(SKKN mới NHẤT) một số bài toán bất đẳng thức ba biến có giả thiết và kết luận liên quan đến p, q, r

Lý do chọn đề tài Bài toán bất đẳng thức bài toán chứng minh bất đẳng thức; bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức nói chung và bài toán bất đẳng thức ba biến

I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán bất đẳng thức (bài toán chứng minh bất đẳng thức; bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức) nói chung và bài toán bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết và kết luận liên quan đến p, q, r (với

p  a b c, qabbcca, rabc) nói riêng thường hay xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Toán, đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi Học sinh giỏi Đã có nhiều tác giả nghiên cứu về các bài toán bất đẳng thức dạng này như tác giả Phạm Kim Hùng, tác giả Võ Quốc Bá Cẩn,…; Có một số “phương pháp mạnh” để giải bài toán bất đẳng thức dạng này như phương pháp dồn biến, phương pháp phân tích bình phương S.O.S,… Nhưng chưa có tác giả nào rút ra một số định hướng vận dụng những “kiến thức gần gũi” để giải các bài toán dạng này Vì vậy, tôi chọn đề tài:

“Một số bài toán bất đẳng thức ba biến có giả thiết và kết luận liên quan đến p,

q, r”

2 Tính cấp thiết của đề tài

Các bài toán bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết và kết luận liên quan đến

p, q, r thường gây ra nhiều khó khăn cho Học sinh và Giáo viên trong quá trình tìm lời giải Một số Học sinh thường bỏ qua khi gặp bài toán bất đẳng thức dạng này vì các em không nắm được một số định hướng để giải bài toán dạng này Vì vậy việc nghiên cứu kỹ bài toán dạng này là rất cần thiết

3 Tính mới của đề tài

- Đưa ra được nhiều lời giải cho một số bài toán bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết và kết luận liên quan đến p, q, r

- Đưa ra một số định hướng để giải bài toán bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết và kết luận liên quan đến p, q, r

- Vận dụng các định hướng đó để giải một số bài toán bất đẳng thức ba biến a,

b, c có giả thiết và kết luận liên quan đến p, q, r

4 Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài

Đề tài có thể là tài liệu tham khảo bổ ích cho Học sinh, Giáo viên THCS và THPT đặc biệt là Học sinh khá, giỏi

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

5.1 Đối tượng nghiên cứu

- Học sinh khá giỏi THCS và THPT

- Giáo viên trường THCS và THPT

- Các bài toán bất đẳng thức có giả thiết và kết luận liên quan đến p, q, r

5.2 Phạm vi nghiên cứu

- Bám sát nội dung chương trình Toán THCS và THPT

- Mở rộng phù hợp với nội dung thi Học sinh giỏi Tỉnh, Quốc gia, Khu vực và Quốc

tế

6 Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp phân tích, tổng hợp

- Phương pháp thực nghiệm

6.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Rút ra một số kinh nghiệm để giải bài toán bất đẳng thức có giả thiết và kết luận liên quan đến p, q, r

II NỘI DUNG

1 Cơ sở khoa học

1.1 Cơ sơ lý luận

Trong đề tài này có sử dụng một số bất đẳng thức đúng sau

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho:

+) Chứng minh Bất đẳng thức (2) đúng với mọi số thực a, b, c

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử a  b c

Với a, b, c là các số thực không âm, đặt

p  a b c, qabbcca, rabc Từ các bất đẳng thức đúng trên ta có một số bất đẳng thức đúng liên quan đến p, q, r hay sử dụng sau:

p 4q 6pr5p q (Kết quả này đúng với mọi số thực a, b, c)

1.2 Cơ sơ thực tiễn

Trong quá trình tìm hiểu các bài toán bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Toán, đề thi Học sinh giỏi có một số bài toán bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết và kết luận liên quan đến p, q, r Chẳng hạn như:

Bài toán (Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Toán năm học 2020-2021 của Sở Giáo

dục và Đào tạo Hà Nội)

Với a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a  b c abc , tìm giá trị lớn nhất 4của biểu thức Pabbcca

Bài toán (Đề thi Học sinh giỏi Quốc gia năm 1996)

Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện abbccaabc Chứng 4minh rằng abbcca   a b c

Bài toán (Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam tham gia thi Học sinh giỏi Toán Quốc tế

năm 2021) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn

2 a b c 3 abbcca 5 a b c

4 a b c 2 abbcca 7abc25

Tôi đã tìm tòi lời giải các bài toán này, nghiên cứu kỹ các lời giải đó và đúc rút

ra một số kinh nghiệm cho bản thân trong quá trình dạy học

2 Thực trạng

Bài toán bất đẳng thức dạng này thường hay xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Toán, đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi Học sinh giỏi Nhưng trong thực tế vấn đề dạy và học bài toán này Giáo viên và Học sinh gặp một số khó khăn và hạn chế như: Học sinh không nắm vững các bất đẳng thức đúng hay sử dụng, Học sinh không biết định hướng để tìm lời giải cho bài toán,…; Khi giải xong bài toán Giáo viên không yêu cầu Học sinh nghiên cứu sâu lời giải,…

3 Phương hướng và giải pháp

3.1 Một số định hướng để giải bài toán bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết

và kết luận liên quan đến p, q, r

Bài toán 1 (Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Toán năm học 2020-2021 của Sở Giáo

dục và Đào tạo Hà Nội)

Với a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a  b c abc , tìm giá trị lớn nhất 4của biểu thức Pabbcca

Từ (2) và (3) suy ra (1) đúng (Điều phải chứng minh)

Suy ra P , dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi 4 a b 2, c0

Vậy giá trị lớn nhất của P là 4

Nhận xét Định hướng để tìm lời giải này là: “Từ giả thiết rút 1 biến nào đó theo 2

biến còn lại (có thể hạn chế điều kiện hoặc tìm điều kiện liên quan trước khi rút) thế vào bất đẳng thức cần chứng minh để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về bất đẳng thức 2 biến Chứng minh bất đẳng thức này (với điều kiện đã tìm được) và kết luận”

Lời giải 2

Không mất tính tổng quát, giả sử a  (*) b c

TH1: Nếu bc < 1 thì từ (*) và giả thiết a, b, c là ba số không âm suy ra

Suy ra P , dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi 4 a b 2, c0

Vậy giá trị lớn nhất của P là 4

Nhận xét Định hướng để tìm lời giải này là: “Phân chia thành các trường hợp một

cách hợp lý Trong các trường hợp đó ta biến đổi một cách thích hợp rồi áp dụng các bất đẳng thức đúng đã biết để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh”

Suy ra P , dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi 4 a b 2, c0

Vậy giá trị lớn nhất của P là 4

Nhận xét

+) Định hướng để tìm lời giải này là: “Dùng các bất đẳng thức đúng đã biết để đánh giá các vế của bất đẳng thức cần chứng minh một cách hợp lý để dẫn đến việc cần chứng minh bất đẳng thức một biến (biến p); chứng minh bất đẳng thức này và kết luận (Để chứng minh thì ta phải tìm điều kiện cho p)”

+) Với giả thiết như trong bài toán trên, ta có thể chứng minh bất đẳng thức chặt hơn là abbcca   Từ đó ta có bài toán sau (bài toán 2) a b c

Bài toán 2 Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b c abc 4Chứng minh rằng abbcca   a b c

Lời giải Từ giả thiết ta có ab  và 1 0 c 4 a b

Nhận xét

+) Định hướng để tìm lời giải này tương tự ở lời giải 1 của bài toán 1

+) Kết luận abbcca   vẫn đúng nếu ta thay giả thiết “Cho ba số a b cthực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b c abc ” bởi giả thiết “Cho ba 4

số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện abbccaabc ” Do đó ta có bài 4toán sau (bài toán 3)

Bài toán 3 (Đề thi Học sinh giỏi Quốc gia năm 1996)

Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện abbccaabc Chứng 4minh rằng abbcca   a b c

(Vì từ giả thiết suy ra ab ) 4

Nhận xét Định hướng để tìm lời giải này tương tự ở lời giải 1 của bài toán 1

+) Định hướng để tìm lời giải này là: “Đặt ẩn phụ để chuyển bài toán về bài

toán với 3 ẩn mới đơn giản hơn (có thể chứng minh được) và chứng minh bài toán

này”

+) Ta có thể nghĩ đến cách đặt ẩn phụ như trên vì: Với ba số thực x, y, z thỏa

mãn x y 0, y z 0, z  ta có đẳng thức đúng sau x 0

+) Tương tự phân tích trên, ta có các kết quả sau:

+ Nếu a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 2

Định hướng 1 Từ giả thiết rút 1 biến nào đó theo 2 biến còn lại (có thể hạn chế điều

kiện hoặc tìm điều kiện liên quan trước khi rút) thế vào bất đẳng thức cần chứng minh

để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về bất đẳng thức 2 biến Chứng minh bất đẳng thức này (với điều kiện đã tìm được) và kết luận

Định hướng 2 Phân chia thành các trường hợp một cách hợp lý Trong các trường

hợp đó ta biến đổi một cách thích hợp rồi áp dụng các bất đẳng thức đúng đã biết để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Định hướng 3 Dùng các bất đẳng thức đúng đã biết để đánh giá các vế của bất đẳng

thức cần chứng minh một cách hợp lý để dẫn đến việc cần chứng minh bất đẳng thức một biến (Thường dùng các bất đẳng thức đúng đã biết liên quan đến p, q, r để đánh giá các vế của bất đẳng thức cần chứng minh theo 1 trong 3 đại lượng p, q, r một cách hợp lý); chứng minh bất đẳng thức này và kết luận (Để chứng minh được thì ta phải tìm điều kiện cho biến này)

Định hướng 4 Đặt ẩn phụ để chuyển bài toán về bài toán với 3 ẩn mới đơn giản hơn

(có thể chứng minh được) và chứng minh bài toán này

Nhận xét Có một số bài toán ta có thể vận dụng phối hợp các định hướng trên

3.2 Vận dụng các định hướng trên để giải một số bài toán

Bài toán 6 (Bài toán gốc của Đề thi Học sinh giỏi Quốc gia năm 2002)

Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a2  b2 c2 9 Chứng minh rằng

2 a  b c abc10

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a 1, b  c 2

Vậy 2 a   b c abc10 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a 1, b  c 2

và các hoán vị tương ứng

Nhận xét

Về mặt hình thức thì bài toán 5 và bài toán 6 tương tự nhau nhưng để giải bài toán 6 ta không thể dung bất đẳng thức Schur bậc bốn (đối với ba số thực bất kỳ) vì khi đó dấu bằng ở bất đẳng thức Schur bậc bốn xảy ra khi a = b = c hoặc a = b, c = 0

và các hoán vị tương ứng Khi đó dấu bằng ở bất đẳng thức cần chứng minh không xảy ra

Vì vậy để giải được bài toán bất đẳng thức nói chung và bất đẳng thức ba biến

a, b, c có giả thiết và kết luận liên quan đến p, q, r thì việc lựa chọn bất đẳng thức đúng để đánh giá là rất quan trọng

Bài toán 7 (Đề thi Học sinh giỏi Quốc gia năm 2004)

Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện  3

x y z 32xyz Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 383 165 5

256



và giá trị lớn nhất của P là 9

128

Bài toán 8 (Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam tham gia thi Học sinh giỏi Toán Quốc tế

năm 2021) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn

Do đó (2) đúng

TH2: Nếu p > 0 thì từ (3) ta suy ra

27q7r3p

 (4)

Ta chứng minh

2

27q

8p 30p 253p    (5)

Từ (1), ta suy ra

(5)7 2p 5p 3p 8p 30p25

p p 3 2p 5 14p   (6) 5 0

Từ giả thiết p > 0, kết quả (1) và kết quả  2

Từ (4) và (5) suy ra (2) đúng (Điều phải chứng minh)

4 Đánh giá và kết quả thực hiện

Trong năm học 2021 – 2022 tôi đã dùng đề tài này làm tài liệu giảng dạy cho lớp 12A1 của trường THPT Kim Liên và đã đạt được kết quả rất cao Sau đây là số liệu so sánh kết quả trước và sau khi áp dụng đề tài ở trường THPT Kim Liên:

Năm học Dùng đề tài này làm tài liệu Số học sinh đạt Học sinh giỏi Tỉnh

Đề tài này đã được các đồng nghiệp ở các trường khác như trường THCS Đặng Thai Mai, THCS Đặng Chánh Kỷ, THCS Kim Liên, THPT chuyên Phan Bội Châu, THPT Hà Huy Tập, PTDTNT THPT Số 2,… sử dụng làm tài liệu và đã đem lại kết quả tốt

III KẾT LUẬN

Qua quá trình tìm hiểu các bài toán về bất đẳng thức nói chung và dạng toán này nói riêng, tác giả nhận thấy bài toán này thường gây ra nhiều khó khăn cho Học sinh; đồng thời đây cũng là một dạng toán hay Vì vậy tác giả đã cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu, trao đổi với một số đồng nghiệp và tìm hiểu thêm các tài liệu liên quan

Từ đó đúc rút ra được một số kinh nghiệm như đã trình bày trong đề tài này Đề tài này giúp cho tác giả “tự tin hơn” khi gặp các bài toán dạng này và đã được một số đồng nghiệp ghi nhận, áp dụng Đề tài này có thể làm tài liệu tham khảo cho các Học sinh yêu Toán và một số Đồng nghiệp

Các bài toán bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết và kết luận liên quan đến

p, q, r thường là bài toán khó, để tìm được lời giải cho các bài toán bất đẳng thức này đòi hỏi chúng ta phải lựa chọn được định hướng thích hợp và vận dụng các kiến thức

đã biết một cách linh hoạt Có một số bài toán khó dạng này chúng ta phải dùng các

“phương pháp mạnh” như phương pháp dồn biến, phương pháp phân tích bình

phương S.O.S,… mới có thể tìm được lời giải

Ngoài các phương pháp để giải bài toán dạng này mà đề tài đã đề cập vẫn còn một số định hướng “quen thuộc” khác chẳng hạn như phương pháp phản chứng Mặc

dù đã rất cố gắng nhưng đề tài chắc chắn còn nhiều thiếu sót, vì vậy tác giả mong muốn nhận được sự góp ý chân thành từ các Thầy Cô và các em Học sinh