dụng công
Ví dụ 6.3 ( Trích trong đề tập huấn của sở GD&ĐT 2019:
Xét điểm thuộc thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng:
Trang 13Phân tích, hướng dẫn:
Áp dụng nhận xét trên ta có:
hay là hình chiếu vuông góc của lên
, Tọa độ điểm là nghiệm của hệ
Đáp án A.
Ví dụ 6.4 (Chuyên KHTN năm 2018-2019 lần 1):
điểm Xét điểm thay đổi thuộc mặt cầu , giá trị lớn
Phân tích, hướng dẫn:
Mặt cầu có tâm và , ta có
Đáp án C.
*Nhận xét: Cho điểm A cố định và điểm M di động trên đường mặt cầu tâm I
Bài tập tự luyện
Bài 1 (KSCL lần 3, THPT Kim Liên Hà Nội 2019):
Trong không gian , cho 2 điểm và đường thẳng
Gọi là đường thẳng đi qua , vuông góc với d, đồng thời cách điểm một khoảng bé nhất, khoảng cách bé nhất đó là:
Bài 2 (Toán học tuổi trẻ 2018-2019):
điểm trên sao cho để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là:
Bài 3 (Sở GD &ĐT Hà Tĩnh 2018-2019):