BÀI TẬP TOÁN 8 PAGE Câu 1 (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức (với ) b) Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố thỏa mãn và Câu 2 (1,0 điểm) Cho parabol (P) và đường thẳng (d) (m là tham số) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A, B sao cho là trung điểm của đoạn thẳng AB, hai điểm H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành Tính độ dài đoạn thẳng KH Câu 3 (2,0 điểm) a) Giải phương trình b) Giải hệ phương trình Câu 4 (2,0 điểm) Cho hình vuông ABCD tâm O, điểm E nằm trên đoạn thẳng.
Trang 1Câu 1: (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức ( )
A
− − + − − (với x>1,x≠4,x≠9)
b) Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố , ,p q r thỏa mãn pq r= +1 và 2(p2+q2) = +r2 1
Câu 2: (1,0 điểm) Cho parabol (P): y x= 2và đường thẳng (d) y= −(2 2m x m) + (m là tham số) Chứng
minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A, B sao cho 1;1
2
là trung điểm của đoạn thẳng AB, hai
điểm H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành Tính độ dài đoạn thẳng KH
Câu 3: (2,0 điểm)
a) Giải phương trình (x−1 7 2) − x x= 2−3x+2
b) Giải hệ phương trình 2 2 2 22 0 2
Câu 4: (2,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD tâm O, điểm E nằm trên đoạn thẳng OB (E khác O, B), H là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AE Gọi F là giao điểm của AC và DH
a) Chứng minh HD là tia phân giác của góc AHC
b) Chứng minh diện tích hình vuông ABCD bằng hai lần diện tích tứ giác AEFD
Câu 5: (2,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F, E Gọi H là giao điểm của BE và CF, đường thẳng AH cắt BC tại D
a) Chứng minh tứ giác ODFE nội tiếp đường tròn
b) Gọi K là giao điểm của AH và EF, I là trung điểm của AH Đường thẳng CI cắt đường tròn (O) tại M (M khác C) Chứng minh CI vuông góc với KM
Câu 6: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương , ,x y zthỏa mãn xy yz zx xyz+ + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
H
- -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN (Chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Khóa thi ngày: 03 - 05/6/2021
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức ( )
A
− − + − − (với x>1,x≠4,x≠9)
b) Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố , ,p q r thỏa mãn pq r= +1 và 2(p2+q2) = +r2 1
Lời giải
a) Rút gọn biểu thức ( )
A
− − + − − (với x>1,x≠4,x≠9)
Với x>1,x≠4,x≠9ta có:
2
8
1
4
A
x
x x
+
=
+
=
−
b) Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố , ,p q r thỏa mãn pq r= +1 và 2(p2+q2) = +r2 1 Đặt
S p q
P pq
= +
=
ta có hệ:
1 1
P r
P r
= +
= +
Trang 3Vì , ,p q r là ba số nguyên tố nên ta có:
5 2 3
r p q
=
=
hoặc
5 3 2
r p q
=
=
=
Câu 2: (1,0 điểm) Cho parabol (P): y x= 2và đường thẳng (d) y= −(2 2m x m) + (m là tham số) Chứng
minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A, B sao cho 1
;1 2
là trung điểm của đoạn thẳng AB, hai
điểm H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành Tính độ dài đoạn thẳng KH
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
2
2
2 2
Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của m
Với mọi m, theo định lý Vi-et ta có:
1 2
2 2
b
a c
a
−
+ = = −
Vì 1;1
2
là trung điểm của đoạn thẳng AB nên
m
Thay 1
2
m= vào (1) ta có phương trình: 2
0
− − = ⇔
1 3 2; 3 , 1 3 2; 3
Vì H, K là hình chiếu của A, B lên trục hoành nên 1 3 1 3
Trang 4Câu 3: (2,0 điểm)
a) Giải phương trình (x−1 7 2) − x x= 2−3x+2
b) Giải hệ phương trình 2 2 2 22 0 2
Lời giải
a) Giải phương trình (x−1 7 2) − x x= 2−3x+2 Điều kiện: 7
2
x≤
(x 1 7 2) x (x 1) (x 2)
(x 1 7 2) x (x 1) (x 2) 0
(x 1) ( 7 2x x 2) 0
1 0
2 3 0
x
x x
=
− =
≥
1
1
x
x
=
= −
Vậy tập nghiệm của phương trình: S={ }1;3
b) Giải hệ phương trình ( )
( )
Giải (1) ta có: x+2y xy− − =2 0
(1 ) (2 1 ) 0
(1 ) (2 1 ) 0
(1 y x) ( 2) 0
2 1
x y
=
⇔ =
Với x = 2 thay vào phương trình (2) ta có:
4− +y 8y+4y + =1 0 2
3y 8y 5 0
Trang 51 5 3
y y
= −
=
Với y = 1 thay vào phương trình (2) ta có:
0
3
x
x
=
=
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( ) (; 2; 1 ; 2;) 5 ; 0;1 ;( ) 2;1
Câu 4: (2,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD tâm O, điểm E nằm trên đoạn thẳng OB (E khác O, B), H là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AE Gọi F là giao điểm của AC và DH
a) Chứng minh HD là tia phân giác của góc AHC
b) Chứng minh diện tích hình vuông ABCD bằng hai lần diện tích tứ giác AEFD
Lời giải
a) Ta có ·ADC=900(ABCD là hình vuông)
·AHC=900 (H là hình chiếu của C trên AE)
Xét tứ giác ADCH có: ·ADC AHC+· =1800
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒Tứ giác ADCH nội tiếp.
DAC DHC
⇒ = = (cùng chắn cung CD) mà ·AHD DHC+· =900⇒ ·AHD=450
⇒HD là tia phân giác của góc AHC
b) Xét tứ giác OEHC có: ·EOC EHC+· =1800
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
Trang 6⇒Tứ giác OEHC nội tiếp.
AEO ACH
⇒ = (góc ngoài bằng góc đối trong) (1)
Tứ giác ADCH nội tiếp (cmt) ⇒·ADF ACH=· (cùng chắn cung AH) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ⇒·AED ADF=·
Xét ∆ADEvà ∆FADcó:
0
ADE FAD
AED ADF cmt
=
AD DE
Câu 5: (2,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F, E Gọi H là giao điểm của BE và CF, đường thẳng AH cắt BC tại D
a) Chứng minh tứ giác ODFE nội tiếp đường tròn.
b) Gọi K là giao điểm của AH và EF, I là trung điểm của AH Đường thẳng CI cắt đường tròn (O) tại M (M khác C) Chứng minh CI vuông góc với KM
Lời giải
Trang 7a) Ta có ·BFC=900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
·BEC=900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tam giác ABC có: BE và CF là 2 đường cao cắt nhau tại H ⇒H là trực tâm tam giác ABC
⇒ ⊥ tại D
Ta có tứ giác BCEF nội tiếp (O) ⇒·AFE OCE (góc ngoài bằng góc đối trong).= ·
Xét tứ giác ACDF có:
· 900
ADC= (cmt)
·AFC=900(cmt)
⇒tứ giác ACDF nội tiếp ⇒BFD OCE (góc ngoài bằng góc đối trong).· =·
Xét tam giác BEC vuông tại E có EO là trung tuyến
1 2
⇒EO= BC CO BO (định lý đường trung tuyến của tam giác vuông)= =
· · · 1800 2·
Ta có
=
AFE OCE cmt BFD OCE cmt ⇒COE· =1800−·AFE BFD EFD−· =· Xét tứ giác ODFE có ·COE EFD cmt=· ( )
Trang 8Mà hai góc ở vị trí góc ngoài và góc đối trong ⇒tứ giác ODFE nội tiếp.
b) Xét tam giác AEH vuông tại E có EI là trung tuyến
1 2
⇒EI = AH = AI =HI (định lý đường trung tuyến của tam giác vuông)
⇒IAE IEA , có ·· =· OCE OEC cmt và ·IAE phụ ·OCE= · ( ) ⇒·IEA phụ ·OEC ⇒OEI· =900
Chứng minh tương tự ta có ·OFI =900
Xét tứ giác OEIF có · · 0
180
OEI OFI
Mà hai góc ở vị trí đối nhau ⇒tứ giác OEIF nội tiếp
Ta có tứ giác ODFE nội tiếp (cmt), tứ giác OEIF nội tiếp (cmt) ⇒ 5 điểm O, D, F, I, E cùng thuộc đường tròn đường kính ID
Xét ∆IEKvà ∆IDEcó:
·
· chung· ( · ) ( )
DIE
IE IK IE2 ID IK ( )1
Xét ∆IEM và ICE∆ có:
·
2
ICE
∽
IE IM IE2 IC IM ( )2
Từ (1) và (2) IK ID IC IM IK IC
Xét ∆IMKvà ∆IDCcó:
·
chung
DIC
Câu 6: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương , ,x y zthỏa mãn xy yz zx xyz+ + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
H
Lời giải
Theo đề ta có: 1 1 1
1
x y z+ + =
Đặt 1
a
x= , 1 b
y= , 1 c
z= (a b c, , >0) ⇒ + + =a b c 1
Trang 9Khi đó 2 2 2
H
+ −
2
9 1 6
+
Chứng minh tương tự ta có: 2 3
a
3
b
+
3 2
3
a b c
3 1 1
1
2 3 2
H
Vậy min 1
2
H = Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z= = =3
