Bài tập Toán cao cấp (dùng cho các ngành Kinh tế - Quản trị): Phần 2

Bài tập Toán cao cấp (dùng cho các ngành Kinh tế - Quản trị): Phần 2 gồm có 4 chương như sau: Chương 5 tích phân, chương 6 hàm nhiều biến, chương 7 phương trình vi phân, chương 8 ứng dụng của giải tích trong kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo.

+ Tập hợp mọi nguyên hàm của f trên khoảng mở

X được gọi là tích phân bát định của hàm f (trên khoảng này)

Bài tập Toán Cao cấp dành cho Kinh tế và Quần trị

17 [ Web aiFax = 2 Wax? +5 aresin 7+ a (a>0)

4 Phương pháp đối biến số trong tích phân bất định

Khi gặp bài toán tích phân mà hàm số đưới dấu tích phân

so voi dang co ban chỉ thấy khác nhau ở chỗ: biến số có nhân thêm hệ số hoặc sai khác hằng số, ta dùng phương pháp đôi biến số sau đây:

e Nếu x=oŒ) trong đó hàm o(£) là hàm đơn điệu, khả

vi liên tục theo biến t Khi đó công thức đổi biên là:

[£œ)«x = [fIe(Œ)].e @)át

e Nếu u=(%) khả vi liên tục thì:

[fIwG]w'()áx = [£(0)du

169

Bài tập Toán Cao cấp dành cho Kinh tế và Quản trị

5 Phương pháp tích phân từng phân trong tích phân bất định

Áp dụng công thức

[udv a uv—f vdu với u=u(x), v= v(x) là các hàm khả vi liên tục theo x

Chú ý:

+ Nhờ công thức tính tích phân từng phần, việc lẫy tích phân

Í sdv được đưa về tích phân khác ƒ vdu, do đó tích phân sau phải

đơn giản hơn tích phân ban đầu hoặc chúng cùng dạng với nhau

Vì vậy cần phải chọn hàm u sao cho đạo hàm của nó đơn giản hơn, còn dv là phần còn lại của biểu thức dưới dẫu tích phân mà tích phân của phần này hoặc là đã biết hoặc có thể tìm được

+ Đối với các tích phân dạng

Ị P(x)e”dx, Ị P(%x)sin axdx, Ị P(x)cos axdx,

trong đó P(x) là đa thức cla x, thi nén chon u=P(x), con dv tương Ứng là các biểu thức e“dx,sinaxdx, cosaxdx

+ Đối với tích phân dạng:

Bài tập Toán Cao cấp dành cho Kinh tế và Quan tri

Bài tập Toán Cao cấp dành cho Kinh tế và Quan tri

khác ta cũng có x =

174

Đặt u=x?+l — du=2xdx > nie =

Văn A.= | SE T5 | (E2 “220083 +€

Bai tập Toán Cao cấp dành cho Kinh tế và Quản trị

Bài tập Toán Cao cấp dành cho Kinh tế và Quản trị

Giải ra, ta được

A¿= F [sinc x)—cos(In x)]+C

A,= 5 [sind x)+cos(in x)]+C

BAI TAP DE NGHI

1 Tinh các tích phan bat định sau đây

2 Tính các tích phân bất định sau đây

TICH PHAN XAC ĐỊNH

A TOM TAT LY THUYET

1 Dinh nghia

Giả sử hàm f(x) xác định trén doan [a,b]

+ Phân hoạch [a, b] thành n phần tùy ý bằng các điểm chia

a=X,<X,< <x,, <x,=b

Trên tửng đoạn [x,¡,x;], ta chọn một điểm š, tùy ý và

tìm chiều đài của từng đoạn đó Ax, =X¡ T—Xị¿¡ (= 1,n)

+ Tổng tích phân của hàm số f(x) trên đoạn {a,b] là tổng có

dạng S, => f(&)Ax =f(&)Ax,+f(&,)Ax;+ +f(É,)AX,

+ Nếu tổn tại giới hạn hữu hạn

I=limS, (2 =max {Ax,5i =In])

và giới hạn đó không phụ thuộc vào phép phân hoạch đoạn [a,b] và cách chọn điểm š, thì s6 I được gọi là (ích phân xác

b

dinh cia ham † trên đoạn [a,b] và ký hiệu là: 1= |f(đx

179

Bài tập Toán Cao cấp dành cho Kinh tế và Quan trị

Nếu f có tích phân xác định trên [a,b] thi ta nói f khả tích

trên [a,b]

b

+ Nếu f(x)>0 trên [a,b] thì tích phân I= Ỉ f(x)dx là

điện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y=f(x); X=a; x=b; y=0

2 Các tính chất cơ bản của tích phân xác định

e Định lý (đạo hàm dưới dấu tích phân):

Nếu hàm số f(%) liên tục trên [a, b] thì hàm số

È(x)= J £(t)dt, 1a mot nguyén ham cia f(x) trén [a,b] -

Chú ý: Theo định lý trên thi hàm dưới dấu tích phân, phải

là một hàm liên tục Đặc biệt cần chú ý đến Sự biểu diễn của ham ở, cận dưới là hang số, cận trên là biến số x

O(x) = fe (t)dt => 6'(x) = f(x) Vx €(@, b)

+ Trường hợp ở(x) = { f(t)dt thi (x) =flo(x)jo'x)

181

Bài tập Tốn Cao.cấp dành cho Kinh tế và Quản trị

e Cơng thức Newton — Leibnitz:

Cho hàm f{x) liên tục trên đoạn [a,b] và cĩ nguyên hàm F(x) cũng liên tục trên đoạn [a,b] Thi

[ậv = uv, — [vdu

trong dé: u=u(x), v= v(x) kha vi trén doan [a,b]

Nếu hàm f là hàm lẻ trên [—a,a] nghĩa 1a:

f(x) =—f(x), Wx e[-a,a] thì f f(x)dx=0

Nếu hàm f{x) là hàm chẵn trên [—a, a], nghĩa là:

f(—-x) = f(x), Wxe[-a,a] thì Ỉ f(x)dx= aft (x)dx

182

e Hàm khả tích:

- Điều kiện cần: Hàm f khả tích trên [a,b] thì bị chặn trên

đoạn đó

- Điều kiện đủ:

+ Nếu f liên tục trén [a,b] thì f khả tích

+ Nếu f bị chặn trên [a,b] và chỉ có một số hữu hạn

điểm gián đoan thì f sẽ khả tích

Bài tập Toán Cao cấp dành cho Kính tế và Quản trị Giải:

Miền giá trị của f trên [0,1] chỉ có hai giá trị 0 và l nén f(x) bi

Vậy f{(x) không khả tích trên [0,1]

Bài 3: Xét sự kha tich cia f(x) trén [0,1] voi

c Tương tự £ [sin x?dx = sin b” do

Bai 5: Tinh dao ham

d*

185

Bài tập Toán Cao cấp dành cho Kinh tế và Quản trị

Giải: Áp dụng quy tắc LHospital

= 2m =

x7 2x.e

187

Bài tập Toán Cao cấp dành cho Kinh tế và Quản trị

Bài 8: Tính các tích phân xác định sau đây

Bài tập Toán Cao cấp dành cho Kinh tế và Quản trị

d Ta cé f(x) =sin’ 2x là hàm số lẻ vì vậy theo tinh chất của

Bài tập Toán Cao cấp dành cho Kinh tế và Quản trị

Dat u=x => du=dx

¢ TICH PHAN SUY RONG

A TOM TAT LY THUYET

1 Tích phân suy rộng có cận vô hạn

e Nếu hàm y = f{x) xác định khi a<x<+eo và khả tích trên

mỗi đoạn hữu hạn a<x<X, VX>a thì theo định nghĩa, tích

phân suy rộng của hàm số f trên [a,+œ] được xác định bởi đẳng

thức sau đây:

lo = Jim [#@9éx (1)

Néu khi X—> +00, ham F(X)=[f(x)dx cé gidi han hiru han,

+œ m=

thì ta gọi { f(x)dx 1a A6i tw Néu ƒ f(x)dx không hội tụ thi ta

goi tich phan suy rong trén 1a phan kp

e Tương tự: Ỉ f(x)dx = jim f ex)dx

ƒ f(x)dx= lim i f(x)dx+ Jim {fax

2 Tích phân suy rộng của những hàm số không bị chặn

e Nếu ham sé f(x) giới nội và khả tích trên mỗi đoạn [a+e,b], Ve>0 và lim |f(x)|=+e, ta định nghĩa:

[f@œ)4x= lim F() = lim [f@Jdx (2)

ate

193

Bài tập Toán Cao cấp dành cho Kính tế và Quản trị

Nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn thì tích phân (2) được gọi là hội tụ, ngược lại nó được gọi là phân kỳ

e Nếu hàm số f{x) giới nội và khả tích trên mỗi đoạn [a,b—e],

Ve>0 và lim |f@|= +eo, ta định nghĩa :

{ f(x)dx = lim F(e) = lim [ £G0¢x @)

Nếu giới hạn nảy tổn tại hữu hạn thì tích phân (3) được gọi là

hội tụ, ngược lại nó duge goi 1a phan ky

e Nếu hàm f(x) có gián đoạn loại hai tại điểm c của đoạn [a,b]

và liên tục khi a<x<c và c<x<b, thì theo định nghĩa người

ta đặt :

Jena = im I F(x)dx+ lim i f{x)dx (4)

c+t;

b

Tích phân suy rộng Ị f(x)dx (trong đó f{c) = œ,a<c<b)

được gọi là hồi #¿ nếu tổn tại cả hai giới hạn ở về phải của (4)

và phân kÿ nêu không tôn tại dù chỉ một trong các giới hạn đó

194

B BÀI TẬP

Bài 1: Tính tích phân suy rộng I= eo xdx

0 Giải:

Bài tap Toán Cao cấp dành cho Kinh tế va Quan tri

at xế ˆ sua ces nt gos ack

Hàm dưới dấu tích phân f(x)=— không giới nội tại điểm x = x

0, nên ta có:

l9 tim | eo = tim|x|, = = lim(Inl —Ine) = +e

s—>0° 2 c—?

1 dx Bài 6: Tính tích phân suy rộng Í = | —————E—

Bài tập Toán Cao cấp dành cho Kinh tế và Quản trị

3 Tính các tích phân suy rộng sau đây:

Bài tập Toán Cao cấp dành cho Kinh tế và Quần trị

Chương VI

HAM NHIEU BIEN

A TOM TAT LY THUYET

I Miền xác định của ham

Cho tập hop khac rong D va DCR" Một anh xa di tt

D vao R được gọi là hàm n biến

Ký hiệu: D ———> Rhay f: D->Ñ

* Tập hợp D gọi là ¿áp xác định của f

* Giá trị của u =f(x,,Xa, x„) tại điểm M, (x?, x3 Xã)

được ký hiệu là f(x†,x$, x)) hoặc f(M,)

If Đạo hàm riêng

Giả sử hàm u=f(%x,,xạ ,x„) xác định trong tập mở D, M,(x?,x?, x9) là một điểm thuộc D Đặt:

Au _ £(X9, 0.52), 5) FAX) Xie RITE xe

Nếu lim ^Ủ., <i<n) tồn tại hữu hạn thì giới hạn này ˆ ; 4x0 Ax

gọi là đạo hàm riêng của ham u=f(x,,x,, %,) tai M, theo

biên x, và ký hiệu:

201

Bài tập Toán Cao cấp dành cho Kinh tế và Quan trị

9u Of

—— ›—- ôx, "ôx, ` , fi

ôu , Au

âv: ——= — <

Vậy: fim, * (i<i<n)

Việc tính đạo hàm riêng, thực chất là tính đạo hàm của

hàm một biến (khi ta xem các biến số kia là hằng số)

1H Đạo hàm riêng cấp cao

e Đạo hàm riêng của a theo biến x, Œ&=l,n) tức là

i

a aay Ou { & «13 dan haem tino of

biểu thức: ——| —— |, được gọi là đạo hàm riêng cầp OX, \ OX;

hai của u theo biến x,, x, và ký hiệu bằng một trong

IV Dao ham ham hợp

Nếu u =(x,,X¿, X„), Xị =;(t,,t; Ea}; (Gi=1,n)

cu OS Gu OX,

khả vi thi: —=)'———_ vi at, Sf Ox, ot, (k (k=1,2 =1,2, ,.m)

202

V Vi phân cấp 1 và cấp 2

Cho z=f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục, ta cd

vi phân cấp 1 và vi phân cấp 2 của f lân lượt như sau:

f (Ax+(1-A)x') <Af(x)+(I-4)f(x'), Vx,x'eD, VA (0,1)

hoặc nếu tại mọi điểm (x,,y,), tiếp tuyến với đồ thị nằm hoàn

toàn phía dưới đề thị (đối với các bài toán kinh tê thường gặp)

iii) Hàm số y=f(x) gọi là lðm ngặt toàn cục trên tập lồi ˆ DcRnéu

f(Ax+(1-2)x')> f(x)+-^)f(x) Wx,x'eR, VA e(0,1)

hoặc nếu tại mọi điểm (x,,y,), tiếp tuyến với để thị nằm hoàn toàn phía trên đồ thị (đối với các bài toán kinh tế thường gặp)

iv) Ham sé z=f(x,y) gọi là lôi ngặt toàn cục trên tập lồi

DcR nếu

f(AX+(-^A)X)<^f(X)+(-^)f(X').vX,X eD,v^.e(0,1)

203

Bai tập Toán Cao cấp dành cho Kinh tế và Quản trị

hoặc nếu tại mọi điểm (x,,y,,z„) tiếp diện với đồ thị nằm hoàn

toàn phía dưới đô thị (đôi với các bài toán kinh tế thường gặp) v) Ham sé z=f(x, y) gọi là lõm ngặt toàn cục trên tập lồi

Dc R? néu

£(2X+(1-A)X') > Af (X)+(1-A)£(X’), VX, X' ED, V2 (0,1)

hay nếu tại mọi diém (x,,y,,z,) tiép điện với đồ thị năm hoàn

toàn phía trên đồ thị (đối với các bài toán kinh tê thường gặp)

vi Hàm số z=f(x,y) gọi là /ổi zoàn cục trên tập lồi , DCR nếu

f(AAX+(-^)X)</ŒQ)+(~^)f(X).vxX.X eD,VA e(0,1) vi) Hàm số z=f(x,y) gọi là iðm toàn cục trên tập lồi

DcRˆ nếu

f(^X+(-^)X)>2ƒ(X)+(-^)f(X) vX.X' «D,v2 e(0,1)

2 Cực trị địa phương, cực trị toàn cục của hàm số thực theo

một biến số thực

Xét ham s6: y=f(x), xeDCR

» Hàm số f gọi là đạt cực đại địa thương tại x, 6D nếu: 3e>0: Vx €(x,T—s, x,+e)SD:f(x)<f(%,)

e Ham sé f goi là đạt cực tiểu địa phương tại x, nếu:

Fe > 0: Vx E(x, ~e, x, +2) OD: f(x) 2f(x,)

204

e© Hàm số f gọi là đạt cực đại toàn cục trên D tại x, nếu:

VxeÐD, £(x)<f(x,)

e Hamséf goi 1a dat cuc tiéu toan cuc trên Dtai x, néu:

VxeD, f(x)>f(x,)

- Một cực trị địa phương không chắc là cực trị toàn cục

- Không phải hàm sô nào cũng có cực trị toàn cục

- Trong các ứng dụng kinh tế, hầu hết các hàm số chỉ có -

một cực trị địa phương duy nhật và đó cũng là cực trị toàn

+ Néu f"({x) <0, Vx eD thi f lõm ngặt toàn cục trên

D Khi đó, một diém cuc dai địa phương cũng là cực đại toàn cục trên D

3 Cực trị địa phương, cực trị toàn cục của hàm số thực theo hai biến số thực

Xét hàm số z=f(x,y), (x,y)Dc R” Đặt

B(G,,y„)„£) =l&»)[(x-x.} +-y,} |” cele >0

205

Bài tập Toán Cao cấp dành cho Kinh tế và Quản trị

e Hàm số f gọi là đạt cực đại địa phương tại (x„.y„)< D nếu

3e>0: V(x,y} <B((x,,y,);e)Ð:f(x, y)Sf(x,,y,)

e Hàm số f gọi là đạt cực tiểu địa phương tại (x„,y„) D nếu

3e>0: V(x,y)e B((x,.y„),e)(\D:f(x,y)>f (x¿.y,)

e Hàm số f gọi là đạt cực đại toàn cục tại (x V,) ED nếu:

W(x, y) eD,f(x, y)< f(x,, Yo)

e Hàm số f gọi là đạt cực tiểu toàn cục tại (X Y,) cD nếu:

v(x,y)<D,f(x,y)>f(x,.y,)

Các chú ý ở trường hợp hàm một biến vẫn đúng cho trường hợp hai biến

© Điều kiện cần của cực trị địa phương (điều kiện cấp 1):

Nếu hàm f đạt cực trị địa phương tại (xo, yo) và f có các

đạo hàm riêng tại (xo, yo) thì

f (Xoo) =f, (Xp,¥9) =0

© Điều kiện đủ của cực trị địa phương (điều kiện cấp 2)

Nhắc lại: Cho z=f(%x,y) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên

tục, ta có vi phân cấp 1 và vi phân cấp 2 của f lần lượt như sau: dz=£jdx+fldy

27 = £,,dx’ + 26 dxdy+f dy”

206

Bây giờ, ta có điều kiện đủ của cực trị địa phương nhu sau:

e Nếu df(x,,y,)=0 và dÌf(x,,y,)<0 thì f£ đạt cực

đại địa phương tại (X,,V„)

© Néu df(x,,y,)=0 va d?f(x,,y,)>0 thi f dat cực

tiểu địa phương tại (x,.y,)-

f fi

Ta xét ma tran Hess: H=

f 6 oe pat H, =f", H, =/H

i) H, <0,H, >0 thi d?f<0 (cực đại địa phương)

ii) H, >0,H, >0 thì đ?f >0 (cực tiểu địa phương)

+ Nếu đ”z(x,y)}>0, V(x,y)eD thì f lỗi ngặt toàn cục

trên D Khi đó, một điểm cực tiểu địa phương cũng là cực tiểu toàn cục trên D

207

Bài tập Toán Cao cấp dành cho Kinh tế và Quản trị

+ Nếu đ”z(x,y)<0, V(x,y)eD thì f lõm ngặt toàn cục trên D Khi đó, một điểm cực đại địa phương cũng là cực đại toàn cục trên D

Định lý: Cho z=f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục

trên tập mở và lỗi DCR? Giả sử, tại (xạ,yạ}<D ta có:

£ (X9s¥o ) =f, (Xo Yo) =O- Khi đó

¡) Nếu H,(x,y)>0,H,Œ,y)> 0, (x, y)eD

thì f đạt cực tiểu toàn cục trên D tại (Xạ.Ya}

¡) Nếu H,(x,y)<0,H,(x,y) >0, V(x, y) <D

thì f đạt cực đại toàn cục trên D tại (Xạ:Yo)

4 Cực trị ràng buộc của hàm số thực theo 2 biến số thực

Xét bài toán tìm cực trị hàm f(x, y) với ràng buộc

8(%,Y) = ø (giả sử ø, >0)

Trước tiên, ta lập hàm Lagrangc:

L(x.y.%) =f(x.y)+A/g, —g(x.y)]

(% goi la nhan tir Lagrange) |

Ta thấy cực trị của hàm f với ràng buộc g(x,y)=g, cũng chính là cực trị của ham Lagrange L

- Ta có điều kiện cấp 1 tương tự trường hợp cực trị không rằng buộc

208