HSG 8 đs8 CHUYÊN đề 4 GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT và GIÁ TRỊ lớn NHẤT của BIỂU THỨC ( 87 trang)

CÁC CHUYÊN ĐỀ HSG –TOÁN 8 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 1 Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT ĐẸP TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐTZalo 0945943199 Toán Học Sơ Đồ ĐS8 CHUYÊN ĐỀ 4 GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC PHẦN I TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT A Kiến Thức Cần Nhớ 1 Xét trong tập xác định (D) a) Hằng số a là giá trị lớn nhất của A(x) với o x x nếu , ( ) ( ) a o x A x A x   Ký hiệu max ( ) o A x a x x   b) Hằng số b là giá trị nhỏ nhất của B(x) với o x x.

ĐS8-CHUYÊN ĐỀ 4.GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT

a) Nếu tổng hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau

b) Nếu tích của hai số dương không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau

3 Một số bất đẳng thức hay dùng: (đã nêu trong chuyên đề 21)

a Bất đẳng thức Cauchy

b Bất đẳng thức Bunhiacôpxki

c Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

d Bất đẳng thức tam giác

Khi ấy max ( )A x   a x x o

Để tìm giá trị nhỏ nhất của B(x) ta phân tích B(x) thành bình phương một tổng (hoặc hiệu) trừ đi một số

c) C y( )(y2)2(y5)2 y24y 4 y210y25

2 2

a) Sử dụng tách hoặc thêm bớt để biến đổi biểu thức làm xuất hiện các bình phương một nhị thức

b) Hoán vị và nhân từng cặp làm xuất hiện các biểu thức có phần giống nhau y211y rồi đặt ẩn phụ để giải

3 Dạng đa thức nhiều biến bậc hai

a) Biến đổi biểu thức thành tổng các bình phương các nhị thức với một hằng số

b) Dùng tách, thêm bớt các hạng tử làm xuất hiện bình phương các biểu thức Sử dụng hằng đẳng thức:

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 16

2 2

93

x B x





 c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

1 2

x x C

1( 1)

 khi và chỉ khi x 1

b) Chứng minh giá trị nhỏ nhất của

2 2

* Tìm cách giải:

+ Phương pháp chứng minh max ( )A x a (a là hằng số)

Chứng minh A x( ) a, x và có  x o sao cho A x( o)a

+ Phương pháp chứng minh min ( )B x b (b là hằng số)

Chứng minh B x( ) b, x và có  x o sao cho B x( o)b

Giải

a) Ta chứng minh

2 2

2 2

6 Dạng cùng tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức

Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 10(2 2)

5

x M

 với x2 b) Cho 7a9b42 với a b, 0 Tìm giá trị lớn nhất của tích Pab

Ta có với x2 thì 16 ; 2

x x

Nghiệm x10 thỏa mãn điều kiện của bài Vậy minA4,5  x 2

b) Xét 63P7 9a b trong đó 7a9b42 không đổi nên tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau

Theo chứng minh trên ta có C    3 2 2 2 9

Nên B   1 C 1 9 Vậy minB    8 x y z

8 Dạng bài tập các biến bị ràng buộc bởi các hệ thức

Ví dụ 9: Cho x  y z 6

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ax2y2z2

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Bxyyzzx

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A2 B

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B 2x 5 2x11

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C4 5x  8 16 (5x8) 2

Dạng tam thức bậc hai và đưa về tam thức bậc hai

1 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

a) A x( )4x28x15

Dạng đa thức một biến bậc lớn hơn hai

3

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C(x3)(x5)(x28x17)

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D (1 x x)( 311x241x55)

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

E x  x x   x d) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F 2018(x2014)4 (x 2016)4

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 50

max

12016

x E

.2

2 2

5

x E x





 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

.4

2 2

c)

2 2

2 2

y x

y x



 và với x2. Vậy min ( )g x   2 y 1 hay x3

Dạng chứng minh giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức

Dạng cùng tìm giá tị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức

11 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức:

Vậy minG1,5 x 1

a) Chứng minh trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất

b) Chứng minh trong các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất





 với x0 c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D(x25x20)(28x25 )x

x là hai số dương có tích bằng 144 không đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất

khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau tức là:

Dạng bài tập các biến bị ràng buộc bởi các hệ thức

16 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) Da2b2 với a b; 0 và a b 4

b) Ea2b2c2 với a b c, , 0 và a b c  3

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcG2ab với a2b2;

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 1

2

H          x y z a b c

Dạng bài tập chứa dấu giá trị tuyệt đối

18 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

z z

(Thi vào lớp 10 THPT Chu Văn An & Hà Nội Amsterdam, năm học 2001-2002)

Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có: 2A 8 (x22xyy2)(x24x 4) (y24y4)



 đạt giá trị lớn nhất

(Thi vào lớp 10 chuyên Toán THPT Lê Khiết – Quảng Ngãi, năm học 2009-2010)

28 Cho số tự nhiên n có hai chữ số, chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y (nghĩa là x0 và

PHẦN II.BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau

y y

Bài 10: Tìm min của: Dx22xy6y212x2y45

Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức có quan hệ ràng buộc giữa các biến

Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau

a Ax3y3xy x;  y 1 b B5x2y x2;  y 1

c Cx22y x2; 2y1 d D2x25y2; 4x3y7

Theo giả thiết

Cho các số thực x, y thỏa mãn: x2y2xy4 Tìm GTLN, GTNN của Px2y2

2 2

20

2 2 2 2 2 2 2 2

2x 2y 2xy 4x 4y 2A 4x 4y 4xy 8x 8y 4x 4 (x y 2) (y 2) (y 2) 4y 8y

2 2

02

Ta lại có:

10

1

1; 22

02

=>   ab 2 4 ab  2 ab20172015=>S2015

Bài 20: Cho hai số x,y khác 0 thỏa mãn:

2 2

2

8

88

y x

x y

m

n npp   Tìm min, max của:

A  m n p

Hướng dẫn

Bài 30: Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x y 5, Tìm max của:



 

Khi đó: E2 4 3  c 3 3c 2 4c 2 c

Bài 38: Cho x, y thỏa mãn: 11x6y2015x  y 3 0, Tìm min của: Pxy 5x 2016

Bài 39: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn : x  y z 3, Tìm GTLN của :Bxyyzzx

Dạng 5: Phương pháp đổi biến số

Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức A (x 1)2 (x 3)2

B x x x  x

Lời giải

Khi đó: D   t 6 t 6 2014 t2 1978 , Dấu “= “ xảy ra khi:

Lại có x   1 0 x 1; x     3 x 3 x 3; 4            x 4 x x 4 A x 3 0 4 x 3 4Vậy MinA  4 x 1

Bài 8: (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 420) Tìm GTNN của

x

    



Bài 8: Tìm min hoặc max của: 2 4

B Phân thức có mẫu là bình phương của 1 nhị thức

Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau

1( 1)( 1)

2 min

11( 1)

Bài 9: Tìm min hoặc max của:

2 2

x H

Bài 14: Tìm min hoặc max của:

2000

x F

1

x x B

1 Bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu

Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau

Bài 4: [ HSG – Yên Phong – 2016 – 2017 ]

Tìm GTNN của các biểu thức sau 20102 2680 ( )





Lời giải

x B x

I x

11

x H x

Bài 21: Tìm min hoặc max của:

2 2

x P x

11

x G x

x P

x K

1 3( ) x

P x  x  

Bài 29: Tìm GTNN của biểu thức:

2 2

1( 1)

Ta có :  

2

2 2

 , Dấu bằng khi và chỉ khi x=0

2 Bậc của tử bằng bậc của mẫu

Bài 1: Tìm GTN N của các biểu thức sau

1( 1)( 1)

2

B x

 





Lời giải

Bài 5: Tìm GTLN của biểu thức sau 3 22 6 10  

11

N x

Bài 9: Tìm min hoặc max của:

2 2

2 2010

x P

Làm tương tự như các bài trên

Bài 11: Tìm min hoặc max của:

2 2

Bài 13: Tìm min hoặc max của:

2 2

Bài 18: Tìm min hoặc max của:

2 2

H

y y

          , làm giống các bài trên

Bài 20: Tìm min hoặc max của:

2 2

11

x J

y y

4

x y R

y y



Bài 29: Tìm min hoặc max của:

y y

H

y y

x x

Với y ≠ 0 chia cả tử và mẫu cho y2 ta được:

2 2 2 2

y y M

y y

y y

N

y y

1

y y P x y





 , Đặt

x x y y R

x x y y