(SKKN MỚI NHẤT) Hướng dẫn học sinh lớp 10 tiếp cận các bài toán có nội dung thực tế

ĐẶT VẤN ĐỀ Chúng ta đều biết toán học ra đời từ nhu cầu thực tiễn, và cùng với sự phát triển của mình toán học quay trở lại phục vụ một các đắc lực cho thực tiễn cuộc sống của con người.

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

Chúng ta đều biết toán học ra đời từ nhu cầu thực tiễn, và cùng với sự phát triển của mình toán học quay trở lại phục vụ một các đắc lực cho thực tiễn cuộc sống của con người Hiện nay mọi lĩnh vực cuộc sống đều cần đến toán học, hầu hết các ngành khoa học đều sử dụng toán học như một công cụ không thể thiếu Thế nhưng trước đây trong dạy học môn toán chúng ta chưa quan tâm đến việc liên hệ thực tế Khi dạy kiến thức toán cho học sinh còn quá chú trọng

về lý thuyết, mang nặng tính hàn lâm Trong nghị quyết Hội nghị lần thứ 8 Ban chấp hành Trung ương khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã nêu mục tiêu đối với giáo dục phổ thông: Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống đạo đức, lối sống, năng lực

và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thực vào thực tiễn Tinh thần đó đã được

cụ thể hóa bằng việc đổi mới phương pháp dạy học từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm đến việc học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm đến việc học sinh vận dụng được gì qua việc học

Trong chương trình toán lớp 10 THPT, có khá nhiều nội dung có thể vận dụng thực tế từ đơn giản đến phức tạp Nhằm giúp các em học sinh bước đầu làm quen với các bài toán có nội dung thực tế và hình thành tư duy vận dụng lí thuyết vào thực hành một cách hiệu quả, chúng tôi đã cố gắng tìm tòi, hệ thống, biên soạn và sáng tạo một số bài toán có nội dung thực tế vào việc giảng dạy Việc này cũng tăng thêm tính hấp dẫn cho các bài giảng đồng thời tạo tiền đề cho các em giải quyết tốt các bài toán thực tế ở lớp 11, 12 và trong các đề thi Qua đó giúp học sinh chuẩn bị tốt cho kì thi THPT Quốc gia sắp tới Đó là lí do

chúng tôi chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 10 tiếp cận các bài toán có nội dung thực tế”

Dựa vào các bài toán thực tế trong các đề thi minh họa chúng tôi đã phân loại và phát triển thành bảy bài toán:

Bài toán 1 Sử dụng sơ đồ Ven để giải các bài toán về tập hợp

Bài toán 2 Các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số bậc hai

Bài toán 3 Sử dụng bảng biến thiên của hàm số bậc hai hoặc bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Bài toán 4 Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Bài toán 5 Sử dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để tìm phương án tối

ưu

Bài toán 6 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vào việc đo đạc

Bài toán 7 Sử dụng kiến thức cung và góc lượng giác

Chúng tôi rất hi vọng đề tài của mình sẽ giúp ích cho các em học sinh có một tư duy giải toán mới, biết vận dụng kiến thức toán học để giải quyết vấn đề thực tiễn cũng như nhìn nhận các vấn đề thực tiễn qua lăng kính toán học

Xu hướng “gắn lí thuyết với các vấn đề thực tiễn” đã có từ lâu ở các nền giáo dục tiên tiến và đã có ảnh hưởng lớn trong những lần đổi mới giáo dục gần đây của nước ta Chúng tôi nghĩ rằng đó là một hướng đi đúng đắn, giúp hoàn thiện

kĩ năng sống và đảm bảo vốn kiến thức thực tế cho một con người bắt đầu bước sang giai đoạn trưởng thành Vì vậy chúng ta cần làm cho học sinh thấy được không chỉ học để đi thi, mà còn để vận dụng vào đời sống hàng ngày, từ đó các

em có thêm động lực và lòng ham mê học tập

Vì thời gian và điều kiện còn hạn chế, đề tài không thể tránh được những khiếm khuyết, chúng tôi rất mong nhận được sự quan tâm và góp ý chân thành của các cấp lãnh đạo cũng như các bạn đồng nghiệp Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

PHẦN II NỘI DUNG ĐỀ TÀI BÀI TOÁN 1 SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VEN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TẬP HỢP

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẰNG SƠ ĐỒ VEN

Gồm 3 bước:

Bước 1 Chuyển bài toán về ngôn ngữ tập hợp

Bước 2 Sử dụng sơ đồ Ven để minh họa các tập hợp

Bước 3 Dựa vào sơ đồ Ven ta thiết lập được đẳng thức hoặc phương trình, hệ

phương trình, từ đó tìm được kết quả bài toán

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Bài 1 Lớp 10 A có 45 học sinh trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích

môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào, 5 em thích cả ba môn Hỏi số em chỉ thích một môn trong ba môn trên?

Định hướng giải Bước 1 Chuyển bài toán về ngôn ngữ tập hợp

Gọi T, V, S lần lượt là số học sinh chỉ thích học một môn Toán, Văn, Sử; x, y, z

lần lượt là số học sinh thích học đúng hai môn Toán + Văn, Văn + Sử và Sử + Toán

Bước 2 Sử dụng sơ đồ Ven để minh họa các tập hợp

Theo bài ra ta có biểu đồ Ven

Bước 3 Dựa vào sơ đồ Ven ta thiết lập được đẳng thức hoặc phương trình,

hệ phương trình, từ đó tìm được kết quả bài toán

Từ biểu đồ Ven ta có hệ phương trình:

Vậy số học sinh chỉ giỏi đúng 1 môn là 20 em

Bài 2 Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 25 em học giỏi môn Toán, 23 em học

giỏi môn Lý, 20 em học giỏi môn Hóa, 11 em học giỏi cả môn Toán và môn Lý,

8 em học giỏi cả môn Lý và môn Hóa, 9 em học giỏi cả môn Toán và môn Hóa Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn học giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa, biết rằng mỗi học sinh trong lớp học giỏi ít nhất một trong 3 môn Toán, Lý, Hóa?

Định hướng giải

Gọi T, L, H lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi môn Toán, Lý, Hóa

Khi đó tương tự Ví dụ 13 ta có công thức:

T  L H  T  L  H    T L L H  H   T T L H

Vậy có 5 học sinh giỏi cả 3 môn

Bài 3 Một lớp học có 25 học sinh giỏi môn Toán, 23 học sinh giỏi môn Lý, 14

học sinh giỏi cả môn Toán và Lý và có 6 học sinh không giỏi môn nào cả Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh?

Định hướng giải

Gọi T, L lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Toán và các học sinh giỏi Lý

Ta có: T : là số học sinh giỏi Toán L : là số học sinh giỏi Lý

T L : là số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Lý

Khi đó số học sinh của lớp là: T  L 6

Mà T L T  L   T L 25 23 14  34 Vậy số học sinh của lớp là

34 6 40

Bài 4 Lớp 10A có 18 học sinh tham gia câu lạc bộ Âm nhạc, 20 học sinh tham

gia câu lạc bộ Thể thao, 17 học sinh tham gia câu lạc bộ Hội họa Trong đó có 6 học sinh tham gia đúng hai câu lạc bộ là Âm nhạc và Thể Thao, có 5 học sinh tham gia đúng hai câu lạc bộ là Hội Họa và Thể Thao, có 4 học sinh tham gia đúng hai câu lạc bộ là Âm Nhạc và Hội Họa, có 3 học sinh tham gia cả ba câu lạc bộ Âm Nhạc, Thể Thao, Hội Họa Tổng số học sinh tham gia ít nhất một trong ba câu lạc bộ trên của lớp 10A là bao nhiêu?

Định hướng giải

Theo bài ra ta có biểu đồ Ven:

Từ biểu đồ Ven suy ra có tất cả 34

học sinh tham gia ít nhất một trong ba câu lạc bộ

Bài 5 Lớp 10B1 có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý, 6 học sinh giỏi

Hóa, 3 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 2 học sinh giỏi cả Lý và Hóa, 1 học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Lý, Hóa Tính số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10B1 ?

1 3

2

1

Nhìn vào biểu đồ, số học sinh giỏi ít nhất 1 trong 3 môn là:

1 2 1 3 1 1 1 10      

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN

Bài 1 Một lớp học có 16 học sinh học giỏi môn Toán; 12 học sinh học giỏi môn

Văn; 8 học sinh vừa học giỏi môn Toán và Văn; 19 học sinh không học giỏi cả hai môn Toán và Văn Hỏi lớp học có bao nhiêu học sinh?

Hướng dẫn giải Chọn A

Đáp án AĐúng vì 16 12 19   8 39

Đáp án BHS tính sai 16 12 81954

Đáp án CHS tính sai 16 8  12 8 1931

Đáp án DHS tính sai 16 12 19  47

Bài 2 Trong số 45 học sinh của lớp 10A có 15 bạn xếp học lực giỏi, 20 bạn xếp

hạnh kiểm tốt, trong đó 10 bạn vừa học lực giỏi vừa hạnh kiểm tốt Hỏi lớp 10A

có bao nhiêu bạn chưa được xếp học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt?

Hướng dẫn giải Chọn A

Giả sử A “HS xếp học lực giỏi”

B “HS hạnh kiểm tốt ”

A B “HSxếp học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt”

A B “HS vừa học lực giỏi vừa hạnh kiểm tốt”

Số phần tử của A B là:

Số học sinh có học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt: 25

Số học sinh chưa có học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt: 452520

Câu B, C, D do HS tính sai đọc và hiểu chưa kỹ đề bài

Bài 3 Mỗi học sinh lớp 10B đều chơi bóng đá hoặc bóng chuyền Biết rằng có

25 bạn chơi bóng đá, 20 bạn chơi bóng chuyền và 10 bạn chơi cả hai môn Hỏi lớp 10B có bao nhiêu học sinh?

Hướng dẫn giải Chọn A

Giả sử A “HS chơi bóng đá”

B “HS chơi bóng chuyền”

A B “HS chơi bóng đá hoặc bóng chuyền”

A B “HS chơi cả hai môn”

Số phần tử của A B là: 2520 10 35

Số HS chơi bóng đá hoặc bóng chuyền là số HS của lớp: 35

Bài 4 Một lớp học có 25 học sinh chơi bóng đá, 23 học sinh chơi bóng bàn, 14

học sinh chơi cả bóng đá và bóng bàn và 6 học sinh không chơi môn nào Số học sinh chỉ chơi 1 môn thể thao là?

Hướng dẫn giải Đáp án B

Gọi A là tập hợp các học sinh chơi bóng đá

B là tập hợp các học sinh chơi bóng bàn

C là tập hợp các học sinh không chơi môn nào

Khi đó số học sinh chỉ chơi bóng đá là

A  B  A B   

Bài 5 Lớp 10C có 7 Hs giỏi Toán, 5 Hs giỏi Lý, 6 Hs giỏi Hoá, 3 Hs giỏi cả Toán và Lý, 4 Hs giỏi cả Toán và Hoá, 2 Hs giỏi cả Lý và Hoá, 1 Hs giỏi cả 3môn Toán , Lý, Hoá Hỏi số HS giỏi ít nhất một môn ( Toán , Lý , Hoá ) của lớp 10C là?

Hướng dẫn giải Chọn A

G/s: A“HS giỏi toán” ; B“HS giỏi lý” ; C “HS giỏi hóa”

A  B C “HS giỏi toán, hóa, lý” :7  5 6 18

AB  AC  BC“ số HS giỏi hai môn”:3  4 2 9

Số HS giỏi ít nhất một môn: toán, lý, hóa là:

A B C \ AB  AC  BC 18 9 9

Câu B, C, D do HS không hiểu các phép toán tập hợp

BÀI TOÁN 2 CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Gồm 3 bước

Bước 1 Từ giả thiết của bài toán, chọn hệ trục tọa độ phù hợp

Bước 2 Lập phương trình Parabol

Bước 3 Từ phương trình Parabol suy ra đáp án

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Bài 1 Một chiếc cổng hình Parabol có chiều rộng 6 mét và chiều cao 4 mét như

hình vẽ Giả sử một chiếc xe tải có chiều ngang rộng 3 mét đi vào vị trí chính

giữa cổng Hỏi chiều cao h của xe tải không vượt quá bao nhiêu mét để xe tải đi

vào không chạm vào tường cổng

Định hướng giải

Bước 1 Từ giả thiết của bài toán, chọn hệ trục tọa độ phù hợp

Đặt hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, khi đó Parabol đi qua 3 điểm có tọa độ lần lượt là (0; 4), (-3; 0), (3; 0)

Bước 2 Lập phương trình Parabol

Suy ra phương trình Parabol là

2

4

49

y   x 

Vì chiếc xe tải đi vào vị trí chính giữa

cổng nên mép ngoài của chiếc xe sẽ ở các vị trí có hoành độ là 1,5 mét và -1,5

(1,5) ( 1,5) (1,5) 4 3

9

Bước 3 Từ phương trình Parabol suy ra đáp án

Vậy chiếc xe tải phải có chiều cao thấp hơn 3 mét thì mới đi được vào cổng mà không chạm tường

Bài 2 Dây truyền đỡ nền cầu treo có dạng Parabol ACB như hình vẽ Đầu cuối

của dây được gắn chặt vào điểm A và B trên trục AA’ và BB’ với độ cao 30 m Chiều dài nhịp A B' '200m Độ cao ngắn nhất của dây truyền trên nền cầu là

5

OC  m Xác định chiều dài các dây cáp treo ( thanh thẳng đứng nối nền cầu với dây truyền )?

Định hướng giải

Bước 1 Từ giả thiết của bài toán, chọn hệ trục tọa độ phù hợp

Chọn trục Oy trùng với trục đối xứng của Parabol, trục Ox nằm trên nền cầu như

Hình vẽ Ta có: A100;30 ;  C 0;5

Bước 2 Lập phương trình Parabol

Ta tìm phương trình của Parabol có dạng yax2 bxc Parabol có đỉnh là C

và đi qua A nên ta có hệ phương trình:

2

10

y x  Bước 3 Từ phương trình Parabol suy ra đáp án

Bài toán đưa việc xác định chiều dài các dây cáp treo sẽ là tính tung độ những điểm M1,M ,2 M của Parabol 3 x125,x2 50,x3 75lần lượt là y16,56(m),

2 11,25

y  (m) , y3 19,06(m) Đây chính là độ dài các dây cáp treo cần tính

Bài 3 Khi một quả bóng được đá lên nó sẽ đạt độ cao nào đó rồi rơi xuống đất

Biết quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng tọa độ Oth có phương trình 2

hat  bt c a0, trong đó t là thời gian (tính bằng giây) kể

từ khi quả bóng được đá lên, h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao 1, 2 m và sau 1 giây thì nó đạt độ cao

8,5m, sau 2 giây nó đạt độ cao 6m Tính , ,a b c ?

Định hướng giải

Từ giả thiết của bài toán ta có hệ phương trình

4910

1, 2

618,5

5

1, 2

a c

Bài 4 Một chiếc cổng hình parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa

và hai cánh cửa phụ hai bên như hình vẽ Biết chiều cao cổng parabol là 4m còn

kích thước cửa ở giữa là 3m x 4m Hãy tính khoảng cách giữa hai điểm A và B

(xem hình vẽ bên dưới)

x x

x





       nên A4;0, B 4;0 hay AB8(m)

Bài 5 Cổng Arch tại thành phố St.Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol

(hình vẽ) Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162m Trên thành cổng, tại

vị trí có độ cao 43m so với mặt đất (điểm M), người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với mặt đất) Vị trí chạm đất của đầu

sợi dây này cách chân cổng A một đoạn 10m Giả sử các số liệu trên là chính xác Hãy tính độ cao của cổng Arch (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng)

Định hướng giải

Gắn hệ toạ độ Oxy sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của AB, tia AB là

chiều dương của trục hoành (hình vẽ)

Parabol có phương trình yax2c, đi qua các

điểm: B81;0 và M71;43 nên ta có hệ

2 2 2

185.681

.1

Suy ra chiều cao của cổng là c185,6m

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN

Bài 1 Một chiếc cổng hình parabol dạng 1 2

2

y   x có chiều rộng d 8m Hãy tính chiều cao h của cổng (Xem hình minh họa bên cạnh)

A. h9m B h8m C h7m D h5m

Hướng dẫn giải Chọn B Đường thẳng chứa chiều rộng d 8m cắt  P tại A4;h Điểm

2

A P    h  h m

Bài 2 Một chiếc ăng - ten chảo parabol có chiều cao h0,5m và đường kính

miệng d 4m Mặt cắt qua trục là một parabol dạng yax2 Biết a m

n

 , trong

đó m, n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau Tính m n

A m n 7 B. m  n 7 C m n 31 D m  n 31

Hướng dẫn giải Đáp án B

Từ giả thiết suy ra parabol yax2 đi qua điểm 2;1

Bài 3 Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống

Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa

độ Oth, trong đó t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên; h

là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ

độ cao 1,2m Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5m và 2 giây sau khi đá lên, nó đạt

độ cao 6m Hỏi sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi được đá lên (tính chính xác đến hàng phần trăm?

A 2,56 giây B 2,57 giây C 2,58 giây D 2,59 giây

Vậy phương trình của parabol quỹ đạo là h 4,9t212, 2t1, 2

Giải phương trình h  0 4,9t2 12, 2t1, 20 ta tìm được một nghiệm dương là t 2,58

Bài 4 Một quả bóng cầu thủ sút lên rồi rơi xuống theo quỹ đạo là parabol Biết

rằng ban đầu quả bóng được sút lên từ độ cao 1 m sau đó 1 giây nó đạt độ cao

10 m và 3,5 giây nó ở độ cao 6, 25 m Hỏi độ cao cao nhất mà quả bóng đạt được là bao nhiêu mét?

12 10 8 6 4 2

5

y

x O

A

B

C

Hướng dẫn giải Chọn C

Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol nên phương trình có dạng

a b c

Suy ra phương trình parabol là y 3x212x1

Parabol có đỉnhI(2;13) Khi đó quả bóng đạt vị trí cao nhất tại đỉnh tức

13 m

Bài 5. Một chiếc cổng hình parabol có chiều rộng 12 m và chiều cao 8 m như hình vẽ Giả sử một chiếc xe tải chở cồng kềnh có chiều ngang 6 m đi vào vị trí chính giữa cổng Hỏi chiều cao h của xe tải thỏa mãn điều kiện gì để có thể đi vào cổng mà không chạm tường?

A 0 h 6 B 0 h 6 C 0 h 7 D 0 h 7

Hướng dẫn giải Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Parabol có phương trình dạng yax2 bx

Vì chiếc cổng hình parabol có chiều rộng 12 m và chiều cao, theo hình vẽ ta có parabol đi qua các điểm 12;0 và   6;8 , suy ra:

Vậy điều kiện để xe tải có thể đi vào cổng mà không chạm tường là 0 h 6

BÀI TOÁN 3 SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI HOẶC BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

A KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Bảng biến thiên của hàm số bậc hai

Dấu bằng xẩy ra khi a1 a2 a3  a n1a n.

Bất đẳng thức Cauchy cũng được gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân

a b  k  ak b hoặc một trong hai véctơ bằng 0

Lưu ý: Ở loại bài toán này ta thường chuyển đổi dữ kiện thực tế qua một hàm

số với một biến số Nếu là hàm số bậc hai ta có thể dùng bảng biến thiên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Ngoài ra ta có thể sử dụng một số bất đẳng thức như bất đẳng thức Cô – si, bất đẳng thức Bu – nhia – cốp – xki, bất đẳng thức ve tơ v.v để tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Bài 1 Một người nông dân có một khu đất rộng dọc theo một con sông Người

đó muốn có một cái hàng rào hình chữ E (như hình vẽ) để được một khu đất gồm hai phần đất hình chữ nhật để trồng rau và nuôi gà Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 80 nghìn đồng trên một mét dài, đối với phần còn lại thì chi phí nguyên vật liệu là 40 nghìn đồng trên một mét dài Tính diện tích lớn nhất của phần đất mà người nông dân rào được với chi phí vật liệu 20 triệu đồng

Định hướng giải

Gọi x (m) là chiều dài khu đất song song bờ sông, y (m) là chiều dài khu đất

vuông góc với bờ sông (x 0, y 0)

Theo giả thiết ta có: x.80000 3 40000 y 20000000

Bảng biến thiên của hàm số f x( )

Vậy diện tích lớn nhất của phần đất người nông dân có thể rào được là

231250

10416,666 ( )

Bài 2 Một vùng đất hình chữ nhật ABCD có AB25km BC, 20km và M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC Một người cưỡi ngựa xuất phát từ A đi đến C bằng cách đi thẳng từ A đến một điểm X trên đoạn MN rồi lại đi thẳng từ

X đến C Vận tốc của ngựa khi đi trên phần ABNM bằng 15km h/ , vận tốc của ngựa khi đi trên phần MNCD bằng 30km h/ Tìm vị trí của X để thời gian ngựa

(Định lí Pi ta go và công thức t s

v

 )

x x x

Vậy vị trí cần tìm của điểm X là MX  5km XN,  20km

Bài 3 Cần phải làm cái cửa có dạng phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là

hình chữ nhật, có chu vi là a m( )(a chính là chu vi hình bán nguyệt cộng với

chu vi hình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung của hình bán nguyệt) Hãy xác định các kích thước của nó để diện tích cửa là lớn nhất?

Định hướng giải

Gọi x là bán kính của hình bán nguyệt Ta có chu vi của hình bán nguyệt là  x,

tổng ba cạnh của hình chữ nhật là ax Diện tích cửa sổ là:

2x

S 1

S 2

x    x hay x  4a

(Có thể dùng bất đẳng thức Cô – si hoặc bảng biến thiên của hàm số bậc hai)

Vậy để S max thì các kích thước của hình chữ nhật là: chiều cao bằng

Bài 5 Một cửa hàng văn phòng phẩm bán bút luyện chữ với giá 12 nghìn đồng

một chiếc Với giá bán này cửa hàng bán được 40chiếc mỗi ngày Để tăng sức mua cửa hàng dự định giảm giá bán, họ ước tính nếu giảm mỗi chiếc 2 nghìn đồng thì sẽ bán thêm được 20chiếc Xác định giá bán mỗi chiếc bút để cửa hàng thu về lợi nhuận trong một ngày là lớn nhất, biết rằng giá mua về mỗi chiếc bút

 f x( ) 10x220x240

Từ bảng biến thiên thấy f x( ) đạt giá trị lớn nhất khi x1

Vậy khi giảm giá bán 1 nghìn đồng tức là giá mỗi chiếc bút là 11 nghìn đồng thì

sẽ thu được lợi nhuận cao nhất

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN Bài 1 Một miếng bìa hình tam giác đều ABC, cạnh bằng 16 Học sinh Minh cắt một hình chữ nhật MNPQ từ miếng bìa trên để làm biển trông xe cho lớp

trong buổi ngoại khóa ( với M N thuộc cạnh , BC P Q; , lần lượt thuộc cạnh AC

và AB Diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn nhất bằng bao nhiêu?

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x16  x x 8

Suy ra diện tích hình chữ nhật MNPQ đạt giá trị lớn nhất bằng 32 3, đạt được khi MNPQ là hình vuông có cạnh bằng 8

Bài 2 Người ta dùng 100m rào để rào một mảnh vườn hình chữ nhật để thả gia súc Biết một cạnh của hình chữ nhật là bức tường (không phải rào) Tính diện tích lớn nhất của mảnh để có thể rào được?

A 1350m2 B. 1250m2 C 625m2 D 1150m2

Hướng dẫn giải

A 400m2 B. 450m2 C 350m2 D 425m2

Hướng dẫn giải Chọn B

y

x x

Gọi hai cạnh của hình chữ nhật có độ dài là x y, (như hình vẽ); 0x y, 60

Bài 4 Một miếng giấy hình tam giác vuông (vuông tại A ) có diện tích S, có

M là trung điểm BC Cắt miếng giấy theo hai đường thẳng vuông góc, đường

thẳng qua M cắt cạnh AB tại E , đường thẳng qua M cắt cạnh AC tại F Khi

đó miếng giấy tam giác MEF có diện tích nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên , AC AB ,

Gọi y là số tiền lãi của cửa hàng bán giày

y x x   x x   x  

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x80

Vậy cửa hàng lãi nhiều nhất khi bán đôi giày với giá 80 USD

BÀI TOÁN 4 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ta thường thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Chọn ẩn số (nêu đơn vị của ẩn và đặt điều kiện nếu cần)

Bước 2 Tính các đại lượng trong bài toán theo giả thiết và ẩn số, từ đó lập

phương trình hoặc hệ phương trình

Bước 3 Giải phương trình hoặc hệ phương trình vừa lập

Bước 4 Đối chiếu với điều kiện và trả lời

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Bài 1 Hàng ngày bạn An đi xe đạp điện từ nhà đến trường vào cùng một thời

điểm và nhận thấy: nếu đi xe với vận tốc 15 km/giờ thì đến trường muộn so với

qui định5 phút, nếu đi xe với vận tốc 30km/giờ thì đến trường sớm so với qui

định 5 phút Quãng đường  km từ nhà bạn An đến trường là một số thuộc

khoảng nào?

Định hướng giải Bước 1 Chọn ẩn số (nêu đơn vị của ẩn và đặt điều kiện nếu cần)

Gọi S (km) là quãng đường cần tính

Bước 2 Tính các đại lượng trong bài toán theo giả thiết và ẩn số, từ đó lập

phương trình hoặc hệ phương trình 10

15 30 60

S  S  Bước 3 Giải phương trình hoặc hệ phương trình vừa lập S 5

Bước 4 Đối chiếu với điều kiện và trả lời

Vậy quãng đường từ nhà bạn An đến trường dài 5 km

Bài 2 Ở một hội chợ vé vào cửa được bán ra với giá 12 nghìn đồng cho trẻ em

và 45 nghìn đồng cho người lớn Trong một ngày có 5700 người khách tham quan hội chợ và ban tổ chức thu được 117900 nghìn đồng

Hỏi có bao nhiêu người lớn và trẻ em vào tham quan hội chợ ngày hôm đó?

Định hướng giải

Gọi x là số người lớn, y là số trẻ em tham quan hội chợ x y, 0

Theo bài ra ta có hệ phương trình

Vậy có 1500 người lớn và 4200 trẻ em tham quan hội chợ

Bài 3 Có 12 người ăn 12 cái bánh Mỗi người đàn ông ăn 2 chiếc, mỗi người

đàn bà ăn 1/2 chiếc và mỗi em bé ăn 1/4 chiếc Hỏi có bao nhiêu người đàn ông, đàn bà và trẻ em?

Định hướng giải

Gọi số đàn ông, đàn bà và trẻ em lần lượt là x y z, ,

Điều kiện: x y z, , nguyên dương và nhỏ hơn 12

Theo đề bài, ta lập được hệ phương trình

Thay x vào hệ trên ta tính được y 1,z 6

Vậy có 5 đàn ông, 1 đàn bà và 6 trẻ em

Bài 4 Cho hai người A và B xuất phát cùng một lúc ngược chiều từ thành phố

M và N Khi họ gặp nhau, người ta nhận thấy A đã đi nhiều hơn B là 6km Nếu mỗi người tiếp tục đi theo hướng cũ với cùng vận tốc ban đầu thì A sẽ đến N sau 4,5 giờ, còn B đến M sau 8 giờ tính từ thời điểm họ gặp nhau Gọi v v lần A, Blượt là vận tốc của người A và người B Tính tổng v Av B

Hướng dẫn giải

Gọi P là điểm mà hai người A và B gặp nhau Gọi đoạn MP x là quãng đường

A đi được, NP y là quảng đường B đi được

Khi họ gặp nhau, người ta nhận thấy A đã đi nhiều hơn B 6km có nghĩa là đoạn

MP dài hơn NP là 6km và thời gian đi của hai người cho đến lúc gặp nhau là

Nếu mỗi người tiếp tục đi theo hướng cũ với cùng vận tốc ban đầu thì A sẽ đến

N sau 4,5 giờ, còn B đến M sau 8 giờ tính từ thời điểm họ gặp nhau nên ta có hệ:

 

4,5

4,5

28

8

B B

Bài 5 Có ba lớp học sinh 10A,10B,10C gồm 128 em cùng tham gia lao động

trồng cây Mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng Mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng Mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn Cả ba lớp trồng được là 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh của lớp 10A,10B,10C lần lượt là x y z, ,

Điều kiện: x y z, , nguyên dương

Theo đề bài, ta lập được hệ phương trình

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN Bài 1 Một đoàn xe tải chở 290 tấn xi măng cho một công trình xây đập thủy

điện Đoàn xe có 57 chiếc gồm ba loại, xe chở 3 tấn, xe chở 5 tấn và xe chở 7,5 tấn Nếu dùng tất cả xe 7,5 tấn chở ba chuyến thì được số xi măng bằng tổng số

xi măng do xe 5 tấn chở ba chuyến và xe 3 tấn chở hai chuyến Hỏi số xe mỗi loại ?

A 18 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 20 xe chở 7,5 tấn

B 20 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7,5 tấn

Bài 2 Trong một kỳ thi, hai trường A,B có tổng cộng 350 học sinh dự thi Kết

quả là hai trường có tổng cộng 338 học sinh trúng tuyển Tính ra thì trường A có 97% và trường B có 96% học sinh dự thi trúng tuyển Số học sinh dự thi của trường A và B lần lượt là

A 200; 100 B. 200; 150 C 250; 100 D 150; 120

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi số thí sinh tham dự của trường A và trường B lần lượt là

100 100

x y

x y

Vậy số học sinh dự thi của trường A là 200, trường B là 150 học sinh

Bài 3 Ba cô Lan, Hương và Thúy cùng thêu một loại áo giống nhau Số áo của

Lan thêu trong 1 giờ ít hơn tổng số áo của Hương và Thúy thêu trong 1 giờ là 5

áo Tổng số áo của Lan thêu trong 4 giờ và Hương thêu trong 3 giờ nhiều hơn số

áo của Thúy thêu trong 5 giờ là 30 áo Số áo của Lan thêu trong 2 giờ cộng với

số áo của Hương thêu trong 5 giờ và số áo của Thúy thêu trong 3 giờ tất cả được

76 áo Hỏi trong 1 giờ mỗi cô thêu được mấy áo?

A. Lan thêu được 9 áo, Hương thêu được 8 áo, Thúy thêu được 6 áo

B Lan thêu được 8 áo, Hương thêu được được 9 áo, Thúy thêu được 6 áo

C Lan thêu được 6 áo, Hương thêu được được 8 áo, Thúy thêu được 9 áo

D Lan thêu được 6 áo, Hương thêu được được 9 áo, Thúy thêu được 8 áo

Lời giải Chọn A

Gọi số áo thêu trong một giời của Lan, Hương và Thúy lần lượt là x y z, ,

Điều kiện: x y z, , nguyên dương

Theo đề bài, ta lập được hệ phương trình

Bài 4 Một công ty có 85 xe chở khách gồm 2 loại, xe chở được 4 khách và xe

chở được 7 khách Dùng tất cả số xe đó, tối đa công ty chở một lần được 445

khách Hỏi công ty đó có mấy xe mỗi loại?

A 35 xe 4 chỗ và 50 xe 7 chỗ B 55 xe 4 chỗ và 30 xe 7 chỗ

C 30 xe 4 chỗ và 55 xe 7 chỗ D. 50 xe 4 chỗ và 35 xe 7 chỗ

Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi số xe loại 4 chỗ và số xe loại 7 chỗ lần lượt là x y x y,  ,  

x y





 

Vậy có 50 xe loại 4 chỗ và 35 xe loại 7 chỗ

Bài 5 Tìm vận tốc và chiều dài của 1 đoàn tàu hoả biết đoàn tàu ấy chạy ngang

qua văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối cùng mất 7 giây Cho biết sân ga dài 378m và thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây