Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2.. Tìm tọa độ đỉnh A và viết phương trình cạnh AC.. Tìm tâm và bán kính của đường tròn T.. Tính độ dài đoạn v
Trang 1Môn; Toán ; Khối: D Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi: 21/ 10/ 2011
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I ( 2 điểm)
Cho hàm số 2 ( )
3
x
x
+
=
- 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2) Tìm trên đồ thị ( C) điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng bằng 1
5 khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang.
Câu II ( 2 điểm)
1) Giải phương trình : 2 sin3 x-cos 2x+cosx = 0
2) Giải bất phương trình: x2- -x 2+3 x £ 5x2 -4x - 6
Câu III ( 1 điểm)
Tính
1
2
0 ln(1 )
I=ò x + x dx
Câu IV ( 1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB = a, AC = 2a, SA = a và SA vuông góc mặt đáy, mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC tại H và cắt SB tại K. Tính thể tích khối
chóp S.AHK theo a.
Câu V ( 1 điểm)
Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
.
PHẦN RIÊNG ( 3 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( Phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a ( 2 điểm)
1) Cho tam giác ABC có B(3; 5), đường cao AH và trung tuyến CM lần lượt có phương trình d: 2x 5y + 3 = 0 và d’: x + y 5 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A và viết phương trình cạnh AC. 2) Cho mặt cầu (S) : (x-3)2+(y+2)2+(z -1)2 = 100 và mặt phẳng ( ) : 2a x-2y- + = z 9 0
Chứng minh rằng (S) và ( )a cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (T). Tìm tâm và bán kính
của đường tròn (T) Câu VII.a ( 1 điểm)
Tìm số phức z, nếu z2 + z = 0
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI .b ( 2 điểm)
1) Cho đường tròn ( C) x2+y2 -2x-4y - = và điểm A (2; 3) các tiếp tuyến qua A của ( C) 4 0
tiếp xúc với ( C) tại M, N .Tính diện tích tam giác AMN.
2) Cho hai đường thẳng d:
2
1
1
1
1
=
-
-
=
x
và d’:
ï
î
ï
í
ì
=
-
=
+
=
t
z
t
y
t
x
2
4
Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của d và d’.
Câu VII.b ( 1 điểm) Cho hàm số
2
3 2
y
x
- +
= (C) Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm mà từ đó
kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị ( C).
GV Luong Viet Hai - THPT Tuy Phong (suu tam)
Trang 2x
1
0
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011
(Đáp án gồm 7 trang)
Câu I
2 đ
1/Tập xác định: D= R \ 3 { } .
0,25
2/ Sự biến thiên
aChiều biến thiên : Ta có ' 5 2 0
( 3)
y
x
-
- Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng ( -¥ ;3) vµ (3; +¥ )
bCực trị: Hàm số không có cực trị c Giới hạn:
3
2 lim ( )
3
x
x
x
-
®
+
= -¥
2 lim ( )
3
x
x
x
+
®
+
= +¥
- Þ Hàm số có tiệm cận đứng x=3
2 lim ( ) 1
3
x
x
x
®±¥
+
= Þ
- Hàm số có tiệm cận ngang y = 1
0,25
dBảng biến thiên:
+¥
0,25
3/ Đồ thị:
Đồ thị nhận I(3;1) làm tâm đối xứng Giao với trục:Ox tại ( 2 ; 0 ),với Oy (0; 2 )
3
-
0,25
2)
1 điểm
+)Gọi đường tiệm cận đứng , tiệm cận ngang lần lượt là d1, d2
( )
MÎ C nên ; 2
3
x
M x
x
+
ç - ÷
0,25
Trang 3+) Ta có d M d( , 1 )= x - , 3 ( , 2 ) 2 1 5
x
d M d
+
2
x
x
x
=
é
ë
0,25
Vậy có 2 điểm thỏa mãn M1(4;6),M 2 (2; 4) -
0,25 Câu II
2 đ
1)
1 điểm
+)pt Û2 sin3x-(1 2 sin- 2 x) cos+ x = 0
2
2 sin x(1 s inx) (1 cos )x 0
(1 cos ) 2(1 cos )(1 s inx) 1x x 0
(1 cos ) 2(s inxx cos )x 2 sin cosx x 1 0
0,25
1 cos 0 (1) 2(s inx cos ) 2 sin cos 1 0 (2)
x
é
ë Giải (1) ta được x=2kp (kÎ Z )
0,25
Giải (2) :
4
Ta được phương trình 2
2 0
2 (loai)
t
t
=
é
Û ê = -
ë
0,25
4
x - p kp k Z
Vậy phương trình có nghiệm: x= 2 kp ( )
4
x=- p +kp kÎ Z
0,25
2)
1 điểm
Điều kiện
2
2
2 0
x x
ì - - ³
ï
í
ï
- - ³
î
0,25
Bình phương hai vế ta được 6 x x( +1)(x-2)£4x2 -12x - 4 0,25
3 x x( 1)(x 2) 2 (x x 2) 2(x 1)
0,25
1
x x
t
x
-
+ ta được bpt
2
2t -3t - ³ 2 0
0,25
Trang 4C
B
A
K
H
a
2a
a
1
2
2
2
t
t
t
-
é
£
ê
ê
³
ë
( do t ³ ) 0
1
x x
x
-
+
3 13
3 13
3 13
x
x
x
é £ -
³ +
ê
( do x ³ ) Vậy bpt có nghiệm 2 x ³ + 3 13
0,25
Câu III
1 đ
1 điểm
2
2 ln(1 )
1
xdx
x
+
2
2
x
dv=xdxÞ = v
0,25
Do đó
1 1
2
1
2
0
0
1
x
+
ò
0,25
Tính I1:
Ta có
2
0,25
Vậy ln 2 1
2
Câu V1
1 đ
1 điểm
+) Theo bài ra ta có SH ^ (AHK )
BC ^SA BC^ABÞBC^ SAB ÞBC^ AK
Và AK ^ SC nên
AK ^ SBC ÞAK ^KH v ^ AK
0,25
+) Áp dụng định lý Pitago và hệ thức trong tam giác vuông 0,25
Trang 5D
E
B
d’
C
d
d1
a
+) Ta có
2
AHK
a
0,25
+) Vậy
3
.
a
Chú ý : có thể tính theo công thức tỷ số thể tích.
0,25
Câu V
+) Theo B ĐT Côsi ta có £ Þ = Î ç æ ù ú
2
0<xy t (xy) 0;
0,25
+) Ta có = + 2 + = + +
2
Þ = - = < " Î ç ú
2 /
2 2
0,25
+) B¶ng biÕn thiªn :
16
16
0,25
+) Từ bbt ta có min P 289
16
Câu VI. a
2 đ
+) Gọi D=dÇ d ' nên tọa độ của D là nghiệm của hệ
22
( ; )
7
x
x y
D
x y
y
ì
=
ï
- + =
+ - =
ï
0,25
+) Goi d1 là đường thẳng qua B và song song với d’ nên phương trình d1 là:
Trang 6Gọi E=dÇ d 1 nên (33 19 ; )
7 7
E Vì d’ là đường trung tuyến qua C nên D là trung điểm AE suy ra (1;1)A
+) Ta có cạnh BC ^ c với d nên phương trình cạnh BC là 5x + 2y – 25 = 0
Suy ra ( ) ' ( 35 50; ) ( 38 47 ; )
+) Vậy phương trình cạnh AC là 1 38
1 47
= -
ì
í
= +
î
0,25
+) Mặt cầu (S) có tâm I(3;2;1) và bán kính r = 10 .
Ta có : ( , ( )) 2.3 2( 2) 1 9 6
4 4 1
+ +
Vậy ( , ( )) d I a < nên (S) cắt ( )r a theo giao tuyến là đường tròn (T) .
0,25
+) Gọi J là tâm của (T) thì J là hình chiếu của I lên ( )a
Xét đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với ( )a Lúc đó (d) có vectơ chỉphương là ar=n r =(2; 2; 1) - -
. Phương trình tham số của (d) là :
3 2
1
= +
ì
ï
= - - Î
í
ï = -
î
¡
0,25
+) Ta có J =d Ç ( )a Xét hệ:
3 2
2 2
1
= +
ì
ï = - -
ï
í
= -
ï
î
Giải hệ này ta được : J(1;2;3)
.
0,25
+) Gọi r’ là bán kính của (T) , ta có : 2 2
100 36 8
r¢ = r -h = - = Vậy : J(1;2;3) và r’= 8
0,25
xy
ï
=
ï
0,25
Trang 7+) Û
2
2
0
0
1
0 (do 1 0)
0, 0 (1 ) 0
0
0
x
y
y
x x
y
é ì =
é
í
ë
ï
=
ï
ë
0,25
+)Vậy có ba số phức thoả điều kiện là z = 0; z = i; z = − i. 0,25
Câu VI.b
2 đ
+) Ta có (C ) có Tâm I(1; 2) bán kính R = 3
Và dễ thấy có một tiếp tuyến vuông góc với Ox và qua A là d: x= 2
0,25
+)Gọi d’ là dường thẳng qua A ( 2; 3) có hệ số góc là k ta có d’ :y = k(x + 2) +
3
d’ là tiếp tuyến của ( C ) ód( I, d’ ) = R ó
2
3
3
1
k
k
k
+
+
4 17 ' :
0,25
+ ta có tiếp điểm của d và (C ) là M(2; 0), của d’ và (C ) là ( 7 57 ; )
5 5
+ Ta có AM = 3, ( , ) 2 7 3
5 5
AMN
+) Ta có vtcp của d (1; 1; 2) à M(2;1;1) ur - v Î d
vtcp của d’ '(1; 1;1) àur - v N (4;2;0) Î d'
=> MN uuuur (2;1; 1) -
0,25
+) Ta có éëu u, ' ù û MN = ¹ 3 0
r ur uuuur
+) ta có AÎd ÞA(2+k;1-k ;1 2 ) + k , BÎd'ÞB(4+t; 2- t t ; )
uuur
AB là đoạn vuông góc chung ó . 0
' 0
AB u
AB u
ï
í
=
ï
uuurr uuur ur
0,25
Trang 8+) 4 6 1 0 2
(1, 5;1, 5; 0)
AB
ị
uuur
Vậy d(d,d’) = AB = 3 2
2
Chỳ ý : cú thể tớnh theo cỏch
( , ')
2
, '
u u MN
d d d
u u
ộ ự
ở ỷ
ộ ự
ở ỷ
r ur uuuur
r ur
0,25
Cõu II.b
1 đ
1 điểm
+) Gọi M là điểm thuộc đường thẳng x=1, d là đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k d có phương trình là : y= k(x-1)+m ( với M(1,m) )
Để d là tiếp tuyến của C thì hệ sau có ngiệm.
2
2
3 2
( 1) (1)
2
(2)
x
x
k
x
ỡ - +
ù
ớ
-
ù
0,25
+) Thay (2) vào (1) ta có
2
( 1)
2
0,25
+)Để từ M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến C thì phương trình (3) có đúng 2 ngiệm phân biệt
' 4 2(2 ) 0 (2 ) ( , ) (2 )(2) 0
m
D = - + >
ỡ
Û ớ
ợ
m
m
- >
ỡ
Û ớ + ạ
ợ
2
m
m
<
ỡ
ị ớ
ạ -
ợ
(*)
0,25
+) Vậy trên đường thẳng x=1 Tập hợp các điểm có tung độ nhỏ hơn 0 (m<0) bỏ
đi điểm (1,-2) thì từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến C
0,25
Chỳ ý :Cỏc cỏch giải khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa theo từng ý
