Giáo trình Đại số sơ cấp và thực hành giải toán: Phần 2

Giáo trình Đại số sơ cấp và thực hành giải toán: Phần 2 gồm có 2 chương với những nội dung cụ thể của từng chương như sau: Chương 5 phương trình và hệ phương trình, chương 6 bất đẳng thức và bất phương trình. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết.

X,) VA B(X;, Xey eee, Ny) được xem là các hàm một biển f(x), g(x) trong C" Giả sử f(x) có miền xác định là D, c C*, gíx) có miền xác định là D, C*

x) va Cla mot

Nếu x lấy giá tri a e § mà f{a) = gía) là một đẳng thức đứng thì a

được gọi là một nghiệm của phương trình (1), hoặc a thoả mãn phương

trình (1), hoặc phương trình (1) được thoả mãn với

Có thể xay ra mot trong ba trường hợp sau đây:

1) Phương trình 0ố nghiệm: Trong trường hợp này, không có giá trị

a nào của 8 sao cho f(a) va gla) bang nhau, tức là f(a) = gía) là một mệnh

để sai với mọi a 6 §, Nói khác đi, tập nghiệm của M của phương trình

(1) là rỗng: M = Ø,

2) Bat ki gid trị a nào của x (a e 8) cũng thoả mãn phương trình, tức

là M= 8, Trong trường hợp nây phương trình là hẳng đẳng trôi

“Trong tất cả các định nghĩa trêa, thay cho trường C, tạ có thể lấy

một trường số K-bất kì (có thể là Q, R) làm trường có sở, Khi đó cần chú

ý rằng tập hợp nghiệm của phương trình phụ thuộc bào trường cơ sở

Vi du 1 Phương trình

(x? ~ 3)(x* + 4) =0

la M= {x © R/x> 0}, tap hgp tất cả các số thực không âm

1.2, PHAN LOAI PHUONG TRINH

‘Tuy theo f(x) va g(x) la biéu thite toán học loại gì (§1 chương 1) mà

phương trình được gọi tên theo loại đó

Nếu cả hai biểu thức f(x) và g(x) đều là biểu thức sổ thi (1) là

phương trình đại số trong trường hợp trái lại thì (1) là phương trình

siêu tiệt,

Nếu cả hai biểu thức Í{x) và gíx) đều là biểu thức đại số hữu tỉ (da thức hoặc phân thức hữu tỉ) thì (1) gọi là phương trình đại sở hữu tỉ

Date biệt, nếu f(w) và g@) đều là đa thức (biểu thức hữu tỉ nguyên) thì (1) được gọi là phương trình đã thức hoặc phương trình đại

lại, ít nhất một trong hai biểu thức f(x) hoặc g(x) 1a phân thức hữu

tỉ thực sự và biểu thức còn lại là đa thức thì (1) được gọi là phương trình phân thức

Nếu ít nhất một trong hai biểu thức f@) hoặc gíx) là đại số võ tỉ (tức là có chứa căn số của ẩn) và biểu thức còn lại là hữu tỉ thì (1) được Hoi là phương trình 0õ tỉ

Ví dụ:

Phương trình đa thứt

1.3 PHƯƠNG TRINH CHUA THAM SO

Cho hàm số f(s), ngoài đổi số ra còn có các chữ a, b, ¢ Nếu trong việc khảo sát và nghiên cứu, ta xem các chữ a, b, e như là đã biết thì

chúng được gọi là tham só, hay thông số, hay tham biển, Giả sử a = œ,b

B e = y là tập hợp giả trị bằng số nào đó của các chữ a, b, Nếu

thay các giá trị đó vào hầm số f thì ta được f(x, a, fh, y) xác định một ham số nào đó của đổi số x thi a J y được gọi là hệ thống giá trị thưa

nhận được của các tham số Nếu Í(x, œ, Í †

không có nghĩa với mại

la x trên trường số ä cho thì œ ƒ y là một hệ thống tri không thừa nhận được của các tham số:

Phương trinh f(x, a, b , ¢) = 0 với Ẩn số x e C* và các tham số a,

b, , e được gọi là phương trình chứa tham số Khi có một hệ thống gi

trị thừa nhận được của tham số, phương trình này trỏ thành phương

trình eụ thể:

là các phương trình chứa tham số a, b, « tham số này có thể lấy mọi

giả trị thực bất kì Với mỗi hệ thống giá trị (thực bất kì, đếu thừa nhận được) của các tham số ta được một phương trình cụ thể và có thể giải chúng để tìm tập nghiệm Chẳng hạn với phương trình (*®):

b Các giá trị thừa nhận được của các tham số được

xác định bởi điểu kiện:

Giả trị tại x của hai hàm số:

trong từng phương trình là bằng nhau”

Mot gid tri a e § của x làm cho từng phương trình đều trở t

đẳng thute ding: f(a) = g(a), i = 1, 2

he Trong trường hợp này ta nói hệ phương trình có nghiệm Nếu mỗi

phương trinh f(x) = g(x) ¢6 tip hop nghiệm là M,, thì tập hợp nghiệm của hệ là M.=|ÖM,; do đó nếu có một phương trình của hệ là vô nghiệm

2.2 CAC ĐỊNH LÍ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Quá trình giải một phương trình là quả trình biển đổi phương trình đó để đi đến một phương trình đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải Nếu các phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương

trình thì phương trình đã cho được biến đổi tưởng đương, còn nếu làm

thay đối miễn xác định của phương trình thì có thể tập hợp nghiệm của phương trình đã cho cũng đã bị thay đổi, Muốn biết rõ hơn, ta dựa vào các định lí sau

Định lí 1 Cho phường trình fix) = g(x) Nếu hạ có nghĩa trong miễn xác định của phương trình đã cho thị:

Phương trình sau được biến đổi tương đương từ phương trình

trước, bằng cách chuyển h(x) sang vế phải và đổi dấu nó

Hệ quả 3 Mọi phương trình đều có thể đưa vẻ dạng mà uể phải

ấy thi các phương trình trong (1) là tương đương, còn nêu không có điêu

kiện ấy thì hai phương trình trên không nhất thiết tương đương

Như vậy, điểu kiện của định lĩ có thé phat biéu la: h(x) có nghĩa tại

tất cả các nghiệm của phương trinh f(x) = g(x) Nhưng điều kiện “

hơn này lại không có tắc dụng trong việc giải phương trình, vì nếu biết

trước câc nghiêm rỗi thì chẳng cẩn phải biển đổi nó nữa!

Định lí 2 Cho phường trinh fix) = gíx) Nếu biểu thức híx) có nghĩa tả khác không trong miễn xác định của phương trình đã cho thi:

Hệ quả Có thể nhân hai

không từ

'Ta cũng có thể nhận xét về h(x) tương tự như trong định lí 1

Định lì 3 Nếu nâng hai uế của một phương trình lên luỹ thừa bác

lẻ thí ta được một phương trình Hương đường uối phương trình đã cho

Đảo lại, nếu a là nghiệm của phương trình (3), tức là đẳng thức (2)

đúng thì ta có f0 = g(a), do đó a là nghiệm của phương trình (1)

Chủ ÿ: Nếu tà nâng hai vế của phương trình trên R lên một ly

thưa bậc chăn thì nói chung ta chỉ được phương trình hệ quả của phương

trình đã cho mà không thu được phương trình tương đương

Nghiệm ngoại lai, mất nghiệm

sau một phép biên đối nào đó, miền xác định của phương trình

đã cho mũ rộng ra thì tập hợp nghiệm của nó cũng có thể mỡ rộng ra, có

thé x nhimg nghiém ngoại lai (đối với phương trình đã cho) Những nghiệm ngoại lai đó (nu có) là những nghiệm của phương trình biển dồi, thuộc vào nhắn mỏ rộng của miền xác dịnh Nếu miễn xác định t0 rộng tà nhưng không có nghiệm ngoại lai thì phương trình đã chú và phương trình biển đối vẫn tương đương

Nếu sau một phép biến đối nào đó, miền xác định của phương trình

da cho bj thu hep lại thì tập hợp nghiệm của nó cũng có thể bị thu hẹp

lại, một số nghiêm nào đồ có thể bị mất đi Những nghiệm mất đi đó

(nếu có) là những nghiệm của phương trình đã cho thuộc vào phản bị

thu hẹp của miễn xáe định Nếu tất cả

bị thu hẹp không thoả mãn phương trình

và phương trình biến đổi vẫn tương đương

Ví dụ Trên trường số thực, xét hai phương trình

=1) 2 [1, #z), +8, 3) Khi biến đổi (1) = (2) đã mớ rộng miễn xác định 8, c 8, nên đã xuất hiện nghiệm ngoại lai ~3, và

phép biến đối từ (1) thành (2) không phải là phép biến đổi tương đương

ác giá trị của ẩn số trong miền cho thì phương trình đã cho

2.3 CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Như ta đã biết, khi giải hệ phương trình, ta thường dùng phương pháp thể và phương pháp cộng Cơ số Ì{ thuyết của các phương phầp này

la hai định lí sau đây:

“Thật vậy, nếu F, = 0 vô nghiệm thì (1) e (11) vì đều vô nghỉ

Giả sử E, có nghiệm và (x, x¿ x,) = (a,, aạ a2) là nghiệm của

nó, nghĩa là a, = flay, a,) la một đẳng thức đúng Khi đó, trong đẳng

thite Flay, ads, es A sess m, vige thay thé số a, bởi fila

không làm ảnh hưởng gi đẳng thức đó cả Do đồ nếu (a,

nghiệm của hệ (I) thì cũng là nghiệm của hệ (II) và ngược lại

Các nghiệm của (J) cũng là nghiệm của (II) vì nếu F, = 0 ¡ =

m thì vế trái của các phương trình trong (I1) cũng bằng không Đảo lại,

các nghiệm của (I1) cũng là nghiệm của (I) Thật vậy, nếu F, = 0 thì n),F, = 0 do d6 n,,F, = 0 ma ny, # 0 nén F, = 0 Tudng ty, néu F, = F,=0

thi nF, do đó từ dòng thứ ba của hệ (II) ta được nạF;

mã nạ z 0 nên E;= 0 Cuối cùng ta có E, F„=0

Định lí này được suy ra từ một mệnh để quen thui “Muốn cho

một tích bằng không thì cần uà đủ là tích đỏ có một thừa số bằng không” (vi một trường không chứa ước của không)

Vĩ dụ

x-2=0, (x= 2000 +b =0 4] x7 +1=0,

Song số # không thuộc miễn xác định của tuyển (cũng là của phương trình đã chó), Vậy tập nghiệm c

phương trình là fi, ~i}

2.6 TẬP HỢP PHƯƠNG TRÌNH

‘Ta goi là đập hợp phương trình, một hệ hay một tuyển của tuyển hay

hệ phương trình, một hệ hay một tuyển của tuyển và hệ phương trình,

Chang han

§3 PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Xem như một áp dụng trực tiếp của các khúi niệm và mệnh để nói trên, ta xét các phương trình có chứa đấu giá trị tuyệt đổi với ẩn hay với hàm số Dựa vào định nghĩa của giá trị tuyệt đối các số thực:

sinx+e0sx =1

jsinx +cosx]=1 <> sin x +cosx i

Có thể tìm ngay được nghiệm của tuyển (tức là nghiệm của phương

trình đã cho) là x= S*,

3.2 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG |f(x)| = g(x)

'Ta có mệnh để

fix) = gtx) ess 20

Vi du Giải phương trình x°~ |x| = 6

Ta gia x=6 (với x > 0) được nghiệm là x = 3, Do dé nghiém

của phương trình đã cho là x = 8 và x =

Vi du, Giải phương trình | 2x —

Phương trình tương đương với

|/+J=|e9| = [

3.6 PHƯƠNG TRINH CO CHUA DAU GIA TRI TUYET BO!

Với x < 1, nghiệm của phương trình là x= Š: không thích hợp a

nghiệm của phương trình là x

K : Phương trình có một nghiệm duy nhất là x = 3

Chú ý: Có thể giải phương trình trên bằng phương pháp sử dụng đồ thị (bạn đọc tự giải)

luậ

§4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI MỘT ẨN

4.1, PHƯƠNG TRÌNH TUYỂN TÍNH

Œ dạng tổng quất trên trường K là

ax+b=0.aeK

trong đó x là ấn, trường số K có thể là Q, R C Để giải phương trình, ta thực hiện cac bước:

« Nếu a z0, phương trình có nghiệm duy nhất là x- -P'

Giải; Điều kiện: x # 0, x z 2,

Với điều kiện đó, phương trình đưa về dạng

(m + 1)x = 6,

~_ Với m =~l: phương trình võ nghiệm,

~ Voi m £—1: phương trình có nghiệm duy nhất x=- Ê mel

Kết hợp tìm giá trị của m để —Ố— là nghiệm của phương trình:

được gọi là tam thite bée hai đối với biến x

Để phương trình (1) ta biển đổi như sau (phương pháp để xuất bình phương đủ): fix) = ax! + bx He

©) Nếu A < 0: Phương trinh (1) vo ng!

nghiệm phức liên hợp trên là:

trên R, nhưng có hai

Chú ý: Nếu b là số chẵn b = 9b' thì A = 4(b°— ac)

Đặt b#~— ae = A` và gọi biệt thức thu gọn Khi đó, nếu A' > 0, phương

trình có hai nghiệm thực (phân biệt hoặc kép) là

Giữa các nghiệm của phương trình bậc hai (1) ta có định lí thuận

và đảo sau đây của Viết, là trường hợp riêng quan trọng của định lí Viet

'Từ đó suy ra một hệ quả rất thông dụng:

Hệ quả 1) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (1) có một nghiệm bằng 1, va nghiém kia bing © a

3) Nếu œ - b + œ= 0 thi phương trình (1) có một nghiệm băng

©) Tìm m có một nghiệm bằng ba nghiệm kìÌa:

đ) Viết phương trình bậc hai có nghiệm 1A x," va x2, trong đó

¡ nghiệm của phương trình (3)

‘Thay (¢) vào (a) ta có x, = 142" do dé x, = = h

Thay x) x, vào (b) ta được

X?~ 3(§mỶ + 4m ~ 1)X + (3 + 4m)” = 0

§5 PHUONG TRINH BAC BA, BAC BON

5.1 DANG THU GON CUA PHUONG TRINH BAC BA

Phương trình bậc ba một din ¢6 dang tng q

a) ax'+ bx? + ex +d =0(a 20)

đó, thường là Q, R, €

ất bao giờ

trong đó a, bị e, dc KIả

Bang cach chia

"Thay vào (2), ta được:

hay

Ề 2a‘ 4P, ta được phương trình

Dat p= thera “ate ta được phương

Dạng (3) được gọi là dạng thu gon của phương trình bậc ba Người

ta đã chứng mình được rằng một phương trình bậc ba dạng tổng quất

luôn có thể đưa về dạng thu gọn

5.2 CÔNG THỨC CÁCĐANÔ

Nhà toán học người Italia, Cardano Ginolamo, năm 1545 đã tìm ra công thức nghiệm của phương trình bậc ba thu gọn (3) trình bày theo

cách kí hiệu hiện nay là:

42 |8 y9) „||23— J8E„P— 2*Va tan V2 Va‘ 27

trong đó, nếu kí hiệu u„, v, là một cặp giá trị đã biết của hai căn thức

bậc ba trong công thức (thưởng là các giá trị thực) thì ta có nghiệm của

5.3 VE SỐ NGHIỆM THỰC CỦA PHƯƠNG TRÌNH BAC BA

[4p + 274] và gọi là biệt thức của phương trình (3) Ta thu được kết quả sau:

a, Néu A > 0: phương trình (3) có ba nghiệm thực phân biệt, tính

theo công thức (5), trong đó uụ, vị là các giá trị nào đó của các căn bậc ba

trong công thức Cácđanô (4)

b Nếu A = 0: phương trình (3) có ba nghiệm thực, trong đó có một

uy, Nếu A < 0: phương trình (8) có một nghiệm thực y, = u, + vị và hai nghiệm phức liên hợp tính theo công thứ (4)

Xy = Ue + ye 5.4 PHUONG TRINH BAC BON

Dang tổng quát của phương trình bậc bốn là

a'x! + b’x? + e'x® + dx + ¢ = 0, (a #0) qa)

Sau đây là phương pháp giải tổng quát của Luđôvicô Ferari (nhà

toán học người Italia) đưa ra vào giữa thế kỉ XVI

trong đó 2„ là một nghiệm của phương trình (4) nói trên,

Như vậy, về lí thu

được bảng căn thức trong trương hợp tông quát, Tuy nhiên, phương

§6 PHUONG TRINH BAC CAO

PHƯƠNG TRINH PHAN THỨC

6.1 PHƯƠNG TRÌNH TAM THUG

Giải Đặt xÌ = t, ta được phương trình:

6.2 PHƯƠNG TRINH PHAN THUC

Về thực chất cäc phương trình phân thức (tức là các phương trình

hạng là phân thức hữu tỉ) đều đưa được về các phương

1, bậc 2 hoặc bậc cao Chỉ cẩn chú ý các điều

Từ đĩ 9x — 5 =0 (thộ mãn) Để tìm các nghiệm khác, ta

giải phương trình

Voi a ¢ 10, 1, 2}: phương trình có nghiệ

6.2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP RIÊNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRINH BAC CAO

'Ta đã biết các phương trình bậc cao hơn bốn dưới đạng tổng quất không thổ giải được bằng căn thức Vì thế không có phương pháp chung

để giải tất cả các phương trình bậc cao mà phải căn cứ vào từng phương

trình để tìm cách giải thích hợp Người ta đã cố gắng nêu lên một số

phương pháp riêng để giải một số loại phương trình cao,

Vĩ dụ Giải phương trình sau trên trường

yt= 9y) + dy? + 91 y — 18 =0,

Giải 'Ta thấy tổng các hệ số bằng không, vậy phương trình có một nghiêm bảng 1 Dũng sở đô Hooene, chia vé trai của phương trình cho

(ý — 1Ì, tả được phương trình:

2y" — Ty" - 3y +18 =0

Đặt thừa số chung (y - 3)(2y? - 3y - 9) =0

“Tam thức bậc hai có nghiệm là 4 và 3, Vậy phương trình đã cho

có 4 nghiệm là y, = 1, yo = 83 yy= ae

Phương pháp phân tích thành nhân tử để giải phương trình bậc

cao được dùng từ xa xưa Chẳng hạn nhà toán học Pháp Iơne Để,

(ené Deseartes, 1596 ~ 1650) đã giải phương trình:

xt — 4x? — 19x? + 106x — 120 = 0

bằng cách đó Xưa hơn nữa từ thể kỉ XI nhà toán học Ẩn Độ

Bkhasơcara trong luận văn của mình, đã giải phương trình

"Ta thay vé trái của phương trình chỉ chứ

của x nên có thể biến đổi thành một tam thức bắc

ác luỹ thừa bậc e

x" + 2x" — 19x! — 18x” + 42 = (x! + ax? + by? + efx! + ax’ +b) +d Hãng đẳng hai vé, ta duge:

vito (2) hay (8) ta có 9b + e = ~18 => e=~#b ~ 14

“Thay giá trị của e vào (4) và đưa về một vế, ta được:

bể + 13b + (42 — d) = 0

Nếu gần cho d một giá trị nào đó, ta sẽ tính được hai giá trị của b,

từ đó tính được hai giá trị của e, như vậy sẽ có hai phương trình tương

đương với phương trình đã cho gọi là phương trình giải, tiếp đó hai

phương trình trùng phương

Chẳng hạn lấy đ = 49, ta được:

“Từ đó ta được hai phương trình bậc hai

4x? — 3x ~1= 0; 8x*~ 6x - õ = 0

và đo đó ta được nghiệm của phương trình ban đầu là

6.2.4 Phương pháp đổ thị

“Ta có thể biến đổi vế trái của phương trình thành một hàm số quen

thuộc, có thể vẽ được đổ thị, hoặc đặt ẩn phụ để biến thành tìm giao

điểm hai đường cong quen thuộc

Dua thêm vào ẩn phụ thứ hai y

ay

(x-3F +(y-1) =4 @)

Parabol (1) và đường tròn (2) cất nhau tại hai điểm (1,1; 1,2) và

,6) Do đó phương trình đã cho có các nghiệm thực là:

§7 MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO

Phương pháp tổng quát d giải hệ phương trình bậc cao đã được

nghiên cứu trong Đại số œ ip vai lí thuyết các kết thức, biệt thức v.v, Song phương pháp đó thường khá cổng kếnh, phức tạp, mà đối với một

số hệ đặc biệt, ta có thé sử dụng những phương pháp riêng thích hợp

(phương pháp sơ cấp) để giải nhanh, gọn hơn nhiều

2x” + đy) =zˆ £6yz~Ñxz + 15xy + ŠÍx + By +R.=0)

‘Trude hết, ta tìm nghiệm tổng quát của hệ con tuyến tính

thay công thức nghiệm vào phương trình bậc cao và giải Cuối thủ được hai nghiệm của hệ là:

Đặt tx, ta

Giải Nâng hai vé ca (2) lén lug thita n, va coi x", y" nhu nghiém

của phương trình bậc hai:

X'~aX+b"=0

sau đó lấy căn

Đến đây, giải và biện luận phương trình bậc hai,

bậc n của các nghiệm thu được,

by" — py" +aq"=0

Đây là dạng phương trình tam thite (xem 5.1), đặt y" = t và giải tiếp

§8 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

8.1 ĐỊNH NGHĨA ĐỊNH LÍ CƠ BẢN VỀ CAN SO

Ta gọi là phương trình nô tỉ, mọi phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn thức Hay nói khác đi, đó là một phương trình có dang f@) = 0, trong đó f(x) là một hàm số đại số vô tỉ (eó chứa căn thức của biến sổ); x

có thể là một biển (khi đó phương trình có một ẩn); x có thể xem là n

biến với x = Œ, xạ xụ) c Ơ* (khi đó phương trình có n ẩn)

'Ta biết rằng về lí thuyết căn số có định 1ý cơ bản sau đây:

Căn số bậc n của một số phức a €, a z 0 có n giá trị phân biệt,

Moi số thực ấm, ä e R,a < 0, không tổn tại căn thức thực bậc chẵn bất

kỉ, Mọi số thực đương, ä e R, a >0, có hai căn thức bậc chân đối nhau,

tr dưỡng của căn thức được gọi là căn số số học và được kí

Wa Can bac n bất kì của số 0 trên mọi trường đều bằng 0,

U) A>0 (để có nghĩa)

2") XÍA >0 (định nghĩa trong đó A có thể là một số thực bất kì, hoặc một biểu thức tuy ý

ăn số số học)

8.2 CAC ĐỊNH LÍ TƯƠNG ĐƯƠNG CƠ BAN

Trên trường số thực, dựa vào định lí eớ bản về cân số nói trên chứng minh được ngay các định lí sau, dùng làm cơ sở cho việc giải các phương trình vô ti,

Chẳng han ta chứng minh định lí 4 Gid sit x, 1A mot nghiém cba

phitdng trinh da cho, nghia 1a f(xq) 2 0, exo) 2 0 va

AYE (Xo) = Ye(%o)

Nâng cả hai vé lén luy thita bac 2k, ta được f(x,) = g(x¿) nghĩa là xụ

là nghiệm của cả hai hệ của tuyển

Đảo lại, giả sử xạ là nghiệm của ít nhất một hệ của tuyển (do đó

trong trường hợp này cũng thoả mãn ca hé kia), chẳng hạn

f(xu) = gu), [(Xu) =O

) =f@u)), Khi đó, vì f(xu) và g@u) đểu là

n của chúng là có nghĩa, và cân số

Dựa vào các định lí tương đương nói trên, ta có các phương: pháp

giải phương trình 0õ tÌ (nâng lên luỹ thừa, đặt ẩn phụ) sau đây Trên

phải không âm đối với căn bậc lẻ thì không cần điều kiện gì về căn

thức Trên trường số phức, khi áp dụng các phương pháp đó (năng lên

uỹ thừa, đặt ẩn phụ) không cần thêm điểu kiện gì về căn thức

Phương pháp nâng lên luỹ thừa

V¿ dụ 1 Giải phương trình vô tỉ sau trên trường số thực R:

Đối chiếu với các điều kiện (2) và (4) thì (1) có nghiệm x = 5

Ví dụ 3 Giải và biện luận phương trình vô tỉ trên R:

điải Điều kiên để các căn số có nghĩa:

Vi m > 0 nên hai về của (4) đền đương và bình PRƯỚNG iiniiv tact

l[e+= (m+ qhoã mãn điều kiện 4 (): x > m:

Két luận: * Với m 0: nghiệm la Vs 2 0;

|u-1| ure u-2 u-2

Ju-3] ~u+8 —u+3 u-3

Phương trinh 1 2u-6=1

Nghiệm =2 2<u<3 |u=3

Do đó nghiệm của (3) là Vu e [3, 3| tức là Vx sao cho

2sVx+1<3

©4<x+I<9

©S3<x<8

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là ¥x e [3, 8]

Ví dụ 2 Giải và biện luận phương trình

Ta cé A’ = a(4— a), vì u >0, v> 0 nên (5) phai c6 hai nghiệm không

âm Điều này tương đương với

a>0

Peo a>2 hoặc a<0

* Nếu a =0 hoặc a = 4 thì (1) có nghiệm duy nhất x = 0;

* Nếu 3 < a < 4 thì (ð) có hai nghiệm phân biệt không âm.

'Thử lại ta thấy các điều kiện ~n < xụ x¿ < a luôn luôn được thoả

mân với mọi a © [2, 4]

THUC HANH GIAI TOAN CHƯƠNG 6

CHU DIEM 1: PHUONG TRINH BAC NHAT VA TOAN BAC NHAT

~ Nếu m = n thi vx e R là nghiệm,

Khai thác bài tốn:

~ Nếu giữ nguyên ân và các tham số, thay đối phép tộn ta sẽ được

bài tốn sau:

Giải phương trình: mx +n= ng + m mã quá trình giải được thực

hiện như trên

~ Nếu tăng độ "phức tạp” cho các tham số chẳng hạn khơng phải là

m,n ma là một biểu thức nào đĩ chứa m n, chẳng hạn:

Giải phương trình (m'— 1)x— n= (n' — 1) — m cũng sẽ được bài tồn

mà lời giải được thực hiện cũng theo quả trình tương tự như trí

Khai thác bài tốn:

Bài tốn trên thuộc dạng phương trình được gì

phương trình

nhờ quy về nhất bằng các phép rút gọn, quy đồng Vì vậy, nếu ta

thay thế ở 3 vế các biểu thức của x có thể rút gọn được (để giảm bậc của

biến) thì ta cũng có các bài toán mà cách giải tướng tự

V.Vo

“Tổng quát hơn, ta có bài toán sau:

Giải phương trình sau với m, n là các sổ tự nhiên lẻ, m, n > 1,

k là tham số

+(k+l)x+l=0 (3)

xe +x+1

Bài toán số 8 Một đơn vị bộ đội hành quân với vận tốc 6kmh Đi

được một nửa quãng đường, trời mưa do đó vận tốc giảm đi 1km/h

trên nửa quãng đường còn lại, vì vậy đơn vị đến nơi tập kết chậm hơn so với dự định một giờ Tính độ đài quãng đường hành quân

Phân tích:

Gọi quãng đường hành quân là 2x (x > 3, km) Khi đó có thể tính

được thời gian thực đi và so sánh vái thời gian dự định sẽ được phương

trình để tính x

Lời giải:

Goi 2x là quãng đường hành quân (x > 3 km)

“Thời gian đi nửa quãng đường đầu š (h)

“Thời gian đi nửa quãng đường sau 3 (h)

Thời gian dự định đi cả quảng đường

“Theo bài ra ta có phương trình: Š~

36

vidi ra ta có x = 30 (thích hợp)