(SKKN mới NHẤT) góp PHẦN PHÁT TRIỂN tƣ DUY CHO học SINH THÔNG QUA một số bài TOÁN về CHỦ đề hàm số hợp TRONG CHƢƠNG TRÌNH GIẢI TÍCH THPT lớp 12

Trang 3 Chương 2: Góp phần phát triển tư duy cho học sinh thông qua một số bài toán về chủ đề hàm số hợp trong chương trình giải tích THPT lớp 1.. Với mục tiêu đặt ra là giúp học sinh có

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐÔ LƯƠNG 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2 Lê Văn Lộc

Năm học : 2021 - 2022

MỤC LỤC Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ Trang 1

1 Lý do chọn đề tài Trang 1

2 Mục đích của đề tài Trang 2

3 Đối tượng nghiên cứu Trang 2

4 Giới hạn của đề tài Trang 2

5 Nhiệm vụ của đề tài Trang 2

6 Phương pháp nghiên cứu Trang 2

7 Bố cục của đề tài Trang 2 Phần II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Trang 3 Chương 1 Cơ sở lý thuyết và thực tiễn Trang 3

1 Cơ sở lý luận Trang 3

2 Thực trạng đề tài Trang 3

3 Cơ sở lý thuyết Trang 3

4 Cơ sở thực tiễn Trang 3 Chương 2: Góp phần phát triển tư duy cho học sinh thông qua một số

bài toán về chủ đề hàm số hợp trong chương trình giải tích THPT lớp

1 Một số kiến thức cơ bản Trang 5

2 Các hình thức cho bài toán……… Trang 8

3 Phương pháp giải………

Trang 11 3.1 Tình huống 1………

Trang 12 3.2 Tình huống 2………

Trang 39 Chương 3 Các biện pháp tổ chức thực hiện và kết quả nghiên cứu Trang 46 Phần III KẾT LUẬN Trang 49 Phụ lục và tài liệu tham khảo

Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình Toán học phổ thông hiện nay, phần Hàm số được đưa vào giảng dạy ở phần Chương I, chương trình môn Toán học lớp 12 Đây là một chương nhằm trang bị đầy đủ kiến thức về hàm số cho học sinh THPT sau khi đã tiếp cận các khái niêm về hàm số và các tính chất của hàm số ở các lớp dưới vì vậy ở chương này sách giáo khoa đã trình bày một cách đầy đủ và sâu sắc về các khái niêm, các tính chất, phong phú và đa dạng về các dạng bài tập

Chuyên đề “hàm hợp” là một vấn đề mới trong các đề thi TNTHPT trong giai

đoạn hiện nay, đặc biệt từ khi Bộ Giáo dục và đào tạo tổ chức thi bằng hình thức trắc nghiệm, thì hàm hợp được khai thác sâu ở các mức độ khác nhau, đặc biệt chiếm tỷ lệ lớn ở phần vận dụng cao trong cấu trúc của đề thi nói chung cung như

phần hàm số nói riêng.Từ đó cần phải thấy được vai trò của chuyên đề “hàm hợp”

và đặt đúng vị trí của nó cũng như phải dành một thời lượng đáng kể để giúp học sinh nắm vững chuyên đề này

Với đối tượng học sinh ở mức năng lực và tư duy hàm còn chưa tốt thì đây là chuyên đề khó, vì nó liên hệ đến nhiều kiến thức của chương, thậm chí liên chương Mặt khác công thức hàm không cho tường minh nên phương pháp tư duy giải toán và tiếp cận bài toán cũng khác so với các dạng toán quen thuộc tường minh trước đó Mặt khác; nếu không giúp học sinh chiếm lĩnh chuyên đề này thì đã

bỏ mất đi một lớp các bài toán quan trọng với số lượng câu rất đáng kể trong đề thi, từ đó dẫn đến các em học sinh sẽ khó khăn trong việc giải quyết các phần còn lại và ảnh hưởng rất lớn đến kết quả học tập cũng như kết quả trong các kỳ thi Với mục tiêu đặt ra là giúp học sinh có năng lực và tư duy tốt hơn để giải

quyết tốt vẫn đề này, tôi lựa chon đề tài: “Góp phần phát triển tư duy cho học

sinh thông qua một số bài toán về chủ đề hàm số hợp trong chương trình giải tích THPT lớp 12.”

Tính mới của đề tài là phân loại các dạng toán về “hàm hợp” để làm mềm các lớp bài toán, từ đó giúp học sinh có năng lực và tư duy tốt hơn để giải quyết các bài toán phân loại sâu ở mức độ vận dụng và vận dụng cao trong các đề thi

2 Mục đích của đề tài

- Phát triển tư duy và năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh

3 Đối tượng nghiên cứu

- Học sinh lớp 12 (chú trọng học sinh khá giỏi)

- Học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh đại học, thi HSG cấp tỉnh khối 12

- Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT

4 Giới hạn của đề tài

Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các kỹ năng cần thiết rèn luyện cho học sinh khi dạy chủ đề hàm hợp qua đó góp phần phát triển tư duy và năng lực giải quyết

vấn đề cho học sinh lớp 12

5 Nhiệm vụ của đề tài

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy và năng lực giải quyết vấn đề

- Củng cố cho học sinh các chuẩn kiến thức, kỹ năng của chuyên đề hàm số thuộc chương trình giải tích lớp 12

- Định hướng cho học sinh kỹ năng giải một số dạng bài toán thường gặp thuộc chủ

đề hàm số của hàm hợp thông qua việc khai thác các bài toán hàm hợp trong các đề thi minh họa, đề thi tham khảo, đề thi chính thức của Bộ GD&ĐT, các đề thi thử trên cả nước, từ đó góp phần phát triển tư duy và năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh

-Từng bước tiếp cận các bài toán ở các mức độ vận dụng khác nhau nhằm hình thành kỹ năng, rèn luyện tư duy thuật toán cho lớp các dạng toán đó, giúp học sinh làm quyen với xu hướng ra đề thi của Bộ GD&ĐT về chủ đề hàm hợp qua đó giúp các em học sinh tự tin hơn trong việc tìm tòi lời giải các bài toán hàm hợp

6 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Phương pháp điều tra quan sát

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

7 Bố cục của đề tài

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình bày trong 3 chương

Chương 1 Cở sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Góp phần phát triển tư duy cho học sinh thông qua một số bài

toán về chủ đề hàm số hợp trong chương trình giải tích THPT lớp 12

Chương 3 Các biện pháp tổ chức và kết quả nghiên cứu

PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU:

Chương 1 Cở sở lí luận và thực tiễn

1 Cơ sở lý luận

Đối với học sinh có năng lực và tư duy chưa tốt sẽ gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến hàm hợp ỏ mức vận dụng, vận dụng cao Bên cạnh tâm lý e ngại, sợ khó còn là vấn đề năng lực hiện có để giải quyết Do đó cần phải trang bị đủ kiến thức cho các em và biết cách làm “mềm” các dạng toán để giúp các em có năng lực và tư duy để tự tin tiếp cận

2 Thực trạng của đề tài

Có thể nói rằng chủ đề cực trị hàm hợp, hàm liên kết là một chủ đề hay và khó trong chương trình môn Toán lớp 12 ở trường THPT Khi giảng dạy chủ đề này ngoài các kiến thức cơ bản trong chương trình SGK ban cơ bản giáo viên thường lựa chọn các bài toán cực trị hay trong SGK và SBT nâng cao môn giải tích lớp 12, các bài toán cực trị trong các đề thi THPTQG, đề thi TNTHPT và đề thi HSG để giảng dạy cho học sinh Tuy nhiên vẫn còn một số tồn tại sau:

- Các bài toán cực trị hay trong SGK và SBT nâng cao môn giải tích lớp 12 vẫn còn khá dễ và chưa sát với các bài toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết trong các đề thi THPTQG nay là đề thi TNTHPT và tuyển sinh đại học

- Khi giảng dạy các bài toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết giáo viên thường ít chú trọng hoạt động “nhận biết, khai thác và phát triển” các bài toán dẫn tới năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo của học sinh bị hạn chế

- Chưa thật sự chú trọng trong việc tìm tòi, xây dựng các bài toán mới để từ

đó hướng dẫn học sinh xây dựng và giải các bài toán về cực trị hàm hợp và hàm liên kết

3 Cơ sở lý thuyết

3.1 Kiến thức cơ bản về đại số và giải tích lớp 11:

Đạo hàm của hàm số; Giải phương trình

3.2 Kiến thức cơ bản về giải tích lớp 12:

Bảng biến thiên của hàm số; Cực trị của hàm số; Đồ thị của hàm số và các bài toán liên quan

4 Cơ sở thực tiễn

Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường THPT Đô Lương 3 nói riêng hầu hết các em học sinh còn hạn chế về tư duy và năng lực giải quyết vấn đề Các bài toán thuộc chủ đề hàm hợp trong các đề thi thường ở mức độ vận dụng thấp và vận dụng cao Để giải được lớp bài toán này học sinh cần biết

sử dụng tổng hợp các kiến thức và phải thông qua vài bước biến đổi

Bằng phương pháp kiểm tra, đánh giá, khảo sát trên các đối tượng học sinh thông qua các bài kiểm tra, các đề thi THPT quốc gia các năm trước cho thấy học sinh còn gặp nhiều khó khăn, không có hướng tiếp cận để giải quyết, thậm chí có tâm lý “bỏ qua” lớp các bài toán này

Qua thực tế giảng dạy trực tiếp các lớp khối, tôi thấy rằng khi ra những bài tập dạng này học sinh thường lúng túng trong quá trình giải Cụ thể: khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy Tôi cho học sinh các lớp làm bài khảo sát, kết quả như sau:

Chương 2:

Góp phần phát triển tư duy cho học sinh thông qua một số bài toán về chủ đề

hàm số hợp trong chương trình giải tích THPT lớp 12

c Nhận xét 3

Cho hàm số uu x , xác định với x a b; và u x    c d; Hàm số f u x   cũng xác định với x a b; Ta có nhận xét sau:

i Giả sử hàm số uu x  đồng biến với x a b; Khi đó, hàm số f u x   đồng biến với x a b;  f u  đồng biến với u c d;

ii Giả sử hàm số uu x  nghịch biến với x a b; Khi đó, hàm số f u x  

nghịch biến với x a b;  f u nghịch biến với u c d;

1.2.3 Định lí 1

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó:

a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f ' x    0, x K

b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f ' x    0, x K

1.2.4 Định lí 2

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó:

a) Nếu f ' x    0, x K thì hàm số f đồng biến trên K

b) Nếu f ' x    0, x K thì hàm số f nghịch biến trên K

c) Nếu f ' x    0, x K thì hàm số f không đổi trên K

Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa

khoảng Khi đó phải có thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó:

a) Nếu f ' x    0, x K và f ' x  0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f

x  x thì ta nói hàm số f x  đạt cực đại tại x0

+) Nếu tồn tại số h0 sao cho f x  f x 0 với mọi xx0h x; 0 h và

Định lý 2: Giả sử hàm số y f x  liên tục trên K x0h x; 0 h và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ x0 , với h0

+) Nếu f x 0 trên khoảng K x0h x; 0 và f x 0 trên x x0; 0 h thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f x 

+) Nếu f x 0 trên khoảng K x0h x; 0 và f x 0 trên x x0; 0 h thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f x 

Minh họa bằng bảng biến thiến

Định lý 3: Giả sử hàm số y f x  có đạo hàm cấp một trên khoảng  a b; chứa điểm x0, f x 0 và f x  có đạo hàm cấp hai khác 0 tại x0

a) Nếu f x0 0 thì hàm số y f x  đạt cực đại tại điểm x0

b) Nếu f x0 0 thì hàm số y f x  đạt cực tiểu tại điểm x0

Chú ý: Trong định lý 3 nếu f x0 0 thì ta chưa kết luận được hàm số đạt

hay không đạt cực trị tại x0

1.4.2.1 Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

Bước 1: Tính f x và tìm các điểm x x1, 2, ,x nD mà tại đó f x 0 hoặc hàm số không có đạo hàm

Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của hàm số

1.4.2.2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

 Hàm số đã cho y f x  xác định và liên tục trên đoạn  a b;

 Tìm các điểm x x1, 2, ,x n trên khoảng  a b; , tại đó f x  0 hoặc f x

a b f x  f x f x f x f a f b



        1 2       ,

a b f x  f x f x f x f a f b

1.4.2.3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

Bước 1: Tính đạo hàm f x ( )

Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm x i ( ; )a b của phương trình f x ( )  0 và tất

cả các điểm i ( ; )a b làm cho f x( ) không xác định

1.5 Bài toán giao điểm và số nghiệm của phương trình

1.5.1 Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:

Phương pháp:

Cho 2 hàm số y f x y , g x  có đồ thị lần lượt là (C) và (C’)

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f x g x 

+) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm

+) Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’)

2 Các hình thức cho bài toán:

Dựa vào BBT, hàm số đồng biến trên khoảng  1;3

Ví dụ 2 Điểm cực tiểu của hàm số 2

2

x y

Vậy điểm cực tiểu của hàm số là x  2

2.2 Cho bởi BBT hoặc đồ thị của hàm số y f x( )

Ví dụ 1(VTED - ĐỀ 13 - 2021) Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

 hàm số g x   1

f x đồng biến trên khoảng  1; 2

Ví dụ 2 Cho hàm số y f x  xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên dưới đây

Hàm số y f x  có bao nhiêu điểm cực trị?

được cho như hình vẽ Hàm số f x( )

nghịch biến trên khoảng

Ta có bảng biến thiên của hàm số f x( ):

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên  ; 0 

Ví dụ 2 Cho hàm số f x  có bảng xét dấu của đạo hàm f x như sau:

Hàm số f x  có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Lời giải:

Bảng biến thiên của hàm số f x  là:

Vậy hàm số f x  có 2 điểm cực tiểu

x nào dưới đây

Thông thường, để giải các bài toán trên ta thực hiện các bước sau:

+) Tính đạo hàm, tìm các điểm tới hạn

+) Lập bảng biến thiên và kết luận

Việc tìm các điểm tới hạn dẫn đến việc tìm nghiệm của phương trình Thông

thường có 2 tính huống xảy ra

3.1 Tình huống 1: Dựa vào BBT, BXD, ĐT ta tìm nghiệm dựa và giao điểm của

hai đồ thị Khi dẫn tới phương trình f x( ) g x( ), trong đó đã biết đồ thị của hàm số

Bước 1: Phát hiện vẫn đề cần giải quyết Đây là bài toán tìm khoảng đơn điệu của

hàm số y f 5 2  x khi biết bảng xét dấu của hàm số f x

Bước 2: Đề xuất giải pháp giải quyết vẫn đề

+) Tính đạo hàm của hàm số cần giải quyết y f 5 2  x

+) Xét dấu đạo hàm vừa tính

+) Dựa vào dấu vừa xét để kết luận

Bước 3 Giải quyết vẫn đề

Bước 4 Phân tích giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự

- Để giải được bài toán trên, ngoài việc học sinh nắm được công thức tính đạo hàm của hàm hợp, học sinh cần giải quyết hai vẫn đề quan trọng là:

+) Từ bảng xét dấu của y f x hãy tìm nghiệm của phương trình

- Chúng ta có thể tổng quát hóa bài toán như sau: Cho bảng biến thiên hoặc

đồ thị của hàm số f x Tính khoảng đơn điệu của hàm số y f u x   

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số yg x  f 3x nghịch biến trên khoảng

 2;3 , suy ra b 3 Vậy giá trị lớn nhất của b là 3

Ví dụ 3 Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số   f x như sau

Số điểm cực trị của hàm số  2 

2

y f x  x là

A 9 B 3 C 7 D 5

Bước 1 Phát hiện vấn đề cần giải quyết

Đây là bài toán tìm số điểm cực trị của hàm hợp  2 

+ Tính đạo hàm của hàm hợp  2 

2

y  f x  x + Tính số nghiệm đơn (bội lẻ) của phương trình y 0

+ Kết luận số điểm cực trị của hàm số  2 

+) Phương trình x2 2xb b,  ( 1;0) nên ta có thể chọn 1

2

b 

để thử và cho kết quả coa 2 nghiệm phân biệt

+) Tương tự cho phương trình x2 2xc và x22xdbằng cách làm trên ta cũng cho mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bước 4 Phân tích giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự

- Để giải được bài toán trên, ngoài việc học sinh nắm được công thức tính đạo hàm của hàm hợp, học sinh cần giải quyết hai vẫn đề quan trọng là:

+) Từ bảng biến thiên của hàm số f x suy ra nghiệm u của phương trình

Ví dụ 4 (THPT Ngọc Tảo - Hà Nội - 2021) Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên

và có bảng xét dấu của f x như sau

1 2

x x x x

2 2

2 2

x x x x x

x x

f x  x được mô tả ở dưới ta suy ra hàm có 1 điểm cực tiểu

Từ 2 ví dụ trên, chúng ta có thể giúp học sinh giải và xây dựng các bài toán liên

 

5 1;

   

2

3 6 0 0

bên dưới Gọi m M, lần lượt là giá trị nhỏ nhất và

giá trị lớn nhất của hàm số y f 2x trên đoạn

   

' 2 ' 2

g x   f  x ,    

1 2

Suy ra phương trình 2 f x( )a   2 a 1 có một nghiệm

Suy ra phương trình 2 f x( )c1 c 2 có ba nghiệm

Vậy phương trình f(2  f x( ))  0 có tất cả 5 nghiệm thực phân biệt

Ví dụ 9 Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thuộc đoạn 0;7

Dựa vào bảng biến thiên suy ra  

Các phương trình  1 và  4 vô nghiệm

Phương trình cosx  b  1;0 có 4 nghiệm đoạn 0;7

Dựa vào đồ thị đã cho, ta thấy g t  0 khi    1 t 0, suy ra ft2    3t 1 0 khi

g x  f x  nghịch biến trên khoảng nào trong

các khoảng dưới đây?

g x

x x

Ta lập được bảng xét dấu của g x  như sau

Như vậy phương án D đúng

Ví dụ 12 (Chuyên Vinh- Nghệ An – L1 – 2021) Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên và có bảng biến thiên như hình vẽ Hàm số y f 1 2  x đạt cực tiểu tại

x x

Hướng thứ hai: Thay đổi biểu thức hàm hợp ta có các bài toán sau:

Ví dụ 13 (Chuyên Lê Quý Đôn - Mã



  

Vậy hàm số y f 3 x đồng biến trên mỗi khoảng 1;2 ; 3;4 ; 7;    

Ví dụ 14 (THPT Kim Sơn A - Ninh Bình - 2021) Cho hàm số y f x( )có đạo hàm liên tục trên và bảng biến thiên của hàm số f x ( )như sau

x  e  thì u có 3 cực trị, trong đó 1 cực đại, 2 cực tiểu Bảng biến thiên

mới theo biến u là

Hai phương trình lần lượt có 4 và 2 nghiệm như sau

Chú ý c là điểm cực đại và d là điểm cực tiểu nên từ (1) thu được 2 cực tiểu, từ (2)

thu được 1 cực tiểu

Kết luận tổng cộng 5 điểm cực tiểu

Ví dụ 15 (THPT Đào Duy Từ-L1-2020-2021) Cho hàm số y f x( ) liên tục trên

và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình  3 4 4 2 2

Suy ra phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

Phương trình (2) vô nghiệm

Vậy, phương trình đã cho có 6 nghiệm

Ví dụ 16 Cho hàm số f x  có đạo hàm cấp hai trên . Biết

 2  2018 0,  0 3

f  f   f  và bảng xét dấu của f x như sau

Hàm số y f x  1 2018 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0. Khi đó x0 thuộc khoảng

g x  f x   x khi biết đồ thị của y f x

Bước 2 Đề xuất giải pháp giải quyết vẫn đề

Dựa vào đồ thị ta có   2  

f u  u u   u g x    0, x  1;2

 Vậy hàm số yg x  nghịch biến trên khoảng 1; 2

Bước 4 Phân tích giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự

Để giải quyết bài toán trên thì học sinh cần giải quyết 2 vẫn để quan trọng là: +) Tính được đạo hàm     2

quyết vẫn đề thì giáo viên cần hưỡng dẫn học sinh xây dựng và giải quyết bài toán thông qua mối quan hệ trên như:

Hướng thứ nhất: Mỗi quan hệ giữa đồ thị và đường thẳng