Khi m = 0, khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tiếp điểm cú hoành độ x = 0, gọi d' là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm
Trang 1Đề thi và đỏp ỏn mụn Toỏn – Thi thử ĐH lần I
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012
MễN THI: Toỏn
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
1. Khi m = 0, khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tiếp điểm cú hoành độ x = 0, gọi (d') là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tỡm cosin của gúc giữa (d) và (d').
2. Xỏc định m để hàm số cú cực đại và cực tiểu sao cho giỏ trị cực đại và giỏ trị cực tiểu trỏi dấu nhau.
Cõu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trỡnh: : sin3x c + os4 x = 1 ( x ẻĂ )
2. Giải phương trỡnh:
Cõu III (1,0 điểm) . Giải hệ phương trỡnh
2
log 3log log
3
4 y
x
x
y
=
ỡ
ù
ớ
=
ù
ợ
Cõu IV (1,0 điểm). Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC cạnh đỏy a, gúc giữa mỗi mặt bờn và mặt đỏy bằng j . Mặt phẳng (P) tạo bởi đường thẳng AB và đường phõn giỏc của gúc giữa mặt bờn SAB và mặt đỏy (gúc này cú đỉnh ở trờn
AB) cắt hỡnh chúp theo một thiết diện và chia hỡnh chúp đều thành hai phần. Tớnh tỉ số thể tớch của hai phần đú
2 x x+ >2 x+ x
II. PHẦN RIấNG (3,0 điểm)
Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trỡnh Chuẩn
Cõu VI.a (2,0 điểm)
1.Cho hỡnh thang vuụng ABCD vuụng tại A và D cú đỏy lớn là CD, đường thẳng AD cú phương trỡnh 3xưy=0, đường thẳng BD cú phương trỡnh xư2y=0, gúc tạo bởi hai đường thẳng BC và AB bằng 45 0 . Viết phương trỡnh đường thẳng BC biết diện tớch hỡnh thang bằng 24 và điểm B cú hoành độ dương
2. Giải bất phương trỡnh: 2 log ( 2 3 3 4) 3 log 3 2
3 x + x + -8.(x +3x +4) < 9
Cõu VII.a (1,0 điểm Tỡm hệ số của số hạng khụng chứa x trong khai triển nhị thức Niuưtơn của
3 2
3
x x
x
+
ố ứ biết rằng tổng cỏc hệ số của cỏc số hạng trong khai triển này là a0+a1+a2 + +a n = 4096
B. Theo chương trỡnh Nõng cao
Cõu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (oxy) cho tam giác ABC có B(1;2) Đường phân giác trong D của góc A có phương trình : 2x+y-1=0 , khoảng cách từ C đến D bằng hai lần khoảng cách từ B đến D Tìm tọa độ của A và C , biết rằng C nằm trên trục tung
2. Giải bất phương trỡnh:
3x x- - ³ + 2 3x - ( x ẻĂ )
Cõu VII.b (1,0 điểm). Tớnh tổng cỏc số chẵn cú 4 chữ số được viết từ cỏc chữ số 1, 2, 3, 4
ưưưưưưưưưưưưHẾTưưưưưưưưưưư
GV Luong Viet Hai - THPT Tuy Phong (suu tam)
Trang 2Đáp án – Thang điểm
I.1 m=2 :y=x4-2x2 + 1
Tập xác định: D= R
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: 3 ( 2 )
x 0
y ' 4x 4x 4x x 1 ; y ' 0 x 1
x 1
=
é
ê
ê
ê = -
ë
.
Hàm số đồng biến trên khoảng ( -1; 0 ; 1; ) ( +¥ ) ; nghịch biến trên ( -¥ - ; 1 ; 0;1 ) ( ) .
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ; yCĐ = 1;
Hàm số đạt cực tiểu tại x=1, x= - 1 ; yCT = 0.
Giới hạn:
xlim y x lim y
®-¥ = ®+¥ = +¥. Bảng biến thiên:
x -¥ - 1 0 1 +¥
y’ - 0 + 0 - 0 +
Đồ thị:
0.25
0.25
0.25
0.25
'=4 -1 -2 =2 2 -1 -
Hàm số đồng biến trên ( 1;+¥ Û) y'³0" Îx ( 1; +¥ ) .
+) m = 1 : y '= - 2x , không thoả mãn.
+) 1 0, lim '
®+¥
x
+) m > 1 , y '= 0 có 3 nghiệm:
Bảng xét dấu của y’:
'³0 " Î 1; +¥
m
Vậy với m³ 2 thì hàm số đồng biến trên ( 1; +¥ ) .
0.25
0.25
0.25
0.25
x -¥
( )
m
2 m 1
-
- 0
( )
m
2 m 1 -
+¥
y’ - 0 + 0 - 0 +
Trang 3PT cos x cos3x 1 2 cos 2x
4
p
è ø Û 2cos x cos 2x = + 1 sin 2x + cos2x
2 2cos x 2sin x cos x 2cos x cos 2x 0
cos x cos x s inx 1 s inx cosx 0
cos x 0
cos x s inx 0
1 s inx cosx 0
=
é
ê
ë
2
4
x k2
p
é
= + p
ê
ê
p
ê
ê
ê = p
ê
ê
.
0.25
0.25
0.5
II.2 Điều kiện x³ 1 hoặc x£ - 1
x= 1 không là nghiệm của phương trình, chia hai vế của phương trình cho x 1 - , ta được:
Đặt x 1
t , t 0, t 1,
x 1
+
- ta có phương trình: ( ) ( )
2
t 1
+ +
Xét ( )
2
t t 4
t 1
+ +
2
2
t 3 (loai)
t 2t 3
t 1 (loai).
t 1
= -
é + -
Lập bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình đã cho có nghiệm Û m > 3
0.25
0.25
0.25
0.25
III
2
0
I 4 cos x 3cos x e dx
p
=ò - Đặt t= sin x
1
2 t
0
I=ò 1 4t- e dt
1
1
0
0
I= 1 4t- e + 8 te dt ò
1
1
0
0
I= -3e 1 8 te- + æç - e dtö ÷ = -3e 1 8 e- + - e 1- = - 7 3e
0.25
0.25
0.25
0.25
IV + Gọi I, H lần lượt là hình chiếu của O, S trên (ABCD). Có I là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
ABCD. Do đó SH=2OI=2 OA2- IA 2 =2 52-32 = 8
+ Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD suy ra IM^AB, IN^ CD mà AB // CD nên IÎ MN
và MN^ AB, CD
Suy ra MN = IM IN + = IA2-AM2 + IC2- CN 2 = 32-12 + 32-22 =2 2+ 5
ABCD
AB CD MN
S
2
+
= =3 2 2( + 5 ) .
3
=
0.25
0.25
0.25
Trang 4S
I
H
N
M
8 2 2 5
= + (đvtt).
0.25
V
Ta có:
P
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân, ta có:
2 3
3 2
GTNN P = 1, đạt được khi a = b = c = 1.
0.25
0.25
0.25
0.25
VIa.1
(C) có tâm 1
I 1;
2
-
è ø và bán kính R= 2 .
4
= + < Þ M nằm trong (C).
Do đó mọi đường thẳng Dqua M đều cắt (C) tại 2 điểm A, B. Gọi H là hình chiếu của I trên D. Ta
có AB=2 R2- IH 2 , 0 £ IH £ IM .
+) AB nhỏ nhất Û IH lớn nhất ÛIH=IMÛHº M Khi đó D qua M và vuông góc IM. Vậy
D hay d có phương trình: 2x- - = y 5 0
+) AB lớn nhất Û IH nhỏ nhất ÛIH=0ÛHº I Khi đó D qua M và I. Vậy D hay d’ có
phương trình: x+2y= 0
0.25
0.25
0.25
0.25
VIa.2
(S) có tâm I 1; 2; 0 ( - ) , bán kính 9
R
5
= d qua A( - 2;1;3 ) có VTCP u 2;1;1 r ( )
.
(P) chứa d nên (P) qua A và (P) có VTPT n
r , n r ^ u r
suy ra n A; B;r ( -( 2A+ B ) )
A +B ¹ 0
Do đó (P) có phương trình dạng: A x( +2) +B y 1( - ) ( - 2A+B z 3)( - ) = 0
(P) tiếp xúc với (S) ( ) ( ) ( )
d I, d R
5
0.25
0.25
0.25
Trang 5Û + = : Nếu A= Þ0 B=C= 0 , khơng thoả mãn. Chọn B 0, C 2
A 1
= = -
é
= Þ ê = - =
ë Vậy phương trình (P): x 2z 8- + = 0 hoặc x-2y+4= 0
0.25
VIIa
Số hạng tổng quát trong khai triển là:
k
3
-
1
2002
-
2002 k k k 2002 k 6006 4 k 3k 2002
Số hạng cần tìm là số Tk tương ứng với k thoả mãn 6006 4k- =3k-2002Ûk= 1144
Vậy số cần tìm là ( ) 715
1144 3
1144 2002
T = C xy
0.25
0.25
0.25
0.25
VIb.
1 Ạd :3x- - = y 1 0 suy ra d qua B, D. Gọi H là hình chiếu của A trên d thì H 1; 2 ( )
C đối xứng với A qua d nên H là trung điểm AC suy ra C 4;1 ( ) .
B d Ỵ và H là trung điểm BD nên B m,3m 1 ; D 2 m,5 3m ( - ) ( - - )
ABCD
S =40ÛAC.BD= 80 Û 36 4.+ ( 2 2m- ) ( 2+ 6 6m- ) 2 = 80 Û( m 1- ) 2 = 4
m= Þ3 B 3;8 , D - - 1; 4 ; m= - Þ1 D( - - 1; 4 , D 3;8 ) ( ) .
0.25
0.25
0.25
0.25
VIb.
2 BỴ ( ) P , (P) cĩ VTPT n 1;1;1 r ( )
, dÌ( ) P Þ ur d ( A; B;-( A+ B ) )
, ( 2 2 )
A +B ¹ 0
( )
uD 2;1; 2
r
cos d,
.
B= Þ0 cos d,D = Þ0 d,D = 90 , khơng thoả mãn, vậy B ¹ 0 ,
2
+ +
( d, D ) nhỏ nhất Ûcos d, ( D ) lớn nhất Ût2 + + t 1 nhỏ nhất
Vậy d cĩ phương trình: x 1 y 1 z 1
0.25
0.25
0.25
0.25
VIIb Phương trình Û( z4+2z2+1) -z2 =0Û( z2- +z 1 z)( 2 + +z 1) = 0
2
1
z - + =z 1 0 :D = - = - Þ 1 4 3 phương trình cĩ 2 nghiệm 1 1 3 2 1 3
2
2
z + + =z 1 0 :D = -1 4= - Þ 3 phương trình cĩ 2 nghiệm 3 1 3 4 1 3
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là z1+z2+z3+z4 = 0
0.25
0.25
0.25 0.25
