Về nghiệm thứ hai của phương trình sai phân cấp hai

Bài viết Về nghiệm thứ hai của phương trình sai phân cấp hai trình bày về phương pháp giảm bậc để tìm nghiệm thứ hai của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp 2. Hy vọng rằng, cách tiếp cận mới này có thể đòng góp thêm trong lý thuyết xấp xỉ phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hàm.

VỀ NGHIỆM THỨ HAI CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP HAI

Phạm Nam Giang1 , Nguyễn Hữu Thọ 1

Trường Đại học Thủy lợi, email:nhtho@tlu.edu.vn

1 GIỚI THIỆU CHUNG

Có nhiều phương pháp khác nhau để tìm

nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính của phương

trình sai phân tuyến tính cấp hai khi đã biết

được một nghiệm của nó, chẳng hạn như:

1) Phương pháp thác triển tích phân

Cauchy

2) Phương pháp giảm bậc của D’Alembert

3) Phương pháp lặp bằng cách sử dụng dữ

kiện ban đầu cho trước…

Trong báo cáo này, chúng tôi trình bày về

phương pháp giảm bậc để tìm nghiệm thứ hai

của phương trình sai phân tuyến tính thuần

nhất cấp 2 Ở đây chúng tôi đã mở rộng

phương pháp giảm bậc của D’Alembert (có

thể xem thêm [1])

2 NỘI DUNG BÁO CÁO

2.1 Phương pháp giảm bậc cho nghiệm

thứ hai của phương trình sai phân

Trong mục này, chúng tôi mô tả phương

pháp giảm bậc để tìm nghiệm thứ hai độc lập

tuyến tính của phương trình sai phân tuyến

tính thuần nhất cấp hai tổng quát dưới dạng:

a y n n2 b y n n1c y n n 0, (1)

trong đó a c  Giả sử ta đã biết một n, n 0

nghiệm của (1)

(1)

y  f ,

khi đó, nghiệm thứ hai (độc lập tuyến tính

với nghiệm thứ nhất) sẽ có dạng:

y n(2)n n f , (2)

và để xác định được nghiệm thứ hai, chúng ta

cần xây dựng được n

Đặt n n1n, sau đó thế (2) vào (1) ta được

2

2

1

2

0,

n n n n n

n n n n n n n





(3)

do f n là một nghiệm của (1) nên (3) trở thành

2

2

1

2

0

n n n n

n n n







Đặt:

u n  n,

ta nhận được

n n n n n n n

a u  u f  b u f  

n n n n n n n

a u u  f  b u f  

Ta thấy u n thỏa mãn phương trình sai phân cấp 1 (với giả thiết f n 0,n)

1 1

2

n n

b f

a f







1

2

n n

n n

c f

a f





Qua phép lặp ta có

1

0

n

l l n

l l l

c f

a f





hay là

1

0 1

0 0

1

k l k

l

k k l

u











Lấy tổng kta được

1 1

0 1





k n

l n

k k k l l

u

Sau đó ta thế vào (2) sẽ nhận được nghiệm thứ hai của (1) như sau:

1 1

(2)

1

1

k n

l

n n

k k k l l

c





  (4)

Tiếp sau đây, chúng ta sẽ minh họa cách

sử dụng công thức (4) để xác định nghiệm

thứ hai trong một số ví dụ cụ thể

2.2 Một số ví dụ

Ví dụ 1 Xét phương trình sai phân với hệ

số hằng

n n n

ay  by  cy  (5)

Trường hợp 1: Phương trình đặc trưng

2

0

ar br  có nghiệm bội c

2

b r a



Nghiệm thứ nhất có dạng: y n(1) r n

Áp dụng công thức (4)

 

1 1

(2)

1

1 1

2 1

2 1

1

1

1



















k n

l

n n

k k k l l

k n

n

k

k l

k

c

r

r Trường hợp 2: Phương trình đặc trưng có

hai nghiệm phân biệt

2

r



Với y n(1) rn, nghiệm thứ hai của phương

trình (5) xác định bởi

1 1

2 1

2

2

1

1

k n

n

k l

k k

k

n

n n

c

a r

a r

c ar













Ta lại có

2

2 2

2

2 ,

=

và

1

b

r r

a

r r

c a ar

c r

 

 











Nên ta có: (2) 1

n n n

c

a r 

Ví dụ 2 Xét phương trình sai phân cấp 2

y n2(n1)y n1(n1)y n 0 (6) Một nghiệm của (6) là: y n(1) n!

Áp dụng công thức (3)

1 1

(2) 1

n

l

n n

k k k l l

c





1 1

(2)

1

!( 1)!

k n

n

k l

k k







1 1

(2)

n







Như vậy, nghiệm độc lập tuyến tính thứ hai của (6) được biểu diễn dưới dạng

2 (2)

2

( 1)

!







l n n

l

l

Ví dụ 3 Xét phương trình sai phân cấp 2 (n2)y n2(2n3)y n1(n1)y n 0 (7) Đặt y n  y n1y n, khi đó (7) trở thành

2

(n2) y n y n 0, qua đó dễ thấy (7) có một nghiệm hằng

Bắt đầu bằng nghiệm hằng f  k 1, áp dụng công thức (3), nghiệm độc lập tuyến tính thứ 2

1 1

(2) 1

1

1

1









k n

l

n n

k k k l l k

k l k l

c

l

Và ta có thể chọn nghiêm mới thứ hai là

(2) 1

1



n n l

y

l,

đây được gọi là số điều hòa

Ví dụ 4 Ta xét thêm một ví dụ khác như

sau: xét phương trình sai phân tuyến tính

cấp 2

2

n

n y n n y

dễ thấy (8) có một nghiệm: y n(1) 2 n

Áp dụng công thức (3)

1 1

(2)

1

n

l

n n

k k k l l

c





1 1

(2)

1

1 1

1

2 1

1

2

2

















k n

l

n n

k k k l l

k n

n

k

k l

c

l

1 1

2 1 1

1

1

2

2

k n

n

k

n

















trong thừa số thứ hai, đặt k  l 1, khi đó

n

n

n



Do vậy, ta có thể chọn nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính của phương trình (8) dưới dạng

(2)

2 !

n

3 KẾT LUẬN

Báo cáo làm một mở rộng phương pháp giảm bậc của D’Alembert, đây là một cách tiếp cận mới để có thể tìm được nghiệm độc lập tuyến tính thứ hai của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp 2 khi đã biết một nghiệm của nó Hy vọng rằng, cách tiếp cận mới này có thể đòng góp thêm trong lý thuyết xấp xỉ phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hàm

4 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] C Weixlbaumer (2001), Solutions of Difference Equations with Polynomial

(RISC), Johannes Kepler Universit¨at, Linz, Austria