Nghiên cứu phương pháp phép chiếu trực giao với phép toán tích trong với trọng trên không gian hữu hạn chiều

Bài viết nghiên cứu phương pháp phân tích trực giao với phép toán tích trong với trọng trên không gian hữu hạn chiều. Ở đây tác giả đã mở rộng bằng cách xét phép toán tích trong với trọng là một ma trận đối xứng xác định dương, bài toán tối ưu được viết lại đối với phép toán mới.

NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP PHÉP CHIẾU TRỰC GIAO VỚI PHÉP TOÁN TÍCH TRONG VỚI TRỌNG TRÊN

KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU

Nguyễn Đức Hậu

Trường Đại học Thủy lợi, email: ndhau.dhtl@tlu.edu.vn

1 GIỚI THIỆU CHUNG

Phương pháp POD (Proper orthogonal

decomposition) là một phương pháp xấp xỉ

tối ưu từ một hệ cơ sở trực chuẩn Phương

pháp POD được áp dụng trong nhiều lĩnh vực

như: xử lý ảnh, nghiên cứu cấu trúc của dòng

chảy rối [1],… Phương pháp POD là một

phương pháp tuyến tính trong đó ta sẽ xác

định một hệ sơ sở trực chuẩn để xấp xỉ (một

cách tối ưu) các dữ liệu ban đầu là tập hợp

rời rạc hoặc liên tục có cỡ lớn (các kết quả

thực nghiệm hay là các kết quả số tại các thời

điểm khác nhau) Hệ cơ sở này sẽ xác định

một không gian cỡ nhỏ hơn để xây dựng một

mô hình rút gọn nhờ phép chiếu Galerkin

Phép chiếu Galerkin trên hệ các véc tơ cơ sở

POD đưa vào trong hệ Navier-Stokes sẽ dẫn

đến một hệ các phương trình vi phân bậc hai

Trong bài báo này tác giả nghiên cứu

phương pháp POD với phép toán tích trong

với trọng trên không gian hữu hạn chiều

2 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp POD trong không gian hữu

hạn chiều đã được nghiên cứu trong [2] Các

kết quả chính được trình bày trong định lý

2.1 và các hệ quả 2.3; 2.4

Định lý 2.1 Cho Y y1, ,y n là ma trận

cỡ m n có hạng là d minm n,  với phép

phân tích SVD Y U V T ở đó:

 1, , m m m

 1, , n n n

là các ma trận trực giao và   ¡ m n có dạng:

0

, với D diag1, ,d d d

Khi đó với mọi l1, ,d nghiệm của:

  1

2

m l

l n l

j i

u u i j

y u

P

¡

¡

,

sao cho u u i, j m ij

¡ ; 1i j,  được xác l

định bởi  u i l i 1

 là l cột đầu tiên của U Hơn nữa:

arg max

l

Định nghĩa 2.2 Với l1, ,d các véc tơ

 u i l i 1

 được gọi là hệ cơ sở POD với hạng l

Hệ quả 2.3 (Tối ưu hóa hệ cơ sở POD) Với các giả thiết trong định lý trên xảy ra Giả sử rằng µd m d

U  ¡  là ma trận ứng với các véc tơ vuông góc đôi một với các véc tơ

$

i

u và:

µd d

ở đó:

d i

¡ ; 1 i d;1 j n

Khi đó với l1, ,d ta có:

µl

F

F

trong đó

F là chuẩn Frobenius được định nghĩa như sau:

2

1 1

m n

T ij

F

i j

 

và U là ma trận l cột đầu của U ; l l

B là ma trận

l cột đầu của B , tương tự đối với Uµl và C l

Chú ý: Hệ cơ sở POD hạng l là tối ưu

theo nghĩa lấy trung bình của các cột  y j n j 1



của Y như là một tổ hợp tuyến tính của một

hệ cơ sở trực chuẩn với hạng l :

$

2

2

2

,

m

m

i

y u

y u







¡

¡

với  $i n1

i

u



là một hệ véc tơ trực chuẩn bất kỳ

Hệ quả 2.4 Với các giả thiết của định lý

trên chúng ta nhận được

2 1

n

l l

j i j k ij kj i ik

j



ở đó 1i k,  l

Nếu nm chúng ta có thể xác định hệ cơ

sở hạng l như sau: Tính các véc tơ

1, , n n

v v  ¡ bằng việc giải bài toán n n giá

trị riêng:

T

i i i

Y Yv v với i1, ,l

Trong trường hợp này phương pháp POD

thường được gọi là phương pháp snapshots

Mặt khác, với m chúng ta sẽ giải bài toán n

m m giá trị riêng

3 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Chúng ta sẽ mở rộng định lý 2.1 bằng cách

đưa vào trong không gian Euclid m

¡ phép toán tích trong với trọng như sau:

W

ở đó u , % u  ¡ m, W ¡ m m là ma trận đối

xứng, xác định dương

Chuẩn trong trường hợp này được xác

định bởi:

,

Khi W  I thì tích trong xác định ở trên

trùng với tích Euclid thông thường

Thay  1

P bởi:

2 1

1

m

n

u j

y u







P

¡

W

Toán tử Lagrange L:¡ m¡ ¡ đối với

W

P được xác định bởi:

W W

Giả sử u  ¡ m là nghiệm của  1 

W

P thì nó

là nghiệm của:

 ,  0

Vì W đối xứng nên ta nhận được

2

,

1

n m m

T

j k k

j k

m m

k k k

L

u W u

 













 



2WYY Wu T Wu hay là

Do vậy chúng ta phải giải bài toán giá trị riêng

WY WY T uWu (1) Định lý 3.1 Cho Y ¡ m n là ma trận có hạng là d minm n, , W là ma trận đối

xứng, xác định dương, 1/2



1, , 



l d Cho phép phân tích SVD của Y :

T

Y  U V ở đó

 m¡ m m

1, , n n n

là các ma trận trực giao và  có dạng

0

U YV     

¡ Khi đó nghiệm của

1

2

, ,

m l

l n l

u u

i j

y u



 

P

¡

,

sao cho i, j ij

W

u u  ; 1i j,  l

được xác định bởi u i W1/2u i; i1, ,l

Hơn nữa:

arg max

l

Các bước chứng minh chính của định lý

3.1 như sau:

Bởi vì Wlà ma trận đối xứng, xác định

dương nên nó có các giá trị riêng

     và

T

ở đó D diag 1, 2, ,m và Q là một ma

trận trực giao

Đặt W Qdiag1, ,1Q T,  ¡

Nhận xét:

W 1 W

và W  W W ,  ,  ¡

Ta có:

W

u u

và || ||u W||W1/ 2u|| m

¡ ,   ¡u m Đặt uW1/ 2u ¡ m và Y W1/2Y ¡ mxn

Nhân hai vế của (1) với W1/ 2 đưa đến bài

toán giá trị riêng:

Y Y u T u (2)

Ta có u1W1/ 2u1 là nghiệm của  1 

W

P ,

ở đó u là véc tơ riêng của 1 YY ứng với giá T

trị riêng lớn nhất 1 với |||u1||¡m1 Từ

phương pháp SVD ta có u được xác định từ 1

bài toán giá trị riêng Y Y v T 11 1v , ở đó

T

T

Tương tự chúng ta có thể tìm véc tơ thứ

W

u u  để cực đại

2

n

j

j y u W

Hệ quả 3.2 Hệ cơ sở POD  u i l i 1

 với hạng l có thể được xác định bằng phương

pháp snapshots như sau:

Giải bài toán giá trị riêng

T

i i i

Y WY v  v với i1, ,l.

Đặt

 

1/ 2 1/ 2

1

i





Chú ý rằng

i j W i j

i j

 

  với 1i j, l.

Khi mà m? n dùng phương pháp snapshots tính toán trên máy tính sẽ nhanh hơn rất nhiều so với phương pháp POD thông thường

4 KẾT LUẬN Trong bài báo này tác giả nghiên cứu phương pháp phân tích trực giao với phép toán tích trong với trọng trên không gian hữu hạn chiều Ở đây tác giả đã mở rộng bằng cách xét phép toán tích trong với trọng là một

ma trận đối xứng xác định dương, bài toán tối

ưu được viết lại đối với phép toán mới Giải bài toán giá trị riêng cho phép xác định được

hệ cơ sở POD đối với bài toán mới

5 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] P Holmes, J.L Lumley, and G Berkooz

Cambridge Monographs on Mechanics, Cambridge University Press, 1996.

[2] Nguyễn Đức Hậu Nghiên cứu phương pháp POD trên tập hợp các kết quả của mô hình

số tính toán dòng chảy Tuyển tập hội nghị thường niên trường Đại học Thủy lợi 2019,

tr 165-167