Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Phần 2 - Trường ĐH Công nghệ Sài Gòn

Nối tiếp phần 1, phần 2 của bài giảng Xử lý tín hiệu số có nội dung gồm các chương còn lại trình bày về: xử lý tín hiệu trong miền thời gian; biến đổi Z; phân tích tín hiệu trong miền tần số; phép biến đổi DFT và giải thuật Fourier nhanh;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chương 4

XỬ LÝ TÍN HIỆU TRONG MIỀN THỜI GIAN

Mục đích

 Đáp ứng xung h(n) của hệ thống xử lý thời gian rời rạc

 Các phương pháp xử lý trong miền thời gian

 Đáp ứng xung của các hệ thống ghép nối tiếp và ghép song song

 Hệ thống có đáp ứng xung hữu hạn FIR và hệ thống có đáp ứng xung vô hạn IIR

 Phương pháp xử lý mẫu và phương pháp xử lý khối

4.1 ĐÁP ỨNG XUNG CỦA HỆ THỐNG RỜI RẠC

4.1.1 Đáp ứng xung(Impulse Response)

Khi không để ý đến cấu trúc vật lý cụ thể của hệ thống ta mô tả hệ thống bằng phương trình I/O(Phương trình tín hiệu vào ra: quan hệ của kích thích ngõ vào với đáp ứng ngõ ra).Một phương pháp để mô tả hệ thống là dùng đáp ứng xung

Đáp ứng xung h(n) của hệ thống là tín hiệu ngõ ra khi kích thích ngõ vào là xung đơn vị

(n).Đáp ứng xung h(n) thể hiện đặc tính thời gian của hệ thống rời rạc

Ta quan sát sơ đồ trong hình vẽ 4.1:

Đáp ứng xung h(n) là đại lượng đặc trưng cho hệ thống trong miền thời gian,như vậy ta

phải xem xét quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống trong miền thời gian như thế nào,để từ đó đưa ra các phương pháp xử lý tương ứng trong miền thời gian

Quan hệ ngõ vào – ngõ ra trong miền thời gian:

Như vậy quan hệ ngõ vào và ra trong miền thời gian là tích chập,xin trình bày rõ hơn

là:tín hiệu ngõ ra y(n) bằng tích chập giữa tín hiệu ngõ vào x(n) và đáp ứng xung hệ thống

h(n)

Tích chập là một phép xử lý được kết hợp theo thứ tự các phép xử lý cơ bản:gấp,dịch,nhân và lấy tổng(Xin chú ý phép lấy tổng là tương ứng cho tín hiệu rời rạc,tín hiệu liên tục thì phép lấy tổng là phép lấy tích phân)

Phần kế tiếp là trình bày các phương pháp để thực hiện tích chập(phép xử lý trong miền thời gian)

Tích chập là phép xử lý thực hiện trên hai tín hiệu,ở đây ta áp dụng để xác định tín hiệu

ngõ ra y(n) theo tín hiệu ngõ vào x(n) và đáp ứng xung h(n) của hệ thống

y(n) = [1, 3, 3, 5, 3, 7, 4, 3, 3, 0, 1] : Chiều dài L+M-1=8+4-1=11

c Dạng khối cộng chồng lấp (Overlap-Add Block Form):

Trường hợp chuỗi dữ liệu vào quá dài,ta chia khối dữ liệu vào thành các khối nhỏ hơn,các khối phải bằng nhau(trường hợp khối cuối cùng nhỏ hơn thì thêm vào các bit 0),sau đó ta tiến

hành chập từng khối nhỏ của x(n) với h(n),kết quả chập từng khối nhỏ với h(n) được sắp xếp lệch nhau(như trong hình vẽ 4.2),cộng chồng lắp các kết quả chập từng khối ta sẽ có kết quả chập của x(n) và h(n)

Như hình vẽ 4.2,chuỗi vào x(n) được chia thành các khối nhỏ hơn có chiều dài là L,mỗi khối nhỏ chập với h(n) có kết quả là:

y0 = h*x0; y1 = h*x1.; …

Sau đó các y0,y1,y2,… sẽ được sắp xếp lệch nhau và được cộng chồng lấp(theo chiều từ trên

xuống) sẽ có được kết quả chập của y(n) = x(n)*h(n)

Ta tiến hành lập bảng tích chập lần lượt x0,x1 và x2 với h(n):

Chập x0 với h(n) theo bảng sau:

Ta có y0 = h*x0 = [1,3,3,4,-1,2];

Tương tự như vậy ta có được y và y :

Hình vẽ 4.2

y1 = h*x1 = [1,4,5,3,0,2];

y2 = h*x2 = [1,3,1,0,1,0];

Bước tiếp theo ta sắp xếp các y0,y1 và y2 theo bảng sau:

Cuối cùng cộng chồng lắp ta có được ngõ ra y(n):

y(n) = [1, 3, 3, 5, 3, 7, 4, 3, 3, 0, 1]

4.1.3 Đáp ứng xung các hệ thống ghép nối tiếp và ghép song song :

a Hai hệ thống ghép nối tiếp:

Xét hai hệ thống được đặt trưng bởi đáp ứng xung tương ứng là h1(n) và h2(n) ghép nối tiếp với nhau theo sơ đồ dưới đây:

Như vậy ta thấy khi hai hệ thống ghép nối tiếp với nhau sẽ tạo ra một hệ thống mới có đáp ứng xung tương ứng h(n) là tích chập hai đáp ứng xung của hai thành phần ghép nối tiếp:

h(n) = h1(n)*h2(n)

Đồng thời ta thấy việc h1(n) đứng trước hay h2(n) đứng trước đều cho một kết quả như nhau,nghĩa là tích chập có tính chất giao hoán

b Hai hệ thống ghép song song:

Xét hai hệ thống được đặt trưng bởi đáp ứng xung tương ứng là h1(n) và h2(n) ghép song song với nhau theo sơ đồ dưới đây:

Như vậy ta thấy khi hai hệ thống ghép song song với nhau sẽ tạo ra một hệ thống mới

có đáp ứng xung tương ứng h(n) là tổng hai đáp ứng xung của hai thành phần ghép nối tiếp:

= (n+1)u(n) + 2nu(n-1) + (n-1)u(n-2)

h1(n)*h2(n)*h4(n) = [(n+1)u(n) + 2nu(n-1) + (n-1)u(n-2)]*  (n-2)

= (n-1)u(n-2) + 2(n-2)u(n-3) + (n-2)u(n-4)

Thay vào biểu thức trên ta được:

h(n) = (n+1)u(n) + 2nu(n-1) -2(n-2)u(n-3) - (n-3)u(n-4) 4.1.4 Sự ổn định của hệ thống :

Hình vẽ 4.3

Hiện tại chúng ta đang xem xét hệ thống trong miền thời gian,tức là ta đang quan tâm đến đáp ứng xung h(n) của hệ thống.Trong phần này ta quan tâm đến tính ổn định của hệ thống,có nghĩa là khi xem xét trong miền thời gian thì dựa vào yếu tố nào để chúng ta biết được hệ thống chúng ta có tính ổn định hay không

Một hệ thống được cho là ổn định(Stable) khi hệ thống luôn có đáp ứng ngõ ra bị chặn với mọi kích thích ngõ vào bị chặn,nghĩa là:

Để điều kiện trên thỏa mãn thì |a| < 1 khi đó a có:

(Theo công thức tính tổng chuỗi)

4.2 HỆ THỐNG FIR VÀ IIR

4.2.1 Khái niệm

Dựa vào đáp ứng xung h(n) của hệ thống người ta chia hệ thống rời rạc làm hai dạng:

 Hệ thống có đáp ứng xung hữu hạn FIR(Finite Impulse Response):hệ thống này có đáp ứng xung h(n) là một tín hiệu xác định hữu hạn(Không xác định đến vô cùng)

 Hệ thống có đáp ứng xung vô hạn IIR(Infinite Impulse Response): hệ thống này có đáp ứng xung h(n) là một tín hiệu xác định đến vô cùng

4.2.2 Hệ thống FIR(Bộ lọc FIR)

Hệ thống FIR(Bộ lọc FIR) là hệ thống có đáp ứng xung h(n) có giá trị xác định trên

khoảng thời gian hữu hạn 0 ≤ n ≤ M.Nghĩa là đáp ứng xung h(n) như sau:

Trong đó M là bậc của bộ lọc và h 0 ,h 1,….,hM là các hệ số của bộ lọc (Filter Weights or

Phương trình của bộ lọc IIR:

Cuối cùng ta suy ra biểu thức tổng quát của đáp ứng xung:

Ta thấy h(n) tồn tại trong khoảng thời gian vô hạn

4.3 CÁC PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ

4.3.1 Phương pháp xử lý mẫu – Phương pháp xử lý khối:

Tùy thuộc vào ứng dụng và phần cứng tương ứng mà một hoạt động xử lý của hệ thống

(Bao gồm FIR và IIR) có thể là xử lý khối(Block Processing) hay xử lý mẫu(Sample

Processing)

 Xử lý khối: tín hiệu vào được lấy mẫu và lưu trữ thành một khối các mẫu(nhiều mẫu),khối này được nhân chập với đáp ứng xung của hệ thống để tạo ra khối dữ liệu ra theo yêu cầu.Trong trường hợp dữ liệu vào là quá dài hoặc là vô hạn,khối dữ liệu vào sẽ được phân chia thành các khối có độ dài vừa phải rồi nhân chập với đáp ứng xung để tạo

ra tín hiệu ra theo yêu cầu.Xử lý khối thường được ứng dụng trong các trường hợp hệ thống không cần đáp ứng thời gian thực như xử lý ảnh,phân tích phổ dùng FFT…

 Xử lý mẫu:Dữ liệu vào được hệ thống thu thập và xử lý từng mẫu ở từng thời điểm.Có nghĩa là mỗi mẫu dữ liệu vào được hệ thống thu nhận và nhân chập với đáp ứng xung để

tạo ra dữ liệu ra theo mong muốn.Xử lý mẫu thường được ứng dụng trong các hệ thống cần đáp ứng thời gian thực như xử lý tín hiệu thích nghi,điều khiển…

4.3.2 Phương pháp xử lý mẫu chobộ lọc FIR :

Xét hệ thống FIR(bộ lọc FIR) bậc M có phương trình I/O tổng quát như sau:

Như đã trình bày ở chương 3,ta có thể biểu diễn hệ thống FIR trên bằng sơ đồ khối thông qua các khối xử lý cơ bản như hình vẽ 4.4:

Từ sơ đồ khối thực thi của hệ thống,ta có giải thuật xử lý cho từng mẫu dữ liệu ngõ vào Chú ý:trước khi xử lý dữ liệu ngõ vào các giá trị trang thái nội i phải được gán về không(zero)

Ví dụ 4.9:

Cho hệ thống có phương trình I/O như sau:

Dữ liệu ngõ vào x(n) = [10

,1,2,1,2,2,1,1]:

a) Vẽ sơ đồ khối thực thi hệ thống và giải thuật xử lý mẫu tương ứng

b) Xác định giá trị ra y(n) dựa vào thuật toán trên

Sơ đồ khối thực hiện hệ thống như hình vẽ 4.5:

Thuật toán xử lý mẫu tương ứng:

b) Xác định dữ liệu ra y(n):

Hình vẽ 4.5

Từ giải thuật xử lý mẫu ở trên ta có bảng tính toán giá trị ngõ ra y(n) cũng như giá trị trạng thái nội của hệ thống i như sau:

Giá trị ngõ ra: y(n) = h(n)*x(n) = [10,1,2,1,1,-,1,0,-2,-2,-1,-1]

4.3.3 Phương pháp xử lý mẫu chobộ lọc IIR :

Cho hệ thống IIR có phương trình I/O tổng quát như sau:

Ta có sơ đồ thực hiện hệ thống dạng chính tắc như hình vẽ 4.6:

Hình vẽ 4.6

Quan sát hình vẽ 4.6 ta thấy các giá trị nội được gán tương ứng cho ngõ vào và ra tương ứng như sau:

Ta có giải thuật xử lý mẫu tương ứng như sau:

Ví dụ 4.10:

Cho hệ thống có phương trình I/O như sau:

Vẽ sơ đồ khối thực thi hệ thống và giải thuật xử lý mẫu tương ứng

Từ sơ đồ thực hiên hệ thống,gán các giá trị nội ngõ vào v i và ngõ ra i tương ứng ta có giải thuật xử lý mẫu như sau:

4.3.4 Sơ đồ thực hiện hệ thống dạng chính tắc:

Các sơ đồ thực hiện ở trên là dạng trực tiếp,nhìn vào sơ đồ hệ thống ta thấy có rấc nhiều

khối dịch(Delay),đây là một khuyết điểm khi thực hiện theo dạng trực tiếp,nó làm cho hệ

thống tiêu tốn nhiều bộ nhớ,đồng thời làm tăng độ trễ của hệ thống,có nghĩa là tính đáp ứng thời gian thực của hệ thống bị giảm đi.Để khắc phục khuyết điểm này người ta đưa ra dạng

sơ đồ thực hiện theo kiểu chính tắc,dạng chính tắc làm giảm tối thiểu khối dịch(Delay),từ đó

tăng tính đáp ứng thời gian thực của hệ thống và làm cho hệ thống tốn ít bộ nhớ hơn

Phương pháp chính tắc được thực hiện bằng cách như sau: từ sơ đồ dạng trực tiếp,ta hoán đổi các khối dịch giữa ngõ vào và ra cho nhau,điều này làm tốn thêm một khối cộng,sau đó ghép chung các khối dịch(cùng độ dịch) lại với nhau ta có được sơ đồ dạng chính tắc

Xét một hệ thống IIR có phương trình I/O tổng quát như sau:

Sơ đồ thực hiện hệ thống dạng chính tắc như hình vẽ 4.8:

Nhìn vào sơ đồ dạng chính tắc ta thấy các hệ số ngõ ra ai hoán đổi vị trí cho hệ số ngõ vào

bi tương ứng,các giá trị nội của hệ thống chỉ còn lại là i,số khối dịch (Delay)tối đa là

Max(M,L).Ta có giải thuật xử lý mẫu tương ứng cho sơ đồ thực hiện dạng chính tắc:

Ví dụ 4.11:

Cho hệ thống có phương trình I/O như sau:

Vẽ sơ đồ khối thực thi hệ thống theo dạng chính tắc và giải thuật xử lý mẫu tương ứng

Giải:

Sơ đồ thực hiện hệ thống dạng chính tắc như hình vẽ 4.9:

Số phần tử nhớ tối đa là Max(M,L) = Max(5,4) = 5(Khối dịch).Giải thuật xử lý mẫu tưong ứng:

y n  y n   x n   x n   x n   x n 

Hình vẽ 4.9

BÀI TẬP CHƯƠNG 4

XỬ LÝ TÍN HIỆU TRONG MIỀN THỜI GIAN

4.1 Cho tín hiệu vào x(n) và đáp ứng xung tương ứng của hệ thống lần lượt là:

a) Tìm phương trình I/O của hệ thống

b) Tìm và vẽ đáp ứng xung h(n) của hệ thống

4.5 Cho hệ thống được biểu diễn bởi sơ đồ:

a) Tìm phương trình I/O của hệ thống

4.7 Xác định phương trình I/O của hệ thống cho bởi phương trình đáp ứng xung như sau:

4.8 Lặp lại bài 4.7 với phương trình I/O như sau:

4.9 Hai hệ thống có đáp ứng xung tương ứng như sau:

Hai hệ thống trên được ghép nối tiếp với nhau theo sơ đồ:

h(n) x(n)

Tìm đáp ứng xung h(n) của hệ thống mới được tạo ra từ việc ghép nối tiếp hai hệ thống trên

4.10 Hai hệ thống được cho bởi hai phương trình I/O tương ứng như sau:

Hai hệ thống trên được ghép nối tiếp với nhau theo sơ đồ:

h(n) x(n)

Tìm đáp ứng xung h(n) của hệ thống mới từ việc ghép hai hệ thống trên

4.11 Hai hệ thống được ghép song song theo sơ đồ sau:

y1(n) = x(n)+2x(n-1)+3x(n-2)

y2(n) = 0.8y(n-1)+x(n)

+

Tìm đáp ứng xung của hệ thống được tạo ra từ việc ghép nối song song trên

4.12 Một hệ thống được tạo ra từ việc ghép các hệ thống theo sơ đồ sau:

0 1

Trong đó các đáp ứng xung thành phần lần lượt được cho như sau:

Tìm đáp ứng xung h(n) của hệ thống trên

4.13 Đáp ứng xung của hệ thống có biểu thức như sau:

Tìm điều kiện của a để hệ thống trên ổn định

4.14 Hệ thống cho bởi sơ đồ như sau:

a) Viết phương trình I/O cho hệ thống trên

b) Tìm đáp ứng xung của hệ thống

c) Cho tín hiệu vào x(n) = [10,1,1 ],tìm đáp ứng ngõ ra y(n)

4.15 Cho hệ thống có phương trình I/O như sau:

a) Hệ thống trên là FIR hay IIR ?

b) Tìm và vẽ đáp ứng xung của hệ thống trong trường hợp: a1 = 0,5 và b0= 1 c) Tìm và vẽ đáp ứng xung của hệ thống trong trường hợp: a1 = 1,5 và b0= 1

4.16 Cho hệ thống có phương trình I/O như sau:

a) Hệ thống trên là FIR hay IIR ?

b) Vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống trên

c) Viết giải thuật xử lý mẫu tương ứng

d) Cho tín hiệu vào là x(n) = [1,1,1,2,1,2,1,1],tìm đáp ứng ngõ ra tương ứng theo giải thuật ở câu c

4.17 Thuật toán xử lý mẫu của một hệ thống như sau:

a) Cho tín hiệu vào là x(n) = [10,1,2,1],tìm 5 mẫu đầu tiên của đáp ứng ngõ ra theo giải thuật xử lý mẫu trên

b) Vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống trên

c) Hệ thống trên là FIR hay IIR

d) Vẽ lại sơ đồ thực hiện hệ thống trên theo dạng chính tắc

e) Viết giải thuật xử lý mẫu tương ứng cho sơ đồ dạng chính tắc

f) Cho tín hiệu vào là x(n) = [10,1,2,1],tìm 5 mẫu đầu tiên của đáp ứng ngõ ra theo giải thuật xử lý mẫu dạng chính tắc

4.18 Cho hệ thống được biểu diễn bằng sơ đồ như sau:

a) Viết giải thuật xử lý mẫu tương ứng cho hệ thống trên theo sơ đồ

b) Viết phương trình I/O của hệ thống

c) Vẽ lại sơ đồ thực hiện hệ thống theo dạng trực tiếp

d) Cho tín hiệu vào là x(n) = [10,1,2,1],tìm 5 mẫu đầu tiên của đáp ứng ngõ ra theo giải thuật xử lý mẫu dạng chính tắc

Chương 5

BIẾN ĐỔI Z

Mục đích

 Biến đổi z

 Biến đổi z ngược

 Ứng dụng biến đổi z trong phân tích và thiết kế hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc

5.1 BIẾN ĐỔI Z

5.1.1Khái niệm

Chương 4 đã trình bày cách tính đáp ứng của một hệ thống trực tiếp từ đáp ứng xung của

nó, bằng cách tính tổng chập của kích thích với đáp ứng xung Cách tính tổng chập trực tiếp dựa vào công thức định nghĩa như đã làm tốn rất nhiều thời gian và công sức.Hơn nữa , trong thực tế số mẫu khác không của kích thích và đáp ứng xung là rất nhiều nên ta không thể „tính bằng tay‟.Tuy nhiên, phương pháp tính tổng chập bằng đồ thị như đã trình bày cho ta một thuật toán của chương trình tính tổng chập bằng máy tính Việc giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bằng phương pháp đệ qui cũng chỉ có ý nghĩa khi sử dụng máy tính

Kỹ thuật biến đổi z là một công cụ hữu hiệu để phân tích hệ thống LTI Biến đổi Z đối với tín hiệu rời rạc có vai trò tương tự như biến đổi Laplace đối với tín hiệu liên tục, và chúng có quan hệ giống nhau với biến đổi Fourier Tổng chập của hai dãy trong miền thời gian sẽ biến thành tích của hai biến đổi Z tương ứng trong miền biến phức z Tính chất này

sẽ làm đơn giản hóa việc tính đáp ứng của hệ thống với các tín hiệu vào khác nhau Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng cũng được giải một cách dễ dàng hơn khi dùng công cụ biến đổi Z

Như ta sẽ thấy trong các chương sau, biến đổi Fourier giữ vai trò chìa khóa trong việc biểu diễn và phân tích các hệ thống rời rạc Tuy nhiên,trong một số trường hợp cần phải sử dụng dạng tổng quát hóa của biến đổi Fourier, đó là biến đổi Z

1)

(.2

1)

()

(

n

n n

n

n

n

n n

n

n

z z

z n u z

n x z

1 )

Chú ý: z là biến phức nên ta có thể biểu diễn như sau:

e r n x re

e n x e

X( ) ( ).  có nghĩa là phép biến đổi z lấy trên vòng tròn đơn vị sẽ trở thành biến đổi Fourier trên miền tần số

Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy để xác định miền hội tụ của biến đổi z

 Tiêu chuẩn Cauchy: Một chuỗi có dạng 

n

x x n

sau thoả mãn: lim ( ) 1

( ).

( )

(

n n

n

n

z n x z

n x z

n x z

n

n

z n x

n

n

z n x

Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy cho X1(z) ta có:

n n

n

n

n x z

z n x z

n

x

1 1

1 1

)(lim1

)(lim1)

n x

1

) ( lim Vậy:với z  R x thì X1(z) hội tụ Tức là miền hội tụ của X1(z) nằm ngoài vòng tròn bán kính

R-x tâm gốc toạ độ trên mặt phẳng z Đậy cũng là miền hội tụ của dãy nhân quả có chiều dài

n x

1

) ( lim , nghĩa là miền hội tụ của X2(z) là miền nằm trong đường tròn bán kính R+

x tâm gốc toạ đô trên mặt phẳng z, đây cũng là miền hội tụ của dãy phản nhân quả có chiều dài vô hạn

Kết luận vậy miền hội tụ của X(z) là: X1(z)∩X2(z)

Im[z]

Re[z]

r

Ví dụ 5.3

Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = an

u(n) Giải

0 1

1 ).

( ).

n n n

n n





az z

Ví dụ 5.4

Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = - an

u(-n-1) Giải

n n

n n

n n n

n

z a z

a z

a z

1 1

.)

1

1

11

1

111

a

z a z a z

a z





az z

5.1.3Các tính chất của biến đổi z:

Ta có cặp biến đổi z như sau:

Áp dụng tính chất trên ta có biến đổi z của x(n):

2 1

1

1 0.81

( ) ( )

n n

n n

a

z X a

z n x z

n x

1

1

1 )

( )

2112

1

12

z U

z

d Vi phân trong miền z:

Giả sử biến đổi z của x(n) là X(z) và có miền hội tụ tương ứng là ROCX,khi đó biến đổi z của n.x(n) tương ứng là:

Điều này có nghĩa là khi nhân một tín hiệu trong miền thới gian thì tương đương với việc lấy vi phân(Đạo hàm) biến đổi z tương ứng sau đó nhân với (-z),miến hội tụ không thay đổi

Ví dụ 5.8:

Cho dãy x(n) = nanu(n) xác định X(z), ROC

Giải:

Ta viết lại biểu thức của x(n):

Ta có biến đổi z của x1(n):

Áp dụng tính chất trên ta có biến đổi z của x(n):

Khi đó ta có biến đổi z của x(n) = x1(n)*x2(n) tương ứng như sau:

Như vậy phép xử lý tích chập trong miền thời gian được chuyển thành phép nhân thông thường trong miền z

Suy ra: x(n) = {1,-1,0,0,0,0,-1,1}

f Đảo trong miền thời gian:

Tính chất phát biểu như sau:

Điều này có thể hiểu như sau:trong miền thời gian khi thay thế n bằng –n,trong miền z

5.1.4 Giản đồ cực – không(Pole - Zero):

Biến đổi z của các tín hiệu thực và các hệ thống LTI thường là một hàm hữu tỉ,nghĩa là biến đổi z của các tín hiệu này có thể biểu diễn như sau:

0

( )( )

( )

M r r

r o N k k k

Các khái niệm cực và không:

+ Điểm cực của X(z) là các giá trị z tại đó X(z) = ∞, kí hiệu là zck, khi đó D(zck) = 0

+ Điểm không của X(z) là các điểm tại đó X(z) = 0, kí hiệu là zor, khi đó N(zor) = 0

Biểu diễn X(z) dưới dạng cực và không

Giả sử N(z) là đa thức bậc M của z khi đó:

Giả sử D(z) là đa thức bậc N của z khi đó:

Khi đó X(z) được viết lại như sau:

z z

z z

a

b z

X

0

1

)(

)(

M N

M

z z

z z cz

z z

z z

z

z c z

X

1

1 1

1 )

(

0

1 1

1

)1

(

)1

()

1(

)1

()

n k

n k dz

z

12



Trong đó C là một đường cong kín bất kì,thông thường chọn đường cong C sao cho phép lấy tích phân được dễ dàng

5.2.1 Biến đổi z ngược:

Phép biến đổi một hàm X(z) trong miền z sang một hàm x(n) trong miền thời gian rời rạc gọi là phép biến đổi z ngược,ký hiệu như sau:

Có nhiều phương pháp để thực hiện biến đổi z ngược như:

 Dùng tích phân đường(Định lý Cauchy)

 Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa(Dựa vào định nghĩa)

 Phương pháp khai triển thành các phân thức sơ cấp(Dựa vào các biến đổi cơ bản)

5.2.2 Biến đổi z ngược dùng tích phân đường:

z n x z

k ROC

k

ROC

dz z n x dz

z n x dz

ROC

n x dz

z z

z z X

k ROC

ROC

1)(2

1)

j k

ROC

1)(2

1)

Biểu thức (5.2) được gọi là biểu thức của biến đổi Z ngược ( IZT – Invert Z Transform )

Từ biểu thức (5.2) trong thực tế có nhiều phương pháp tìm biến đổi z ngược thuận tiện hơn thực hiện bằng biểu thức (5.2)

Nội dung của phương pháp là dùng lí thuyết thặng dư để thực hiện biểu thức (5.2)

1( ) { ( )}

x n Z X z

5.2.3 Phương pháp khai triển thành chuỗi luỹ thừa

Do X(z) là hàm của một chuỗi luỹ thừa theo z vì vậy trên miền hội tụ của nó ta có thể khai triển X(z) dưới dạng:

1 2

(

n

n n

z suy ra: x(n) = (-2)nu(n)

b Đây là tín hiệu phản nhân quả có chiều dài vô hạn:

Ta có:

1 2

1 2

z z

z vậy x(n) = -(-2)nu(-n-1)

Nhận xét: Từ ví dụ trên ta có nếu X(z) có dạng:

ck

z z

z z

X



 ) ( thì ta có biến đổi z ngược

ck

ck n

ck

z z n

u z

z z n

u z

) 1 ( ) (

) ( ) (

ta có chuỗi x(n) như sau(dựa vào định nghĩa biến đổi z):

5.2.4 Phương pháp phân tích thành các phân thức sơ cấp:

Trường hợp biểu thức X(z) cần biến đổi là một hàm hữu tỉ:

Giả sử X(z) là hàm hữu tỷ với a0 = 1

M

o r

r r

z a

z b

k

k k

M

o r

r r

z D

z N z c z

a

z b

)(1

k

k

k z c

0

dễ dàng xác định được biến

đổi z ngược của nó nhờ tính chất dịch trễ trong miền thời gian

Còn đa thức N1(z)/D(z) là đa thúc có bậc của D(z) lớn hơn bậc của N1(z)

Bây giờ ta xét trường hợp M<N

M

o r

r r

z a

z b

A z

k

z D

z N z

z

)(

)()(

- Nếu X(z) có 1 cực bội, giả sử cực bội bậc s là zci các cực còn lại là các cực đơn thì ta có:

k

z z

c z

z

A z

k

z D

z N z

z

)(

)()

ci

z z ci

j s

j s j

z D

z N z z dz

d j s

)()(

)!

(1

Nếu X(z) có nhiều hơn một cực bội thì ta làm tương tự như trên

Sau khi khai triển xong X(z) ta sẽ tìm biến đổi z ngược của X(z) của các phân thức tối giản bởi các công thức sau:

)()(z u n z

1()

m n n

n z

!

)1) (

1()

n z

Biến đổi X(z) về dạng phân thức sơ cấp:

Áp dụng những công thức biến đổi z cơ bản ta có:

Chuỗi tín hiệu x(n) trong miền thời gian có thể:

5.3 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG DÙNG BIẾN ĐỔI Z

5.3.1 Hàm truyền hệ thống LTI:

Chúng ta đã biết trên miền thời gian n một hệ thống tuyến tính và bất biến (LTI) được đặc trưng bởi đáp ứng xung hoặc phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng(Phương trình I/O) Nhưng việc phân tích hệ thống nhiều khi gặp phải sự khó khăn của việc tính tích chập, giải phương trình sai phân Trong phần trước chúng ta đã biểu diễn tín hiệu sang miền biến số z, bây giờ ta sẽ phân tích hệ thống LTI trên miền z, trước tiên ta tìm hiểu khái niệm hàm truyền đạt(Hàm truyền) của hệ thống

Xét một hệ thống xử lý H,quan hệ ngõ vào và ra của hệ thống:

Như vậy hàm truyền đạt của hệ thống LTI chính là biến đổi z của đáp ứng xung h(n) của

nó Hàm truyền đạt được kí hiệu là H(z) và nó cũng đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống trên miền z.Nghĩa là khi chuyển sang miền z việc phân tích hay thiết kế hệ thống hoàn toàn dựa vào hàm truyền H(z) của hệ thống

Hàm truyền đạt của hệ thống được mô tả bởi phương trình I/O.Quan hệ giữa đầu vào và đầu ra của một hệ thống LTI được mô tả bởi phương trình sau:

k y n k b x n r a

) ( )

n k

n

z r n x b z

k n y

(

Áp dụng tính chất trễ và tuyến tính ta có:

r r n

M

r r k

k n N

) ( )

(

0

) ( 0

) ( )

n N

M

r

r r

M

r

r r N

k

k k

z a

z b

z X

z Y z H

z X z b z

Y z a

0 0

0 0

)(

)()(

)(.)

(

M

r

r r

z a

z b z

Chú ý:

Ta cũng có thể biểu diễn H(z) dưới dạng hàm của z-1, hoặc các cực và không của nó

5.3.2 Giải phương trình I/O sử dụng biến đổi z:

Để giải phương trình I/O ta tìm hiểu khái niệm biến đổi z đơn hướng

Biến đổi z đơn hướng(một bên)

Biến đổi z đơn hướng được định nghĩa như sau:

n

n

z n x z

X

1)()

5.3.3 Phân tích hệ thống LTI sử dụng biến đổi z:

Các phần tử thực hiện hệ thống trên miền z cũng giống như trên miền n, chỉ khác kí hiệu của phần tử dịch ta thay D = Z-D

Nguyên tắc phân tích hệ thống

 Phân tích hệ tổng quát thành các hệ nhỏ hơn ( các khối nhỏ hơn )

 Tìm mối quan hệ giữa các khối nhỏ hơn này

 Xác định hàm truyền đạt Hi(z) cua các khối nhỏ

 Tổng hợp hàm truyền đạt từ cách phân tích ở trên

Một số quy tắc biến đổi sơ đồ khối

 Hệ gồm các khối mắc nối tiếp

H(z) = H1(z).H2(z) Hn(z) Vậy hệ gồm các khối mắc nối tiếp sẽ tương đương với hệ thống có hàm truyền đạt là tích của các hàm truyền đạt thành phần

 Hệ gồm các khối mắc song song

H(z) = H1(z) + H2(z) + + Hn(z)

Vậy hệ thống gồm các khối mắc song song với nhau sẽ tương đương với hệ thống có hàm truyền đạt là tổng của các hàm truyền đạt thành phần

 Hệ có hồi tiếp

5.3.4 Tính ổn định và nhân quả của hệ thống LTI:

Đối với một hệ thống tuyến tính bất biến, nếu tín hiệu ở đầu vào không có nhưng ở đầu ra của hệ thống vẫn xuất hiện tín hiệu thì hệ thống đó là hệ thống không ổn định

Trong chương trước chúng ta đã xét độ ổn định của hệ thống LTI nó được đặc trưng bởi các tính chất của đáp ứng xung h(n) của nó, cụ thể: Một hệ thống LTI là ổn định nếu điều kiện sau đây thoả mãn:

H( ) ( ) với miền hội tụ của nó: R h  z  R h

So sánh với điều kiện hội tụ trên miền n thì ta thấy để điều kiện ổn định trên miền n thoả mãn thì H(z) phải hội tụ với z 1 nghĩa là nó hội tụ trên vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z,

vì thế miền hội tụ của H(z) phải chứa vòng tròn đơn vị

Vậy ta có thể phát biểu điều kiện ổn định của một hệ thống LTI trên miền z như sau: Một

hệ thống LTI là ổn định khi và chỉ khi vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z nằm trong miền hội

tụ của hàm truyền đạt của hệ thống

 Sự ổn định của hệ thống nhân quả

Trong thực tế chúng ta chỉ gặp các hệ thống nhân quả ổn định, vì vậy ta sẽ xét sự ổn định của các hệ thống này

Do hàm truyền đạt của hệ thống nhân quả được viết như sau:

n

R z

n h z

Rõ ràng miền hội tụ của H(z) không chứa bất cứ điểm cực zck nào do đó ta có thể nói : Một hệ thống LTI nhân quả và ổn định khi và chỉ khi tất cả các điểm cực của hàm truyền đạt nằm trong vòng tròn đơn vị(vòng tròn trên mặt phẳng phức có bán kính bằng 1)

Ngoài ra ta có thể xem xét tính ổn định của hệ thống LTI thông qua các điểm cực của hàm truyền H(z) của hệ thống :Một hệ thống LTI nân quả có tính ổn định khi các điểm cực của hệ thống có biên độ nhỏ hơn 1(nằm trong vòng tròn đơn vị)

Ví dụ 5.18:

Hệ thống LTI được cho Bởi phương trình I/O như sau:

y(n) = a.y(n-1) + x(n)

Tìm H(z), h(n)

Xét sự ổn định của hệ nhân quả

Giải:

- Lấy biến đổi z hai vế của pt ta có:

Y(z) = a.z-1Y(z) + X(z)

1

1)

(

)()

X

z Y z

1 2 )

z z z H

Giải:

Tìm các zck, hệ có zc1=1/2 + j1/2, zc1=1/2- j1/2

Đây là 2 điểm cực nằm trong vòng tròn đơn vị vậy hệ thống nhân quả đã cho là ổn định

Ví dụ 20:

Hệ thống LTI có hàm truyền như sau:

Tìmđáp ứng xung nhân quả của hệ thống và xét tính nhân quả tương ứng của hệ thống

2)

(    u n

n n

x

n

5.2 Tìm biến đổi Z ngược của các hàm sau:

z z

z z

X( ) 4 3( 2 2): 0 d) ( )ln(10.5 1): 0.5

z z

z

23

1

1)

z

1

)(  , biết x(n) nhân quả

)1)(

1(

1)

c) Tìm đáp ứng ra y(n), biết x(n) = 3n u(n)

5.5 Cho hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả được mô tả bởi sơ đồ:

Với giá trị nào của k thì hệ thống ổn định

5.6 Cho hệ thống tuyến tính bất biến có hàm truyền đạt:

252

54)

z z z

H

a) Tìm đáp ứng xung để hệ thống là nhân quả

b) Tìm đáp ứng xung để hệ thống là phản nhân quả

c) Tìm đáp ứng xung để hệ thống là ổn định

k/3

y(n)

z-1

k/2

z-1

5.7 Tìm tín hiệu ngõ ra của các hệ thống sau được cho bởi phương trình I/O và tín hiệu ngõ vào được cho tương ứng:

8

1 y(n – 2) = x(n), biết và y(-1) = -1, y(-2) = 1

c) y(n) - 2y(n-1) + y(n-2) = 0.5x(n) + 0.5x(n-1), biết x(n) 0.5 n u(n)

n 2

5.9.Cho biết đáp ứng xung tương ứng như sau:

21