Giáo trình Đại số sơ cấp và thực hành giải toán: Phần 1

Giáo trình Đại số sơ cấp và thực hành giải toán gồm có 7 chương và được chia thành 2 phần, phần 1 gồm 5 chương như sau: Chương 1 giải bài toán như thế nào, chương 2 các tập hợp số, chương 3 đa thức - phân thức hữu tỉ - biến đổi hữu tỉ, chương 4 căn số và biến đổi vô tỉ, chương 5 hàm số và đồ thị. Mời các bạn cùng tham khảo.

HOÀNG KỲ (Chủ biên) - HOÀNG THANH HÀ

Mục lục

1 Cách giải mật bài toán

1.1, Tìm hiểu sơ bộ để toán

§Ð Các phương pháp suy luận thường gặp uà năng li

khi giải toán

Thực hành giải toán chương 1 “

Bài tập thực hành giải toán chương 1

3.3 Phép toán trong Z

2.3 Quan hệ thứ tự trong Z

§9 Lí thuyết chia hết trong uành Z

3.1 Chia hết và chia có dư

3.9, Ước chung lớn nhất

Thực hành giải toán chương

Bài tập thực hành giải toán chương

3.4 Dinh If Badu (Bezout)

3.5 Sơ đồ Hooene (Horner)

§4 Ước chung lớn nhất của hai đa thức

ịnh nghĩ:

“Thuật toán Ởelit (Euelide)

§6 Nghiệm của đa thức

5,1 Định nghĩa

Số nghiệm và hệ thức giữa các nghiệm

5.3 Nghiệm bị

4 Áp dụng vào bài toán chia hết

5.5 Nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỉ

7.3 Cae dinh li vé phan tich da thức

1.4 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tì

§8 Phân thức hữu ti

8.1 Định nghĩa

8.2 Sự bằng nhau của các p]

8.3, Trường các phân thức hữu tỉ

§9 Phân tích phân thức hữu tỉ một bị

don giản

ing các phân thức

1.8, Các hệ quả của các tính chị

1.9 Quy đồng bậc của các căn

§2 Các pháp biển đổi uô tỉ thường gặp

1 Phép luge" căn thức của tí

3 Phép giản lược căn thức của thương Ning một căn thức lên luỹ thừa

4 Luật phân phối:

5 Nhân, chia các căn thức có chỉ số bậc khác nhau

6 Đa thức của một căn thức

7 Công thức biến đổi căn bậc hai "phức tạp)

§3 Nhân tử liên hợp 3.1 Định nghĩa 3.2, Tim nhân tử liên hợp

Ví dụ và thực hành

Thực hành gì

Bài lập đại số sơ cấp

Bài tập thực hành giải toán

| 1.8, Phân loại các hàm số sơ

tác phép biển đổi đồ thị thường dừng

1 Phép tịnh tiến song song với trục tung Phép tịnh tiến song song với trục hoành

Phép lấy đối xứng qua trục toạ độ,

3

§ð* Hai quan điểm nghiên cứu uễ đa thức uà phân thức hữu tỉ

5.1 Quan diém dais

5.2 Quan diém ham số

5.3 Kiến thức chuẩn bị

5.4, Định lí

5.5, Cae hé qu

5.6 Su thé hién hai quan diém

Thực hành giải toán chương

Bai tap dai s6 so cap

Bai tập thực hành giải toán

Chương 6 Phương trình - hệ phương trình

§1 Các khái niệm

1,1 Phương trìn

1.3 Phân loại phương trình

1.3 Phương trình chứa tham

§2 Sự tương đương giữa các phương trình, hệ phương trình, tuyển

Phuong trinh dang f(x) =

Phuong trinh dang f(x]

Phuong trinh bac ba, bậc bởn

¿Phương trình bậc cao Phương trình phân thức

Một số hệ phương trình đại số bậc cao

1.1 Hệ bậc eao có phương trình tuyển tính

8.1 Định nghĩa Định lí cơ bản về căn

8.2 Các định lí tương đương cơ bản

Thực hành giải toán chương

3.4 Bất đẳng thức Beenuli (Bernoulli)

§9 Các phương pháp chứng mảnh: bất đẳng thức

3.1, Phương pháp dựa vào định nghĩa

3.3 Phương pháp biến đổi tương đương

3.3 Phương pháp quy nạp toán học

hệ bất phương trình bậc cao

8.1 Bất phương trình bac cao một

8.3 Một số hệ bất phương trình bậc cao đơn giản

§9 Bất phương trình 0õ tỉ

inh nghĩa

le định lí về biến đổi tương đương

Phương pháp nâng lên luỹ thừa

9.4 Phương pháp đặt ẩn số phụ

Thực hành giải toán chương 7

Bài tập đại số sơ cấp

Bài tập thực hành giải toản

Đáp số và hướng dẫn giải bài tập

Bảng tra cứu thuật ngữ

Tài liệu tham khảo

Mở dầu

Giáo trình này được viết theo quyết định của Bộ Giáo dục và Dao tạo, chủ yếu dùng cho sinh viên các trường Cao đẳng Sư phạm (CĐ8)), đồng thời có thể dùng cho học viên các trường, lớp đào tạo bồi dưỡng hoặc

chuẩn hoá giáo viên THCS (các hình thức chính quy hoặc không chính

quy, tập trung hoặc tự học) ~ mà sau đây sẽ gọi chung là "sinh vi

Trong chương trình mới, môn *Đại số sơ cấp” (theo nghĩa thường hiểu gồm có các phép biến đổi đại số, các hàm sổ sơ cấp, các phương

trình, bất đẳng thức, bất phương trình và các hệ phương trình) được kết

hợp với một phần môn “Thực hành giải Toán” thành môn “Đại số sơ cấp

và thực hành giải Toán”, song song với môn “Hình học sơ cấp và thực hành giải Toán”, Do vi ð trình gồm bảy chướng:

Chương 1 (giải bài toán như thế nào) trình bày một số lí luận

chung về thực hành giải toán (cách giải một bài toán) và

pháp suy luận và năng lực tư duy toán học sau đó là một số bài tập ấp

dụng trong hai chủ điểm thực hành

Chương 2 (các tập hợp sổ) thực chất nhằm hướng dẫn thực hành giải toán Số học một là nội dung quan trọng trong chương trình THCS

Vi thế, phẩn lí thuyết chỉ nhằm hệ thống hoá các kiến thức về xây dung

tập hợp số tự nhiên N, mở rộng tập N thành tập số nguyên Z2, mở rộng tập Z thành tập số hữu tỉ Q mở rộng tập Q thành t thực

phép toán và các quan hệ trên các tập số đó Nội dung chính của chương

này là các chủ điểm trong phần thực hành giải toán về số nguy

tinh chia hết, UCLN, BCNN, phương trình nguyên

Chương 3 (đa thức phân thức hữu tỉ v:

việc xây dựng vành đa thức một ẩn và nhiều

hữu tỉ, các phép toàn trên chúng (chia đa thức phân tích thành nhân

tử, nghiệm, UCLN, BƠNN, hằng đẳng thức phân tích phan thite ), trong đó ró những kiến thức được hệ thống hoá kiến thức, phương pháp đặc thù của Đại số sơ cấp,

Chiténg 4 (căn số và các phép biển đổi vô t) là một phần quan trọng của các phép biển đổi đại số Hai chương 3 và 4 hợp thành phần đầu tiên của môn Đại số sơ cấp theo nghĩa cổ điển là *Các phép biển đổi Dai so”

Chuang 5 (ham số và đỗ thị) dành cho việc trình bày các hàm số sơ

ïp và các phép biến đổi sơ cấp các đổ thị, Chương này tạo thành phần thứ hai trong chương trình Đại số sơ cấp cũ

hưởng 6 (phương trình, hệ phương trình) dành cho lí thuyết về

các phương trình, hệ và tuyển phương trình 8au khi trình bày về sự

tương đương của các phương trình, hệ phương trình, trong giáo trình đã

dạng phương trình và hệ phương trình (bậc nhất, bậc hai, bậc cao, gia tri tuyệt đối, vô tỉ )

Chương 7 (bất đẳng thức, bất phương trình và hệ bất phương trình)

là một trong những chương quan trọng của giáo trình Ngoài việc trình bày các bất đẳng thức quan trọng và các phương phấp thường dùng chứng minh các bất đẳng thức, trong chương này cũng trình bày các vấn

để về bất phương trình tương tự như đối với phương trình

Chương 6 và chương 7 lập thành phần thứ ba của môn Đại số sơ

ấp trước đây, và đều là những chương mang nhiều tính đặc thù của môn Đại số sơ cấp

2 Thue hanh giai toan

{các chủ điểm)

3, Bài tập

~ Bãi tập Đại số sơ cấp,

- Bãi tấp thực hành giải toàn

~ Bài tập lớn

mỗi chương lại có một bài tập lớn, có tính chất tập đượt nghiên cứu, yêu

cẩu sinh viên phải đọc kĩ tài liệu tham khảo, hệ thống hoá, phân tích, tổng hợp, để xuất kiến nghị, đặc biệt chủ ý đến tính khoa học, tỉnh sự

phạm và tính thực tiễn

Trong khâu *1" (kiến thức), mỗi chương chia thành nhiều tiết (§), mỗi tiết chia thành nhiều điểm được đãnh số bởi hai chữ sở nếu trong cùng chương, bởi ba chữ số nếu khác chương Chẳng hạn 3.1 nghĩ

điểm 1 của §3, con 3.3.1 nghĩa là điểm 1,§3, chương 3

Do dae điểm của bộ môn, để đảm bảo tính hệ thống của giáo trình nên một số phần của nội dung có tính chất ôn tập những kiến thức đã

học trong những môn khác, vì vậy có thể để sinh viên tự đọc Các chứng minh cé thé tim thấy trong các giáo trình khác được in chữ nhỏ để tiện

ứu, diéu đó được ghi rõ trong phản tổng kết từng chương (hướng

sử dụng giáo trình của chướng)

Các kiến thức tổi thiểu về nhóm, vành, trường và về

xem như đã biết trong phần nhập môn của các gì

ý phức được trình khác nên

o trình xếp theo thứ tự A, B, €

Sinh viên có thể sử dụng thêm các sách từ [1] đến [4] và các giáo

trình [8], [9] trong phần "tài liệu tham khảo” ở cuối sách để mở rộng

kiến thức, chuẩn bị sinh hoạt xeminar, thuyết trình, thu hoạch, làm bài tập lồn, tiểu luận, v

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Mạnh Quý vi

tham gia Dự ân Đào tạo giáo viên THCS đã tạo điều kiện thuận lợi về tài

liệu, trao đổi, thảo luận trong quá trình viết giáo trình: xin chân thành

cảm un G§ Đoàn Quỳnh và T§ Nguyễn Duy Thuận (Trường Đại học

Sư phạm Hà Nội), TS Trin Phương Dung (Nhà xuất bản Giáo dục), Biên tập viên Nguy m Trung (Nhà xuất bản Đại học Sư phạm) đã đọc kĩ bản thảo và góp nhiều ý kiến quý báu; cảm ơn NGƯT Hoàng Trọng Thái (Trường Cao đẳng Sư phạm Hà Nội), PG§8.TS Nguyễn Quý Dy, PGS.TS

ng (Đại học Vinh), đã giúp đỡ tải liệu, trao đổi khoa học; cảm

on ThS Hé Thanh Quỳnh (Đại học Hồng Đức) đã góp ý chính xác hoá một số

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG GIÁO TRÌNH

t Map hap, tap

ñ,^: ——_ Giao của hai tập, hội của hai mệnh để

Uve Hợp của hai tập, tuyển của hai mệnh để

N,~z — Hiệu của hai tập

= Phép kếo theo, phương trình hệ quả

« Phép tương đương (khí và chỉ khi), phương trình

tương đương Kết thúc chứng minh

CÁC CHỮ VIẾT TẮT

ĐPCM : Điều phải chứng minh

CDSP, THCS : Cao đẳng Sư phạm, Trung học cơ sở

ĐSSG, THGT : Đại số sơ cấp, Thực hành gi

Toán

thực tế, các bài toán mình hoạ, các bài toán có tính nghiên cứu,

thoạt nhìn thì khó có thể nói bài toán đang xét là thuộc “trình độ

Chẳng hạn hai bài toán

chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của hai số nguyên tổ” (chẳng hạn 4= 3 + 2,

6=3+.8=õ + 3 ) và "chứng mình rằng mỗi số lẻ lớn hơn hay bằng 8

1742 (trong một bức thư gữi cho nhị

chưa tìm được lời giải, dù rằng nhờ việc nghiên cứu để giải bài toán đó

mà các nhà toán học đã xây dựng được nhiều lí thuyết rất sâu sắc và

giải quyết được rất nhiều vấn để khoa học khác

toán học Euler) mà đến nay vẫn

kinh nghiệm sư phạm của

§1 CÁCH GIẢI MỘT BÀI TOÁN

“Thông thường, để giải một bài toán, cần qua các công đoạn” sử

tìm hiểu sơ bộ để bài, khai thác để bài, tìm tôi lời giải, trình bay lời ø đánh giá lời giải, khai thác lời giải, để xuất eác bài toán mới Tất nhiên không phải bất kì bài toán nào cũng phải trải qua đủ các công doạn đó,

song chúng giúp ích rất nhiều cho việc giải các bài toán, đổi vái

những bài được chọn lọc điển hình thì nên phân tích kĩ theo trình tự đó

để rên luyện các thao tác tự du

1.1 TÌM HIỂU SƠ BỘ BE TOÁN

Khi chọn bài toán, không nên chọn bài khó quá, mà cũng không nên chọn bài dễ quá Cẩn trình bày bài toán sao cho tự nhiên và gợi được hứng thú eho học sinh, khiến cho học sinh thích giải bài toán đó, và

niểu gợi được sự “tò mì 1a hoe sinh thì càng hay,

Trước hết, phải yêu cầu học sinh đọc kĩ đề toán để thấy đượe "toàn cảnh” của bài toán, càng sáng sửa, rã rằng càng hay, không vội đi vào

chỉ tiết, nhất là các chỉ tiết rắc rổi

Cần cố gắng "khoanh vùng" phạm vi của để toán: bài toán nay

n thức nào? sẽ cẩn có những kiến thức, kĩ năng gì? nếu

giải được thi sẽ giải quyết được vấn để gì

cẩn tìm và cái chưa biết là gì? (

? mổi tương quan giữa ái

e điều kiện ràng buộc) Nếu là bài toán

chứng minh thi cần nêu rõ các giả thiết, kết luận

Nếu bài toán cần có hình vẽ thì phải vẽ hình Đổi với các bài toán

dại số

học, đó có thể là các đổ thị, cũng có khi là các sơ đỗ, đoạn

thắng: có thể là các hình hình học (ching hạn các bài toán về

hoặc các bài toàn hình học giải bằng phương p

thể sử dụng các nét đậm, nét nhạt, nét đứt, hoặc đùng màu trong hình

vẽ, Cảm nhận trực giáo trên hình vẽ có thể giúp tà nắm bắt được dễ dàng hơn nội dung của đề toán

p đại sổ) Nếu cần, có

Đổi với nhiều để toán, ta phải đưa vào một é

hiệu thích hợp có thể giúp ta hiểu rã đề toán nhanh chóng hơn

hiệu dùng để ghỉ các đối tượng và quan hệ giữa chúng trong bài toán (nhất là các bài toán đại số

nhìn, đễ nhớ,

Khi chọn các kí hiệu, cẩn lưu ý sao cho không có kí hiệu nào dùng để chỉ hai đối tượng khác nhau và các kí hiệu cùng kiểu dùng để chỉ các đối tượng cùng loại Chẳng han các ăn được kí hiệu bởi x, y

tham số được kí hiệu bởi a, b c d„, a., ; kí hiệu (1) £ (2), (1) ~ (3) để chỉ sự tương đương của phương trình (b phương trình hệ phương trình hệ bất phương trình) (1) và (2)

moi bài toán,

nghiệm, chúng giúp cho việc tìm tôi lời giải dược đúng hướng hơn, nhanh hơn, thuận lợi hơn và nhiều khủ năng đẫn tới thành công hơn Tuy từng trường hợp cụ thể mã vận dụng các kinh nghiệm đó, càng linh

hoạt, càng nhuần nhuyễn thì càng để tối thành công hơn; và càng nhiều

thành công, cảng giải được nhiều bài toán thì chúng căng trẻ thành "của minh”, thành những "kinh nghiệm sống” chứ không phải chỉ

Như đã nói trong điểm 1.1, cả

được khoanh càng hẹp càng tốt, giúp ta nhận dang được bài toán thuộc

Khi đã nhận đạng, đã phân loại được bài toán thì trong óc phải

tổ chức các kiến thức đã hạc, đã biết từ trước; dung mot loạt yếu tố cần thiết để giải loại

là "tự phát" nhất là khi đã quen với việc

n “khonnh vùng” bài toán, và vũng

loại nà

nhanh chóng huy

phải nhớ lại để eh i

toán nây, Quá trình đó

fing han, gap bai to:

tứ” thì trong óe lập tức hiện lên rất nhanh một loạt phương pháp có thể

sử dụng (nhóm các hạng tứ, đặt hạng tử chung, thêm bút một vài hạng

tử, tim nghiệm rồi chia liên tiếp, đặt ẩn phụ, sử dụng hãng đẳng thức, ) Mới đầu, cĩ thể phải nhẩm lại các kiến thức và phương pháp

đĩ để chuẩn bị, nhưng khi đã quen giải tốn thì quá trình đĩ cĩ thể được tái hiện một cách "vơ thứt

1.3.2 Phân tích bài tốn để đưa về những bải tộn đơn giản hơn

Một bài ốn, nhất là bài tốn tổng hợp, bài tốn khĩ thưởng được

xây dựng từ những bài tốn đơn giản hơn Cần thử xem cĩ thể phân tích bài tốn dang xét thành những bài tốn đơn giản hơn khơng, rồi giải từng bài tốn nhỏ ấy, sau đĩ kết hợp chúng lại để cĩ lời giải của bài tốn

đã cho Chẳng hạn, để chứng mình rằng “nếu p là số nguyên tổ > ư thì p°

~ 1 chia hết cho 24, ta cĩ thể tách thành hai bài toan; a) (p*— 1) : 8,

bị (pš— 1) š 3 Khi đĩ để giải bài tốn a) ta nhận xét rằng p (p+ Wp 1)

là tích của hai sỡ chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8; và bài tốn b) giải được

do nhận xét rằng số nguyên tố p >5 cĩ dạng p= 8k + 1 nên (p°~ 1) : 8

1.3.3, Liên hệ và sử dụng các bài tốn đã giải

“Thật ra khĩ mã đặt ra được một bài tốn hồn tồn mị

giống hất kì bài tốn nào, hoặc khơng liên quan gì với bài tốn

kháe (mà lại chỉ sử dụng các kiến thức trong phạm vi chương trình) Vị

thể, khi gập một bài tốn, ta gắng nhớ lại xem đã gặp một bài tốn tương tự hoặc gản giống với tốn cẩn giải chưa, và nhớ lại con đường đi đến lời giải bài tốn đã biết Điều đĩ sẽ giúp ta rút ngắn việc tìm tơi lời giải của bài tốn “mới” này và tạo thêm rất nhiều thuận lại

„ khơng

Chẳng hạn, để giải bài tốn: "Hai 6ơ dì từ A nà B trên đường tảnh

đai của thành phố — là một đường trịn tới bán kính lR ~ nếu đỉ cùng chiểu thì sau œ giờ sẽ gặp nhau, nếu đĩ ngược chiếu thì sau b giờ sẽ gặp

dhau, Tìm uận te tia moi

va khoảng cách của chúng”, (trong đỏ a, b,

R được cho bằng số) Ta nhớ lại rằng đã gặp bài tốn hai xe ơtơ (người di

hộ, đí xe đạp, hai thuy my hai đồn tẩu, ) đi cùng chiêu, đi ngượ

chiểu, do đĩ bài tồn này đưa về hai bài tốn quen biết, chỉ với một chỉ tiết

ƒ vịng cộng thêm với quảng đường mà xe kia đã

đi được; và "khoảng cách" AB sẽ là hai cung (cung nhỏ và cung lớn trên đường tròn), nếu để toán không nói rõ là “khoảng cách gần nhất" (tương

tự bài toán kinh điển về tính thời gian để hai kim đồng hồ trùng nhau)

Như vậy khi nhớ được một hay một số bài toán tưởng tự bài toán đang xét, có thế về dạng toán, về phương pháp, về vấn để đặt ra, về cải chưa biết phải tìm, ta đã lợi dụng được những điểm tương đồng về

phương pháp giải, về kinh nghiệm, về kết quả,

quyết trong trường hợp tổng quát Việc này cũng là nội dung của phương

pháp “đặc biệt hoá” (2), nhưng ở đây được sử dụng để gợi ý (chứ không phải để kiểm nghiệm), để tìm tôi lời giải và phương phấp đi tới kết quả Chẳng hạn để tính tổng

toa

« Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lí nào có

thể sử dụng ở đây được không?

® Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài

có cùng ẩn hay có ẩn tương tự

ñ gặp bài toán này ở

quen thuộc

« Day là một bài toán liên quan mã bạn đã có lần giải rồi Gó thể

sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Có thể sử dụng phương pháp của nó không? Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thï mới sử dụng được không?

* Có thể phát biểu bài toán một cách khác không?

« Nếu bạn vẫn chưa giải được bài toán đã cho thì hãy thử giải một bài toán liên quan mâ dễ hơn được không? Một bài toán tổng quát hơn?

ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi như thể nào?

Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một số yếu tố có ích không? Có thể nghĩ

ra những dữ kiện khác giúp bạn xác định được ẩn không? Có thể thay

In hoặc các dữ kiện (hoặc ea hai) sao cho các ẩn mới và các đữ kiên mới gắn nhau hơn không?

* Bạn đã sử dụng hết mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết các quan hệ chưa? Đã để ÿ đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

1.4 TRÌNH BẢY LỜI GIẢI

Khi đã tìm được cách giải rồi thi việc trình bày lời giải không còn

khó khăn nữa, song tính chất hai công việc có khác nhau Việc trình bày lồi giải là văn bàn để đánh giá kết quả hoạt động giải toán

Khi dang tim toi lời giải, ta có thể mò mẫn, dự đoán (1.3:4)

thể dùng cách lập luận tạm thời cảm tính Nhưng khi trình bày lời gị thì chỉ được đùng những lí luận chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chỉ

tiết, Phải chú ý đến trình tự các chỉ tiết, đến tính chính xác của từng chỉ tiết, đến mối liên hệ giữa chi trong từng đoạn é

trong toàn bộ lời giải Không có chỉ tiết nào "bỗng nhiền” xuất hiện mà không căn cứ vào những kiến thức đã học hoặc những chỉ tiết mà tà trình bây trước đó,

gon, ta lai thường dùng phương pháp tổng hợp (thường gọi là

lên" — sẽ được trình bày kĩ hơn trong §2) phần tích dị Lời giải phải dược trình bay gọn găng, mạch lạc, sáng súa, dễ dục,

1:5 KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ LỠI GIẢI, KHAI THẮC BÀI TOÁN

Công đoạn cuối cùng này cũng cẩn thiết v

giúp ta tích luỹ thêm kinh nghiệm cho những bài toán kháe, Hơn n

việc nhìn nhận lại toàn bộ cách giải có thể giúp tì phát hiện dug

giải khác tốt hơn, ngắn gọn hn, hay hơn hoà

nhìn lại toàn hộ

mới, mà bài toán vừa xét chỉ là trường hợp đặc biệt, Công đo

được gọi là khai thác hài toán Có thể khai thác theo

i cbr

h hơn Ngoài ra, giải nhiều khi gợi ý cho ta tìm được những bài toán

© Hướng 1: Phát biểu bài toán tương tự, bài toán này có thể

được không?

« Hướng 3: Khái quật hoá, có thể phát biểu bài taán tổng quất được

không? Bài toán tổng dì cö còn đúng nữa không? Trải lại với khái

quất hoá là đặc biệt hoá (xem §2) luôn luôn đưa đến kết quả đúng, có

Ví dụ 1: Từ bài toán “chứng mình rằng tích hai số tự nhiên liên

tiếp chia hết cho 9", đưa đến

Bai toán tương tự 1: Chứng mình rằng tích 3 số tự nhiên liên tí

chia hết cho 3

Bài tuần tưởng tự 2: Chứng mình rằng tích của 4 số tự nhiên liên

n

tiếp chia hết cho 4

Vĩ dụ 9 Từ bài toản “Chứng mình rằng tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3" có thể khải quát thành

Bài toán khái quát 1: TÍch hai số nguyễn liên tiếp chúa hết cho 3 (đúng)

Bài toán khái quát 3: 'Tích của n sổ nguyên liên tiếp chia hết cho n (đúng) Bài loán đặc biệt hoá: Tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 (mạnh hơn)

Chú ý rằng bài toán khái quát có thể không đúng Chẳng hạn bài toán “nếu số nguyên tố p > õ thi pŠ — 1 chia hết cho 24” không đúng khi

p là số nguyên tố bất kì

Vĩ dự 3 Xuất phát từ bài toán: “Tính biểu thức

A= (xt y= (ey

(học sinh có thể tính được A = 4xy) Từ đó có thể lặp được các bài toán

mới theo hướng 3 và 4 nói trên, đó là:

Chứng mình rằng nếu tổng x + y không đổi thì tích xy lồn nhất

(khi (x- y)? nhỏ nhất) khí x = y

Chứng minh rằng nếu x > 0, y > 0 và tích xy không đổi thì tổng x + y

lớn nhất (khi (x ~ y)? nhỏ nhất) khi x = y

Bang cach ap dụng đẳng thức trên, có thể đưa bài toán “tìm hai số

biết tổng (hiệu) và tích của chúng”

Hai bài toán sau đây (cùng với các bài trong chủ điểm 1 phần

thực hành giải toán) là các ví dụ phân tích các “công đoạn” của quá

trình giải toân

Ví dụ 4 Tìm hai số biết rằng hiệu của chúng bằng 312 và nếu viết

thêm chữ số 5 vào sau sổ bị trừ thì được một số lớn hơn số trừ là 36

Giải (gợi ý) Đây là loại toán "tìm sổ", mà chủ yếu là loại toán về

“vách vị Mấu chốt của bài toán là: nếu thêm chữ số 5 vào sau mat

số thì số đó sẽ tăng gấp 10 lần cộng thêm với 5 (vì chữ số hàng đơn vị cũ thành chữ số hàng chục mới, chữ số hàng chục cũ trở thành chữ số hàng

tram mới ) Do đó, nếu gọi x và y là hai sổ phải tìm thì ta được hệ phương trình:

x-y=312 toy +5

6

Giải hệ đó, ta được x = 349, y = 37 Thử lại thấy đúng.

Khai thắc:

19 Có thể thay các dữ kiện 319, 96 ö bởi các số a, b, e, với điều kign a, b> 0,0 <¢ <9, (n + b—c) chia hét cho 9

2°/ C6 thé thay “hiệu” bởi “tổng”, khi đó hai số phải tìm có vai trỏ

bình đẳng, chỉ cẩn nói "số này”, kia”, và các số đã cho a, b, e thoả

mãn diều kiện a, b >0, 0 <e< 9, (a +b — e) chia hết cho 11

Giải Công đoạn 1, 3, 3 4 (phân tích tìm tôi lồi giải và giản Đây

là loại bài toần về vòi nước, quan hệ giữa lưu lượng và thời gian Theo

để bài, có thể sắp xếp các dữ kiện như sau:

+ thời gian vôi 1 chảy đầy bể (1 bể) x(x>0)

+ lượng nước vòi 1 chảy trong Ì giờ =

+ thời gian vòi 2 chảy đầy bể i y

+ lượng nước vôi 2 chảy trong 1 giờ đầu

+ hai vòi cùng chảy trong 8 giỏ

Giải hé nay ta duge x

Khai thác bài toán:

1) Có thể giải các bài toán “tương bự" cùng loại, như bài toán về

năng suất lao động của hai tổ sản xuất v.v

2) Khi giải hệ phương trình, nên xem Ì„ Ì là ẩn để các phép tính

xy,

được đơn giản

Chú ÿ: Trong thực hành có thể ghép hai công đoạn 1 và 2 thành

“phân tích”, công đoạn 3 và 4 thành “giải” (như trong các bài toán sẽ

trình bày trong giáo trình)

§2 CÁC PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN THƯỜNG GẶP

VÀ NĂNG LỰC TƯ DUY CẦN CÓ KHI GIẢI TOÁN

Quy nạp không hoàn toàn là quy nạp mà kết l tổng quát được

khẳng định từ một số trường hợp eụ thể Do đó, kết luận của phép quy Đập không hoàn toàn có thể đúng, có thé sai, có thể chưa biết đúng sai

+1, 42+ 1, đếu không cho 8 với mọi n >1,

Ví đụ 1 Từ nhận xét 1° + 1,32 + 1,3

hịa hết cho 3 ta kết luận nẺ + 1 không chia

9c N, Kết luận của phép quy nạp không hoàn toàn này là đúng (có

thê chứng mình trực tiếp hoặc bằng phép quy nạp hoàn toàn như sẽ

nói dưới đây),

+ 18, ta suy ra (quy nạp không hoàn toàn) rằng “mỗi số lẻ lớn hơn 9

déu là tổng của ba số nguyên tổ” Kết luận nà

đúng hay sai (bài toán Gônbách từ 1743)

2

điến nay vẫn chưa biết là

Quy nạp hoàn toàn là phếp quy nạp mà kết luận chung được khẳng

định cho tất cả các trường hợp được xét bằng một chứng mình chật chế

toán học đưởi đây) hoặc bằng cách thử rác trường hợp (nếu có thể thử được)

(bằng phương pháp quy

tất Giả sử A(n) là một khẳng định đổi vải số tự nhiên n Để chứng minh ring A(n) đúng với mọi n € N, ta sử dụng phương phâp quy nạp

toán học theo n, gam hai bước như sau:

1 thì AO@) đúng,

b) Giả sử A(n) đã đúng với n = k - 1, chứng minh rằng A(n) đúng

Với n = k (hoặc giả sử An) đã đúng với n = k, chứng minh rằng A(n)

đúng với n = k # 1), Từ đó suy ra rằng An) đúng với mọi n © N

Vi du 4 Chứng mình rằng tổng của n số tự nhiên đầu tiên bằng

8,Z1+9++k*+(k+1)= Mh +(k*+ 1)

"

tức là mệnh đề cũng đúng với ñ= k+ 1

Vậy mệnh để đúng với mại n & N

Chủ ý: Với bài toán này có thể chứng mình trực tiếp bằng cách

viết tổng 8, theo thứ tự ngược lại rồi công hai tổng vế với vế ta được

28, = nín* 1)

Ngược lại với phép quy nạp là phép điễn địch, quy nạp và diễn dịch đối lập của một quá trình tư duy thống nhất, Cơ sở của phép

diễn dịch là quy tác lôgie sau day; Nếu biết rằng thuộc tính P thuộc về

(hay không thuộc về) mỗi đối tượng hợp thành lớp đã cho thì thuộc tính

đó cũng sẽ thuộc về (hay không thuộc về) mọi đối tượng cá thể ki

khẳng định rằng “mỗi số chân đều phân tích được thành tổng hai số lê",

đó là phép quy nạp Khẳng định đó có thể chứng mình trực tiếp hoặc

bằng phương pháp quy nạp toán học (bạn đọc tự thực hiện) Bây giỡ xét

số 3006 Vì 2006 là một số chân nên nó phản tích được thành tổng hai

103 + 3 = Do li: phép điễn dịch

Phép diễn dịch, luận ba đoạn

toán học se xét đưui đầy

le chang han 2006

.„ là một loại phương phap suy dién

2.2 PHƯƠNG PHÁP SUY DIỄN

Suy diện là phương pháp phố dụng của quá trình giải toán, được sử dụng thường xu ong moi bài toán, mọi

nói "suy điễn là đậe trưng của suy là

peti Phương pháp này

uy luận toán học Có thể

n toán học” (đến nỗi có câu nói vui

nhà toán học là suy diễn”),

hủ yếu dựa trên các tính chất của phép kéo theo (ki higu la =) trong logie, được định nghĩa bởi bảng chân lí sau

“Bệnh nghề ngh

trong dé A BIA edie ménh dé da cho, A => Bla ménh dé “A kéo theo BY

(hoặc "A suy ra B" hoặc * nếu A thì B” hoặc "A đủ để có B7; 1 và 0 là để

A Ay => Ags 0 9 Ayo 9 Ay thi Ay =

Quy tắc này thường được gọi là quy

ác suy diễn liên tigp

Ví dự 6 Một số cô tổng các chữ số chia hết cho # thi chia hét cho 3

là một đoạn trích trong lời giải của một bài toán:

{a> b> 0) => (a> b" > 0) > (yam > Sh 30)

“Trong ví dụ 6 và 7, tà đã dùng quy tắc "luận bà đoạn” trong ví dụ

y lùi giải của quy tắc

8 ta đã dùng quy tắc suy diễn liên tiếp, Bạn dọc có thể

) và chỉ ra các

một bài toán bất kì (đại số, số học, hình họi

suy diễn đã được sử dụng như thế nào Thông thường trong quá trình

tục các quy tắc suy diễn một cách “lăng le",

Ta nhắc lại rằng hai mệnh để A, l được gọi là fương đương, kí hiệu

boi A B (hoae A= B) néu A => B va B => A, Noi khác đi, nếu A và B

Giá sử A B là các mệnh để đã cho Nếu A => B là mệnh để thuận

thì B => A được gọi là mệnh để đđo, A =+ B là mệnh để phản,

Đỗ là cơ sở của một phướng pháp suy luận toán học: phương pháp

phản c é ° 4

phản chững; Để chứng mình mệnh để A =: một loạt suy ảng l3 sai và sau

các quy tắc duy diễn nói

ộ luận trung gian (sử dụng liên tí

trên) ta d rên) ta đi tối A sai, như vậy, phép chứng minh dã được thực hiện it ép chứng minh dã

củn một bất đẳng thức với cùng một số dương thì bất đẳng thức không

đổi chiều”, tà được:

2.4 PHAN TICH VA TONG HOP

Để phát triển trí tuệ cho học sinh, cẩn coi trọng việc rèn luyện cho học sinh năng lực phân tích và tổng hợp

tuy đó là những thao tác trấi ngược n

tố của bài toán đê tìm ra lời

giải Sau khi tìm được lời giải của các bài toán bộ phân, phải fing hap

lại để được lồi giải của œ n đang xét Thông thường, khi tìm tài

lùi giải, ta đùng phương pháp phđn tich nhiều hơn, nhưng khi trình bày

lời giải, tạ dùng phương pháp tổng hợp cho ngân gọn, dù đôi khi có vẻ

thiểu tự nhiên, Các kiến thức trong sách giáo khoa thường được trình

bày theo phương pháp tổng hợp để

chứa tập hợp ban đầu làm tập con Nhờ tổng quát hố, cĩ thể để xuất được những giả thuyết, những dự đốn Tổng quát hố một bài tốn cĩ thể đưa tới một bài tốn rộng hơn (cĩ thể đúng hoặc khơng đúng (hoặc

khơng giải được) Cĩ khi tổng quất hoa mot bai tốn lại giúp ta tìm t lồi giải thuận lợi hơn, đễ đăng hơn đổi với bài tỗn đã cho Tổng quát

hố cịn dược gọi là khái quát hố

Ngược lại với tơng quát hố là đặc biết hố, Đĩ là suy luận chu:

từ việc khảo sắt một tấp hợp sang việc kỉ p hợp

ban đầu Đặc biệt hố cĩ tác dụng để kiểm nghiệm lại kết quả trong

những trưởng hợp riêng hoặc để tìm ra những kết quả khả (thường sâu

sắc hơn) Trong việc

'Tổng quát hố và đặc biệt hố cũng là hai mặt đối lập

trình tư duy thống nhất

một quá

Ví dụ 11 Sau khi giải được các phương trình bậc hai, ta cĩ thể

tổng quát hố bằng cách xét các phương trình tam thức dang:

Xét hai đối tượng X, Y, trong đĩ X cĩ các đấu hiệu a, b, e, d, cơn Y

cĩ các dấu hiệu a, b, ¢, ta dự đốn rằng Y cũng cĩ đấu hiệu đ và nĩi rằng

“tương tự, ta thấy " Vậy nếu từ hai đối tượng giống nhau ở một số đấu hiệu ta dự đốn rằng hai đối tượng đĩ cũng giống nhau ở dấu hiệu khác

thì suy luận ấy được gọi là phép tương tự hộ Khi đĩ kết luận rút ra từ

suy luận tương tự chỉ là một giả thuyết một dự đốn, cĩ thế đúng, cĩ thể sai, nhưng nĩ gĩp phẩn tìm tỏi cái mới Trong hoạt động giải tồn dụng suy luận tưởng tự để liên hệ bài tốn cần giải vải bài tốn đã g

thể giúp ta nhanh chóng tìm ra lời giải Trong việc trình bày lời giải để tránh việc lập đi lập lại dài dòng không cẩn thiết, khi gập trưởng hợp trình tự lôgic tương tự và không có gì mới khác thì ta viết gọn là "tương tự như trên ta có ”, hoặc "chứng minh tương tự tạ được ”

(ac + bd)® < (a2 + £2(b + đ9 (đpem)

Chú ÿ: Để nâng cao độ tỉn e các kết luận bằng phương pháp tương tự,

ñ lưu ý những diểm sau đây:

n cố uắng xác lập càng nhiều càng tốt các dấu hiệu chung cho

các đổi tượng được so sinh

„ °› Cần chọn sao cho các dấu hiệu chung của các đối tượng dược so sánh là điểm hình nhất đổi với các đổi tượng đó Nói khác đi, các đấu hiệu chung của các đổi tượng so sánh cẩn được liên hệ càng mật thiết

# tốt đối với các thuộc tỉnh khác của các đối tượng đang xét

3Ÿ- Cần chọn sao cho các dấu hiệu chung xác lập giữa các đối tượng dude so sinh 1a cing cing #iểu càng tốt với dấu hiệu đợc chuyển từ đổi tượng này sang đối tượng kỉa, tức là với đấu hiệu mà kết luận bằng tương tự đã xác nhận là vốn có của đối tượng này hay đối tượng khác,

4” Cần cố gắng sao cho các dấu hiệu chung của các đối tượng được

so sánh là đặc trưng, riêng biệt đối với chúng (trong mọi trường hợp, là những đấu hiệu thuộc về một nhóm đối tượng càng hẹp cảng hay)

27 TRUU TUQNG HOA, CU THỂ HOÁ

Cùng với tính chính xác, tính lôgïe, người ta xem khả năng trừu tượng hoá là một trong những mật mạnh nhất của Toán học Ngay từ khi còn hé, trẻ em đã được biết rằng số có thể chỉ hai cải bút chỉ, haủ con gà, hai quả cam, hai ngón ta tít, các em được lâm quen với a, b, e có thể chỉ bất kì số nào, và về sau các em sẽ thấy chúng không chỉ là các con số Quả trình trừu tượng hoá được nâng dẫn lên, tuỳ thuộc vào trình độ của từng người Toán học giúp ta làm vi trên những kí hiệu đó Từ các “hình dạng không gian” và các "quan hệ

số lượng" người ta tiến hành trữu tượng hoá từng cấp độ, không những chỉ dùng các con số các chữ, các kí hiệu lôgic mà còn dùng các phương trình, bất phương trình, các hàm số để càng ng: ng biểu thị được trung

toán cho học sinh (trong đó có việc

luyện khả năng trừu tượng hoả trong quá trình tư du

Ngược lại với trừu tượng hoá là cụ thể hoá, Đó cũng là hai mặt đổi lập của quá trình thống nhất trong tư duy Trong Toán học (đặc biệt là

khi giải toán), ta làm việc với những kí hiệu những biểu thức, những phương trình, bất phương trình, tuân theo những quy luật lôgie mà

phản lớn không cẩn để ý đến ý nghĩa thực tiễn củ

y nhiên trong nhiều bài toán (nhất

các Ấn, các kí hi dang dang T các bài toán về lận

phương trình, bất phương trình) thì uất phát điểm của bài toán là thực tiển, là mật trường hợp cụ thể được trừu tượng hoá và kết lu

cố gắng đưa vào các loại "toán": từ các biểu thức, phương trinh đã cho tạo nên những tình huống phù hợp vỏi thực tế đưa đến các phương

trình, biểu thức đó Việc này khó - và không phải bao giữ cũng thực h

được - nhưng khi làm được thì sẽ tạo được sự ham mê môn Toán và chỉ

rõ hơn sự lợi ích của Toán học, vì học sinh sẽ thấy cùng một phương

trình có thể biểu thị nhiều sự kiện xảy ra trang cuộc sống

Ví dụ 13 Tuán cổ Việt Nam: Vừa gà vừa chó, bó lại cho tròn, ba mưới sầu con, một trăm chân chấn Hỏi có mấy gà? mấy cÍ

Bằng cách đật các câu hỏi gợi ý (bạn đọc tự làm) ta đi đến hệ

bai to’in ddn gifin nhat 1a “tim sé x sao cho " Song dé

, chẳng hạn có thể đặt; "Quảng đường từ Hà Nội đến Nam

canô đi và về hết 7h30!

ng Hồng chảy bình thường là

Dĩ nhiề

"có nội dung’

Định theo đường sông dài 90km, một c†

tốc độ của ennô biết rằng vận tốc nước

x = 4kmUh, chi lấy được nghiệm x

Song cũng có thể đặt bài toán “năng suất lao động”, "vôi nước

để đưa đến phương trình trên (bạn đọc thử xem), sẽ rất vui vì

Sẽ xuất hiện những bài toán thực tế mà “phi thực tế”,

chảy",

THỰC HÀNH GIẢI TOÁN CHƯƠNG 1

CHU ĐIỂM 1: CÁCH GIẢI MỘT BÀI TOÁN

Bai toán số 1 Cho abe là số nguyên tố Chứng minh rằng phương trình a:

Vì a, b, e là các số tự nhiên nên %, „ là số hữu tỉ khi VhỶ - đae là số

chính phương Ta đi đến lời giải bài toãn như sau:

b Lời gi

G phương trình ax” + bx + e = 0 có nghiệm hữu tí Khi đó

A=bŸ~ đạc = mổ, m € Z

Ta có — đa.ahe = 4a(100a + 10b +e)

= 400a* + 40ab + dac

= (20a +b)? =m

= (20a + b + m)(20a + b~m)

Vi abe 1a sé nguyén to nén (20a +b +m) | abe

hoặc (30a + b ~ m) ¡ abe-

Vậy (20a + b +m) = abe

Điều này chứng tô phương trình không thể có nghiệm hữu tỉ

œ Khai thác bài toán:

Muốn phương trình bậc hai hệ số nguyên có nghiệm hữu tỉ

chứng mình A là số chính phương Vì vậy tạ có thể đứa ra bài toá

cùng phương pháp (nhữ tính biệt số A)

" cần

giải Bài loán 1.1 Cho cấc số nguyên p d Chứng mình rằng nếu phương trình x? + px + q = 0 có nghiệm hữu tỉ thì các nghị

nghiệm nguyên

em đỏ là

"Tổng quát bài toán 1 nói trên ta được bài toán 2

Bài toán 1.2 Cho phương trình với hệ sở nguyên

xt ar” "+ xt ay=O

Chứng mình rằng: Nếu phương trình có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm

đó phải là số nguyên.

có thể có các bài toán 3, 4 như s

“Tương tự bài toán 1,

Bài loán 1.3 Cho 3 số nguyên lẻ a, bạ e: Chứng mình rằng phương trình

ax’ + bx +e=0 không có nghiêm hữu tỉ

Hải tuản 1.4 Chủ 3 số nguyên a, b, e sao cho ä + b + e lẻ và œ

minh rang phương trình ax + bụ + e =0 không có nghiệm nguyên

„ Chứng

“Tổng quát hoá bài toán 4 ta có bài t

ải toán 1.5, Choa, © Zi = 0, Lee, 0) va ay # 0 Chứng mính rằng

phương trình

gn" teagxt tect ay +-8y =O

không có nghiệm nguyên nếu f0) và f(1) lẻ

Tổng quất bài toán 1 ta được bài toán 6 như sau:

Bai todn 1.6 Chop „;n> Ø là một số nguyên tố Chứng

mình rằng phương trình

ax? taux" +a, xt

không có nghiệm hữu tỉ

Bài toán sổ 8 Cho x, y là các số thoả mãn điều kiện

‘Tit gid thiét (x + y)’ =x" + ý° phải chứng mình (x + y)"= x” + y" Ta

Nn Xét xem giữa x, ý có thể có mối quan hệ cụ thể nào chăng? Vì thế ta

SẼ Xét kĩ đẳng thức (x + y) =x" + y* trước để tìm mối quan hệ đó

<> Bxy(x ty) =0

x=0

Tie dd có 3 trudng hop:

® Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì hiển nhiên

+y°

(&ty)P=x

Kết luận: Nếu (x+y)"=x'+ y*thi (x+y

Bài toán tưởng tự: Nếu (x + yy! = x" + y} thì:

= x ý Lại cũng căn cứ vào đặc điểm “sổ mũ lẻ" ta được bài toán tổng quát:

Bài toán tổng quát: Chứng mình rang néu (x + y)' = x! + y" thi voi mọi số tự nhiên lẻ n tr có

đúng nữa,

Bài toán số 3 Cho N = 1.2.8 + 9.3.4 + + nứn + 1)(n +2)

Chứng mình rằng 4N + 1 là một số chính phương

Do đồ 4N + 1= (nỶ + ấn + 1)

© Khai thác bài toán:

“Thực chất bài toán trên thuộc dạng tính tổng hữu hạn Trong thực

tế, để tính những tổng hữu hạn loại này, người ta thường phân tích sao cho m ú hai số hạng “nhủ” và các số hạng "nhỏ" của tổng này có thể khủ với các số hạng "nhỏ" củả tổng bên cạnh

Do đó có thể để xuất bài toán tương tự

Bài toán tương tự: Tính các tổng sau:

Đài toán số 4 Cho p, g là các sổ nguyên tố khúc nhau, q lẽ, ạ z 5 chứng mình

a Phan tích:

+ Vì q lễ nên q2 9, hơn nữa q 2

Ta chia q + 1 sé tu nhién nói trên cho q, vì chỉ có q khả năng dư là

1, q~— 1 nên trong q + 1 số tự nhiên nói trên ít nhất phải cô hai số:

có cũng số dư trong phép chia cho q (nguyên tắc DirichleU

+ Khai thác bài toán:

Đặc biệt hóa với p= 3, q = 3 ta có bài toán 3

Bài toán 3: Chứng mình ring ton tai số tự nhiên sao cho