(SKKN mới NHẤT) rèn LUYỆN KHẢ NĂNG tư DUY THÔNG QUA GIẢI các bài TOÁN đếm BẰNG CÁCH lập sơ đồ

Sử dụng sơ đồ để giải bài toán tổ hợp theo phương pháp đếm phần bù….. Sử dụng sơ đồ để giải bài toán tổ hợp theo phương pháp tạo vách ngăn…18 2.4.. Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:

RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TƯ DUY

THÔNG QUA GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẾM

BẰNG CÁCH LẬP SƠ ĐỒ

MÔN: TOÁN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT NAM ĐÀN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:

RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TƯ DUY

THÔNG QUA GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẾM

MỤC LỤC

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài:……… 1

1.2 Mục đích nghiên cứu:……… 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu:……… 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu:……… 2

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm: 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:……… 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:… ………… 4

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 2.3.1 Sử dụng sơ đồ để giải bài toán tổ hợp theo phương pháp đếm trực tiếp… 4

2.3.2 Sử dụng sơ đồ để giải bài toán tổ hợp theo phương pháp đếm phần bù… 10 2.3.3 Sử dụng sơ đồ để giải bài toán tổ hợp theo phương pháp lấy trước rồi xếp sau……… 15

2.3.4 Sử dụng sơ đồ để giải bài toán tổ hợp theo phương pháp tạo vách ngăn…18 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:……… 22

3 Kết luận, kiến nghị……… 22

TÀI LIỆU THAM KHẢO 24

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài:

Toán đại số tổ hợp có vị trí quan trọng trong Toán học, không những là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của Đại số, Lý thuyết số mà còn là công cụ đắc lực cho nhiều lĩnh vực toán học khác trong đó có Thống kê - Xác suất một trong ba mạch kiến thức chính của chương trình giáo dục phổ thông 2108

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh hay ngại làm bài tập phần này, đặc biệt là học sinh thuộc diện đại trà bởi khi làm xong một bài toán đếm nào

đó các em hay có những đáp số khác nhau Một phần là do học sinh thường nhầm lẫn giữa các khái niệm: quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp ; phần nữa là khi đứng trước một bài toán đếm học sinh thường lúng túng, không biết giải quyết như thế nào dẫn đến các kết quả sai, thậm chí có nhiều em đã làm xong cũng không giám chắc rằng mình đã làm đúng

Xuất phát từ mục đích dạy học phát huy tính tích cực của học sinh nhằm giúp học sinh xây dựng các kiến thức, kỹ năng tư duy tổng kết, hệ thống lại các kiến thức, vấn đề cơ bản vừa mới lĩnh hội Thì việc sử dụng sơ đồ tư duy trong dạy học nói chung và dạy học môn Toán nói riêng đặc biệt là phần Đại số tổ hợp sẽ giúp học sinh hình thành thói quen suy nghĩ, tư duy theo một sơ đồ cụ thể đối với từng bài toán Đây là một hoạt động vừa mang tính phân tích, vừa mang tính nghệ thuật Với mục đích gắn liền với thực tiễn, giáo dục toàn diện và hỗ trợ cho việc dạy và học các môn khác, Đại số tổ hợp đã được đưa vào chương trình lớp 11 Từ

đó áp dụng các kiến thức toán học vào đời sống, về việc giải các bài toán về khoa học thực nghiệm Sách giáo khoa, cũng như sách tham khảo chưa viết nhiều đến những bài toán này mà mới chỉ đưa ra một số bài tập bằng cách áp dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, tổ hợp… Thực tế dạng toán này cũng có nhiều trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, thi học sinh giỏi …Trong khi đa số học sinh nói chung, học sinh THPT Nam Đàn 2 nói riêng không có hứng thú với loại toán này, bởi lẽ hầu hết các em đều cảm thấy khó khăn khi giải các bài toán này, hoặc là chỉ làm được những bài tập đơn giản còn khi thay đổi thì các em dường như chỉ giải theo cảm tính và cũng không biết kết quả mình tìm ra đúng hay sai

Với mong muốn thay đổi cách giảng dạy, truyền thụ tri thức một chiều sang cách tiếp cận kiến tạo kiến thức và suy nghĩ Ý tưởng “ lập sơ đồ tư duy” hay ngắn gọn là “lập sơ đồ” trong giải bài toán tổ hợp được xây dựng theo quá trình từng bước khi người dạy và người học tương tác với nhau Thông qua đó học sinh lĩnh hội kiến thức nhanh hơn, yêu thích môn Toán và phần Đại số tổ hợp hơn Vì vậy

chúng tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “Rèn luyện khả năng tư duy thông qua giải

các bài toán đếm bằng cách lập sơ đồ”

1.2 Mục đích nghiên cứu:

+ Đề xuất một số phương pháp lập sơ đồ trong giải toán tổ hợp để giúp học sinh hình thành được tư duy giải các bài toán tổ hợp, từ đó giải các bài toán xác

suất cũng dễ dàng hơn Giúp nâng cao chất lượng dạy học phần tổ hợp xác suất, giúp học sinh trường THPT Nam Đàn 2 yêu thích môn Toán hơn

+ Nhằm hưởng ứng ngành giáo dục phát động sử dụng sơ đồ tư duy trong dạy học và đổi mới phương pháp dạy học Thông qua cách sử dụng sơ đồ tư duy học sinh ghi chép ngắn gọn hơn, hiệu quả hơn Đồng thời với bài toán tổ hợp cụ thể cũng hình thành “lối mòn” trong tư duy để giải bài toán tổ hợp của các em

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Lập sơ đồ khi dạy phần tổ hợp và giải các bài toán tổ hợp

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Trong đề tài này tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết Thông qua các kiến thức trong sách giáo khoa, tôi sử dụng sơ đồ trong khi dạy phần quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Từ đó chia ra các cách tư duy lập sơ đồ để giải quyết các bài toán tổ hợp

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

2.1.1 Một số kí hiệu khi vẽ sơ đồ

+ Quan hệ giữa các trường hợp ngang hàng:

+ Quan hệ giữa các bước ngang hàng:

+ Quan hệ giữa bao hàm:

2.1.2 Quy tắc đếm

- Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành

động Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có mn

cách thực hiện

Khi dạy ta có thể lập sơ đồ như sau để học sinh dễ hiểu và ghi chép dễ dàng:

Từ đó ta có thể mở rộng quy tắc cộng ra nhiều phương án

- Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp,

nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có

2.1.3 Hoán vị - chỉnh hợp- tổ hợp

- Hoán vị: Cho tập hợp A gồm n phần tử n 1 Mỗi cách sắp xếp thứ tự

n phần tử của tập hợp A là một hoán vị của n phần tử đó

- Tổ hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử n 1 Mỗi tập con gồm k phần

tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho

- Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử n 1 Kết quả của việc lấy k

phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

+Thực tế tài liệu viết về chủ đề tổ hợp, xác suất rất nhiều, tuy nhiên trong các tài liệu chủ yếu đưa ra ví dụ và lời giải, chưa hệ thống các dạng toán và phương pháp giải nên học sinh thường nhầm lẫn, khó phân biệt Hơn nữa chủ đề này là một chủ đề khá khó, số giáo viên nghiên cứu sâu về đề tài này còn ít, nên hiệu quả khi dạy đến mảng kiến thức này chưa cao Chính vì vậy, dẫn đến học sinh rất lúng túng khi gặp các bài tập này trong các kì thi

+ Phần lớn học sinh khi gặp các bài toán tổ hợp kết quả các em làm ra còn theo cảm tính, chưa dám tự tin khẳng định cách làm của mình là đúng

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

Quy trình để giải một bài toán đếm bằng sơ đồ như sau: “Tìm hiểu và phân tích đề – Thiết kế công việc – Lập sơ đồ – Trình bày” Ở bước tìm hiểu đề giáo

viên cần phải tạo cho học sinh thói quen đặt câu hỏi “công việc”của bài toán là gì? Thực hiện như thế nào? Và để thiết kế được công việc theo một sơ đồ rõ ràng dễ hiểu thì học sinh phải trả lời được câu hỏi đã đặt ra ở bước tìm hiểu đề Trong 4 bước trên thì 3 bước đầu là ba bước không chính thức, có thể làm ra giấy nháp hoặc nếu thành thạo có thể nhẩm trong đầu Tuy nhiên 3 bước này lại đặc biệt quan trọng vì từ đó ta có thể suy luận và trình bày lời giải một cách chính xác Vì vậy trong đề tài này tôi sẽ trình bày cách hướng dẫn học sinh thiết kế công việc bằng sơ

đồ và tính toán để từ đó học sinh có thể trình bày và có lời giải chính xác, khoa học

2.3.1 Sử dụng sơ đồ để giải bài toán tổ hợp theo phương pháp đếm trực tiếp

Đây là hướng tư duy trong phần lớn các bài toán đếm, đặc điểm của phương pháp này là chúng ta chia nhỏ công việc cần thực hiện thành các phần nhỏ hơn để đếm

Ví dụ 1: Trường THPT Nam Đàn 2 có 47 học sinh giỏi trong đó có 32 học sinh giỏi lớp 12C1 và 15 học sinh giỏi lớp 12C6 Nhà trường cần 1 học sinh giỏi

để xét danh hiệu “Học sinh 3 tốt” cấp trung ương Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn

Phân tích: Công việc chính là chọn 1 học sinh giỏi từ lớp 12C1 hoặc lớp

12C6

Sơ đồ của bài toán như sau:

Lời giải

TH1: Học sinh được chọn ở lớp 12C1 có 32 cách

TH2: Học sinh được chọn ở lớp 12C6 có 15 cách

Vậy số cách chọn 1 học sinh giỏi là: 32 15 47cách

Ví dụ 2: Có ba hộp đựng bi, hộp thứ nhất đựng 10 viên bi màu xanh, hộp

thứ hai đựng 6 viên bi màu đỏ, hộp thứ ba đựng 8 viên bi màu vàng Hỏi có bao

nhiêu cách chọn ra hai viên bi có hai màu khác nhau?

Phân tích: Công việc của bài toán là chọn ra 2 viên bi khác màu, mà lại có

ba loại màu nên phân chia thành 3 nhóm màu: xanh và đỏ; xanh và vàng; đỏ và

vàng sau đó ta chọn hai viên bi từ các nhóm màu đó, mỗi màu 1 viên

Sơ đồ của bài toán như sau:

Ví dụ 3: Có 6 học sinh gồm 2 học sinh trường A, 2 học sinh trường B và 2

học sinh trường C sắp xếp trên một hàng dọc Có bao nhiêu cách sắp xếp mà hai học sinh trường C thì một em ngồi giữa hai học sinh trường A và một em ngồi giữa

hai học sinh trường B?

Phân tích: Ta thấy 6 em học sinh được sắp xếp thành hàng dọc thì 2 học

sinh lớp C một em ngồi giữa 2 học sinh trường A, em còn lại ngồi giữa 2 học sinh trường B Bởi vậy ta sắp xếp 2 em học sinh trường C vào hàng trước, khi đó sẽ tạo

ra 4 vị trí được đánh số 1,2,3,4 như sau:

Xếp 2 học sinh trường A vào hàng có 2.2! cách

Xếp 2 học sinh trường B vào hàng có 2! Cách

Theo quy tắc nhân có 2!.2.2!.2! 16 cách

Ví dụ 4: Cho hai đường thẳng a và bsong song với nhau Trên đường thẳng

a có 12 điểm phân biệt và trên đường thẳng b có 9 điểm phân biệt Hỏi có thể tạo được bao nhiêu tam giác có các đỉnh là các điểm trên hai đường thẳng a và b đã cho?

Phân tích: Để tạo một tam giác cần có 3 điểm phân biệt không thẳng hàng

cho nên lấy 1 điểm trên đường thẳng a thì 2 điểm phân biệt còn lại phải lấy trên đường thẳng b hoặc ngược lại

Sơ đồ của bài toán như sau:

nhóm các chữ số chia hết cho 3 gồm các số 3, 6, 9; nhóm các chữ số chia cho 3 dư

1 gồm các số 1, 4, 7 và nhóm các chữ số chia 3 dư 2 gồm các số 2, 5, 8 Sau đó chọn bộ ba số từ các nhóm trên sao cho tổng các số được chọn chia hết cho 3, rồi sắp xếp ba số đã được chọn thành một số có ba chữ số

Sơ đồ của bài toán như sau:

Lời giải

Chia tập hợp A 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 thành ba nhóm:

Nhóm 1 các chữ số chia hết cho 3 gồm 3, 6, 9

Nhóm 2 các chữ số chia cho 3 dư 1 gồm 1, 4, 7

Nhóm 3 các chữ số chia cho 3 dư 2 gồm 2, 5, 8

Ví dụ 6: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết

cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5

Phân tích: Công việc của bài toán là viết ra được số có 4 chữ số khác nhau,

chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5 Do đó các số được lập phải

cần tìm là một hoán vị của 3 phần tử

Sơ đồ của bài toán như sau:

Lời giải

Mỗi chữ số đều không vượt quá 5 Ta lập số từ tập hợp 0;1; 2;3; 4;5

Số chia hết cho 15 là số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 Do đó tận cùng nó là 0 hoặc 5

Vậy có tất cả 24 14 38số thỏa mãn đề bài

2.3.2 Sử dụng sơ đồ để giải bài toán tổ hợp theo phương pháp đếm phần bù

Khi phương pháp đếm trực tiếp có nhiều phương án, nhiều công đoạn phức tạp thì người ta có thể sử dụng phương pháp đếm phần bù, nghĩa là bỏ bớt đi một giả thiết quan trọng  P nào đó gây ra sự phức tạp

Cơ sở của phương pháp đếm này là thay vì đếm số phần tử của tập A trực tiếp thì ta sẽ đếm số phần tử của tập hợp A Cụ thể bài toán yêu cầu đếm số phương án

của một công việc thỏa mãn tính chất T ta thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1: Đếm số phương án thực hiện công việc (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay không) ta được a phương án

Bước 2: Đếm số phương án thực hiện công việc không thỏa tính chất T ta được b phương án

Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là: a - b

Trong phương pháp này tôi sử dụng kí hiệu này để biểu thị phương pháp đếm phần bù

Ví dụ 1: Cho các số 0,1,2,3,4,5,6 Hỏi từ các chữ số trên có thể lập được bao

nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau?

Phân tích: Đây là một bài toán đếm số tự nhiên, ta gọi số cần lập là

abcd a  Bài toán có thể giải trực tiếp bằng cách theo quy tắc nhân, tuy nhiên

toán theo phương pháp lấy phần bù đó là đếm số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán mà số 0 có thể đứng đầu và đếm số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán có số

0 đứng đầu Phương pháp này thường dùng khi tập hợp các chữ số tự nhiên cho trước có chứa chữ số 0

Sơ đồ của bài toán như sau:

4.A 3.A 420 số

Ví dụ 2: Cho đa giác lồi có 14 đỉnh Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là các

đỉnh của đa giác đã cho mà không có cạnh nào là cạnh của đa giác đó

Phân tích: Đây là một bài toán mà nếu ta đếm trực tiếp thì phức tạp và khó

thực hiện hơn nhiều khi ta đếm số tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác

Sơ đồ của bài toán như sau:

Ví dụ 3: Trong đoàn tình nguyện tham gia hỗ trợ phòng chống dịch

COVID-19 tại thành phố Hồ Chí Minh có sự tham gia của 7 bác sỹ tỉnh Nghệ An

trong đó có 5 nam và 2 nữ; 8 bác sỹ tỉnh Hà Tĩnh trong đó có 5 nam và 3 nữ và 6 bác sỹ tỉnh Thanh Hóa trong đó có 3 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm gồm 4 bác sỹ đi bệnh viện Chợ Rẫy với yêu cầu phải có đủ ba tỉnh và có

cả nam lẫn nữ để tham gia hỗ trợ phòng chống dịch, biết rằng bác sỹ nào cũng có

thể tham gia

Phân tích: Trước hết ta đếm trực tiếp số cách chọn nhóm có đủ ba tỉnh

Tiếp đến để đảm bảo điều kiện có “cả nam và nữ” ta lại dùng phương pháp đếm phần bù của trường hợp cần đếm là các trường hợp “4 bác sỹ có đủ ba tỉnh toàn nam” và “4 bác sỹ có đủ ba tỉnh toàn nữ”

Sơ đồ của bài toán như sau:

Lời giải

Để chọn ra được4 bác sỹ có đầy đủ cả 3 tỉnh Nghệ An, Hà Tĩnh và Thanh Hóa

Phân tích: Thay vì đi đếm số cách sắp xếp sao cho cuốn sách Hóa không

nằm giữa liền kề hai cuốn sách Lý, ta đếm số cách sắp xếp để cuốn sách Hóa nằm

giữa liền kề hai cuốn sách Lý theo kĩ thuật “buộc” các phần tử và sắp xếp Cụ thể

năm phần tử và sắp xếp 6 phần tử, tiếp đến “mở” phần tử đã buộc và hoán vị sao

cho sách Hóa nằm giữa liền kề hai cuốn sách Lý

Sơ đồ của bài toán như sau:

Lời giải

+ Xếp ngẫu nhiên 8 cuốn sách khác nhau vào 8vị trí ta có 8!cách

+ Ta xem 2 sách Lý và 1 sách Hóa là 1 phần tử, 5 sách Toán là 5 phần tử thì

số hoán vị 6 phần tử là 6! tiếp đến hoán vị 2 sách Lý có 2!

Vậy số cách xếp 8 sách sao cho sách Hóa nằm giữa liền kề hai sách Lý là 6!.2! cách

+ Số cách sắp xếp 8cuốn sách thỏa yêu cầu bài toán là: 8!6!.2! 38880 cách

Ví dụ 5: Đội tình nguyện của trường THPT Nam Đàn 2 có 15 người gồm 9

học sinh nam trong đó có Long và 6 học sinh nữ trong đó có Hà Đoàn trường cần chọn ra một nhóm 5 người tham gia Ngày chủ nhật xanh do huyện đoàn tổ chức Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong nhóm có cả nam lẫn nữ đồng thời có Long hoặc Hà

Phân tích: Trong bài này trước hết ta đếm số cách chọn 5 người có cả nam

và nữ theo phương pháp đếm phần bù, tức là chọn 5 người toàn nam hoặc 5 người toàn nữ Tiếp đến đếm 5 người có cả nam lẫn nữ và không có Long và Hà cũng theo phương pháp đếm phần bù Đây là bài toán có thể giải bằng cách đếm trực tiếp nhưng phép tính sẽ dài hơn và phức tạp hơn

Sơ đồ của bài toán như sau: