(SKKN mới NHẤT) nâng cao năng lực, phát triển tư duy toán học cho học sinh qua việc giải quyết một số bài toán về hàm số bằng cách sử dụng các yếu tố của đạo hàm

Xuất phát từ những vấn đề đó, việc hệ thống hóa các dạng toán sử dụng các yếu tố của hàm đạo hàm trong việc giải một số bài toán liên quan đến hàm số một cách chi tiết đồng thời cập nhật

LĨNH VỰC: TOÁN HỌC

Vinh, tháng 4/2022

MỤC LỤC

PHẦN I Đặt vấn đề 2

PHẦN II Nội dung nghiên cứu .4

I.Cơ sở khoa học của đề tài 4

I.1 Cơ sở lý luận của đề tài 4

I.2 Cơ sở thực tiễn của đề tài 5

II Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 6

III Các sáng kiến và giải pháp để giải quyết vấn đề 6

III.1 Các yếu tố của đạo hàm và sự biến thiên của hàm số 6

III.2 Các yếu tố của đạo hàm và cực trị của hàm số 20

III.3 Các yếu tố của đạo hàm và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 29

III.4 Các yếu tố của đạo hàm và bài toán biện luận nghiệm của phương trình, bất phương trình 34

III.5 Các yếu tố của đạo hàm và bài toán về đồ thị của hàm số 42

IV Kết quả thực nghiệm sư phạm 45

PHẦN III Kết luận và kiến nghị 47

Tài liệu tham khảo 50

PHẦN I MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài:

Sự ưu việt của phương pháp thi trắc nghiệm đã và đang được chứng minh từ những nước có nền giáo dục tiên tiến trên thế giới, bởi những ưu điểm như: tính khách quan, tính bao quát và tính kinh tế

Theo chủ trương của Bộ Giáo dục & Đào tạo, kì thi THPT quốc gia môn toán chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, đây là một sự thay đổi lớn trong việc kiểm tra đánh giá đối với bộ môn toán Khi thi trắc nghiệm, đòi hỏi học sinh phải có sự hiểu biết thật sâu sắc về kiến thức và phải biết sắp xếp trình tự tư duy logic hơn, nhanh hơn để đáp ứng thời gian hoàn thành một câu trả lời trong vòng 1,8 phút nhanh hơn gấp 10 lần so với yêu cầu kiểm tra đánh giá cũ

Trong chương trình toán THPT, "Ứng dụng của đạo hàm" được giới thiệu trong SGK Giải tích lớp 12 Đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết rất nhiều bài toán Giữa hàm số f x( ) và đạo hàm của nó f '( )x có nhiều mối liên hệ chặt chẽ Đạo hàm của hàm số ngoài việc biểu diễn dưới dạng các công thức thì còn được thể hiện thông qua bảng biến thiên, bảng xét dấu hay đồ thị của nó Việc dựa vào các yếu tố của hàm đạo hàm f '( )x để tìm ra các tính chất của hàm số f x( ) đưa đến cho chúng ta nhiều điều thú vị cũng như những bài toán hay

Việc tiếp cận các dạng toán này của cả người dạy lẫn người học hiện nay đa phần còn chưa có tính hệ thống vì vậy mặc dù đây là một vấn đề không phải quá mới nhưng trong quá trình làm bài học sinh thường gặp khó khăn trong việc định hướng, đặc biệt là các bài ở mức độ vận dụng, vận dụng cao Xuất phát từ những vấn đề đó, việc hệ thống hóa các dạng toán sử dụng các yếu tố của hàm đạo hàm trong việc giải một số bài toán liên quan đến hàm số một cách chi tiết đồng thời cập nhật một số xu hướng mới của dạng toán này trong đề thi của Bộ trong kỳ thi THPT quốc gia và trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp Tỉnh có thể giúp người dạy, người học tiếp cận dạng toán một cách tự nhiên và có hệ thống Từ đó tôi đã mạnh dạn đưa ra đề tài:

" Nâng cao năng lực, phát triển tư duy toán học cho học sinh qua việc giải quyết một số bài toán về hàm số bằng cách sử dụng các yếu tố của đạo hàm."

II Mục đính nghiên cứu:

Với quan điểm đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, trước hết dạy cho học sinh các bài toán gốc, bài toán cơ bản để qua đó các em có thể làm được những bài toán khó và phức tạp hơn, đồng thời rèn luyện cho các em năng lực ứng biến khi đối mặt với tình huống mới

Phát triển năng lực và tư duy toán học cho học sinh thông qua việc sử dụng nhiều hướng giải quyết bài toán ứng dụng đạo hàm

Đề tài giúp học sinh nhận thấy được mối quan hệ chặt chẽ giữa hàm số f x( )

và đạo hàm của nó f '( )x thông qua một số bài toán thường gặp về hàm số, đồng thời có được cái nhìn tổng thề có tính hệ thống về lớp các bài toán dạng này Từ đó

học sinh có thể định hướng được năng lực tư duy và tiếp cận được tốt các bài toán dạng này trong các kỳ thi THPT Quốc gia sắp tới

III Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào mối quan hệ giữa hàm

số f x( ) và đạo hàm của nó f '( )x , nhằm mục đích để học sinh hiểu sâu hơn về các vấn đề khảo sát hàm số như: Sự biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, sự tương giao của các đồ thị, Từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề hàm số thuộc bộ môn Toán ở trường trung học Phổ thông

IV Phương pháp nghiên cứu:

• Trong quá trình nghiên cứu, đề tài đã sử dụng những phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm

• Xuất phát từ thực tiễn, cho học sinh nhìn trực quan và tự đốc rút ra các khái niệm cơ bản và các tính chất cơ bản

• Thống kê số liệu để phân loại được các bài toán về ứng dụng đạo hàm

và rút ra được hệ thống sơ đồ tư duy trong giải các bài tập khó

• Điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin để biết thực trạng dạy và học ở trường sở tại để đưa ra được thuật giải logic, ngắn gọn, dễ hiểu và dễ nhớ nhất

• Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…) Bước đầu mạnh dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có rút kinh nghiệm về kết quả thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và đi đến kết luận

• Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng cho bài toán

V Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:

• Về mặt lý luận

Đề tài đã hệ thống kiến thức nền tảng theo từng dạng toán giữa hàm đạo hàm

và các vấn đề liên quan Hình thành cách tư duy giải các bài toán dựa trên suy luận

từ các yếu tố của hàm đạo hàm

• Về mặt thực tiễn

Giải quyết được tình huống thực tiễn khi khảo sát về hàm y= f '( )x Xây dựng được hệ thống bài tập nhằm phát triển năng lực và rèn luyện kỹ năng cho học sinh Đặc biệt, đề tài đã khai thác, phát triển các bài toán ứng dụng, đưa ra các hướng dự đoán trong đề thi THPT quốc gia sắp tới

PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

I Cơ sở khoa học của đề tài

1 Cơ sở lý luận

1.1 Khái niệm hàm số

Cho hai đại lượng biến thiên x và y, trong đó x nhận giá trị thuộc tập số D  Khi đó, đại lượng y được gọi là hàm số của đại lượng x nếu:

• Đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x thay đổi

• Với mỗi giá trị của xD ta luôn xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của y  .

Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x Tập D được gọi là tập xác định của hàm số

tất cả các điểm M x y( 0 ; 0) trên hệ trục tọa độ Oxy thỏa mãn x0D và y0  f x( )0

1.4 Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

Hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên ( )a b; nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc

1.5 Một số dạng toán thường gặp về hàm số trong chương trình THPT

Trong chương trình THPT, khái niệm hàm số và các kiến thức cơ bản về hàm

số đã được trình bày đầy đủ và phù hợp với học sinh THPT Sách giáo khoa Giải tích 12, chương 1 đã trình bày ứng dụng cơ bản của đạo hàm để nghiên cứu các vấn

đề cơ bản về hàm số, cụ thể:

Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số

Khái niệm cực trị, các dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, cực tiểu

Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số và các phương pháp tìm GTLN, GTNN Khái niệm đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang của hàm số và các phương pháp tìm đường tiệm cận

Khảo sát hàm số các hàm cơ bản và sự tương giao của hai đồ thị

Trên cơ sở các kiến thức cơ bản đã nêu, trong sách giáo khoa và sách bài tập Giải tích 12 cũng đã xây dựng hệ thống bài tập rất cơ bản gồm tự luận và trắc nghiệm

để khắc sâu, củng cố kiến thức cho học sinh, cũng như để học sinh làm quen với các câu ở mức độ nhận biết và thông hiểu về hàm số trong kì thi THPT QG

2 Cơ sở thực tiễn

Dưới sự lãnh đạo của Ban giám hiệu nhà trường, đội ngũ giáo viên chúng tôi luôn trăn trở tìm tòi, đổi mới phương pháp giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện cho học sinh Nhà trường không chỉ chú trọng truyền thụ tri thức mà còn phát triển tư duy cho học sinh thông qua các bài học, làm hành trang vững chắc cho các em bước vào tương lai Trong các kì thi THPT QG, các bài toán

về hàm số được khai thác nhiều, ở cả 4 mức độ Đối với các câu hỏi mức độ nhận biết và thông hiểu thì các dạng câu hỏi thường tương tự như trong sách giáo khoa

và nhiều sách tham khảo Tuy nhiên trong những năm gần đây, ở mức độ vận dụng

và vận dụng cao nhiều bài toán về hàm số được khai thác ở các dạng tương đối mới và lạ so với SGK

Trong quá trình dạy học cũng như ôn tập cho học sinh, tôi thấy đa số các em chưa định hình được cách giải và còn nhiều lúng túng trong việc xử lí triệt để các bài toán dạng này Chính vì vậy, tôi tập trung nghiên cứu tài liệu về các bài toán liên quan đến các yếu tố của hàm đạo hàm trong chủ đề hàm số, đồng thời cố gắng sắp xếp, phân chia các dạng một cách có hệ thống để khắc phục những khó khăn

II Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong giải tích, đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết rất nhiều bài toán, vẫn là môn học có nhiều vấn đề khó đối với đại đa số học sinh, đặc biệt là học sinh trung bình và yếu Khi giải các bài toán về ứng dụng của đạo hàm, nếu tiến hành theo các bước cơ bản không được thì tâm lý học sinh thường nản và bỏ qua

Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở hai lớp tôi trực tiếp áp dụng năm học 2021-2022 kết quả như sau:

Năm học Lớp Sĩ số Số học sinh giải được trước khi thực hiện đề tài

III Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề

III.1 Các yếu tố của hàm đạo hàm và sự biến thiên của hàm số

III.1.1 Cho bảng xét dấu hoặc công thức của hàm đạo hàm

Phương pháp giải

Nếu cho bảng xét dấu của đạo hàm ta dựa vào đó để suy ra trực tiếp sự biến thiên của hàm y= f x( ) hoặc dựa vào đó để lập bảng biến thiên hoặc xét dấu trực tiếp đạo hàm g x'( ), từ đó kết luận tính đơn điệu của hàm số y=g x( )= f u x( ( ) )+v x( ).

Nếu cho công thức của hàm số f '( )x , ta thực hiện theo ba bước như sau:

Bước 1 Tìm các giá trị x mà f( )x = 0 hoặc những giá trị làm cho f( )x không xác

định, từ đó suy ra giá trị x mà g x ='( ) 0 hoặc giá trị làm cho g x'( ) không xác định

Bước 2 Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu trực tiếp đạo hàm g x'( )

Bước 3 Kết luận tính đơn điệu của hàm số y=g x( )= f u x( ( ) )+v x( ) (chọn đáp án)

Lưu ý: Khi xét dấu hàm đạo hàm cần lưu ý cho học sinh đạo hàm chỉ đổi dấu khi

đi qua các nghiệm bội lẻ

Ví dụ 1 (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số

( )

y= f x có bảng xét dấu của đạo hàm:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A ( )3; 4 B ( )2; 4 C ( )1;3 D (− − ; 1)

Lời giải

Dựa vào bảng xét dấu f '( )x , ta thấy hàm số y= f x( ) đồng biến trên ( )1;3 và

(4; +) Suy ra hàm số y= f x( ) đồng biến trên ( )1;3 Chọn C

(nghịch biến) trên tập K D

Ví dụ 2 (Chuyên KHTN - 2021)Cho hàm số f x( ) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn −   10 m 10 và hàm số

Đặt 2

2

t=x + x+m, do x (0;1) nên t ( ;m m+ 3) Dựa vào bảng xét dấu của f '( )x ta có:

5 0

0

m

m m

Mà −   10 m 10nên m = − − − − −{ 9; 8; 7; 6; 5;0}

Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn đề bài Chọn C

Ví dụ 3 (Mã đề 101 – Đề chính thức 2019) Cho hàm số f x( ), bảng xét dấu của

Vì hàm số nghịch biến trên khoảng (− ;1) nên nghịch biến trên (− 2;1) Chọn B

Ví dụ 4 (THPT Thanh Chương 1- Nghệ An - 2021) Cho hàm số y= f x( )liên tục trên R có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

5 2;

x x

Dựa vào bảng xét dấu trên, hàm số g x( )đồng biến trên khoảng 1;3

A Hàm số g x( )đồng biến trên (2; + ) C Hàm số g x( )đồng biến trên ( − − ; 2)

B Hàm số g x( )nghịch biến trên ( 2; 1) − − D Hàm số g x( )nghịch biến trên (0;1)

Lời giải

 Đầu tiên từ BBT trên ta có được: f x'( ) =a x( + 1)(x− 1)(x− 4)

 Tứ đó hàm số trên tương đương với:

x x

Nhận xét: Thông qua bảng xét dấu f( )x → xác định được nghiệm của phương trình g x( )= 0

- Hàm số y=g x( ) đồng biến → đánh giá y 0

- Hàm số y=g x( ) nghịch biến → đánh giá y 0

Ví dụ 6 (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương – 2021) Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên và có đạo hàm ( ) ( )( ) (2019 )2020

f x = x+ x− x− Hàm số y= f x( + 3) nghịch biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?

 = −



Bảng xét dấu hàm y= f '(x+ 3)

Hàm số f x +( 3) nghịch biến trên khoảng (− − 5; 2) Chọn D

III.1.2 Cho bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm đạo hàm

Nếu cho đồ thị hàm số y= f( )x mà hỏi sự biến thiên của hàm y= f ( )u thì sử

dụng đạo hàm của hàm số hợp và xét dấu y= f( )u dựa vào dấu của hàm y= f( )x .

Ví dụ 1 (THPT Hậu Lộc 4 - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số f x( ) Đồ thị hàm số

y= f x ; y=g x( ) liên tục trên và có đồ thị các đạo hàm f( )x ; g x( ) (đồ thị hàm

số y=g x( ) là đường đậm hơn) như hình vẽ

x y

Hàm số h x( )= f x( − − 1) (g x− 1) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Ví dụ 4 (THPT Quế Võ 1 - Bắc Ninh - 2021) Cho ba hàm số

5 1; 4

III.1.4 Cho các yếu tố của hàm f ' u x( ), xác định khoảng đơn điệu hàm f v x ( ).

Nhận xét: Đây hiện tại đang là một dạng toán mới đối với đa số học sinh,

tần suất xuất hiện trong các đề thi thử khá nhiều và gây ra không ít sự lúng túng cho học sinh khi tiếp cận nó Điểm “mới” của nó là là thay vì mô típ cho các yếu tố hàm

( )

'

f x tìm khoảng đơn điệu của hàm f u x ( ), thì ở đây bài toán lại cho f ' u x( )

tìm khoảng đơn điệu của hàm f x( ) hoặc hàm f v x ( ).

Ví dụ 1 Cho hàm số bậc bốn y= f x( )và đồ thị hàm y= f ' 3 2( − x) như hình vẽ

Hàm số y= f x( ) nghịch biến trên khoảng nào sau đây

A (− − ; 1) B (0; +) C (3; +) D ( )0; 2

Dựa vào bảng xét dấu, ta suy ra hàm số nghịch biến trên (− − ; 1) Chọn A

Ví dụ 2 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - 2021) Giả sử f x( ) là đa thức bậc 4 Đồ thị của hàm số y= f ' 1( −x) được cho như hình bên Hỏi hàm số ( ) ( 2 )

x x

Dựa vào bảng xét dấu g'( )x suy ra hàm số g x( ) nghịch biến trên ( )0;1 Chọn D

Ví dụ 3 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên Hàm số

x x x

2 2

Nhận xét: Trong bài này ta sử dụng kỷ thuật đặt ẩn phụ để từ hàm số y= f ' 3( x− 1)

truy ngược về hàm g x'( ), từ đó có được bảng xét dấu g x'( ) và suy ra kết quả Đây

là một kỹ thuật rất hiệu quả khi áp dụng cho kiểu bài dạng này

Ví dụ 4 (Liên trường Quỳnh Lưu - Hoàng Mai - Nghệ An - 2021) Cho hàm số

Vậy có 2020 giá trị nguyên của tham số m Chọn B

III.2 Các yếu tố của hàm đạo hàm và cực trị của hàm số

III.2.1 Cho bảng xét dấu hoặc công thức của hàm đạo hàm

Các yếu tố được cho ở đây là bảng xét dấu hoặc công thức của hàm số f '( )x ,yêu cầu xác định cực trị hoặc đếm số cực trị của hàm số dạng

( ) ( ( ) ) ( )

biết về hàm số f '( )x , để từ đó xác định được các điểm mà khi đi qua g x'( ) đổi dấu,

f x chỉ đổi dấu khi đi qua 3 điểm từ đó suy ra hàm số f x( ) có 3 điểm cực trị

Ví dụ 2 (Câu 28 – Mã đề 102 – Đề chính thức 2020) Cho hàm f x( ) liên tục trên

( )

f x và có bảng xét dấu f( )x như sau:

Số điểm cực tiểu của hàm số là A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải

Quan sát trực tiếp bảng xét dấu đạo hàm và thấy f( )x chỉ đổi dấu từ âm sang

dương khi đi qua 2 điểm từ đó suy ra hàm số f x( ) có 2 điểm cực tiểu Chọn B

Nhận xét: Học sinh nắm không vững kiến thức thường có đôi chút phân vân

tại giá trị x =1, cần nói rõ cho các em đây là một điểm tới hạn của hàm số (do hàm

( )

f x liên tục trên f( )x ) nên vẫn có thể đạt cực trị tại đó

Ví dụ 3 (Câu 23 – Mã đề 101 – Đề chính thức 2019) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm ( ) ( )2

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm suy ra hàm số có một cực trị Chọn D

Nhận xét: Khi xét dấu đạo hàm cần lưu ý cho học sinh đạo hàm chỉ đổi dấu

khi đi qua các nghiệm bội lẻ và không đổi dấu khi đi qua nghiệm bội chẵn, từ đó giúp học sinh xử lí bài toán nhanh hơn

Ví dụ 4 ( THPT Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa – 2019) Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm ( ) ( )( ) (2 )

III.2.2 Cho bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm đạo hàm

Lưu ý: Phần đồ thị của f '( )x nằm phía trên trục Ox, tương ứng với f '( )x 0;Phần đồ thị của f '( )x nằm phía dưới trục Ox, tương ứng với f '( )x 0

Ví dụ 1 (THPT Đào Duy Từ - Hà Nội - 2021) Cho hàm số f x( ) Bảng biến thiên của hàm số f( )x như sau:

2 2

+) Có nghiệm kép khi và chỉ khi: 1 + =  = −m 0 m 1 khi đó nghiệm kép x= 1

+) Có nghiệm x= 1 khi và chỉ khi: − − =  = − 1 m 0 m 1

Suy ra ( )* có 6 nghiệm (đơn) phân biệt và khác x= 1 Do đó y = 0 có 7 nghiệm đơn Vây: ( 2 )

2

y f x x có 7 điểm cực trị

Ví dụ 2 (Sở Vĩnh Phúc - 2021) Cho hàm số f x( ) Biết f '( )x là hàm bậc 3 Có đồ thị như hình vẽ sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên m  − 10,10 để hàm số g x( )= f x( )+mx+ 2021 có đúng 1 cực trị? A 20 B 16 C 15 D 18

Lời giải

Ta có g x'( )= f '( )x + m g x'( )=  0 g x'( )= −m ( )1

Số nghiệm của ( )1 là số giao điểm của 2 đồ thị hàm số y= f '( )x và đường d y: = −m

Dựa vào đồ thị trên Để g x( )có đúng 1 cực trị thì điều kiện là

10,10

1 4,5, 6, 7,8,9,10, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 3

3 2