Bài viết trình bày tính chất nén của trạng thái kết hợp hai mode thêm photon; Tính chất phản chùm của trạng thái hai mode thêm photon; Tính đan rối của trạng thái kết hợp hai mode thêm photon.
Trang 1CHÙM VÀ TÍNH CHẤT ĐAN RỐI CỦA TRẠNG THÁI
KẾT HỢP HAI MODE THÊM PHOTON
TRẦN THỊ THU SƯƠNG NGUYỄN THỊ THU SANG, NGUYỄN THỊ NINH
Khoa Vật lý
Vào những năm 60 của thế kỷ XX, Glauber(1963) [6] đã đưa ra khái niệm về trạng thái kết hợp [1] Sau đó, khái niệm về trạng thái nén được đưa ra bởi Stoler(1970) [8] và đã được Hollenhorst đặt tên, trạng thái nén đã được thực nghiệm khẳng định vào năm 1987 Trạng thái nén là một trạng thái phi cổ điển đầu tiên Sau đó, các trạng thái phi cổ điển khác lần lượt được đề xuất, nghiên cứu trong đó có trạng thái kết hợp hai mode thêm photon Trạng thái kết hợp thêm photon được Hillery đưa ra vào năm 2006 [6] và được định nghĩa như sau
| Ψiab = Nα,β(ˆa†+ ˆb†) | αia| βib,
trong đó a† là toán tử sinh đối với mode a, b†là toán tử sinh đối với mode b, và
p2 + |α + β|2 là hệ số chuẩn hóa Có thể viết trạng thái | Ψiab dưới dạng
| Ψiab = Nα,βexp
p1+ | α |2 | α, 1ia| βib+p1+ | β |2 | αia| β, 1ib hoặc biểu diễn dưới trạng thái Fock
|Ψiab = Nα,βexp
−| α |
2 + | β |2 2
n,m=0
αnβm
√ n!m!
× √n + 1 | n + 1, miab+√m + 1 | n, m + 1iab
Trong bài báo này, để nghiên cứu tính chất phi cổ điển chúng tôi nghiên cứu ba tính chất
là tính chất nén, tính chất phản chùm và tính chất đan rối
Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2013-2014
Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2013, tr: 75-82
Trang 276 TRẦN THỊ THU SƯƠNG VÀ CS.
Quá trình nén bậc cao kiểu Hillery [3], toán tử biên độ k của trường hai mode được đưa
ra dưới dạng
ˆ
dk,ϕ= 1
2√2
ˆ
a + ˆbke−iϕ+ˆa++ ˆb+keiϕ
, k ∈ Z Điều kiện để có nén vuông bậc k kiểu Hillerry [3] dọc theo hướng ϕ là
Vdk,ϕ < 1
8
D ˆL
k
E
Tham số nén được định nghĩa là: Hk,ϕ= Vdk,ϕ−1
8
D ˆLkE < 0, trong đó:
| h ˆLki |=
ˆ
a + ˆbk,ˆa++ ˆb+k
=Pk
q=1
2q
q!
k!
(k − q)!
2
ˆ
a++ ˆb+
k−q ˆ
a + ˆb
k−q
=Pk
q=1
2q
q!
k!
(k − q)!
2
(k − q)!
(k − q − n)!n!
2
hˆa+naˆnˆb+(k−q−n)ˆbk−q−ni
Để đơn giản ta xét k = 1 và trung bình trong trạng thái kết hợp hai mode thêm photon,
ta có:
H1,ϕ = 1
8cos(2ϕ)
1
2 + (x + y)26x2+ 6y2+ x4+ y4+ 6x2y2+ 12xy + 4x3y + 4xy3 +1
8
1
2 + (x + y)212 + 14x2+ 14y2+ 2x4+ 2y4+ 12x2y2+ 28xy + 8x3y + 8xy3
−1
4
1
2 + (x + y)2
2
1 +1
2cos2ϕ
16x2+ 16y2+ 48x2y2+ 8x4+ 8 + 15x4y2
+15x2y4+ x6+ y6+ 32xy + 32x3y + 32xy3+ 20x3y3+ 6x5y + 6xy5 −1
trong đó α = α∗= x và β = β∗ = y
Dựa vào phương trình (1) ta khảo sát tính chất nén trong trường hợp ϕ = kπ và được đồ thị dưới đây
Trang 3Hình 1: Đồ thị của Hk,ϕ trong trường hợp ϕ = kπ
Qua việc khảo sát biểu thức tham số nén tiêu biểu trong trường hợp k = 1, chúng tôi nhận thấy rằng đồ thị của nó luôn nằm dưới mặt phẳng xOy Từ đồ thị chúng tôi nhận thấy khi giá trị x càng tăng thì tham số nén càng mang giá trị âm, nghĩa là tính chất nén càng mạnh
Tiêu chuẩn cho sự tồn tại của tính phản chùm cho trạng thái hai mode trong trường bức
xạ [1] là
Rab(l, p) = hbn(l+1)a nb(p−1)b i + hnb(p−1)a nb(l+1)b i
hnb(l)a bn(p)b i + hnb(p)a bn(l)b i
Trường hợp 1
Xét l = p = 1 biểu thức (2) trở thành
Rab(1, 1) = hˆn
(2)
a i + hˆn(2)b i
hˆnanˆbi + hˆnanˆbi − 1
= [(|α|6+ |β|6+ 6|α|4+ 6|β|4+ 4|α|2+ 4|β|2+ αβ∗|α|4+ αβ∗|β|4+ α∗β|α|4+ α∗β|β|4 +2α∗β|β|2+ 2αβ∗|α|2+ 2α∗β|α|2+ 2αβ∗|β|2+ |α|4|β|2+ |α|2|β|4)/(2|α|4|β|2
+2|α|2|β|4+ 12|α|2|β|2+ 2|α|2+ 2|β|2+ 2αβ∗|α|2|β|2+ 2α∗β|α|2|β|2+ 2αβ∗|α|2
+2αβ∗|β|2+ 2α∗β|α|2+ 2α∗β|β|2+ 2αβ∗+ 2α∗β)] − 1
Để đơn giản, xét α = α∗ = x và β = β∗= y ta được
Rab(1, 1) = [(x6+ y6+ 6x4+ 6y4+ 4x2+ 4y2+ 2x5y + 2xy5+ 4x3y + 4xy3+ x4y2
+x2y4)/(2x4y2+ 2x2y4+ 12x2y2+ 2x2+ 2y2+ 4x3y3+ 4x3y + 4yx3+ 4xy)] − 1 (3)
Từ biểu thức (3), chúng tôi được đồ thị dưới đây
Trang 478 TRẦN THỊ THU SƯƠNG VÀ CS.
Hình 2: Đồ thị của Rab(l, p) trong trường hợp l = p = 1
Trường hợp 2
Xét l = 2, p = 1 biểu thức (2) trở thành
Rab(2, 1) = hbn(3)a i + hnb(3)b i
hnb(2)a bnbi + hbnabn(2)b i
− 1
= [(|α|8+ |β|8+ 8|α|6+ 8|β|6+ 9|α|4+ 9|β|4+ αβ∗|α|6+ αβ∗|β|6+ 3αβ∗|α|4
+3αβ∗|β|4+ α∗β|α|6+ α∗β|β|6+ 3α∗β|α|4+ 3α∗β|β|4+ |α|6|β|2+ |α|2|β|6)/(|α|6|β|2
+|α|2|β|6+ 8|α|4|β|2+ 8|α|2|β|4+ 2|α|4|β|4+ 8|α|2|β|2+ |α|4+ |β|4+ αβ∗|α|4|β|2
+αβ∗|α|2|β|4+ α∗β|α|4|β|2+ α∗β|α|2|β|4+ 4αβ∗|α|2|β|2+ 4α∗β|α|2|β|2+ 2αβ∗|α|2
+2αβ∗|β|2+ 2α∗β|α|2+ 2α∗β|β|2+ α∗β|α|4+ α∗β|β|4+ αβ∗|α|4+ αβ∗|β|4)] − 1 Cho α = α∗ = x và β = β∗ = y ta được
Rab(2, 1) = [(x8+ y8+ 8x6+ 8y6+ 9x4+ 9y4+ 2x7y + 2xy7+ 6x5y + 6xy5+ x6y2
+x2y6)/(x6y2+ x2y6+ 8x4y2+ 8x2y4+ 2x4y4+ 8x2y2+ x4+ y4+ 2x5y3
+2x3y5+ 8x3y3+ 4x3y + 4xy3+ 2x5y + 2xy5)] − 1 (4)
Từ biểu thức (4), chúng tôi được đồ thị dưới đây
Trường hợp 3
Xét l = p = 2 biểu thức (2) trở thành
Rab(2, 2) = hˆn
(3)
a nˆbi + hˆnanˆ(3)b i
hˆn(2)a nˆ(2)b i + hˆn(2)a nˆ(2)b i
− 1
= [(|α|8|β|2+ |α|2|β|8+ |α|6|β|4+ |α|4|β|6+ 10|α|6|β|2+ 10|α|2|β|6+ 9|α|4|β|2
+9|α|2|β|4+ |α|6+ |β|6+ αβ∗|α|6|β|2+ αβ∗|α|2|β|6+ 3αβ∗|α|4|β|2+ 3αβ∗|α|2|β|4
+3αβ∗|α|4+ 3αβ∗|β|4+ βα∗|α|6|β|2+ βα∗|α|2|β|6+ 3βα∗|α|4|β|2+ 3βα∗|α|2|β|4
+αβ∗|α|6+ αβ∗|β|6+ βα∗|α|6+ βα∗|β|6+ 3βα∗|α|4+ 3βα∗|β|4)/(2|α|6|β|4
Trang 5Hình 3: Đồ thị của Rab(l, p) trong trường hợp l = 2, p = 1
+2|α|4|β|6+ 20|α|2|β|2+ 8|α|4|β|2+ 8|α|2|β|4+ 2αβ∗|α|4|β|4+ 4αβ∗|α|4|β|2
+4αβ∗|α|2|β|4+ 8αβ∗|α|2|β|2+ 2α∗β|α|4|β|4+ 4α∗β|α|4|β|2+ 4α∗β|α|2|β|4
+8α∗β|α|2|β|2)] − 1
Cho α = α∗ = x, β = β∗= y, ta được:
Rab(2, 2) = [(x8y2+ x2y8+ x6y4+ x4y6+ 10x6y2+ 10x2y6+ 9x4y2+ 9x2y4+ x6+ y6 +2x7y3+ 2x3y7+ 6x5y3+ 6x3y5+ 6x5y + 6xy5+ 2x7y + 2xy7)/(2x6y4
+2x4y6+ 20x2y2+ 8x4y2+ 8x2y4+ 4x5y5+ 8x5y3+ 8x3y5+ 16x3y3)] − 1 (5)
Từ biểu thức (5), chúng tôi được đồ thị dưới đây
Hình 4: Đồ thị của Rab(l, p) trong trường hợp l = p = 2
Qua việc khảo sát biểu thức phản chùm tiêu biểu với các giá trị khác nhau của l và p Từ
Trang 680 TRẦN THỊ THU SƯƠNG VÀ CS.
đồ thị chúng tôi nhận thấy khi giá trị x càng tăng thì tính chất phản chùm càng mạnh
Ở phần này chúng tôi sẽ sử dụng tiêu chuẩn đan rối để kiểm tra tính đan rối của trạng thái kết hợp hai mode thêm photon Điều kiện đan rối của Hillery [4] được cho bởi biểu thức:
Sử dụng điều kiện đan rối(3.2), nghĩa là nếu một trạng thái hai mode thoả mãn điều kiện
Ta kết luận trạng thái này bị đan rối
Qua quá trình tính toán chúng tôi có được kết quả như sau
|hˆaˆbi|2− [hNaihNbi] =| Nαβ |2 [α2β2 α|4+ β|4+ 10 α|2+ 10|β|2+ 4|α|2|β|2+ 18 +αβ3 2 α|4+ 10 α|2+ 2|β|2+ 2|α|2|β|2+ 8
+α3β 2 β|4+ 10 β|2+ 2|α|2+ 2|α|2|β |2 +8
+α4 β|4+ 2 β|2 + β4
α|4+ 2 α|2 −1 − 4|α|2− 4|β|2
− α|2 β|2(18 + 8 α|2+ 8 β|2+ α|2+ β|22
− (αβ∗+ α∗β) (2 + |α|2 5 + |α|2)+ β|2 5 + β|2 + |α|2|β|2 10 + 2 α|2+ 2 β|2) + (αβ∗+ α∗β)2 1 + α|2
1 + β|2]
Đặt α∗= α = x, β∗= β = y ta được
|hˆaˆbi|2− [hNaihNbi] = −1
(2 + x2+ 2xy + y2)2 4x
2y2+ 4xy + 2x3y + 2xy3+ 1 + 4x2+ 4y2
(8) Dựa vào biểu thức (8) chúng tôi có được đồ thị như sau
Qua việc khảo sát biểu thức đan rối của Hillery, chúng tôi nhận thấy rằng đồ thị của nó nằm dưới mặt phẳng xOy Từ đồ thị chúng tôi nhận thấy khi giá trị x càng tăng thì tính chất đan rối càng mạnh
Trang 7Hình 5: Đồ thị khảo sát tính đan rối
Trong bài báo này, chúng tôi trình bày kết quả nghiên cứu vế trạng thái kết hợp hai mode thêm photon Chúng tôi thấy rằng trạng thái này mang tính chất phi cổ điển, tiêu biểu là tính chất nén, tính chất phản chùm và tính chất đan rối Chúng tôi khảo sát ba tính chất trên cũng như điều kiện để một trạng thái có tính chất nén, tính phản chùm và tính đan rối Đối với tính chất nén, chúng tôi đã sử dụng toán tử nén biên đọ vuông bậc k và đã đưa ra biểu thức tổng quát của tham số nén để khảo sát tính chất nén bậc thấp, đưa ra kết quả và nhận xét Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu tính phản chùm và điều kiện để có tính phản chùm của trạng thái và khảo sát nó trong các trường hợp cụ thể Sau đó, tính đan rối của trạng thái được thể hiện rõ khi khảo sát điều kiện rối của Hillery Kết quả quá trình tính toán và vẽ đồ thị cho các tham số tương ứng cho thấy trạng thái kết hợp hai mode thêm photon thể hiện rõ tính chất nén, tính phản chùm và tính đan rối và thỏa mãn điều kiện của Hillery – Zuibairy đưa ra Do đó, trạng thái này hoàn toàn có thể chọn để làm nguồn trong quá trình chuyển vị lượng tử
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt
[1] Lê Thị Thu (2009), Nghiên cứu một số tính chất của trạng thái kết hơp hai mode thêm photon, Khóa luận tốt nghiệp, Đại học Sư phạm, Đại học Huế
[2] Hoàng Toản (2008), Về các điều kiện đan rối cho hệ hai mode, Luận văn Thạc sĩ Vật
lý, Đại học Sư phạm, Đại học Huế
Trang 882 TRẦN THỊ THU SƯƠNG VÀ CS.
[3] Trương Minh Đức (1999), Quá trình nén photon bậc hai thông qua exciton trong bán dẫn, Luận văn Thạc sĩ Khoa học Toán Lý , Hà Nội
Tiếng Anh
[4] Hillery M (1987), "Amplitude-squared squeezing of the electromagnetic field", Phys-ical Review A, (36), pp.3796
[5] Hillery M and Zubairy M S.(2006), "Entanglement conditions for two- mode states: Applications" ,Phys Rev A, 74(3), 032333
[6] Hillery M.(1989), "Sum and difference squeezing of the electromagnetic field ", Phys-ical Review A, (45), pp 3147-3155
[7] R Glauber, Phys Rev 131, 2766 (1963)
[8] D Stoler, Phys Rev D 1, 3217 (1970)
TRẦN THỊ THU SƯƠNG
NGUYỄN THỊ THU SANG
NGUYỄN THỊ NINH
SV lớp VLTT 4, Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế
... VÀ CS.đồ thị nhận thấy giá trị x tăng tính chất phản chùm mạnh
Ở phần sử dụng tiêu chuẩn đan rối để kiểm tra tính đan rối trạng thái kết hợp hai mode thêm photon Điều kiện đan rối. .. thức:
Sử dụng điều kiện đan rối( 3.2), nghĩa trạng thái hai mode thoả mãn điều kiện
Ta kết luận trạng thái bị đan rối
Qua trình tính tốn chúng tơi có kết sau
|hˆaˆbi|2−... nhận thấy giá trị x tăng tham số nén mang giá trị âm, nghĩa tính chất nén mạnh
Tiêu chuẩn cho tồn tính phản chùm cho trạng thái hai mode trường
xạ [1]
Rab(l, p) =
