Dạy học đại số theo mô hình DNR để nâng cao sơ đồ chứng minh cho học sinh lớp 10

Bài viết Dạy học đại số theo mô hình DNR để nâng cao sơ đồ chứng minh cho học sinh lớp 10 đưa ra một số gợi ý để giáo viên có thể xây dựng các bài toán đại số một cách thú vị và hiệu quả hơn cho các học sinh. Đồng thời, giáo viên có thể từng bước hoàn thiện và nâng cao sơ đồ chứng minh cho học sinh lớp mình.

CHỨNG MINH CHO HỌC SINH LỚP 10

NGUYỄN THỊ KIM DUNG Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế

Tóm tắt: Theo nghiên cứu của Trung tâm Khảo sát Tiến bộ Giáo dục Quốc gia

(National Assessment of Educational Progress: NAEP, 1983, [40]), chín trong số

mười học sinh đồng ý với câu phát biểu “luôn luôn có một quy tắc để làm theo trong

việc giải quyết các bài toán” (Phạm Xuân Thế, 2015, [1]) Sowder & Harel (2003,

[10]) đã tiến hành dự án nghiên cứu về việc “Đánh giá, bài làm, hiểu chứng minh của

học sinh” - PUPA (students’ Proof Understanding, Production, and Appreciation) và

Harel (2003, [10]) đã đưa ra khung lý thuyết về dạy học theo mô hình DNR (Duality,

Necessity, and Repeated Reasoning) Trong khi đó, một “sơ đồ chứng minh” là đặc

trưng của hành động chọn lọc của con người để khẳng định với bản thân người đó và

thuyết phục người khác; do đó, nó là một cách thức tư duy Trong bài viết này, chúng

tôi sẽ sử dụng mô hình DNR trong dạy học đại số để từng bước nâng cao và hoàn

thiện sơ đồ chứng minh của học sinh lớp 10

Từ khóa: Dạy học theo mô hình DNR, sơ đồ chứng minh của học sinh

1 GIỚI THIỆU

Với sự tài trợ của Quỹ Khoa học Quốc gia (NSF: National Science Foundation) Hoa Kỳ, Sowder và Harel (2003, [10]) đã tiến hành dự án nghiên cứu PUPA (students’ Proof

Understanding, Production, and Appreciation) về việc “Đánh giá, bài làm, hiểu chứng minh của

học sinh” Một trong những kết quả của dự án này là khung khái niệm mà Harel đặt tên là “Dạy học dựa trên nhận thức của người học” (DNR: Duality, Necessity, and Repeated Reasoning) vì

tính trung tâm của ba nguyên tắc giảng dạy: đó là nguyên tắc đối ngẫu, nguyên tắc cần thiết và

nguyên tắc suy luận lặp lại Harel đã kiểm tra ảnh hưởng của phương pháp “Dạy học dựa trên

nhận thức của người học” trên thực tiễn giảng dạy của giáo viên dạy đại số và trên thành tích

học tập của học sinh Trên cơ sở phân tích mô hình DNR và một số nét cơ bản về sơ đồ chứng minh, bài báo sẽ phân tích các sơ đồ chứng minh trên cơ sở lý thuyết là mô hình DNR Nghiên cứu của chúng tôi cũng đưa ra một số gợi ý để giáo viên có thể xây dựng các bài toán đại số một cách thú vị và hiệu quả hơn cho các học sinh Đồng thời, giáo viên có thể từng bước hoàn thiện

và nâng cao sơ đồ chứng minh cho học sinh lớp mình

2 NỘI DUNG

2.1 Quan điểm kiến tạo trong dạy học Toán phổ thông

Khác hẳn với các quan điểm theo lý thuyết hành vi đã ra đời trước đó, lý thuyết kiến tạo hướng chúng ta quan tâm đến người học như thế nào Lý thuyết kiến tạo nhằm trả lời câu hỏi: Con người học như thế nào? Về cơ bản, lý thuyết này cho rằng việc học gắn liền với sự tương tác giữa hai yếu tố sau: những sơ đồ tri thức của người học và những tri thức mới Sự tương tác gắn liền với hai quá trình đồng hóa và điều ứng có liên hệ nội tại với nhau

Một cách tiếp cận có tính kiến tạo trong lớp học:

- Trong một lớp học kiến tạo, thầy giáo không bày cho học sinh cách giải của bất kỳ một bài toán nào Mà thầy giáo chỉ đưa ra các vấn đề hoặc bài toán và động viên các em tìm cách riêng của mình để tấn công và giải bài toán đó

- Khi học sinh đưa ra cách giải quyết của bài toán, thầy giáo cố gắng đừng nói ra câu trả lời đúng hay sai, mà chỉ động viên các em đồng ý hoặc không đồng ý với các cách giải khác và để

trao đổi ý tưởng của các em học sinh cho đến khi các em đồng ý lời giải nào có ý nghĩa và chấp nhận được

- Thầy giáo phải tôn trọng và đánh giá cao cách giải thích của học sinh vì nó gắn liền với

tư duy mà các em đang có

- Trong lớp học kiến tạo, học sinh được phép dùng các kiến thức của các em đang có để trả lời

- Học sinh trao đổi cách giải và lời giải cho nhau, tranh luận với nhau, suy nghĩ có tính phê phán về cách giải tốt nhất của bài toán

2.2 Các nguyên tắc dạy học cơ bản của mô hình DNR

Mô hình DNR (Duality, Necessity and Repeated Reasoning: Đối ngẫu, cần thiết và suy

luận lặp lại) là mô hình dạy học dựa trên “nhận thức của người học” Ba nguyên tắc cơ bản của

mô hình này là nguyên tắc đối ngẫu, nguyên tắc cần thiết và nguyên tắc suy luận lặp lại

2.2.1 Nguyên tắc đối ngẫu

Nguyên tắc này khẳng định:

- Học sinh phát triển tư duy thông qua việc tìm hiểu kiến thức và ngược lại, việc học sinh tìm hiểu kiến thức nhằm để phát triển tư duy của chính các em

- Những hiểu biết mà người dạy tạo nên có thể ảnh hưởng đến cách tư duy của người học

và ngược lại, cách tư duy của người học có thể ảnh hưởng đến những hiểu biết của người dạy

“Điều cơ bản nhất của nguyên tắc đối ngẫu là sự khác biệt giữa cách hiểu biết và cách tư

duy” (Harel & Sowder, 1998, [7])

Tư duy của một người là quan điểm của người đó về thế giới xung quanh Thuật ngữ tư duy dùng để chỉ khả năng của học sinh để đạt đến một kết luận có cơ sở từ những dữ liệu đã cho Các em phải đặt giả thuyết, rút ra những tính chất trừu tượng từ các mối liên hệ trong những tình huống có vấn đề, sau đó đi đến kết luận và lý giải các kết quả đạt được Những kết luận này sẽ được tổng hợp để hình thành những ý tưởng mới Trong khi đó, cách hiểu của học sinh bị ảnh hưởng bởi cách tư duy mà các em đang có, đây là một ví dụ cụ thể về sự khẳng định của tiên đề: các hành động của con người bị chi phối bởi những quan điểm của chính người đó; trong khi đó, học sinh phát triển tư duy thông qua cách hiểu là một ví dụ cụ thể trong tiên đề: các quan điểm của con người được hình thành bởi những hành động của chính người đó Hơn nữa, trong tiên đề

về sự phụ thuộc lẫn nhau khẳng định rằng: tư duy của một người phụ thuộc vào quá trình rèn luyện trí óc một cách đặc biệt của người đó và cách hiểu của một người được phát triển hoặc bị ảnh hưởng bởi quá trình luyện tập, rèn luyện trí óc

Do đó, trong lớp học thì giáo viên nên:

- Thứ nhất, giáo viên cần nhận biết được cách hiểu và cách tư duy của học sinh; giáo viên

không nên đặt nặng thành tích học tập của học sinh để khuyến khích các em xây dựng kiến thức mới được dựa trên những gì các em hiểu biết

- Thứ hai, giáo viên đóng vai trò là người hướng dẫn học sinh khám phá các kiến thức, học

sinh chủ động tham gia các hoạt động do giáo viên tổ chức

- Thứ ba, các hành động của giáo viên phải đi kèm với các hướng dẫn cho học sinh; ngoài

ra, mục tiêu nhận thức được hình thành một cách thích hợp của sự hiểu biết và cách tư duy (Harel, 2007, [5])

2.2.2 Nguyên tắc cần thiết

Nguyên tắc này khẳng định:

- Đối với học sinh học Toán, khi giáo viên dạy học thì phải xác định học sinh cần những

gì, “cần” ở đây là liên quan đến nhu cầu trí tuệ

Giáo viên thường thiếu quan tâm đến nhu cầu trí tuệ của học sinh trong chương trình giảng dạy toán ở hầu hết các cấp học Nhiều khi cả giáo viên và học sinh đều thuộc lòng các định nghĩa, khái niệm về toán, thậm chí họ có những kỹ thuật nhuần nhuyễn về một thuật toán hay một kiến thức nào đó, nhưng đôi lúc, cả giáo viên và học sinh đều không biết rõ kiến thức đó có

ý nghĩa như thế nào hay được áp dụng ra sao trong thực tiễn, Và nếu có đi chăng nữa thì sự hiểu biết này cũng có giới hạn và mang tính hời hợt

2.2.3 Nguyên tắc suy luận lặp lại

Nguyên tắc này khẳng định:

- Học sinh cần phải thực hành suy luận để tiếp nhận, tổ chức và lưu giữ những cách hiểu và cách tư duy của chính các em

Bên cạnh những cách hiểu và cách tư duy chính là nhu cầu trí tuệ cần thiết cho học sinh, giáo viên phải đảm bảo rằng các học sinh của mình phải tiếp thu được, lưu giữ và tổ chức các kiến thức này trong trí óc của các em Kinh nghiệm được lặp đi lặp lại hoặc được thực hành thường xuyên là một trong những yếu tố quan trọng trong việc đạt được mục tiêu trên, như các nghiên cứu của Cooper (1991) đã chứng minh vai trò của việc thực hành trong việc tổ chức kiến thức và DeGroot (1965) kết luận rằng kinh nghiệm dày dặn có hiệu quả trong việc làm cho kiến

thức trở nên dễ tiếp cận hơn DeGroot (1965) cho rằng “Kiến thức ở các giai đoạn trước đã được

trừu tượng hóa hoặc đã được suy ra làm nền tảng cho các kiến thức ở giai đoạn sau”

Nguyên tắc suy luận lặp lại không phải là một quá trình luyện tập và thực hành các bài toán có dạng quen thuộc, mà thực chất là một quá trình tiếp nhận hóa (nó là một trạng thái mang tính khái niệm), ở đó người học có khả năng áp dụng kiến thức một cách chủ động và tự phát

2.3 Sơ đồ chứng minh

Lesh, Hamilton & Kaput (2007, [8]) cho rằng cách tư duy có thể phân loại thành ba phạm trù Đó là các phạm trù:

- Các tiếp cận giải quyết vấn đề;

- Các sơ đồ chứng minh;

- Các niềm tin toán học

Trong nội dung này, chúng tôi đề cập đến các sơ đồ chứng minh của học sinh

2.3.1 Tìm hiểu về chứng minh, sơ đồ chứng minh

Quan trọng nhất đối với khung lý thuyết về mô hình DNR là khái niệm về sơ đồ chứng minh Tương tự hành động giải quyết vấn đề, hành động trí tuệ của chứng minh cũng là một hành động liên quan đến các cách giải trong bất kỳ một hoạt động toán học nào Thật vậy, cách thức tư duy là đặc trưng của hành động giải quyết vấn đề và hành động chứng minh Cách tiếp cận giải quyết vấn đề là một trường hợp của cách thức tư duy kết hợp với hành động giải quyết vấn đề Theo Harel và Sowder (1998, [10]) các sơ đồ chứng minh là “cách thức tư duy” kết hợp với hành động chứng minh Hành động trí tuệ của chứng minh có một ý nghĩa đặc biệt quan trọng trong dạy học theo mô hình DNR

“Chứng minh” được định nghĩa là hành động mà một người vận dụng để loại bỏ hay duy trì các nghi ngờ về tính đúng đắn của một khẳng định liên quan đến:

- Sự phỏng đoán;

- Một vấn đề hay một sự kiện;

- Việc làm sáng tỏ một vấn đề;

- Sự thuyết phục người khác

a) Sự phỏng đoán là hành động mà một người có những nghi ngờ về tính đúng đắn của một khẳng định nào đó

b) Một vấn đề hay một sự kiện: Lời khẳng định của một người nào đó không còn là một phỏng đoán và trở thành một vấn đề khi người đó chắc chắn về tính đúng đắn của khẳng định đó c) Việc làm sáng tỏ một vấn đề là hành động mà một người vận dụng những hiểu biết của bản thân để loại bỏ các nghi ngờ và từ đó, người đó sẽ làm rõ được tính đúng đắn của một khẳng định nào đó

d) Sự thuyết phục người khác là hành động mà một người vận dụng để loại bỏ những nghi ngờ của người khác về tính đúng đắn của một khẳng định nào đó Như vậy, sơ đồ chứng minh bao gồm việc làm sáng tỏ và thuyết phục người khác về một chứng minh nào đó

Vì vậy, sơ đồ chứng minh là ý kiến chủ quan và thay đổi từ người này sang người khác, nền văn hóa này đến nền văn hóa khác, thế hệ này sang thế hệ khác Tuy nhiên, mục đích của việc dạy học hướng chúng ta phải hoàn thiện các sơ đồ chứng minh do các nhà toán học nghiên cứu và áp dụng trong thực hành toán

Một “sơ đồ chứng minh” là đặc trưng của hành động chọn lọc của một người để khẳng định với bản thân người đó và thuyết phục người khác; do đó nó là một “cách thức tư duy”

2.3.2 Phân loại các sơ đồ chứng minh

Sơ đồ chứng minh có liên quan chặt chẽ với phương pháp quy nạp toán học Trong các sách giáo trình toán, các tác giả đã trình bày một cách tiếp cận trong việc giảng dạy phương pháp quy nạp toán học Sau đó, các nhà toán học đã tìm ra nguyên tắc để chứng minh mệnh đề ( ) đúng bằng phương pháp quy nạp toán học gồm hai bước như sau:

1 Bước cơ sở: Kiểm chứng (1) đúng

2 Bước quy nạp: Giả sử ( ) đúng, chứng minh ( + 1) đúng với mọi số nguyên dương

Chúng tôi nhấn mạnh rằng phương pháp quy nạp toán học như là một sơ đồ chứng minh Harel và Sowder (1998, [10]) đã trình bày các công cụ cho việc phân tích các quan niệm của học sinh về sơ đồ chứng minh Khung lý thuyết này được sửa đổi lại để phản ánh những quan sát mới, cả về lý thuyết và thực nghiệm Hình 1 cho chúng ta một cái nhìn tổng quát của khung lý thuyết này

Khung lý thuyết này bao gồm ba loại sơ đồ chứng minh Đó là sơ đồ chứng minh có sức thuyết phục bên ngoài (External conviction proof schemes), sơ đồ chứng minh theo lối kinh nghiệm (Empirical proof schemes) và sơ đồ chứng minh theo lối suy diễn (Deductive proof schemes)

Hình 1 Phân loại các sơ đồ chứng minh cơ bản của học sinh

2.3.2.1 Sơ đồ chứng minh mang tính chất thuyết phục bên ngoài

Sơ đồ chứng minh mang tính chất thuyết phục bên ngoài thực chất là một quá trình mà học sinh dựa vào các quy trình, thuật toán có sẵn để giải quyết các bài toán được đưa ra Nhưng trên thực tế, học sinh không quan tâm đến việc các em đang làm gì và kiến thức đó có ý nghĩa như thế nào trong toán học cũng như trong thực tế

2.3.2.2 Sơ đồ chứng minh theo lối kinh nghiệm (Empirical proof schemes)

Show (1978, [9]), Ernest (1984, [3]) đã trình bày những quan điểm của mình về những khó khăn của học sinh khi sử dụng phương pháp quy nạp toán học Đó là các em kết luận một trường hợp tổng quát thông qua một số trường hợp cụ thể mà các em đã biết Theo cách quan sát này, có hai kiểu khái quát hóa trong cách tư duy:

- Khái quát hóa dạng mẫu kết quả (result pattern generalisation): Khái quát hóa dạng mẫu kết quả chú ý đến tính quy tắc ở các kết quả có trước đó

- Khái quát hóa dạng mẫu quá trình (process pattern generalisation): Khái quát hóa dạng mẫu quá trình chú ý đến tính quy tắc ở các quá trình lập luận trước đó

Harel và Sowder (2003, [10]) cho rằng suy luận của học sinh để thuyết phục người khác về một vấn đề nào đó thì các em thường dựa vào một số mệnh đề đúng trong một số trường hợp cụ thể Đây là một biểu hiện của các sơ đồ chứng theo lối kinh nghiệm, học sinh chỉ dựa vào những

sơ đồ mang tính chất rõ ràng hoặc các ví dụ về các phép đo trực tiếp về số lượng, thay thế các biến tổng quát thành các con số cụ thể trong các biểu thức đại số cần chứng minh

Chúng ta thấy rằng: Đối với những sơ đồ chứng minh theo lối kinh nghiệm thì học sinh thường dựa vào trực giác và cảm tính của các em để chứng minh một vấn đề nào đó trong một số trường hợp cụ thể Sau đó, các em dùng phương pháp quy nạp toán học để kết luận trường hợp tổng quát cần chứng minh

Thuộc về các lớp biến đổi

Biểu tượng mang tính số học

Sơ đồ

chứng

minh có

sức thuyết

phục bên

ngoài

Mang tính quy trình(Ritual)

Sơ đồ chứng theo lối suy diễn

Mang tính quy nạp (indutive)

Ý Kiến chủ quan (Authoritarian)

Thuộc về trực giác (Perceptual)

Sơ đồ

chứng

minh có

sức thuyết

phục bên

ngoài

Những biểu tượng không mang tính định lượng (Non-quantitative Symbolic)

Tiên đề mới

Theo bối cảnh

Khái quát hóa

Liên quan đến nguyên nhân

và kết quả

Cấu trúc

Sử dụng các tiêu

đề

Suy diễn

Biểu tượng mang tính cấu trúc

Hệ tiền đề của Hy lạp

Biểu tượng mang tính định lượng

2.3.2.3 Sơ đồ chứng minh theo lối suy diễn (Deductive proof schemes)

Khái quát hóa dạng mẫu quá trình là một cách tư duy chú ý đến tính quy tắc ở các quá trình lập luận trước đó, tuy vậy quá trình này vẫn chú ý đến tính quy tắc của kết quả Hoạt động này thì trái ngược với khái quát hóa dạng mẫu kết quả (chú ý đến tính quy tắc của các kết quả có trước đó)

Các phép biến đổi trong sơ đồ chứng minh này được đặc trưng bởi các yếu tố sau đây: (a) Xem xét những khía cạnh tổng quát của một phỏng đoán;

(b) Áp dụng các hành động trí tuệ để định hướng và dự đoán kết quả của bài toán dựa trên một số nguyên tắc chung;

(c) Các phép biến đổi ảnh hưởng đến cách suy diễn trong quá trình chứng minh (Harel & Sowder, 2003, [10])

Chúng ta thấy rằng: Khái quát hóa quá trình không phải là sự biểu hiện của các sơ đồ chứng minh theo lối kinh nghiệm mà nó là một sơ đồ chứng minh liên quan đến các phép biến đổi biểu thức Do đó, sơ đồ chứng minh theo lối suy diễn thường dựa vào các phép biến đổi biểu thức đã có để suy ra một số trường hợp cụ thể và sau đó kết luận trường hợp tổng quát

2.4 Một số ví dụ minh họa

Dưới đây, chúng tôi xin phép phân tích một số ví dụ về việc sử dụng mô hình DNR để nâng cao sơ đồ chứng minh cho học sinh lớp 10

2.4.1 Ví dụ 1

a) Tính tổng số các chấm tròn trong hình vẽ dưới đây

b) Tính:

= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ⋯ + 49 + 51

c) Dự đoán kết quả của phép tính sau và giải thích cách làm của bạn?

= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ⋯ + (2 − 1)

Bài toán trên được đặt ra cho N = 38 học sinh lớp 10 và chỉ có 31,58% học sinh làm đúng hoàn toàn Bài toán này được đặt ra cho học sinh sau khi các em đã được làm quen với cách tính

số các số hạng của một dãy số, một số cách tính tổng của một biểu thức đặc biệt nào đó Vì vậy, các em có thể sử dụng những kiến thức này để giải quyết bài toán trên Kết quả thực nghiệm thu được cho thấy bài toán này cũng là một bài toán tương đối khó đối với hầu hết học sinh lớp 10, bởi vì ở câu c) thì học sinh chưa nhận ra được cách tính tổng tổng quát Và nếu các em có câu trả lời đúng nhưng các em cũng còn vướng mắc trong lời giải thích

Bảng 1 Kết quả thực nghiệm của bài toán ở ví dụ 1

Không làm được Số học sinh dùng toán

để giải quyết

Số học sinh giải đúng

Tổng số học sinh được khảo sát

Có 31,58% học sinh tham gia khảo sát đã giải đúng bài toán trên Nhằm giúp học sinh giảm bớt những khó khăn trong bài toán thì chúng ta sẽ dựa vào mô hình DNR để phân tích bài toán theo ba nguyên tắc của mô hình này (nguyên tắc đối ngẫu, nguyên tắc cần thiết, nguyên tắc suy luận lặp lại) Từ đó, học sinh sẽ thuận lợi trong cách tư duy và cách hiểu của chính các em

- Nguyên tắc đối ngẫu:

+ Việc giáo viên dạy các bài toán về cách tính tổng của một biểu thức trước đó có thể ảnh hưởng đến cách tư duy của học sinh trong bài toán này

+ Cách tư duy của học sinh trong bài toán này có thể cân nhắc giáo viên chú ý đến dạng bài toán trên cho học sinh

+ Việc học sinh tìm hiểu bài toán này có thể tác động đến quá trình tư duy của mỗi em, đặc biệt là tư duy phê phán, sáng tạo và ngược lại, tư duy của mỗi học sinh ảnh hưởng đến việc hiểu

để tìm ra lời giải đúng của bài toán đó

- Nguyên tắc cần thiết:

+ Học sinh cần có một số kiến thức về cách tính tổng của một dãy số dựa vào các quá trình như: đặc biệt hóa, tổng quát hóa hay quy nạp toán học

+ Học sinh cũng cần có một tư duy tốt để hiểu và giải quyết đúng bài toán này

- Nguyên tắc suy luận lặp lại:

+ Học sinh phải lưu giữ trong trí óc các em các kiến thức đã nêu ở trên thì các em mới hiểu

để tư duy bài toán theo hướng đúng đắn nhất

+ Sau một số lần các em thử và sai và lựa chọn phương án giải tối ưu thì các em sẽ đi đến kết quả cuối cùng của bài toán này

Bài toán này có thể giải quyết như sau:

Cách 1

= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ⋯ + (2 − 1) (1 + 2 − 1) + (3 + 2 − 3) + (5 + 2 − 5) + ⋯ ( − 1 + + 1) =

2 2 =

Cách 2

= 1 = 1

= 1 + 3 = 4 = 2

= 1 + 3 + 5 = 9 = 3

= 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4

= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5

= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ⋯ + (2 − 1) =

Sau đó, chúng tôi sẽ chứng minh = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ⋯ + (2 − 1) = bằng phương pháp quy nạp toán học

Ở đây, học sinh sẽ sử dụng sơ đồ chứng minh mang tính suy diễn ở cách 1 và ở cách 2 thì học sinh lại sử dụng sơ đồ chứng minh có tính thuyết phục bên ngoài

Hình 1 Đồ thị hàm số y = f(x)

2.4.2 Ví dụ 2

Hàm số = ( ) có đồ thị như Hình 1 Hãy tìm các giá trị của sao cho:

a) ( ) ≥ 0 b) ( )< 0

Ở ví dụ này có N = 38 học sinh tham gia thực nghiệm, trong đó, có hơn 50% học sinh không làm được hoặc có phương án giải chưa tối ưu

Bảng 2 Kết quả thực nghiệm của bài toán ở ví dụ 2

Không làm được Số học sinh dùng toán

để giải quyết

Số học sinh giải đúng

Tổng số học sinh được khảo sát

Thông thường, học sinh chỉ được làm quen với các dạng toán có quy trình, thuật toán có sẵn Ở ví dụ này nếu học sinh không hiểu vấn đề thì các em sẽ không giải quyết được câu này Vì vậy, học sinh cần được trang bị các kiến thức mà mô hình DNR sẽ được phân tích dưới đây

Nguyên tắc đối ngẫu:

+ Các kiến thức về parabol, cách xác định các tính chất của parabol dựa vào đồ thị của hàm

số đó, phương trình bậc hai, bất phương trình bậc hai, mà học sinh tiếp thu từ quá trình học có thể ảnh hưởng đến cách giải quyết bài tập này

+ Cách giải quyết bài tập trên của học sinh có thể cho giáo viên biết được trình độ của mỗi

em và phản ánh quá trình dạy học của giáo viên và học sinh

- Nguyên tắc cần thiết:

+ Học sinh cần có kiến thức về phương trình, phương trình bậc hai, bất phương trình bậc hai + Học sinh cũng cần có những hiểu biết cơ bản về đồ thị của một hàm số, cách giải một bất phương trình bậc hai khi biết đồ thị của một hàm số đó

- Nguyên tắc suy luận lặp lại:

+ Tuy bài tập trên có các cách giải khác nhau nhưng nếu học sinh biết tổ chức, lưu giữ và sắp xếp các kiến thức về đồ thị của một hàm số bậc hai và bất phương trình bậc hai một cách hợp

lý thì các em sẽ giải quyết bài tập này dễ dàng và nhanh chóng hơn

Ở ví dụ này, học sinh có thể tìm được tập nghiệm của các bất phương trình đã nêu bằng cách sử dụng đồ thị của hàm số bậc hai = ( ) như sau:

a) ( )≥ 0 ⇔ ∈ [−1; 3];

b) ( )< 0 ⇔ ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞)

Hoặc một cách khác nữa là: học sinh dựa vào giả thiết để tìm parabol; sau đó, các em tiếp tục quy về bài toán giải các bất phương trình bậc hai để tìm ra kết quả của bài toán

Ở ví dụ này, thì học sinh dựa vào sơ đồ chứng minh theo lối kinh nghiệm để giải quyết (cách giải quyết đầu tiên) hoặc các em có thể dùng sơ đồ chứng minh theo lối suy diễn (tìm parabol, sau đó các em tiến hành giải các bất phương trình bậc hai)

3 KẾT LUẬN

Mô hình DNR là một mô hình dạy học có hiệu quả đối với cả giáo viên và học sinh Mô hình này nêu rõ các nguyên tắc đối với việc dạy và học: Đó là nguyên tắc đối ngẫu, nguyên tắc cần thiết và nguyên tắc suy luận lặp lại Nếu học sinh và giáo viên nắm chắc các kiến thức, tư duy thích hợp và xác định đúng các mục tiêu cơ bản của các nguyên tắc trong mô hình DNR thì các em sẽ giải quyết vấn đề hay bài toán đó một cách nhanh chóng và dễ dàng hơn Mô hình DNR cũng góp phần làm cho các cách giải quyết một bài toán hay bài tập đa dạng hơn và học sinh được tự do nêu suy nghĩ của mình, mà các em không bị bó buộc bởi một quy trình hay thuật toán đã có sẵn, hay những kiến thức bắt buộc trong sách giáo khoa Bên cạnh đó, mô hình này cũng góp phần hoàn thiện và nâng cao sơ đồ chứng minh của học sinh Mặt khác, nó cũng góp phần khuyến khích giáo viên và học sinh tìm ra phương án giải quyết tối ưu của một bài tập, bài toán nào đó Qua việc phân tích một số tài liệu, bài báo này đã đưa ra một số khó khăn khi học sinh sử dụng mô hình DNR để tìm các sơ đồ chứng minh cho một bài tập, bài toán nào đó Ngoài

ra, với một khảo sát nhỏ trên đối tượng học sinh lớp 10, chúng tôi nhận thấy các em gặp một số khó khăn trong việc tìm sơ đồ chứng minh tối ưu khi đối mặt với một bài tập, bài toán khó Vì vậy, đối với học sinh hiện nay, nếu các em được tiếp cận và làm quen với mô hình DNR thì quá

trình tìm phương án giải quyết bài toán của mỗi học sinh trở nên thuận lợi và dễ dàng hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phạm Xuân Thế (2015), Kiến thức quy trình và khái niệm về hàm số ở trung học phổ thông,

Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế

[2] Trần Vui (2011), Dạy và học có hiệu quả môn Toán theo những xu hướng mới, Giáo trình Sau

Đại học, Đại học Sư phạm, Đại học Huế

[3] Ernest, P (1984), Mathematical induction: A pedagogical discussion, Educational Studies in

Mathematics, 15, 173-189

[4] Harel, G (2010), DNR-Based Instruction in Mathematics as a Conceptual Framework by

Guershon Harel In Sriraman, B & English, L (Eds), Theories of Mathematics Education:

seeking new frontiers, ISBN 978-3-642-00741-5, Springer, Berlin, Germany

[5] Harel, G., & Sowder, L (2007), Toward a comprehensive perspective on proof In F Lester

(Ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp 805–842),

National Council of Teachers of Mathematics

[6] Harel, G (2001), The Development of Mathematical Induction as a Proof Scheme: A Model for

DNR-Based Instruction, In S Campbell & R Zaskis (Eds.), Learning and Teaching Number

Theory, Journal of Mathematical Behavior, New Jersey, Ablex Publishing Corporation (pp

185-212)

[7] Harel, G., & Sowder, L (1998), Students’ proof schemes, Research on Collegiate Mathematics

Education, Vol III In E Dubinsky, A Schoenfeld, & J Kaput (Eds.), AMS, 234- 283

[8] Lesh, A., R , Hamilton, E &Kaput, J J (2007), Foundations for the future in mathematics

education, Lawrence Erlbaum Associates, publishers Mahwah, New Jersey, London

[9] Show, B (1978), n and S, Mathematics Teaching, 82, 6-7

[10] Sowder, L., & Harel, G (2003), Case studies of mathematics majors’ proof understanding,

production, and appreciation, Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology

Education, 3, 251–267

Title: TEACHING ALGEBRA WITH DNR MODEL TO ENHANCE GRADE 10 STUDENTS’ PROOF

SCHEMES

Abstract: According to a study by the National Center of Educational Progress Review USA (National

Assessment of Educational Progress: NAEP, 1983, [40]), nine out of ten students agreed with the statement “there is always a rule to follow in solving problem” (Xuan The Pham, 2015, [1]) Sowder and Harel (2003, [10]) has conducted research projects PUPA (students’ Proof Understanding, Production, and Appreciation), whose aim was to investigate students’ proof understanding, production, and appreciation and Harel (2003, [10]) gave DNR-based instruction (Duality, Necessity, and Repeated Reasoning) Meanwhile, a “proof scheme” is a character of one’s collective acts of ascertaining and persuading; hence, it is a way of thinking In this paper, we will use DNR model to gradually enhance and perfect grade 10 students’ proof scheme in mathematics

Keywords: DNR- based instruction, student’s proof schemes

NGUYỄN THỊ KIM DUNG

Học viên Cao học, chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán, khóa 23 (2014-2016), Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế

Số điện thoại: 01659379310; Email: nguyenthikimdungtoanb@gmail.com