(SKKN mới NHẤT) rèn LUYỆN một số kỹ NĂNG GIẢI NHANH bài TOÁN TRẮC NGHIỆM PHẦN cực TRỊ của hàm số NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG đại TRÀ TRONG kỳ THI TN THPT QUỐC GIA

Lý do chọn đề tài Trong chương trình giải tích 12 việc ứng dụng kiến thức đạo hàm để tìm cực trị của một hàm số f x là phần kiến thức cơ bản mà đa số học sinh làm được ở mức độ vận dụn

TRƯỜNG THPT ĐÔ LƯƠNG 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Tên đề tài:

RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI NHANH BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM PHẦN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ĐẠI TRÀ TRONG

KỲ THI TN THPT QUỐC GIA

Giáo viên: Nguyễn Thị Minh Tần

Tổ: Toán – Tin ĐT: 0396965377 Lĩnh vực: Toán học

NĂM HỌC 2021-2022

Trang

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình giải tích 12 việc ứng dụng kiến thức đạo hàm để tìm cực trị của một hàm số ( )f x là phần kiến thức cơ bản mà đa số học sinh làm được ở

mức độ vận dụng thấp Tuy nhiên từ năm học 2019-2020 đến nay là các năm học gặp nhiều khó khăn do dịch bệnh COVID-19 xảy ra Trong tình hình học sinh phải nghỉ học dài hạn để phòng ngừa dịch COVID-19, ngành Giáo dục tỉnh Nghệ An đang hướng dẫn các trường thực hiện việc ôn tập kiến thức cho học sinh các cấp để các em không “bỡ ngỡ” khi trở lại học bình thường trong thời gian tới đặc biệt lưu

ý các khối lớp cuối cấp và có đưa ra ra những giải pháp hợp lí dạy học trong toàn Tỉnh Sở GD&ĐT đã chỉ đạo các trường học tận dụng triệt để mạng Internet, mạng

xã hội, kênh phát sóng ôn tập của đài truyền hình…để hướng dẫn học sinh các khối lớp cập nhật, ôn tập kiến thức Cùng với thực hiện các giải pháp phòng, chống dịch COVID-19, tập thể sư phạm trường THPT Đô Lương 3 luôn nỗ lực đảm bảo hoạt động giáo dục của nhà trường được duy trì chất lượng giáo dục đại trà một cách hiệu quả Với mục đích là xây dựng một chuyên đề để bồi dưỡng cho học sinh và quan trọng hơn là nhằm mục đích bồi dưỡng chuyên môn cho chính bản thân mình,

tôi xin mạnh dạn đưa ra đề tài “Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số nhằm nâng cao chất lượng đại trà trong kỳ thi TN THPT Quốc gia”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề tài giúp học sinh cũng cố kiến thức phần cực trị của hàm số, xây dựng một hệ thống bài tập theo từng cấp độ để học sinh tiếp nhận kiến thức một cách nhẹ nhàng Làm cho học sinh biết vận dụng linh hoạt phương pháp tìm cực trị của hàm số, biết quy lạ về quen, rèn luyện tư duy sáng tạo và phát triển kỹ năng giải bài toán trắc nghiệm hàm số nhanh và chính xác Ngoài ra cũng tìm hiểu những khó khăn của học sinh trong học tập toán lớp 12, bước đầu tìm ra những biện pháp giúp học sinh khi thực hành giải toán trắc nghiệm góp phần nâng cao chất lượng dạy học và kết quả trong kỳ thi TN THPT Quốc gia

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài này nghiên cứu một số kỹ năng, phương pháp giải bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số Đối tượng hướng đến là học sinh khối 12, học sinh ôn thi THPT Quốc Gia và giáo viên dạy toán bậc THPT

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài trong quá trình nghiên cứu tôi

đã sử dụng các phương pháp sau:

- Nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Thu thập thông tin và nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài, nghiên cứu SGK lớp 12

- Phương pháp phân tích và hệ thống hóa các tài liệu

- Nhằm phân tích các tài liệu có liên quan đến biện pháp giúp đỡ học sinh yếu kém trong học tập môn toán ở lớp cuối cấp THPT, trong đó chú trọng sách giáo khoa, sách giáo viên, chương trình giảm tải toán lớp 12 để nắm chuẩn kiến thức, kỹ năng trong dạy học môn toán ở khối lớp này

- Tìm hiểu thực tế qua việc giảng dạy, giải đề thi thử THPT Quốc Gia

1.5 Những điểm mới của SKKN

- Hướng dẫn học sinh biết vận dụng kiến thức căn bản về việc giải nhanh, chính xác một số dạng bài tập trắc nghiệm phần cực trị của hàm số và một số

“mẹo” khi giải toán trắc nghiệm nhằm giúp học sinh có hứng thú học tập môn Toán

- Đưa ra hệ thống bài tập vận dụng phương pháp giải trên

PHẦN II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

II CƠ SỞ THỰC TIỄN

Năm học 2020-2021 trường THPT Đô Lương 3 khối 12 có 12 lớp Sau khi thi khảo sát chất lượng lần 1 Căn cứ vào kết quả thi BCM, Ban giám hiệu đã phân luồng học sinh khối 12 theo các lớp sau:

+ Lớp chống liệt gồm: 12C1

+ Các lớp chống trượt gồm: 12C2, 12C3, 12C4, 12C5, 12C6

+ Các lớp ĐH, CĐ gồm: 12A1, 12A2, 12A3, 12A4, 12A5, 12A6

Tôi được Ban giám hiệu phân công dạy 3 lớp 12C1, 12C5, 12C6 kết quả thi khảo sát chất lượng lần 1 là:

III THỰC TRẠNG CỦA ĐỂ TÀI

Qua thực tế dạy ôn thi tốt nghiệp các lớp được phân công, đặc biệt lớp 12C1 tôi nhận thấy:

- Hầu hết các em lớp 12C1 đều có một nguyên nhân chung là: kiến thức ở các lớp dưới bị hổng; không có phương pháp học tập; tự ti, rụt rè, thiếu hào hứng trong học tập

- Ở mỗi học sinh yếu bộ môn toán đều có nguyên nhân riêng, rất đa dạng Có thể chia ra một số loại thường gặp là:

+ Do quên kiến thức cơ bản, kỹ năng tính toán yếu

+ Do chưa nắm được phương pháp học, năng lực tư toán học kém phát triển + Do lười học

+ Do do điều kiện khách quan tác động, học sinh có hoàn cảnh đặc biệt

- Xác định rõ một trong những nguyên nhân trên đối với mỗi học sinh là điều quan trọng Công việc tiếp theo là giáo viên có biện pháp để xoá bỏ dần các nguyên nhân đó, nhen nhóm lại lòng tự tin và niềm hứng thú của học sinh đối với việc học môn Toán

IV CƠ SỞ LÍ THUYẾT

xx thì ta nói học số ( )f x đạt cực đại tại x 0

b) Nếu tồn tại h0 sao cho f x( ) f x( )0 với mọi x(x0h x; 0 h) và

xx thì ta nói học số ( )f x đạt cực tiểu tại x

Chú ý:

1 Nếu hàm số f x đạt cực đại (cực tiểu) tại ( ) x thì 0 x được gọi là điểm cực 0

đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f x được gọi là giá trị cực đại (giá trị ( )0

cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f CÐ (f CT), còn điểm M x f x( ; ( ))0 0 được gọi

là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số

2 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) cond gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị

a) Nếu f x'( )0 trên khoảng (x0 h x; 0) và f x'( )0 trên khoảng ( ;x x0 0 h)

thì x là một điểm cực đại của hàm số ( )0 f x

b) Nếu f x'( )0 trên khoảng (x0 h x; 0) và f x'( )0 trên khoảng ( ;x x0 0 h)

thì x là một điểm cực tiểu của hàm số ( )0 f x

Quy tắc 1:

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2 Tính f x Tìm các điểm tại đó f x bằng 0 hoặc f x không xác định

Bước 3 Lập bảng biến thiên

Bước 4 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

Định lý 2: Giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm cấp hai trong khoảng

(x h x; h), với h0 Khi đó:

a) Nếu f x'( )0 0, "( )f x0 0 thì x là điểm cực tiểu; 0

b) Nếu f x'( )0 0, "( )f x0 0 thì x0là điểm cực đại

Áp dụng định lí 2, ta có quy tắc 2 để tìm các điểm cực trị của một hàm số

- Điểm cực đại (cực tiểu) của hàm số là x , giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm số 0

là f x (hay ( )0 y CÐ hoặc y ) Điểm cực đại của đồ thị hàm số là CT M x f x( ; ( ))0 0

- Nếu M x f x( ; ( ))0 0 là điểm cực trị của đồ thị hàm số

( ) 0( )

a) Cho bảng biến thiên

Ví dụ 1: Cho hàm số y f x  xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A Hàm số có đúng một cực trị

B Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1

C Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1

Lời giải

 Do hàm số xác định tại x0 và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi x

qua x0 nên hàm số đạt cực đại tại x0

 Do hàm số xác định tại x1; ' 1y  0 và đạo hàm đổi dấu từ dương sang

âm khi x qua x1nên hàm số đạt cực tiểu tại x1 Chọn D

Mở rộng: Trong bảng biến thiên của ví dụ 1, ta thay đổi như sau:

Cho hàm số y f x  xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hàm số có đúng một cực trị

B Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1

C Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1

D Hàm số đạt cực đại tại x0 và đạt cực tiểu tại x1

Nhận xét: Ta có thể mở rộng bài toán bằng cách thay đổi giả thiết để học sinh từ

đó có thể tự mình phát triển thành các câu hỏi khác từ bài tập của giáo viên

Ví dụ 2: Cho hàm số y f x  liên tục tại x và có bảng biến thiên 0

Khi đó hàm số đã cho có:

A Hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu

B Một điểm cực đại, không có điểm cực tiểu

C Một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu

D Một điểm cực đại, một điểm cực tiểu

x

0

-1

 có đồ thị  C và bảng biến thiên sau:

Tìm m sao cho hàm số f x đạt cực trị ít nhất tại một điểm mà điểm đó lớn  

hơn 1.

A m2. B 2

2

m m

Ta có nghiệm của f ' x 0 cũng là hoành độ giao điểm của g x m

Khi đó từ bảng biến thiên ta có YCBT  m 2. Chọn A

b) Cho f ' x hoặc đồ thị của f ' x

Do x1 là nghiệm kép nên không là điểm cực trị của hàm số

Do x0 là nghiệm đơn nên là điểm cực trị của hàm số

Nhận xét: Như vậy học sinh có thể tự cho mình các ví dụ tương tự Qua ví dụ này

nhấn mạnh cho học sinh cách nhận dạng số điểm cực trị của hàm số y f x( ) khi biết hàm số đạo hàm của nó là số cực trị bằng số nghiệm đơn và số nghiệm bội lẻ của phương trình '( )f x =0

Ví dụ 2: Hàm số f x có đạo hàm   f ' x trên khoảng K Cho đồ thị của hàm số

f x trên khoảng K như sau:

Số điểm cực trị của hàm số y f x 2022 trên K là:

0

y

x

Lời giải

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình y' f ' x y; '0 có ba nghiệm đơn nên 'y

đổi dấu khi qua nghiệm đơn này Do đó suy ra hàm số y f x 2022 có ba điểm

cực trị Chọn C

Ví dụ 4: Hàm số f x có đạo hàm   f ' x trên khoảng K Cho đồ thị của hàm số

 

'

f x trên khoảng K như sau

Số điểm cực trị của hàm số y f x 2x2022 trên K là:

Ví dụ 5: Hàm số f x có đạo hàm   f ' x trên Cho đồ thị của hàm số f ' x

như sau:

Số điểm cực trị của hàm số   1 2

20222

Dựa vào đồ thị trên ta thấy phương trình ' 0y  có ba nghiệm x1; 2;1

Trong đó x 2 là nghiệm kép ( '( )y x không đổi dấu qua nghiệm đó)

Do đó suy ra hàm số   1 2

20222

y f x  x  x có hai điểm cực trị Chọn B

Học sinh có thể khó khăn trong quá trình xét dấu ' y , giáo viên có thể gợi

mở bằng câu hỏi: Đường thẳng y x 1 chia mặt phẳng thành 2 miền, hãy xác

định dấu mỗi miền? Từ đó giúp học sinh nhớ lại kiến thức cũ và căn cứ vào đó xác định được dấu ' y

Ví dụ 6: Hàm số f x có đạo hàm   f ' x trên Cho đồ thị của hàm số f ' x

x y

O

Lời giải

Căn cứ vào sự đi lên đi xuống của đồ thị ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị Chọn A

Từ các phép biến đổi đồ thị hàm số chúng ta có thể cho học sinh tìm ra số cực trị của hàm mới

Ví dụ 2: Cho hàm số y f x  có đạo hàm và liên tục trên , hàm số y f x đồ thị như hình vẽ:

Qua ví dụ này tôi cho học sinh nhắc lại cách vẽ đồ thị hàm số y f x( ) Từ

đó nhìn vào đồ thị các em sẽ biết được số cực trị của hàm y f x( ) khi biết đồ thị hàm số y f x( )

Ví dụ 3: Cho hàm số y f x  có đạo hàm và liên tục trên , hàm số y f x đồ thị như hình vẽ:

x

Đồ thị hàm số y f  x có 5 điểm cực trị Chọn D

Từ ví dụ này tôi cũng cho các em nhắc lại cách vẽ đồ thị hàm số y f x( )

Từ đồ thị hướng dẫn tìm công thức tổng quát số cực trị của hàm y f x( ) bằng số cực trị có hoành độ dương của hàm số y f x( ) nhân 2 +1

Ví dụ 4: Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên , hàm số y f x đồ thị như hình vẽ:

-1 0

1 2 3 4 5 6

y=|2f(x)-3|

Đồ thị hàm số y 2f x 3 có 7 điểm cực trị Chọn C

Thông thường khi gặp các dạng này tôi hướng dẫn học trò dùng phương pháp

ghép trục để giải đa số các em đều giải tốt

Cách 2:

Đặt u2 ( ) 3f x  ' '

( )

1 0 0

2

x x u

x

 



 



  

 

 



các nghiệm đơn

x  -1 0 a 2 

  ' u x + 0  0 + 0  0 +

  u x

3

1 1

-7

f u 7

3

1 1

Dựa vào bảng ta thấy hàm số đã cho có 7 cực trị

Ví dụ 5: Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên , hàm số y f x đồ

thị như hình vẽ:

-1

-1 0

y

x

1 2

-2 2 3

1 2 3 4 5 6 7 8

Đồ thị hàm số   2

1

y f x   có 13 điểm cực trị Chọn D

Ngoài ra trong quá trình dạy học tôi có hướng dẫn học sinh về “PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN SỐ NGHIỆM HAY SỐ

CỰC TRỊ … ”

Cách 2: Cụ thể bài này dùng ghép trục đa số các em đều làm tốt cụ thể tôi làm như sau   2 1 y f x   x  x 1 -1 x 2 0 x 3 x 4 2 

  ' u x  0 + 0  0 + 0  0 + 0  0 +

( ) u x 8

3 3 3

1 1 1

-1 -1 -1

Dựa vào bảng ta thấy đồ thị   2

1

y f x   có 13 điểm cực trị

Như vậy học sinh có thể tự đặt ra các câu hỏi khác cho mình dựa trên các phép biến đổi đồ thị hoặc có thể cho tham số vào để hỏi số cực trị

Dạng 2 TÌM CỰC TRỊ VÀ GIÁ TRỊ CỰC TRỊ

a) Phương pháp giải

 PP tự luận: Lập bảng biến thiên của hàm số y f x  từ đó tìm điểm cực trị của hàm số, giá trị cực trị của hàm số và điểm cực trị của đồ thị hàm số

 PP trắc nghiệm: Sử dụng máy tính, tính giá trị đạo hàm của hàm số

 

y f x tại các giá trị lân cận của xx0 để xác định dấu của f x khi x

qua x , từ đó biết 0 x là điểm cực đại hay điểm cực tiểu của hàm số 0

b) Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hàm số 4 2 3 2

3

yx  x x Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số có giá trị cực tiểu là 0

B Hàm số có hai giá trị cực tiểu là 2

3

 và 5

48



C Hàm số chỉ có một giá trị cực tiểu

Dựa vào bảng biến thiên ta có đáp án B

Sai lầm thường gặp của học sinh là

- Nhầm lẫn giữa giá trị cực trị với điểm cực trị nên chọn A

- Nhầm sang trường hợp hàm số là hàm bậc 4 trùng phương chỉ có 1 giá trị cực tiểu nên chọn C

Ví dụ 2: Tọa độ điểm cực đại của hàm số 3 2

Vậy điểm cực đại là  0;4

Có thể lập bảng biến thiên để kết luận

Trong quá trình giảng dạy tôi có kết hợp Casio hướng dẫn các em tìm cực trị những dạng toán tương tự ví dụ 2 nên đối tượng học sinh trung bình các em đều làm được

Cách 2: Ta có: y 3x2 6 x

00

2

x y

Trường hợp 1: ab0 Khi đó f x vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất  

 f x có nghiệm duy nhất x0 và f x đổi dấu đúng một lần khi x đi qua 0

 f chỉ có một cực trị

Trường hợp 2: ab0 Khi đó f x  có hai nghiệm phân biệt khác 0

 f x có ba nghiệm và f x đổi dấu liên tiếp khi x đi qua ba nghiệm

m a

+ x0 là điểm cực tiểu 0

0

'( ) 0''( ) 0

m m

+Thay giá trị của m vào '

- Áp dụng vi-et tìm giá trị của m

Các bài toán so sánh một số với các nghiệm x1 ;x2 của tam thức bậc hai

Cách TN: Thử m trên từng khoảng tương ứng

Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương

 PT y' = 3(m+2)x 2 + 6x+ m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt

302

Cách TN: Thử m trên từng khoảng tương ứng vào chức năng Mode 7 đối máy 570

vn hoặc mode8 đối máy 580 hoặc dùng chức năng tìm nghiệm thử m từng đáp án.

Ví dụ 3: Cho hàm số 3 2

yx   m x  m x m (m là tham số) (1) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

5475

m m

m m

1 2

1 2

1 2323

m

m m

Cách TN: Thử m trên từng khoảng tương ứng

Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị: đối xứng qua một đường thẳng cho trước, thỏa mãn dữ kiện liên quan đến diện tích hoặc khoảng cách

* Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đối xứng qua một đường thẳng (d) cho

trước:

Phương pháp:

-Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có2 điểm cực trị A,B

- Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

-I là trung điểm của AB A,B đối xứng qua (d)  I d d

-Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A,B

- Sử dụng điều kiện về khoảng cách(diện tích ) lập và giải phương trình với ẩn m

Cách 1 ( Sử dụng công thức giải nhanh)

Áp dụng công thức giải nhanh, ta có phương trình đi qua hai điểm cực trị cần lập là