Dirichlets Principle and some applications (Nguyên lý Dirichlet và một số ứng dụng)

THAI NGUYEN UNIVERSITY OF EDUCATION MATHEMATICS PROBLEM SEMINAR Problem Dirichlets Principle and some applications Subject Discrete math Lecturer Tran Nguyen An Author Nguyen Nhu Quynh Unit English for students of mathematics (NO1) June, 2022 27 CONTENT Introduction Page Chapter 1 Basic knownledge 3 1 1 Basic Dirichlet Principle 3 1 2 The Generalized Dirichlet Principle 3 1 3 Extended dirichlet principle 4 1 4 Dirichlets principle of set form 5 1 5 Dirichlets principle of the extended set 5 1.

THAI NGUYEN UNIVERSITY OF EDUCATION

MATHEMATICS

- -PROBLEM SEMINAR

Problem: Dirichlet's Principle and some applications

Subject: Discrete math

Lecturer: Tran Nguyen An

Author: Nguyen Nhu Quynh

Unit: English for students of mathematics (NO1)

June, 2022

Chapter 1: Basic knownledge 3

5.1 Apply Dirichlet’s principle in proving inequality 21

Conclution

The first formalization of the pigeonhole concept is believed to have been made byDirichlet (1805–1859) as what he called Schubfachprinzip or the “drawer/shelfprinciple” As Dirichlet published works in both German and French, he would alternatebetween calling the principle Schubfach and tiroir, which both translate to drawer.However, as Dirichlet’s father was a postmaster it is believed that the type of drawer hewas referring to might have best been translated to English as pigeon-hole, such as thosecommonly used for storing and sorting mail The first appearance of the term “pigeonholeprinciple” was used by mathematician Raphael M Robinson in 1940

One of the important principles of mathematics is the Dirichlet principle Dirichlet'sprinciple was proposed by the German mathematician Johnann Peter Gustav LejeuneDirichlet This is a fairly simple principle, but it has many applications in reasoning andsolving problems such as arithmetic, combinatorics, That's why we often encounter thistheorem in major exams like IMO or other international competitions

There are many problems that just need to prove the existence of a thing or aphenomenon without explicitly indicating that thing or phenomenon Therefore, theDirichlet principle may seem simple, but it is a very effective tool for proving manyprofound results in different areas of mathematics Dirichlet's principle is a very effectivetool used to prove many profound results of mathematics It especially has manyapplications in different areas of mathematics This principle in many cases is easy toprove the existence without giving a specific method, but in fact in many problems wejust need to show the existence is enough

For the above reasons, in this essay we have chosen the topic "Dirichlet's principle andits application" Hope it can become a useful document for readers

However, in the process of researching and understanding, despite efforts, it is difficult

to avoid errors Hope to receive suggestions from teachers and readers

Thank you sincerely!

CHAPTER 1: BASIC KNOWLEDGE

Dirichlet’s principle also known as the pigeonhole principle or the principle of rabbitcages or the principle of arranging objects in drawers (The Drawer Pinciple) – gives aprinciple of elemental division of classes

Nguyên tắc Dirichlet còn được gọi là nguyên tắc chuồng chim bồ câu hay nguyên tắc chuồng thỏ hay nguyên tắc sắp xếp đồ vật trong ngăn kéo (The Drawer Pinciple) - đưa

ra một nguyên tắc phân chia các lớp theo nguyên tố.

1.1. Basic Dirichlet Principle (Nguyên lý Dirichlet cơ bản): If k is a positive

integer and k+1 or more objects are placed into k boxes, then there is at least onebox containing two or more of the objects

Nếu k là một số nguyên dương và k + 1 hoặc nhiều đồ vật được xếp vào k hộp, thì

có ít nhất một hộp chứa hai hoặc nhiều đồ vật.

Proof (Chứng minh)

We prove the pigeonhole principle using a proof by contraposition Suppose that none

of the k boxes contains more than one object Then the total number of objects would be

at most k This is a contradiction, because there are at least k + 1 objects

Ta chứng minh nguyên tắc chuồng chim bồ câu bằng chứng minh phản đảo Giả sử rằng không có hộp nào trong k hộp chứa nhiều hơn một đồ vật Khi đó tổng số đồ vật nhiều nhất là k Đây là một sự mâu thuẫn, bởi vì có ít nhất k + 1 đồ vật.

a. Definition (Định nghĩa): Let x be a real number The ceiling function of x,

denoted by , is defined to be the least integer that is greater than or equal to x

Cho x là một số thực Phần nguyên của x, ký hiệu là ⌈x⌉, được xác định là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng x

b Remark 1(Nhận xét 1):

(i) = min{n | n x}

(ii) x – 1 < x < x + 1

(iii) – =

1.2. The Generalized Dirichlet Principle (Nguyên lý Dirichlet Tổng quát): If

N objects are placed into k boxes, then there is at least one box containing at leastobjects

Nếu xếp N đồ vật vào k hộp thì có ít nhất một hộp chứa ít nhất ⌈N / k⌉ đồ vật.

Proof (Chứng minh)

We will use a proof by contradiction Suppose that none of the boxes contains morethan - 1 objects Then by remark 1, the total number of objects is at most

k( -1) < k((- 1) = N

This is a contradiction because there is a total of N objects

Ta sẽ sử dụng chứng minh phản chứng Giả sử rằng không có hộp nào chứa nhiều hơn

- 1 đồ vật Khi đó, theo nhận xét 1, tổng số đồ vật nhiều nhất là

Nếu n con thỏ được nuôi trong m ≥ 2 cái lồng thì tồn tại một cái lồng có ít nhất [] con thỏ, ở đây ký hiệu [α] biểu thị phần nguyên của số α.

Ta chứng minh Nguyên lý Dirichlet mở rộng như sau: Nếu trái lại mỗi chuồng thỏ không có tối đa

[] = [ + 1] = [] + 1

con thỏ thì số thỏ trong mỗi chuồng nhỏ hơn hoặc bằng [] thỏ Từ đó suy ra rằng tổng

số thỏ không vượt quá m m[] ≥ n−1 con thỏ Điều này là vô lý vì có n con thỏ Do đó, giả thuyết là sai.

1.4. Dirichlet's principle of set form (Nguyên lý của Dirichlet dạng tập hợp)

Let A and B be two non-empty sets with a finite number of elements, where thenumber of elements of A is greater than the number of elements of B If by some rule,each element of A gives the equivalent corresponds to an element of B, then thereexist at least two distinct elements of A that correspond to an element of B

Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng phần tử của A lớn hơn số lượng phần tử của B Nếu với một quy tắc nào đó, mỗi phần tử của

A cho tương ứng với một phần tử của B, thì tồn tại ít nhất hai phần tử khác nhau của

A mà chúng tương ứng với một phần tử của B.

1.5. Dirichlet's principle of the extended set (Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp mở rộng)

Suppose A and B are two finite sets, and S(A), S(B) are denoted by the numbers ofelements of A and B respectively Suppose there is some natural number k thatS(A)>k.S(B) and we have a rule that corresponds each element of A to an element of B.Then there exist at least k+1 elements of A that correspond to the same element of B.Note: When k = 1, we immediately have Dirichlet's principle

Giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn và S(A), S(B) tương ứng kí hiệu là các số lượng phần tử của A và B Giả sử có một số tự nhiên k nào đó mà S(A) > k.S(B) và ta có quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử của A với một phần tử của B Khi đó tồn tại ít nhất k + 1 phần tử của A mà chúng tương ứng với cùng một phần tử của B.

Chú ý: Khi k = 1, ta có ngay lại nguyên lý Dirichlet.

1.6. Application method (Phương pháp ứng dụng)

Dirichlet's principle may seem so simple, but it is a very powerful tool used toprove many profound results of mathematics Dirichlet's principle is also applied toproblems of geometry, which is demonstrated through the following system ofexercises:

To use Dirichlet's principle, we must make a situation where "rabbit" is locked in

a "cage" and satisfy the following conditions:

+ The number of "rabbits" must be more than the number of cages

+ "Rabbits" must be put in all "cages", but it is not mandatory that every cage hasrabbits

Often the Dirichlet method is applied together with the counterargument method

In addition, it can also be applied to other principles

Nguyên lí Dirichlet tưởng chừng như đơn giản như vậy, nhưng nó là một công cụ hết sức có hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết quả hết sức sâu sắc của toán học Nguyên lí Dirichlet cũng được áp dụng cho các bài toán của hình học, điều đó được thể hiện qua hệ thống bài tập sau:

Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất hiện tình huống nhốt "thỏ" vào

"chuồng" và thoả mãn các điều kiện:

+ Số "thỏ" phải nhiều hơn số chuồng.

+"Thỏ" phải được nhốt hết vào các "chuồng", nhưng không bắt buộc chuồng nàocũng phải có thỏ.

Thường thì phương pháp Dirichlet được áp dụng kèm theo phương pháp phản chứng Ngoài ra nó còn có thể áp dụng với các nguyên lý khác

CHAPTER 2: APPLICATION OF DIRICHLET

PRINCIPLE TO COMBINED GEOLOGY PROBLEM

Theorem 2.1: Dirichlet's principle for area (Nguyên lí Dirichlet cho diện tích)

If K is a plane figure, and K1, K2, , Kn are plane figures such that Ki K and i=and where is the area of the plane K, and Ki is the area of the plane Ki,i= then thereexist at least two planes Hi, Hj (1) such that Hi and Hj have a common interior point.(Here we say that P is the interior point of the set A on the plane, if there exists a shape

in the center of P with a small enough radius such that the circle is completely insideA.)

Nếu K là một hình phẳng, còn K 1 , K 2 , , K n là các hình phẳng sao cho K i ⊆ K với i

= và < Ở đây là diện tích của hình phẳng K, còn |K i | là diện tích của hình phẳng

K i , i=, thì tồn tại ít nhất hai hình phẳng H i , H j , (1 ≤ i ≤ j ≤ n) sao cho H i và H j có điểm trong chung (Ở đây ta nói rằng P là điểm trong của tập hợp A trên mặt phẳng, nếu như tồn tại hình tròn tâm P bán kính đủ bé sao cho hình tròn này nằm trọn trong A).

Theorem 2.2: Infinite Dirichlet's Principle (Nguyên lí Dirichlet vô hạn)

If an infinite set of apples is placed into a finite number of drawers, then at leastone drawer must contain infinitely many apples

Nếu chi một tập hợp vô hạn các quả táo vào hữu hạn các ngăn kéo, thì phải ít nhất một ngăn kéo chứa vô hạn quả táo.

Problem 1: Let the base pyramid be a nine-sided polygon All sides and 27

diagonals of the base polygon are highlighted in either red or blue Prove that there

exist three vertices of the pyramid such that they are the vertices of the triangle withthe edges highlighted in the same color.

Cho hình chóp đáy là đa giác chín cạnh Tất cả các cạnh bên và 27 đường chéo của đa giác đáy được bôi bằng một trong hai màu đỏ hoặc xanh Chứng minh rằng tồn tại ba đỉnh của hình chóp sao cho chúng là những đỉnh của hình tam giác với các cạnh được bôi cùng màu.

Solution (lời giải)

Consider the side Since these nine edges are painted with only two colors, blue orblue, according to Dirichlet's principle there are five edges painted with the samecolor No reduction in general can be said that the edges SA1, SA2, SA3, SA4, SA5 arepainted with the same red, points A1, A2, A3, A4, A5 are arranged in a counter-clockwise direction Considering the polygon A1A2 A3A4A5 there are two possibilities:

1. If is the diagonal of the bottom, then of course are also the diagonals ofthe bottom The following two possibilities happen again

a) If all three segments , are highlighted in blue Then are the three vertices

to be found, because triangle is a triangle with three green sides

b) If one of the segments , is red Assuming is red, then S is a triangle withthree red sides Now S, are the three vertices to be found Case 1 has been solved

2. If A1A2 is the base edge Then of course A1A3, A3A5 is definitely the bottomdiagonal

a) If is the base diagonal, we return to the case 1 just considered, where is atriangle with three sides being the base diagonal

b) If is the base edge Then it is clear that , are the bottom diagonals

If is the base diagonal, we return to the case 1, if is the side Consider the followingtwo possibilities:

1. If is the base diagonal, is triangle with three sides are the three diagonals

of the base, we return to the case 1

2. If is the base egde Then consider triangle and return to the case 1

Xét chính cạnh bên Vì chính cạnh này được bôi bằng hai màu đoe hoặc xanh, nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại năm cạnh bên được bôi cùng màu Không giảm tổng quá có thể cho đó là các cạnh bên SA 1 , SA 2 , SA 3 , SA 4 , SA 5 được bôi cùng màu đoe, các điểm A 1 ,

A 2 , A 3 , A 4 , A 5 xếp theo chiều ngược chiều kim đồng hồ Xét đa giác A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 Có hai khả năng sau xảy ra:

có hai khả năng sau xảy ra:

a) Nếu cả ba đoạn, cũng bôi màu xanh Khi đó là ba đỉnh cần tìm, vì tam giác

là tam giác với ba cạnh xanh.

b) Nếu một trong các đoạn, là đỏ Giả sử đỏ, thì là tam giác S với ba cạnh đỏ Lúc này S, là ba đỉnh cần tìm.

Trường hợp 1 đã giải quyết xong.

2. Nếu A 1 A 2 là cạnh đáy Khi đó dĩ nhiên A 1 A 3 , A 3 A 5 chắc chắn là đường chéo đáy.

a) Nếu A 1 A 5 là đường chéo thì ta quay về trường hợp 1, với là tam giác với ba cạnh là ba đường chéo đáy

b) Nếu A 1 A 5 là cạnh đáy Khi đó rõ ràng , là các đường chéo đáy.

Nếu là đường chéo đáy, ta quay về trường hợp 1, nếu là cạnh bên Lại xét hai khả năng sau:

1. Nếu là đường chéo đáy, thì tam giác là tam giác với ba cạnh là ba đường chéo đáy, ta quay về trường hợp 1.

2. Nếu là cạnh đáy Khi đó ta xét tam giác và

quay về trường hợp 1.

Problem 2: In the unit square (side equals 1) there

are 101 points.Prove that there are five points in the

selected points covered by a circle of radius

Trong hình vuông đơn vị( cạnh bằng 1) có 101 điểm Chứng minh rằng có năm điểm trong các điểm đã chọn được phủ bởi một đường trón bán kính .

Solution.(Lời giải)

Divide the square into 25 equal squares, each side of the square is 0.2 The wallet has

101 points, but only 25 squares, so according to Dirichlet's principle there exists a smallsquare containing at least five points (of which 101 points are given) Since this square isinscribed in a circle of radius R= =

Since ,the circle is concentric with the above circumscribed circle and has radiuscontaining at least five of the aforementioned points

Chia hình vuông làm 25 hình vuông bằng nhau, mỗi cạnh của hình vuông là 0,2 Vì có

101 điểm, mà chỉ có 25 hình vuông, nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại hình vuông nhỏ chứa ít nhất năm điểm (trong 101 điểm đã cho) Vì hình vuông này nội tiếp trong đường tròng bán kính R= =

Do nên dĩ nhiên đường tròn đồng tâm với đường trong ngoại tiếp trên có bán kính chứa ít nhất năm điểm nói trên.

Problem 3: In space for 30 non-zero vectors Prove that among them are two vectors

whose angle is less than 45o

Trong không gian cho 30 vectơ khác không Chứng minh rằng trong số đó có hai vectơ

mà góc giữa chúng nhỏ hơn 45 o

Solution ( Lời giải)

It can be assumed that all vectors have the same starting point O Take OA of length 1

on the first vector We construct a vertex cone O on the axis OA, whose vertex angle is

45o The problem will be proven if we show that at least two of the 30 cones have aninterior point in common

We draw a sphere S with center O and radius 1 Each time we construct a cone thatintersects the sphere S a shape with an area that can be calculated We also see that twocones have a common interior if and only if the parts of the sphere must also have acommon interior From this and Dirichlet's principle we only need to check that the sum

of the areas of the 30 shapes on the sphere is greater than

the area of the sphere (which is equal to 4π)

We have that = 2π(1-)=2π(1-).

So 30 2π(1-) 4π

This implies that < or <

Có thể giả thiết rằng tất cả vecto có chung điểm đầu O Lấy OA với độ dài bằng 1

toán sẽ được chứng minh nếu chúng ta chỉ ra rằng ít nhất hai trong số 30 hình nón có điểm trong chung

Chúng ra xét hình cấu S với tâm O và bán kính 1, Mỗi lần dựng nón cắt mặt cầu S một hình với diện tích mà có thể tính toán được Ta cũng thấy rằng hai hình nón có điểm trong chung khi và chỉ khi những phần trên mặt cầu cũng phải có điểm trong chung Từ điều này và nuyên lý Dirichlet chúng ra chỉ cần thiết kiểm tra tổng diện tích của 30 hình trên mặt cầu lớn hơn diện tích mặt cầu ( bằng 4π)

Chúng ta có = 2π(1-)=2π(1-) Vậy 30 2π(1-) 4π Điều đó kéo theo < hoặc

<

Problem 4: Let A be the set of convex and bounded points in the plane, and P1, P2, P3,

P4, P5 the points belonging to A Let Ai be the set obtained from A after a translation ofthe points along the vector P1Pi ( i=1,2,3,4,5) Prove that at least two sets of

Ai(i=1,2,3,4,5) have something in common

Cho A là tập hợp lồi và bị chặn những điểm trong mặt phẳng, còn P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P 5 là

vectơ P 1 P i (I = 1, 2, 3, 4, 5) Chứng minh rằng ít nhất có hai tập hợp trong số các A i (i=

1, 2, 3, 4, 5) có điểm chung

Solution (Lời giải)

We separate two cases where A may or may not have an interior point

1 Case A has an inside point The symbol A is the set,

which it gets from A’, after affecting the predicate

predicate P1 and the predicate coefficient 2 Then the

following formula is correct AiA’

Indeed, if Q and Qi are images of Q through vector

translation , P1PiQ1Qi is a parallelogram The symbol Q”

is the midpoint of P1Qi Obviously Q”, since Q and Pi are

elements of A and A are convex On the other hand, P1Qi

=2P1Q” and since A’ is the image of A through the self-centred predicate P1 andcoefficient 2, the point Qi is in the set A Thus each set of the sets Ai is in A At the sametime, each set of Ai is in the set A simultaneously with A and deduce S(Ai)=S(A).Therefore

S(A1) + S(A2) + S(A3) + S(A4) + S(A5) = 5S(A) (1)

But the set A' is similar because A has a coefficient of 2 Deduce

S(A') = 4S(A) (2)

On the other hand, A has an interior point, so S(A) > 0 That is, from (1) and (2) itfollows that S(A1) + S(A2) + S(A3) + S(A4) + S(A5)> S(A’)

Thus in the case of a problem deduced from Dirichlet's principle for area

2 Where A has no interior point, A will lie on a line Indeed, if at least three points lie

on a line, due to convexity A contains the entire triangle with vertices at these points,infer that A has an interior point But the convex set, which is bounded on a line is exactlythe line segment on this line The rest of the reasoning is the same as above But in thecase of a straight line only 3 points and Dirichlet's principle of length are needed

Chúng ta chia ra hai trường hợp A có thể hoặc có thể không có điểm trong.

tác động vị tự tâm P 1 và hệ số vị tự 2 Khi đó công thứ sau đúng A i A’

Thật vậy, nếu Q và Q i là ảnh của Q qua phép tịnh tiến theo vectơ, thì P 1 P i Q 1 Q i là hình bình hành Ký hiệu Q” là trung điểm của P 1 Q i Rõ ràng Q”, vì Q và P i là phần tử của

A và A lồi Mặt khác P 1 Q i =2P 1 Q” và vì A’ là ảnh của A qua phép vị tự tâm P1 và hệ

số 2, nên điểm Q i nằm trong tập hợp A Như vậy mỗi tập trong các tập A i nằm trong A Đồng thời mỗi tập của A i đồng thời với A và suy ra S(A i )=S(A) Do đó

S(A 1 ) + S(A 2 ) + S(A 3 ) + S(A 4 ) + S(A 5 ) = 5S(A) (1)

Nhưng tập hợp A’ đồng dạng cới A với hệ số 2 Suy ra

ít nhất ba điểm nằm trên một đường thẳng, do tính chất lồi A chứa toàn bộ hình tam giác với đỉnh là các điểm này, suy ra A có điểm trong Nhưng tập lồi, bị chặn trên một đường thẳng chính là đoạn thẳng trên đường thẳng này, Phần còn lại lý luận tương tự như phần trên Nhưng trong trường hợp trên đường thẳng chỉ cần 3 điểm và nguyên lý Dirichlet về độ dài.

SELF PRACTICE EXERCISES

Exercise 1: Let each point on the plane be colored with either blue or red Prove thatthere exists a triangle whose three vertices and the centroid have the same color

Cho mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bằng một trong hai màu xanh, đỏ Chứng minh rằng tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và trọng tâm cùng màu.

give any 13 points Prove that among these 13 points, there are always 2 points whosedistance is not greater than 1cm

bất kì Chứng minh rằng trong 13 điểm ấy luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1cm.

Exercise 3: If a surface A in the plane satisfies the condition S(A) > 1, then it alwayscontains at least two points in (x1, y1), (x2, y2) whose difference x2-x1 and y2-y1 are integer

Nếu một bề mặt A trong mặt phẳng thỏa mãn điều kiện S(A)>1 thì nó luôn luôn chứa ít nhất hai điểm trong (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) mà hiệu x 2 -x 1 and y 2 -y 1 là những số nguyên

Exercise 4: On the plane for 25 points Know that among the three odd points there arealways two points less than 1 apart Prove that there exists a circle of radius 1 containingnot less than 13 given points

Trên mặt phẳng cho 25 điểm Biết rằng trong ba điểm bết kì trong số đó luôn luôn tồn tại hai điểm cách nhau nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng tồn tại hình tròn bán kính 1 chứa không ít hơn 13 điểm đã cho

Exercise 5: Let nine lines have the same property that each line divides the square intotwo quadrilaterals whose area ratio is Prove that at least three of these lines pass throughthe same point

Cho chín đường thẳng cùng có tính chất là mỗi đường thẳng chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng Chứng minh rằng có ít nhất ba đường thẳng trong số

đó cùng đi qua một điểm.

CHAPTER 3: APPLICATION OF DIRICHLET'S PRINCIPLE TO ARITHMETIC

Problem 1: Given a square table with size 10x10 consisting of 100 units squares.

Filling each square of this table with a positive integer not exceeding 10 such that the twonumbers in the two squares sharing the same side or the same vertex are co-prime Provethat in the given square table, there is a number occurring at least 17 times

Cho bảng ô vuông kích thước 10x10 gồm 100 ô vuông đơn vị Điền vào mỗi ô vuông của bảng này một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai số ở hai ô vuông chung cạnh hoặc chung đỉnh nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng trong bảng ô vuông đã cho có một số xuất hiện ít nhất 17 lần

SolutionConsider a square with side 2x2, since this square has each small square thatalways shares the same side or vertex, there exists at most 1 even number, at most 1number is divisible by 3 Thus, there are at least 2 odd numbers that are not divisible by

3 Table 10x10 is divided into 25 squares with side 2x2, so there are at least 50 oddnumbers that are not divisible by 3 From 1 to 0, there are 3 odd numbers that are notdivisible by 3 which are 1, 5, 7 Applying Dirichlet's principle, one of the three abovenumbers appears at least [] +1 = 17 times

Xét hình vuông cạnh 2x2, do hình vuông này có mỗi hình vuông nhỏ luôn chung cạnh hoặc chung đỉnh nên tồn tại nhiều nhất 1 số chẵn, nhiều nhất 1 số chia hết cho 3 do

đó có ít nhất 2 số lẻ không chia hết cho 3 Bảng 10x10 được chia thành 25 hình vuông có cạnh 2x2 nên có ít nhất 50 số lẻ không chia hết cho 3 Từ 1 đến 0 có 3 số lẻ không chia hết cho 3 là 1, 5, 7 Áp dụng nguyên lí Dirichlet ta được một trong ba số trên xuất hiện ít nhất [] +1 = 17 lần.

Problem 2: In the final round of chess, there are 8 participants Any 2 participants

must play with each other and each participant must meet all 7 of his opponents Provethat at all times of the game, there are always 2 participants competition participants whohave played the same number of matches

Ở vòng chung kết cờ vua có 8 bạn tham gia Hai bạn bất kỳ đều phải đấu với nhau một trận và người nào cũng phải gặp đủ 7 đấu thủ của mình Chứng minh rằng trong mọi thời điểm của cuộc đấu, bao giờ cũng có hai đấu thủ đã đấu một số trận như nhau.

SolutionSuppose that the number of matches of participants in the chess competition is a1;

a2; ; a8 Since 2 participants play with each other 1 time, we have 0 ai 7, 1 i 8.Consider the following cases:

+) Up to that point, there is one participant who has not played any match, so noparticipant has played all 7 matches

Then 0 ai 6, 1 i 8, so there exists ak = am It means that there are two participantswho participant in the same number of matches

+) Up to the present time, each of participant has played at least one time

Then we have 0 ai 7, 1 i 8, so there exists ak = am It means that there are twoparticipants who played the same number of matches

Therefore, the problem is proved