(SKKN mới NHẤT) tư duy sử dụng hàm đặc trưng để giải hệ phương trình trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi

Qua thực tế bồi dưỡng học sinh, tôi nhận thấy trong các đề thi học sinh giỏi, tác giả cho đề bài giải hệ phương trình rất tinh vi, lợi hại hơn những năm trước rất nhiều, chúng thiên về p

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG NGUYỄN CẢNH CHÂN

=====  =====

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

LĨNH VỰC: TOÁN HỌC

Đề tài: Tư duy sử dụng hàm đặc trưng để giải hệ phương

trình trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi

Tên tác giả Võ Văn Thọ Nguyễn Thị Bích Hải

Tổ bộ môn Toán - Tin

Năm thực hiện : 2021 – 202

Trong ít năm gần đây trong các cuộc thi chọn học sinh giỏi toán THPT khối 12 Ta thấy bài toán giải hệ phương trình là một bài toán không thể thiếu trong các kỳ thi trên

Vì yêu cầu bài toán giải hệ phương trình mang tính rộng hơn giải phương trình, nên việc thí sinh giải hệ phương trình giống như một mũi tên trúng hai đích Nó giúp người

ra đề vừa kiểm tra được học sinh phần kiến thức về phương trình, vừa kiểm tra được kiến thức phần hệ phương trình Như vậy kiến thức từ phương trình đến hệ phương trình giống như một sợi chỉ đỏ gắn liền với các bạn học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi toán suốt ba năm ôn thi học sinh giỏi Qua thực tế bồi dưỡng học sinh, tôi nhận thấy trong các đề thi học sinh giỏi, tác giả cho đề bài giải hệ phương trình rất tinh vi, lợi hại hơn những năm trước rất nhiều, chúng thiên về phương pháp hàm số đặc trưng, đòi hỏi người giải phải là một người có bản lĩnh, có tư duy tốt và cực tốt mới giải được một cách nhanh, điêu luyện Tuy nhiên khi sử dụng phương pháp này học sinh thường gặp những khó khăn sau đây:

+ Học sinh chưa nhận dạng được bài toán Tức là giáo viên hướng dẫn các em giải hệ phương trình bằng cách nào thì các em rập khuôn, không linh hoạt và sáng tạo Đề chỉ cho khác đi một chút đã khiến các em không giải được, còn lúng túng không biết nên giải quyết chúng theo cách nào và hệ đã cho có nên giải theo phương pháp hàm số đặc trưng hay không

+ Vì chưa có hệ thống phương pháp chung khi giải các bài toán dạng

này nên các em trình bày lời giải chưa khoa học, thiếu chặt chẽ

+ Các em tâm lý lo lắng, thiếu tự tin khi giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số đặc trưng thể hiện qua việc bắt gặp các hệ phương trình chứa biểu thức x,y dạng cồng kềnh vừa ẩn ngoài, ẩn trong căn, ẩn dưới mẫu, ẩn trên tử, bậc của ẩn x, y lớn, nhỏ khác nhau

2

+ Chưa biết tìm hàm số đặc trưng Và tìm như thế nào, việc này dẫn

đến tình trạng các em mất rất nhiều thời gian, không kiểm soát được bài

toán

Bên cạnh đó sách giáo khoa chỉ đưa ra các định lí, tính chất về tính đơn

điệu của hàm số mà không nêu lên ứng dụng của nó trong giải hệ phương

trình

Ngoài ra các tài liệu trên mạng internet, sách tham khảo tuy nhiều nhưng chưa mang tính hệ thống, hoặc chưa chi tiết các dạng, đặc điểm nhận dạng của từng dạng toán này mà chỉ đưa ra đề bài và trình bày lời giải theo một hoặc nhiều cách, làm cho bạn đọc cảm giác hoang mang khi đứng giữa một kho tàng tri thức rộng lớn Không biết tại sao giải như vậy Tại sao giải theo cách này mà không giải theo cách khác Do vậy tôi lựa chọn đề tài “ TƯ DUY SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG TRƯNG TRONG GIẢI HỆ PHƯƠNGTRÌNH TRONG VIỆC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI”

2 Mục đích nghiên cứu:

Tổng hợp các trường hợp cụ thể của phương pháp giải hệ phương trình về phương pháp hàm đặc trưng nhằm giúp học sinh giải tốt các bài toán về hệ phương trình

3 Đối tượng nghiên cứu:

Phương pháp hàm đặc trưng trong giải hệ phương trình

4 Phương pháp nghiên cứu:

Từ lý thuyết chung về ứng dụng của đạo hàm,tính chất đơn điệu của hàm số, các dạng liên hợp, các tính chất của bất đẳng thức xây dựng hệ thống các dấu hiệu nhận biết để giải các bài tập có liên quan

II NỘI DUNG

1 Cơ sở lý luận

Chính vì mục đích khắc phục những nhược điểm của thực trạng nêu trên

là vô cùng cấp bách rất cần khắc phục nên tôi đã nghiên cứu, học hỏi và mạnh

dạn đưa ra đề tài

Bên cạnh đó việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi giúp các em trở thành “Hiền tài là nguyên khí Quốc Gia”, tạo cho các em niềm đam mê, lửa nhiệt huyết và hình thành cho các em một tư duy tốt trong giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số đặc trưng được tôi tiến hành theo các bước sau:

BƯỚC 1: NHẮC LẠI KIẾN THỨC CƠ BẢN CÓ LIÊN QUAN

Bước này cung cấp đầy đủ một nền móng kiến thức vững chắc Các em cần phải hiểu và vận dụng chúng một cách linh hoạt và chính xác khi “Tư duy

sử dụng phương pháp hàm số đặc trưng trong giải hệ phương trình”

cos 1

Các định lí, tính chất về tính đơn điệu của hàm số

Định lí: Cho hàm số y =f (x) có đạo hàm trên K

a) Nếu f( x)  0  x K, thì hàm số y =f(x) đồng biến trên K

b) Nếu f( x) < 0  x K, thì hàm số y =f(x) nghịch biến trên K

+) Định lí mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K Nếu f( x)  ( 0),  x K và f(x) =0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên K

Chú ý: K có thể là khoảng, đoạn, nửa khoảng

Các tính chất :

+ Tính chất 1: Giả sử hàm số f (x)liên tục và đơn điệu một chiều trên tập D thì

phương trình f (x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm thuộc D

+ Tính chất 2: Nếu phương trình f (x) = 0 có một nghiệm trên khoảng (a; b)

+ Tính chất 3: Giả sử hàm số y = f(x) đồng biến , ( nghịch biến) trên khoảng (a;b) và u,v  (a;b) Khi đó f(u)=f(v)  u=v

+ Tính chất 4: Giả sử y=f (x) đơn điệu trên khoảng (a;b) thì x,y,z  (a;b) là nghiệm

Nhằm khắc phục nhược điểm “ các em chưa có hệ thống, phương pháp làm bài dẫn đến việc trình bày thiếu khoa học, thiếu chặt chẽ, …” tôi đưa ra thứ tự các bước trình bày lời giải như sau:

Bước 1: Tiềm điều kiện( nếu có)

Có hai loại điều kiện thường gặp

+) Điều kiện thông thường là điều kiện của biểu thức trong căn bậ chẵn có nghĩa, điều kiện của mẫu số

+) Điều kiện kéo theo: ví dụ như một phương trình của hệ số có dạng

P x y + Q x y = f x y sẽ có điều kiện vế trái không âm, tức là f x y ( ); 0

Hoặc nếu trong hệ có một phương trình dạng 2 2

0

ax +bxy+cy + =d thì việc tìm điều kiện kéo theo bằng cách tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ẩn x;y

Ta coi x là ẩn và y là tham số hoặc y là ẩn x là tham số sau đó sử dụng biệt thức

0

  hoặc   ' 0 suy ra điều kiện cụ thể của x, y

Bước 2: Biến đổi một phương trình trong hệ hoặc biến đổi kết hợp các phương trình trong hệ về phương trình có hai biến đồng bậc về dạng f u( )= f v( )

Bước 3: Xét hàm đặc trưng: Chứng minh hàm đặc trưng luôn đồng biến hoặc

nghịch biến trên miền xác định D (D là hợp hai miền giá trị của u và v)

Phương trình tương đương u=v Do đó rút x theo y hoặc y theo x thế vào

phương trình còn lại, tìm nghiệm của phương trình, hệ phương trình

Bước 4: Kết luận nghiệm của hệ phương trình

Chú ý:

+ Tùy vào từng bài toán mà ta có thể đổi thức tự bước 1, bước hai cho

nhau

Ví dụ bài toán đó không có điều kiện thông thường nhưng khi tìm được hàm

số đặc trưng f(t) không đơn điệu một chiều trên R thì các em phải nhanh

chóng chặn miền xác định của t bằng cách lấy hợp hai miền xác định của u,v ( u,v là các biểu thức chứa x

+ Việc tìm điều kiện của hệ phương trình rất quan trọng Miền xác định càng

chặt thì các em càng kiểm soát được bài toán Để tìm miền xác định của hàm đặc

trưng ta lấy hợp hai miền xác định của u,v

Mục đích trọng tâm của bước 3 là phải khắc phục toàn bộ các nhược điểm

đã nêu Nên trong phần này tôi đưa ra các đặc điểm nhận dạng rất kỹ, mỗi dạng toán tôi hướng dẫn học sinh dựa vào đặc điểm đã nêu để đón đầu bài toán, tức

là gặp dạng này thì sẽ xuất hiện hàm số đặc trưng như thế nào, nhằm tránh việc các em tính sai sót tìm hàm nhầm dạng

Ngoài ra khi hướng dẫn các em trình bày lời giải tôi đều giải thích rất tỉ mỉ,

hệ thống, ngắn gọn, khoa học để các em không bị mất điểm về những lỗi sai sót không đáng có

Hơn nữa khi hoàn thành lời giải xong tôi đưa ra nhận xét những ưu điểm mà phương pháp này mang lại, những lỗi sai học sinh hay gặp phải, hay thiếu sót đồng thời so sánh với cách làm khác khi giải quyết bài toán có nhiều cách giải

để học sinh có sự lựa chọn phù hợp nhất

Mặt khác, sau khi hướng dẫn các em tìm hiểu từng dạng toán thông qua một

ví dụ điển hình trong sáng kiến thì ở phần minh chứng 1 tôi đều đưa ra các ví

dụ minh chứng đa dạng, được xắp xếp hệ thống theo từng dạng với độ khó tăng dần để các em hiểu sâu, nhớ lâu

2 Dạng 1: Tư duy hàm đặc trưng xuát phát từ một phương trình trong hệ

Cách nhận biết: Quan sát hệ phương trình ta thấy một trong hai phương trình của hệ

có các biểu thức chứa x;y có cấu trúc tương đồng giống nhau rồi thì ta biến đổi

phương trình đó về hàm số đặc trưng

2.1 Hàm đặc trưng có sẵn trong đề bài

Cách nhận dạng: quan sát các phương trình trong hệ thì một phương trình trong hệ

có cấu trúc giống nhau nhưng chưa cô lập về hai vế thì chúng ta cần sắp xếp lại vị trí của chúng một cách hợp lý, hai bên có cấu trúc going nhau

Ví dụ : Giải hệ phương trình sau:

Phân tích bài toán:

Ta thấy phương trình (1) trong hệ các biến x;y được cô lập thành hai vế có cấu trúc giống nhau, do vậy ta hình dung hình ảnh của hàm số đặc trưng dạng ( ) 3

f t = t +    suy ra hàm số đồng biến trên R(4)

Từ (3) và (4) ta có x=y thay vào phương trình (2) ta được:

là hiệu quả không cao do không biết lợi thế của đề bài

VÍ DỤ

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình :

( ) ( )

Phân tích bài toán:

Quan sát hệ phương trình ta thấy phương trình (1) có các biến x, y độc lập, đồng bậc nhưng chưa được cô lập về hai vế của phương trình Vì vậy việc của chúng ta là phải chuyển các biến cùng loại về một vế Tức là: (1) 3 2 3 2

Đây là ví dụ thuộc mức độ thông hiểu với các em ôn thi học sinh giỏi, muốn giải

được bài toán này theo phương pháp hàm số đặc trưng thì phải hiểu vấn đề ở đây là

8

đề bài cho phương trình (1) ở dạng hai biến x,y độc lập, cấu trúc đồng bậc nên ta đễ dàng đưa chúng về dạng phương trình đặc trưng bằng cách chuyển vế đổi dấu thông thường sao cho các biến cùng loại phải ở cùng một vế

Như vậy ngoài cách sử dụng phương pháp hàm số đặc trưng như trên thì các em còn có thể biến đổi phương trình (1) về dạng phương trình tích Nhưng cách này được đánh giá là không hay bằng phương pháp hàm số đặc trưng vì dẫn đến một phương trình xuất hiện nhiều hằng đẳng thức, các em hay bị sai trong khâu phân tích để có nhân tử chung

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

( ) ( )

Phân tích bài toán:

Quan sát hệ phương trình ta thấy phương trình (1) có cấu trúc gần giống nhau nhất Vì vậy ta quyết định sắp xếp lại phương trình (1) để nhìn rõ được hàm số đặc trưng như sau:( )1 cotx− =x coty−y Đến đây các em đã nhìn thấy ngay hàm số đặc trưng dạng: f t( )=cott t t− , ( )0;

x hoặc y ở phương trình (2) sau đó thế vào phương trình (1) làm cho việc giải toán trở nên tiến không được mà lùi cũng không xong Vì việc làm đó xuất hiện một phương trình quá phức tạp:  − − = −

( ) ( ) ( )

( )

3 3

Phân tích bài toán:

Quan sát hệ phương trình ta thấy phương trình (1)có cấu trúc gần giống nhau rồi, nên quyết định biến đổi phương trình (1) về dạng f u( )= f v( ) là đúng đắn nhất Mặt khác vế trái của (1) đơn giản nên cố định vế trái là hàm số đặc trưng, sau đó biến đổi vế phải có cấu trúc giống như vế trái bằng cách đưa 9 ra ngoài căn được

3

1  x − 3x= y− 1 − 3 y−  1 f x = f y− 1

Giải Điều kiện : 1 ( )*

1

x y

(nhËn) (nhËn)+ Với x= 1 ta có 1 = y 1 −  y= 2 (thỏa mãn)

Ngoài cách sử dụng phương pháp hàm số đặc trưng ra thì một số em còn giải hệ phương trình trên theo phương pháp nhân liên hợp đối với phương trình (2) sau đó rút x hoặc y thế vào phương trình(1) Việc làm này được đánh giá là không cao vì khi thế x hoặc y vào phương trình (1) xuất hiện biến vừa có bậc 3 bên ngoài, vừa nằm trong căn bậc hai, rất cồng kềnh khó coi

Ví dụ 4 : Giải hệ phương trình :

( )

4 4

Phân tích bài toán:

Quan sát hệ phương trình ta thấy phương trình (1) vừa có căn bậc hai, vừa có căn bậc 4 Nhưng bình tĩnh quan sát kỹ ta thấy (1) có các biểu thức chứa x, y độc lập với

10

nhau nên ta chọn phương trình (1) là phương trình có thể xuất hiện hàm số đặc trưng bằng cách chuyển các biến cùng loại về một vế thu được phương trình:

4 4

x + x y− + y − y+ =( ) 2

Thay vào phương trình (2) ta được

+ Với y = 0 thay vào (*) tìm được x = 0 (thỏa mãn)

+ Với y = 1 thay vào (*) tìm được x = 2(thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt: (x;y)= (1;0); (2;1)

phương trình (2) sẽ đơn giản hơn rất nhiều

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình

( ) ( )

Phân tích bài toán:

Quan sát hệ phương trình để phân tích đề bài, ta thấy trước tiên phải tìm điều kiện của hệ phương tình sau đó nhận dạng bài toán Do phương trình (1) có x, y đồng bậc, các biến cùng loại đã ở cùng một vế rất thuận lợi Mặt khác các biểu thức trong căn chứa biến x hơn kém nhau hai đơn vị, tương tự biểu thức trong căn chứa biến y cũng hơn kém nhau 2 đơn vị , hơn nữa vế trái đơn giản hơn Vì vậy ta cố định vế trái và biến đổi vế phải về dạng có cấu trúc giống vế trái để xuất hiện hình ảnh hàm số đặc trưng ở hai vế bằng cách đặt ẩn phụ Đặt y – 5 = u

Giải Điều kiện : 0

5

x y

Từ y = +2 66 thay vào (**) ta được x = 66 − 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( )x y = − +; ( 3 66;2 + 66)

Nhận xét: Đối với hệ phương trình này ta thấy để việc tính toán đơn giản và dễ

hiểu thì ta nên đặt ẩn phụ sẽ gọn gàng, đỡ sai sót, nhìn rõ được hình ảnh hàm số đặc trưng ở hai vế

Như vậy đối với những phương trình mà ta đã xác định sẽ biến đổi để xuất hiện hàm số đặc trưng mà biểu thức chứa biến cồng kềnh, khó nhìn và rối mắt thì ta có thể nghĩ ngay đến việc đặt ẩn phụ, chú ý điều kiện của ẩn phụ nếu có

2.2 Tư duy hàm số đặc trưng bằng cách sử dụng kỹ năng them bớt, nhân 2 vế

với một số hoặc hỗ trợ máy tính bỏ túi Fx: 570;580;vinacal

Đặc điểm nhận dạng:

Quan sát hai phương trình của hệ ta dễ dàng thấy được một phương trình của hệ có dạng

Nếu gặp hệ phương trình dạng chứa căn thức trên thì việc đầu tiên ta cần làm là phải biến đổi biểu thức trong căn về dạng giống nhâu, sau đó mới quan sát biểu thức

ngoài căn để đưa về dạng giống nhau, rồi suy ra hàm số đặc trưng

Phân tích bài toán

Ta thấy phương trình (1) có dạng đa thức bậc 3 theo x và y độc lập với nhau Khi đó

ta chuyển x và y sang hai vế khác nhau, lúc đó ( ) 3 2 3 ( )

1  +x 3x + 6x+ = 4 y + 3y  , ta thấy phương trình (*) rất giống với đặc điểm nhận dạng đã nêu, các em phải hình dung ra hàm số đặc trưng ( ) 3

f t =mt +nt

Do hàm số đa thức theo y rất đơn giản và giống với hàm số đặc trưng về mặt lý

thuyết nen chọn hàm số đặc trưng vào hàm số đó , tức giữ nguyên vế phải của

phương trình (*) sau đó ta biến đỏi vế tría giống cấu trúc vế phải Tôi định hướng theo một số cách sau

Cách 2: Tuy nhiên ngoài việc sử dụng phương pháp đồng nhất các hệ số ta có thể

sử dụng chức năng lưu biến và Shift solve trên máy tính bỏ túi casio fx

570;580;vinacal…

Nhập 1000 gán vào biến A và nhấn 1000 shift STO A

Nhập biểu thức vế trái của (*) ( ) 3 2 3

2 3

3 2 0

6 5

x x

Vậy hệ phương trình đã cho có một cặp nghiệm duy nhất :( ) ( )x y =; 0;1

Nhật xét từ việc phân tích bài toán trên dự các đặc điểm nhận dạng đã nêu giúp các

em nhanh chóng xác định mục đíchcần phải làm cho hàm số đặc trưng dạng :

Phân tích bài toán:

Quan sát hệ phương trình ta thấy phương trình (1) có dạng:

kỹ thuật thêm, bớt để đưa các đại lượng ngoài căn của biểu thức chứa biến y (có thể gọi biểu thức đó là ẩn v) về dạng giống nó bằng cách nhân cả hai vế với 2 Từ đó làm

cơ sở cho sự xắp xếp các biểu thức của x về dạng giống với hàm số đặc trưng Cụ thể tôi đưa ra lời giải như sau:

14

Giải Điều kiện:

2

x x

Như vậy dựa vào đặc điểm nhận dạng đã nêu ta nhận thấy ngay được phương trình

1 1 1 1 2 2 2 2

a x +b x +c x+d = a y+b c y+d Các em lập tức dùng kỹ thuật

thêm bớt, đồng nhất thức để biến đổi phương trình (1) xuất hiện hình ảnh hàm số đặc trưng dạng ( ) 3

Phân tích bài toán:

Quan sát hệ phương trình ta thấy dựa vào đặc điểm nhận đã nêu thì phương trình (2) chỉ phụ thuộc vào biến x và biểu thức chứa biến x+y+2 Vì vậy nhiệm vụ của chúng

ta là viết lại bậc của biểu thức đó để nhìn rõ cấu trúc đồng bậc Cụ thể như sau:

• Với x= 3 thay vào (4) được 2

y = − − = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: (x;y) = (3;4)

x

x x

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (3;4)

So sánh hai cách giải đã trình bày ở trên ta thấy hai cách làm trên ngang nhau Đều làm cho bài toán trở nên đơn giản, nhẹ nhàng

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

( ) ( )

Phân tích bài toán:

Quan sát phương trình (1) có chứa hai biến x,y đồng bậc, đồng thời chúng đã được

cô lập về hai vế của phương trình nên ta nghĩ ngay đến việc biến đổi phươngtrình (1)

để xuất hiện hình ảnh hàm số đặc trưng

Tìm điều kiện để có miền xác định cho hàm số đặc trưng Ở đây ta thấy hệ phương

trình không chứa căn, không chứa mẫu nên không có điều kiện thông thường do đó ta tìm điều kiện kéo theo bằng cách quan sát thấy phương trình (2) x,y đồng bậc 2 nên lần lượt coi x,y là ẩn Sau đó tìm điều kiện để phương trình có nghiệm

Giải

2x 2y 2x 2y 1 2x 2y 2x 2y 1 0

+ Coi x là ẩn ta có phương trình bậc hai như sau:

3 2

Ngoài cách giải theo phương pháp hàm số đặc trưng ta có thể thấy hệ phương trình ban đầu có các đa thức chứa x, y có cấu trúc tương đối giống nhau nên có thể nghĩ đến phương pháp phân tích thành các hằng đẳng thức để đặt ẩn phụ Cụ thể như sau:

18

( ) ( )

f t =mt +nt , làm việc tính toán trở nên nhanh chóng, đỡ mắt thời gian

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau :

Phân tích bài toán:

Dựa vào đặc điểm nhận dạng đã nêu ta thấy phương trình (1) có x,y độc lập và đồng bậc 3 nên chuyển x,y về hai vế khác nhau như đã làm ở các ví dụ trước, sau đó biến đổi về hàm đặc trưng ( ) 3

Nên hàm số f t( ) đồng biến trên R Do đó :

(*) − = −  = −x 2 y 1 y x 1 Thay vào phương trình (2) ta được :

x x

x

(tháam· n) (tháam· n)Vậy nghiệm của hệ phương trình là :

x y y

Thay y = x-1 vào phương trình (2) ta được:

Điều kiện: x 2 Khi đó :

x x

x

(tháam· n) (tháam· n)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 23 341 21; 341 , 23 341 21; 341

Phân tích bài toán:

Quan sát hệ phương trình ta thấy thật đáng sợ khi phương trình (1) có bậc rất cao, phương trình (2) cũng không kém phần thử thách Vậy việc chọn ra phương trình nào

để biến đổi làm xuất hiện hàm số đặc trưng là rất khó Nhưng bình tĩnh quan sát kỹ ta thấy phương trình (1) chỉ phụ thuộc vào biểu thức chứa 2

x y và y Vì vậy ta nghĩ ngay đến việc tìm mối quan hệ giữa chúng bằng cách xắp xếp lại các vị trí, đồng thời viết lại bậc của chúng để làm xuất hiện hàm số đặc trưng

Giải Điều kiện: ( 2 )

không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế của phương trình

−

 +

  Do đó trên mỗi khoảng 4; 3

−

 +

  phương trình có tối đa một nghiệm

Mặt khác : g( )0 = g( )− =3 0 Nên phương trình chỉ có hai nghiệm là x = 0; x= -3

• Với x= 0 thay vào (**) được y = 1

• Với x= -3 thay vào (**) được 1

f t =mt +nt

2.3 Tư duy liên hợp để xuất hiện hàm số đặc trưng

Đặc điểm nhận dạng là hệ phương trình chứa

Suy ra hàm số f t( )đồng biến trên R

Do đo phương trình ( ) ax= −by Khi tìm được mỗi liên hệ giữa x và y thì công việc còn lại là thế ẩn y qua x vào phương trình còn lại để tìm các giá trị của chúng là không còn khó khan nữa

+ + + suy ra hàm số đồng biến trên R 4( )

Từ ( )3 và 4( )ta có y= −x thay vào phương trình (2) ta có

4

x y

+

= + rồi thế vào phương trình (1) thu được một phương trình phức tạp

Phân tích bài toán:

Nhận dạng bài toán: Quan sát hệ phương trình ta thấy ngay phương trình (1) có

phương pháp nhân liên hợp để xuất hiên hình ảnh hàm số đặc trưng dạng

f t = +t t +c

• v = suy ra phương trình vô nghiệm 0

• v 0 , chia cả hai vế của phương trình cho v2 được:

nhËnnhËn

Như vậy việc sử dụng phương pháp nhân liên hợp đối với phương trình (1) làm

xuất hiện hình ảnh hàm số đặc trưng để tìm mối liên hệ giữa x và y là một cách làm rất thông minh Nó biến bài toán từ phức tạp trở nên đơn giản và nhẹ nhàng hơn rất nhiều

Ngoài ra việc thế y = -x vào phương trình (2) thu được một phương trình cồng kềnh, nhưng để việc giải toán trở nên gọn gàng ta đặt 2

Phân tích bài toán:

Nhận dạng bài toán: Ta thấy hệ phương trình này có vẻ hơi khác và khó hơn các hệ phương trình trước nhưng quan sát kỹ ta thấy vế trái của phương trình (1) có các biểu thức chứa x, y dính liền nhau Đặc biệt biểu thức chứa biến y có dạng :

Suy ra hàm số f y( ) đồng biến trên (− −; 1)

Do đó (4) có nghiệm duy nhất y= -2 suy ra x= 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1;-2)

Nhận xét:

Đối với phương trình (4) ta sử dụng chức năng table hoặc Shift Solve dò được

có nghiệm y= - 2 Hơn nữa phương trình ẩn y tương đối phức tạp nên ta nghĩ ngay đến phương pháp hàm số Tức là chứng minh phương trình đó có nghiệm duy nhất

bằng cách chứng minh vế trái là một hàm số đồng biến

Khi thế y = -x-1 vào phương trình (2) được vế trái luôn dương

Ngoài cách dò nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất ra ta còn có thể tìm y bằng phương pháp nhân liên hợp cụ thể như sau:

2 2

22

Phân tích bài toán:

Ta nhận thấy phương trình (1) của hệ có dạng gần giống với đặc điểm nhận dạng của dạng toán tư duy liên hợp để xuất hiện hàm số đặc trưng nên ý tưởng khi giải bài toán này là hướng tới việc nhân liên hợp

Mặt khác ta thấy vế phải của (1) chỉ có x nên ta nghĩ ngay đến việc cô lập các biểu thức chứa biến x sang vế bên phải Sau đó tiến hành nhân với lượng liên hợp phù hợp nhất Cụ thể lời giải như sau:

Thay x = 1 vào (**) ta được y=1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ;y)=(1 ; 1)

Phân tích bài toán:

Nhận dạng bài toán: Quan sát hệ phương trình ta thấy phương trình (1) có đặc điểm giống dạng : ( )2 ( )2

Với x = 1 thay vào (4) được y = 0